第四章 锐角三角函数单元检测试卷（含解析）

湘教版数学九年级上册第四章锐角三角函数单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（?? ）
A.?3??????????????????????????????????????? B.???????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3. α为锐角，当无意义时，sin（α+15°）+cos（α﹣15°）的值为（? ）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????? C.??????????????????????????????????????D.?
4. 计算：（??? ）
A.????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
5. 在△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA= ，则AC等于（ ??）.
A.?18?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????? C.????????????????????????????????????? D.?
6. 下列运算结果正确的是
A.?3a3·2a2=6a6???????????????? B.?(-2a)2= -4a2????????????????? C.?tan45°= ???????????????? D.?cos30°=
7. 在△ABC中，∠C＝90°， ，那么∠B的度数为（?? ）
A.?60°????????????????????????????????????B.?45°????????????????????????????????????C.?30°????????????????????????????????????D.?30°或60°
8. 如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（?? ）
A. B.1 C. D.
9. 如图，已知 ???? 是 △?????? 的角平分线， ???? 是 ???? 的垂直平分线， ∠??????=90° ， ????=3 ，则 ???? 的长为（? ?）
A.?6??????????????????????????????????????????/B.?5??????????????????????????????????????????/C.?4??????????????????????????????????????????/D.?3
3
10. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（?? ）
A.??????????????????????????? B.??????????????????????????????? C.??????????????????????????? D.?
二、填空题（共8题；共24分）
11. 已知∠A是锐角，且tanA=，则∠A=________．
12. 计算：________．
13. 如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是________．14. 已知∠A、∠B都是锐角，且|sinA﹣|+ ，那么∠A+∠B=________．
15. 在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=________．
16. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．17. 如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为________m（结果保留根号）．18. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为________m（结果保留整数， ）．
三、解答题（共6题；共46分）
19. ( 6分 ) ? ????????????????????????????????????????????
（1）计算： ；
（2）先化简，再求值：，其中a=?．
( 8分 ) 如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2 ．求tanB的值．
21. ( 8分 ) 为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）．
22. ( 8分 ) 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱 ???? 的高为11米，灯杆 ???? 与灯柱 ???? 的夹角 ∠??=120° ，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 ???? 长为18米，从 ?? 、 ?? 两处测得路灯 ?? 的仰角分别为??和?? ，且 ， .求灯杆 ???? 的长度.
23. ( 8分 ) 如图所示，在某海域，一般指挥船在C处收到渔船在B处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的B处位于C处的南偏西45°方向上，且BC=60海里；指挥船搜索发现，在C处的南偏西60°方向上有一艘海监船A，恰好位于B处的正西方向.于是命令海监船A前往搜救，已知海监船A的航行速度为30海里/小时，问渔船在B处需要等待多长时间才能得到海监船A的救援？（参考数据：
2
≈1.41 ，
3
≈1.73 ，
6
≈2.45 结果精确到0.1小时）
24. ( 8分 ) 如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡比为1：2.5，斜坡CD的坡比为1：2，求大坝的截面面积?
四、综合题（共2题；共20分）
25. ( 10分 ) 如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN.（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND
（2）线段MN与线段AD相交于T，若，求 tan∠?????? 的值
26. ( 10分 ) 在△ABC中，∠ABC=90°．（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC=，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC=，，直接写出tan∠CEB的值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【解答】解：∵α为锐角，sinα=
3
5
， ∴cos（90°﹣α）=sinα=
3
5
．故选B．2.【答案】A
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为
????
????
=
3
1
=3，故答案为：A．3.【答案】A
【解答】解：根据题意得1-tanα=0∴α=45°∴sin（α+15°）+cos（α﹣15°）==sin60°+cos30°=
3
2
+
3
2
=
3
故答案为：A
4.【答案】C
【解答】（
1
2
）﹣1+tan30°?sin60°=2+
3
3
×
3
2
=2+
1
2
=
5
2
，故答案为：C．5.【答案】B
【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=
????
????
=
1
3
，又AB=6，所以AC=2．故答案为：B．6.【答案】D
【解答】A、原式=6a5 ， 故不符合题意；B、原式=4a2 ， 故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式=
3
2
，故符合题意．故答案为：D
7.【答案】C
【解答】∵ cos??=
1
2
，∴∠A=60°.∵∠C＝90°，∴∠B=90°-60°=30°.8.【答案】B
【解答】如图，连接BC，/由网格可得AB=BC=
5
，AC=
10
，即AB2+BC2=AC2 ， ∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故答案为：B．9.【答案】D
【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴CE=CD×cos∠C= 3
3
，故答案为：D10.【答案】C
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，/∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∴
????
????
=tan30°=
3
3
，∴
??
△??????
??
△??????
=
1
3
，∵
1
2
×AD×DO=
1
2
xy=3，∴S△BCO=
1
2
×BC×CO=
1
3
S△AOD=1，∴S△AOD=2，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，故反比例函数解析式为：y=﹣
2
??
．故答案为：C．
二、填空题
11.【答案】30°
【解答】解：∵∠A是锐角，tanA=
3
3
，∴∠A=30°．故答案为：30°．
12.【答案】2
【解答】原式=1+2×
1
2
，=1+1，=2.故答案为：2.13.【答案】
9
2

