1.1.1 四种命题
[基础达标]
1．下列语句：①是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上．其中不是命题的是________．
解析：①是命题，能判断真假．
②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假．
③是命题，能作出真假判断的语句，是一个真命题．
④不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断．
⑤是命题，是假命题，因为1既不是合数也不是质数．
⑥不是命题，没有作出判断．
答案：②④⑥
2．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为________．
解析：∵“a>b”的否定是“a≤b”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a≤b，则2a≤2b－1”．
答案：若a≤b，则2a≤2b－1
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
解析：原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1”是真命题．
答案：4
4．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题．
②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题．
③原命题“若a>b>0，则>>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题．
④原命题的逆命题为：“若方程mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1”，不妨取m＝2验证，当m＝2时，有2x2－6x－1>0，Δ＝62－4×2×(－1)>0，其解集不为R，故为假命题．
答案：①②③
5．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是________．
解析：逆否命题是以原命题的结论的否定作条件，条件的否定作结论．因此逆否命题为：若tan α≠1，则α≠.
答案：若tan α≠1，则α≠
6．命题“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题为“若A≠60°，则△ABC不是等边三角形”为________命题．(填“真”或“假”)
解析：“若A＝60°，则△ABC是等边三角形”的逆命题为“若△ABC是等边三角形，则A＝60°”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题．
答案：真
7．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有公共点．
解：(1)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补；
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．
(2)逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0；
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无公共点；
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0.
8．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：|1－|<1.若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：∵lg(x2－2x－2)≥0，∴x2－2x－2≥1，
∴x≤－1或x≥3，设集合P＝{x|x≤－1或x≥3}．
∵|1－|<1，∴－1<－1<1，∴0
设Q＝{x|0∴P∩(? RQ)＝{x|x≤－1或x≥4}，
∴实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
[能力提升]
1．已知命题p：x2－x≥6或x2－x≤－6，q：x∈Z，且p假q真，则x的值为________．
解析：因为p假q真，所以
??.
故x的取值为－1,0,1,2.
答案：－1,0,1,2
2．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得，解得－3≤a<0，
故－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
3．命题：已知a，b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
4．(创新题)已知命题p：函数f(x)＝，实数m满足不等式f(m)<2，命题q：实数m使方程2x＋m＝0(x∈R)有实根．若命题p、q中有且只有一个真命题，求实数m的范围．
解：f(x)＝，又f(m)<2，
∴<2，∴－5－5.
因为方程2x＋m＝0(x∈R)有实根，且2x>0，
∴m<0，∴q：m<0.
若命题p、q中有且只有一个真命题，存在两种情况：
(1)当p为真命题，q为假命题时，，∴m≥0，
(2)当q为真命题，p为假命题时，，∴m≤－5.
综上，当命题p、q中有且只有一个真命题时，m≤－5或m≥0.
1.1.2 充分条件和必要条件
[基础达标]
1．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的________条件．
解析：由不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以x>是2x2＋x－1>0的充分不必要条件．
答案：充分不必要
2．(x＋1)(x＋2)>0是(x＋1)(x2＋2)>0的________条件．
解析：(x＋1)(x＋2)>0?x<－2或x>－1，(x＋1)·(x2＋2)>0?x>－1，因为x>－1?x<－2或x>－1，x<－2或x>－1 x>－1，所以应填“必要不充分”．
答案：必要不充分
3．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．
解析：由题意知p?q，r?q，s?q，s?t，t?r，所以p?t，r?t.
答案：充分 充要
4．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的________条件．
解析：因为a＝2?(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
5．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的________条件．
解析：当m＝时，两直线斜率乘积为－1，从而可得两直线垂直，故原命题为真．而当m＝－2时两直线一条斜率为0，一条斜率不存在，但两直线仍然垂直，所以其逆命题为假．
答案：充分不必要
6．设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的________条件．
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．求使关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件．
解：设关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根为x1，x2，依题意，得
不等式组等价于
，
，
解得，
∴m>.
