2018_2019学年九年级数学下册第三章圆本章中考演练同步练习（含答案 新版）北师大版

圆
本章中考演练　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　
一、选择题
1．2018·聊城如图3－Y－1，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是(　　)
图3－Y－1
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
2．2018·枣庄如图3－Y－2，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　　)
　　　
图3－Y－2
A. B．2  C．2  D．8
3．2018·滨州已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC＝25°，则劣弧的长为(　　)
A. B. C. D.
4．2018·烟台如图3－Y－3，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数是(　　)
图3－Y－3
A．56° B．62° C．68° D．78°
5．2018·泸州在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为(　　)
A．3 B．2 C. D.
6．2018·重庆B卷如图3－Y－4，△ABC中，∠A＝30°，O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD.若BD平分∠ABC，AD＝2 ，则线段CD的长是(　　)
　　
图3－Y－4
A．2 B. C. D. 
二、填空题
7．2018·北京如图3－Y－5，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝________．
图3－Y－5
8．2018·孝感已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是________cm.
9．2018·陕西如图3－Y－6，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为________．
　　
图3－Y－6
10．2018·绍兴等腰三角形ABC中，顶角A的度数为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP＝BA，则∠PBC的度数为________．
11．2018·烟台如图3－Y－7，点O为正六边形ABCDEF的中心，M为AF的中点．以点O为圆心，OM长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，DE长为半径画弧得到扇形DEF.把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样的方法围成圆锥，其底面半径记为r2，则r1∶r2＝________．
图3－Y－7
三、解答题
12．2018·绥化如图3－Y－8，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于点E.
求证：(1)DE⊥AE；
(2)AE＋CE＝AB.
图3－Y－8
13．2018·温州如图3－Y－9，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，使点C的对应点E落在上．
(1)求证：AE＝AB；
(2)若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长．
图3－Y－9
14．2018·江西如图3－Y－10，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的廷长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.
(1)求证：AB为⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
图3－Y－10
15．2018·临沂如图3－Y－11，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若BD＝，BE＝1，求阴影部分的面积．
图3－Y－11
16．2018·荆门如图3－Y－12，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，与⊙O，AC分别交于点M，N，连接MB，BC.
(1)求证：AC平分∠DAE.
(2)若cosM＝，BE＝1，
①求⊙O的半径；
②求FN的长．
图3－Y－12

详解详析
1．[解析] D　∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°，∴∠O＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.
2．[解析] C　过点O作OE⊥CD于点E，连接OC.
∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，
∴OA＝OB＝OC＝4，∴OP＝2.
∵∠APC＝30°，∴OE＝OP＝1.
在Rt△OCE中，CE＝＝.
∵OE⊥CD，O是圆心，∴CD＝2CE＝2 .
3．[解析] C　因为∠ABC＝25°，故劣弧所对应的圆心角∠AOC＝50°，故劣弧的长为＝.
4．[解析] C　∵点I是△ABC的内心，∴AI，CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC＝90°＋∠B＝124°，∴∠B＝68°.∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE＝∠B＝68°.故选C.
5．[解析] D　由题可知，B(－2，0)，C(0，2 )，P为y＝x＋2 直线上一点，过P作圆O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO＝1，由勾股定理可得PA＝，要想使PA最小，则PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO＝，所以PA＝.
6．[解析] B　如图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC.
∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝2 ，tanA＝，
∴OD＝AD·tanA＝2 ×tan30°＝2 ×＝2，
∴AO＝2OD＝4，AB＝AO＋OB＝6.
∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠AOD＝30°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝90°＝∠ADO，∴OD∥BC，∴＝，即＝，∴CD＝.
7．[答案] 70°
[解析] ∵＝，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∠DBC＝∠DAC＝30°.
∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－50°－30°－30°＝70°.
故答案为70°.
8．[答案] 2或14
[解析] ①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC.
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD.
∵AB＝16 cm，CD＝12 cm，
∴AE＝8 cm，CF＝6 cm.