【解答】过点A作AB⊥x轴于B，/∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα=
????
????
=
??
3
=
3
2
，∴t=
9
2
．14.【答案】90°
【解答】解：由题意可知：sinA=
1
2
，tanB=
3
，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠A+∠B=90°故答案为：90°15.【答案】
2
5
5

【解答】解：如图所示：/∵∠C=90°，tanA=
1
2
，∴设BC=x，则AC=2x，故AB=
5
x，则sinB=
????
????
=
2??
5
??
=
2
5
5
.故答案为：
2
5
5
?．16.【答案】（2，2
3
）
【解答】解：分别过A作AE⊥OB，CF⊥OB，/∵∠OCD=90°，∠AOB=60°，∴∠ABO=∠CDO=30°，∠OCF=30°，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），∴D（8，0），则DO=8，故OC=4，则FO=2，CF=CO?cos30°=4×
3
2
=2
3
，故点C的坐标是：（2，2
3
）．故答案为：（2，2
3
）．17.【答案】10
3

【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°，∵BC=30m，∴tan∠B=
????
????
=
3
3
?∴AC=
3
3
BC＝30×
3
3
＝10
3
m，故答案为：10
3
.18.【答案】300
【解答】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD?tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD?tan60°=110×
3
≈190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．
三、解答题
19.【答案】（1）解：原式=2﹣1+4﹣2×
3
2
+2
3
=2﹣1+4﹣
3
+2
3
=5+
3
（2）解：原式=
(??+1)(???1)
??(???1)
÷
2??+
??
2
+1
??
=
(??+1)(???1)
??(???1)
·
??
(??+1)
2
=
1
??+1
，当a=
2
时，原式=
1
2
+1
=
2
-1
20.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，/∵S△ABC=27，∴
1
2
×9×????=27 ，∴AH=6，∵AB=10，∴BH=
??
??
2
???
??
2
=
10
2
?
6
2
=8，∴tanB=
????
????
=
6
8
=
3
4
．
21.【答案】解：如图，过P点作PC⊥AB于C，/由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=
????
????
，∴AC=
3
3
PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=
????
????
，∴BC=
3
PC，∵AB=AC+BC=
3
3
PC+
3
PC=10×40=400，∴PC=100
3
，答：建筑物P到赛道AB的距离为100
3
米
22.【答案】解：过点B作BF⊥CE于点F，过点作AG⊥BF于点G/∴AG=CF，AC=FG=11∵∠BAC=120°，∠GAC=90°∴∠BAG=120°-90°=30°设BF=x在Rt△BDF中， tan??=
????
????
=6，即????=
??
6
在Rt△BEF中， tan??=
????
????
=
3
4
,即????=
4
3
??∵DE=DF+EF∴
??
6
+
4
3
??=18解之：x=12∴BG=BF-GF=12-11=1在Rt△ABG中，∠BAG=30°∴AB=2BG=2
23.【答案】解：因为A在B的正西方，延长AB交南北轴于点D，则AB⊥CD于点D/∵∠BCD=45°，BD⊥CD∴BD=CD在Rt△BDC中，∵cos∠BCD=
????
????
，BC=60海里即cos45°=
????
60
=
2
2
，解得CD= 30
2
海里∴BD=CD= 30
2
海里在Rt△ADC中，∵tan∠ACD=
????
????
即 tan60°=
????
30
2
=
3
，解得AD= 30
6
海里??????????? ∵AB=AD－BD∴AB= 30
6
－ 30
2
=30（
6
?
2
）海里∵海监船A的航行速度为30海里/小时则渔船在B处需要等待的时间为
????
30
=
30(
6
?
2
)
30
=
6
?
2
≈2.45－1.41=1.04≈1.0小时∴渔船在B处需要等待1.0小时
24.【答案】解：∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，∴
????
????
=
1
2.5
，∵斜坡CD的坡度i=1：2，∴
????
????
=
1
2
，∵BE=20米，∴AE=50米，DF=40米，∵EF=BC，BC=5米，∴EF=5米，∴AD=AE+EF+DF=50+5+40=95米∴S梯形ABCD=
1
2
?(AD+BC)×BE=
1
2
×100×20=1000(平方米)
四、综合题
25.【答案】（1）解：∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）?（2）解：由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴
????
????
＝
????
????
∵AT=
1
4
AD ， ∴
????
????
＝
1
3
∵Rt△ABM∴tan∠ABM=
????
????
＝
????
????
＝
1
3
??????????????????
26.【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB=∠BNC=90°，∴∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠AMB=∠NBC，∴△ABM∽△BCN（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N./∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，∴∠BAP=∠CPM=∠C，∴MP=MC∵tan∠PAC=
????
????
=
2
5
5
=
2
5
=
????
????
，设MN=2m,PN=
5
m,根据勾股定理得，PM=
??
??
2
+??
??
2
=3??=????,∴tanC=
????
????
=
5
??
5??
=
5
5
（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC=
????
????
=
3
5
，过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，/∵∠DEB=90°，∴CH∥AG∥DE，∴
????
????
=
????
????
=
5
2
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH???∴
????
????
=
????
????
=
????
????
=
4
3
，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，∵AB=AE，AG⊥BE，∴EG=BG=4m，∴GH=BG+BH=4m+3n，∴
4??+3??
4??
=
5
2
，∴n=2m，∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中，tan∠BEC=
????
????
=
3
14

/