即关于x的方程x2－2mx＋m2－m－2＝0的两根都大于2的充要条件为{m|m>}．
8．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
证明：充分性：因为a－b＋c＝0，
即a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，
所以－1是ax2＋bx＋c＝0的一个根．
必要性：因为ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，
所以a·(－1)2＋b·(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝0.
综上可得ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1的充要条件是a－b＋c＝0.
[能力提升]
1．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的________条件．
解析：(1)当直线l与三个平行平面α1，α2，α3垂直时，显然P1P2＝P2P3?d1＝d2.
(2)当直线l与α1，α2，α3斜交时，过点P1作直线P1A⊥α2分别交α2，α3于点A，B，则P1A⊥α3，故P1A＝d1，AB＝d2，显然，相交直线l与直线P1A确定一个平面β，∵α1∥α2∥α3，∴P2A∥P3B，∴＝.故P1P2＝P2P3?d1＝d2.综上知应填充分必要条件．
答案：充分必要
2．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析：由题意得x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4，又因
为n∈N*，取n＝1,2,3,4，验证可知n＝3,4符合题意；反之n＝3,4时都可推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根．
答案：3或4
3．已知p：A＝{x∈R|x2＋ax＋1≤0}，q：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：B＝{x∈R|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q，qp，即AB，
可知A＝?或方程x2＋ax＋1＝0的两根在区间[1,2]内，
∴Δ＝a2－4<0或，
得－2≤a<2.
即实数a的取值范围为－2≤a<2.
4．已知M＝{x|(x＋3)(x－5)>0}，P＝{x|x2＋(a－8)x－8a≤0}．
(1)求a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5(2)求a的一个取值范围，使它成为M∩P＝{x|5解：M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x＋a)(x－8)≤0}．
(1)显然，当－3≤－a≤5，即－5≤a≤3时，M∩P＝{x|5(2)当M∩P＝{x|51.2 简单的逻辑联结词
[基础达标]
1．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．
①綈p或q；②p且q；③綈p且綈q；④綈p或綈q.
解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p或綈q为真命题．
答案：④
2．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1或p2；q2：p1且p2；q3：綈p1或p2；q4：p1且綈p2中，真命题有________．
解析：易知p1是真命题；对p2，取特殊值来判断，如取x1＝1x4＝－2，得y3＝答案：q1，q4
3．若p、q是两个命题，且“p或q”的否定是真命题，则p、q的真假性是________．
解析：由p或q的否定是真命题，知p或q为假命题，因此p、q为假命题．
答案：p假q假
4．对于命题p、q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或綈q是真命题；②p且綈q是真命题；
③綈p且綈q是假命题；④綈p或q是假命题．
其中真命题是________．
解析：∵p且q真，则p真，q真，∴綈p假，綈q假，所以只有①③为真命题．
答案：①③
5．给出两个命题：p：|x|＝x的充要条件是x为正实数，q：奇函数的图象一定关于原点对称，则綈p∧q为________命题(填“真”、“假”)．
解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，又∵q为真命题，
故綈p∧q为真命题．
答案：真
6．若命题p：不等式4x＋6>0的解集为{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－4)(x－6)<0的解集为{x|4解析：因为命题p为真命题，q为真命题，所以“綈p”为假命题，“p或q”，“p且q”为真命题．
答案：p或q，p且q
7．分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．
(1)p：6<6.q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等．q：梯形的对角线互相平分；
(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点．
q：不等式x2＋x＋2<0无解；
(4)p：函数y＝cos x是周期函数．
q：函数y＝cos x是奇函数．
解：(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题．
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题．
(3)∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
(4)∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题．
8．已知p：3－x≤0或3－x>4，q：<1，求p且q.
解：由3－x≤0或3－x>4，
解得，p：x≥3或x<－1.
由－1<0，即<0，
解得，q：x<－2或x>3.
所以，p且q：x<－2或x>3.
[能力提升]
1．已知实数a满足1解析：由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1答案：①④
2．已知命题p：集合{x|x＝(－1)n，n∈N}只有3个真子集，q：集合{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合{x|y＝x＋1}相等．则下列新命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q.其中真命题的个数为________．
解析：命题p的集合为{－1,1}，只有2个元素，有3个真子集，故p为真；q中的两个集合不相等，故q为假，因此有2个新命题为真．
答案：2
3．设函数f(x)＝lg的定义域为A，若命题p：3∈A与q：5∈A有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：A＝，
若p：3∈A为真，则>0，即若q：5∈A为真，则>0，即1若p真q假，则，所以a无解；
若p假q真，则，所以1综上，a∈∪[9,25)．
4．(创新题)数学家斯摩林根据莎士比亚的名剧《威尼斯商人》中的情节编了一道题：女主角鲍西娅对求婚者说：“这里有三只盒子：金盒、银盒和铅盒，每只盒子的铭牌上各写有一句话．三句话中，只有一句是真话．谁能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，谁就能做我的丈夫．”盒子上的话如图所示，求婚者猜中了，你知道他是怎样猜中的吗？
解：金盒上的铭牌：“肖像在这盒里”(即肖像在金盒里)与铅盒上面的铭牌“肖像不在金盒里”是两个命题，其中一个是另一个的否定．依据简易逻辑知识，可知：一句话要么是真，要么是假，两者必具其一，因此可以得出结论，这两句话必是一真一假．又因为三句话中只有一句是真话，所以银盒的铭牌所说的那句话“肖像不在这只盒子里”就肯定是假话了，于是求婚者断定鲍西娅的肖像放在银盒子里．
1.3 全称量词与存在量词
[基础达标]
1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________．(填序号)
①任意一个有理数，它的平方是有理数；
②任意一个无理数，它的平方不是有理数；
③存在一个有理数，它的平方是有理数；
④存在一个无理数，它的平方不是有理数．
解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
答案：②
2．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解析：全称命题的否定是存在性命题．
答案：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3
3．已知命题：“?x∈[1,2]，使x2＋2x＋a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．
解析：由已知得，?x∈[1,2]，使a≥－x2－2x成立；若记f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)，则a≥f(x)min；而结合二次函数f(x)＝－x2－2x(1≤x≤2)的图象得f(x)的最小值为f(2)＝－22－2×2＝－8，所以a≥－8.
答案：a≥－8
4．不等式x2－x>x－a对?x∈R都成立，则a的取值范围是________．
解析：法一：不等式x2－x>x－a对?x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立；
结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.
法二：不等式x2－x>x－a对?x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对?x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max；而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为＝1，所以a>1.
答案：a>1
5．下列命题中的真命题的个数是________．
①?x∈R，使得sin x＋cos x＝；
②?x∈(－∞，0)，2x<3x；
③?x∈(0，π)，sin x>cos x.
解析：∵?x∈R，sin x＋cos x≤；?x∈(－∞，0)，2x>3x；sin＝cos，所以①②③都是假命题．
答案：0
6．已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.下面结论正确的是________．
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；
③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∧綈q”是假命题．
解析：容易知命题p是真命题，如x＝，则綈p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，则綈q是真命题．所以“p∧q”是假命题，①错误；“p∧綈q”是真命题，②错误；“綈p∨q”是假命题，③错误；“綈p∧綈q”是假命题，④正确．
答案：④
7．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：
(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；
(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5>0.
解：(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，綈p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；
(2)由于“?x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，綈p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R，x2＋2x＋5≤0”．
8．已知命题p：对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ 恒成立；命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解；若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．
解：∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
因为对m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥ 恒成立，可得a2－5a－3≥3.
∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：不等式x2＋ax＋2<0有解，
∴Δ＝a2－8>0.
∴a>2或a<－2；
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2；
所以命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为－2≤a≤－1.
[能力提升]
1．已知：对?x>0，a≤x＋恒成立，则a的取值范围为________．
解析：?x>0，x＋≥2(当且仅当x＝时等号成立)，min＝2；
而对?x>0，a≤x＋恒成立，所以a≤2.
答案：a≤2
2．已知命题p：?x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题綈p是真命题，那么实数a的取值范围是________．
解析：因为命题綈p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时就有，解得a>，
因此当命题p是假命题，即命题綈p是真命题时，实数a的取值范围是a≤.
答案：a≤
3．已知p：|3x－4|>2，q：>0，求綈p和綈q对应的x的值的集合．
解：设命题p中的元素组成的集合为M，那么对命题p的否定綈p组成的集合就是M的补集．
由p：|3x－4|>2，得p：x<或x>2，所以綈p：≤x≤2，即綈p：；
由q：>0，得q：x<－1或x>2，
所以綈q：－1≤x≤2，即綈q：{x|－1≤x≤2}．
4．(创新题)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．
第一章 常用逻辑用语
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)
1．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．
解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．
答案：1
2．下列命题中，真命题是________．
①?x0∈R，ex0≤0；
②?x∈R,2x>x2；
③a＋b＝0的充要条件是＝－1；
④a>1，b>1是ab>1的充分条件．
解析：因为?x∈R，ex>0，故排除①；取x＝2，则22＝22，故排除②；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出＝－1，故排除③；应填④.
答案：④
3．命题“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”的逆否命题是________．
解析：命题的条件为“x2≥1”，结论为“x≥1或x≤－1”，否定结论作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．
答案：若－14．下列命题：
①G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件；
②若角α，β满足cos αcos β＝1，则sin(α＋β)＝0；
③若不等式|x－4|0；
④函数y＝sin x＋sin |x|的值域是[－2,2]．
其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．
解析：当G＝(G≠0)时，有G2＝ab，所以a，G，b成等比数列，但当a，G，b成等比数列时，还可以有G＝－，所以G＝(G≠0)是a，G，b成等比数列的充分不必要条件，故①正确；
当cos αcos β＝1时，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k1π＋π(k1∈Z)，β＝2k2π＋π(k2∈Z)或α＝2k3π(k3∈Z)，β＝2k4π(k4∈Z)，这时α＋β＝2(k1＋k2)π＋2π(k1，k2∈Z)或α＋β＝2(k3＋k4)π(k3，k4∈Z)，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；
由于|x－4|的最小值等于0，所以当a≤0时，不等式|x－4|0，故③正确；
函数y＝sin x＋sin |x|＝，所以该函数的值域为[－2,2]，故④正确．
答案：①②③④
5．给出命题：①?x∈(－∞，1)，使x3<1；②?x∈Q，使x2＝2；③?x∈N，有x3>x2；④?x∈R，有x2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)．
解析：方程x2＝2的解只有无理数x＝±，所以不存在有理数x使得方程x2＝2成立，故②为假命题；比如存在x＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确．
答案：①④
6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则“x∈C”是“x∈A”的________条件．
解析：x∈A?x∈C，但是x∈C不能推出x∈A.
答案：必要不充分
7．“a＝”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的________条件．
解析：a＝?2x＋＝2x＋≥2＝1，另一方面对任意正数x,2x＋≥1只要2x＋≥2＝2≥1?a≥.
答案：充分不必要
8．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对?x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(4－2a)x是R上的减函数．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2＋2ax＋4>0对?x∈R恒成立，得
Δ＝(2a)2－4×4<0，解得－2所以p：－2由y＝－(4－2a)x是R上的减函数，
得4－2a>1，解得a<.
所以q：a<.
由“p∨q”为真，“p∧q”为假知，p与q中必有一真一假，即p真q假或p假q真．
所以或
从而得≤a<2或a≤－2.
答案：[，2)∪(－∞，－2]
9．已知函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，则“f(x)、g(x)均为奇函数”是“h(x)为偶函数”的________条件．
解析：由f(x)、g(x)均为奇函数可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，而f(x)＝，g(x)＝x－1都不是奇函数．
答案：充分不必要
10．a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件．
解析：若|a·b|＝|a||b|，
若a，b中有零向量，显然a∥b；
若a，b均不为零向量，则
|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，
∴|cos〈a，b〉|＝1，
∴〈a，b〉＝π或0，
∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|?a∥b.
若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，
∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，
其中，若a，b有零向量也成立，
即a∥b?|a·b|＝|a||b|.
综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．
答案：充分必要
11．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．
解析：p：x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根，
即m＜－1.
q：x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，
Δ＝[2(m－2)]2－4(－3m＋10)＝4(m2－m－6)＜0，
即－2＜m＜3.
分两种情况：①p真q假，m≤－2；②p假q真，－1≤m＜3.
综上可知使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－1,3)．
答案：(－∞，－2]∪[－1,3)
12．给出下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”的逆否命题；
④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．
其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．
解析：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；
③∵b≤－1，∴Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴“若b≤－1，则x2－2bx＋b2＋b＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；
④∵当α＝时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题．
答案：①③
13．已知命题p：x2－x≥6，q：x∈Z，则使得x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题的x组成的集合M＝________.
解析：x∈M时，“p且q”与“綈q”同时为假命题，即x∈M时，p假且q真．故令x2－x<6，x∈Z，解得x＝－1,0,1,2，从而所求的集合M＝{－1,0,1,2}．
答案：{－1,0,1,2}
14．已知“关于x的不等式<3对于?x∈R恒成立”的充要条件是“a∈(a1，a2)”，则a1＋a2＝________.
解析：∵x2－x＋1>0，∴原不等式化为x2－ax＋2<3x2－3x＋3，即2x2＋(a－3)x＋1>0.
∵?x∈R时，2x2＋(a－3)x＋1>0恒成立，
∴Δ＝(a－3)2－8<0.
∴3－2∴a1＋a2＝6.
答案：6
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)将命题“ab＝0，则a，b中至少有一个为0”改写为“若p则q”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
解：原命题：若ab＝0，则a，b中至少有一个为0.是真命题；
逆命题：若a，b中至少有一个为0，则ab＝0.是真命题；
否命题：若ab≠0，则a，b都不为0.是真命题；
逆否命题：若a，b都不为0，则ab≠0.是真命题．
16．(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：?x∈R，都有|x|＝x；
(2)p：?x∈R，x3＞x2；
(3)p：至少有一个二次函数没有零点；
(4)p：存在一个角α∈R，使得sin2α＋cos2α≠1.
解：(1)綈p：?x∈R，有|x|≠x.
如x＝－1，|－1|＝1≠－1，所以綈p是真命题．
(2)綈p：?x∈R，x3≤x2.
如x0＝－1时，(－1)3＝－1×(－1)2＝－1，
即(－1)3≤(－1)2，所以綈p是真命题．
(3)綈p：所有二次函数都有零点．
如二次函数y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2＞0.?x∈R，
y＝x2＋2x＋3≠0.因为p是真命题，所以綈p是假命题．
(4)綈p：?α∈R，sin2α＋cos2α＝1.
设任意角α终边与单位圆的交点为P(x，y)．
则sin α＝y，cos α＝x，显然有sin2α＋cos2α＝y2＋x2＝1，
所以綈p是真命题．
17．(本小题满分14分)已知两个命题r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对?x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．
解：∵sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对?x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，
有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2即－≤m<2.
综上，实数m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.
18．(本小题满分16分)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是解：由不等式|x－m|<1得m－1因为不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是19．(本小题满分16分)已知x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|的成立的充要条件是xy≥0.
证明：充分性：
如果xy＝0，那么x＝0，y≠0或x≠0，y＝0或x＝0，y＝0，于是|x＋y|＝|x|＋|y|；
如果xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0，
当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y＝|x|＋|y|，
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－x－y＝(－x)＋(－y)＝|x|＋|y|，
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|.
必要性：
由|x＋y|＝|x|＋|y|及x，y∈R得(x＋y)2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2，得|xy|＝xy，所以xy≥0，故必要性成立；
综上，原命题成立．
20．(本小题满分16分)(1)设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，则“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的什么条件？
(2)求使不等式4mx2－2mx－1<0恒成立的充要条件．
解：(1)x∈M或x∈P?x∈R，x∈(M∩P)?x∈(2,3)，因为x∈M或x∈P x∈(M∩P)，但x∈(M∩P)?x∈M或x∈P.故“x∈M或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．
(2)当m≠0时，不等式4mx2－2mx－1<0恒成立??－4