∵OA＝OC＝10 cm，∴OE＝6 cm，OF＝8 cm，
∴EF＝OF－OE＝2 cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB，延长EO交CD于点F，连接OC，OA.
同理可得OE＝6 cm，OF＝8 cm，
∴EF＝OF＋OE＝14 cm.
综上所述，AB与CD之间的距离为2 cm或14 cm.
故答案为2或14.
9．[答案] 72°
[解析] ∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°.
∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠ABE＝36°，
∴∠AFE＝∠ABE＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.
故答案为72°.
10．[答案] 30°或110°
[解析]
(1)如图①，BP＝BA＝AC，AP＝BC，
∴四边形APBC为平行四边形，
∴∠BAC＝∠ABP＝40°，∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠PBC＝∠ABP＋∠ABC＝70°＋40°＝110°；
(2)如图②，∵AP＝BC，BP＝AC，AB＝BA，
∴△BAP≌△ABC，∴∠PBA＝∠BAC＝40°，
∴∠PBC＝∠ABC－∠PBA＝70°－40°＝30°.
综上所述，∠PBC的度数为30°或110°.
11．[答案] ∶2
[解析] 连接OA，OF，由题意，∠MON＝∠DEF＝120°，△AOF为等边三角形．设AF＝2a＝DE，则AM＝MF＝a，∴OM＝a.
∵2πr1＝，2πr2＝，
∴r1∶r2＝∶2.
12．[解析] (1)首先连接OD，根据OA＝OD，AD平分∠BAC可得∠CAD＝∠ODA，进而得出AE∥OD，然后根据DE是⊙O的切线可得∠ODE＝90°，进而得出结论；
(2)过点D作DM⊥AB交于点M，连接CD，DB，根据AD平分∠BAC可得△DAE≌△DAM，进而得出AE＝AM，根据AD平分∠BAC可得CD＝BD，进而得出Rt△DEC≌Rt△DMB，则CE＝BM，即可得出结论．
解：证明：(1)连接OD，
∵OA＝OD，AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，∴AE∥OD.
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，∴DE⊥AE.
(2)过点D作DM⊥AB交于点M，连接CD，DB.
∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠MAD.
又∵DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE＝DM.
又∵∠AED＝∠AMD＝90°，
∴△DAE≌△DAM，∴AE＝AM.
∵∠EAD＝∠MAD，∴＝，∴CD＝BD.
又∵DE＝DM，∴Rt△DEC≌Rt△DMB，
∴CE＝BM，∴AE＋CE＝AM＋BM，
即AE＋CE＝AB.
13．解：(1)证明：由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，
∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC.
又∵∠ABD＝∠AED，
∴∠ABD＝∠ACD，∴AB＝AC，∴AE＝AB.
(2)如图，过点A作AH⊥BE于点H，
∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝1.
∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，
∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝，∴＝，
∴AC＝AB＝3.
∵∠BAC＝90°，∴BC＝3 .
14．解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵AD⊥BO于点D，
∴∠D＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.
∵∠AOD＝∠BAD，
∴∠ABD＝∠OAD.
又∵BC为⊙O的切线，
∴AC⊥BC，∴∠BOC＝∠D＝90°.
又∵∠BOC＝∠AOD，
∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.
又∵OC⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OC，即OE为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，
∴∠EOA＝∠ABC.
∵在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，BC＝6，
∴AC＝BC·tan∠ABC＝8，由勾股定理，得AB＝10.
易证△BOC≌△BOE，∴BE＝BC＝6，
∴AE＝4.
∵tan∠EOA＝tan∠ABC＝，∴＝，
∴OE＝3，∴OB＝＝3 .
∵∠OBC＝∠ABD，∠ACB＝∠D＝90°，
∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，∴AD＝2 .
15．解：(1)证明：过点O作OF⊥AC，垂足为F，连接OD，OA.
∵△ABC是等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴OA既是△ABC的高线，又是∠BAC的平分线．
∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB.
又∵OF⊥AC，∴OF＝OD，
即OF是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)设OD＝OE＝x，则OB＝x＋1，
在Rt△BOD中，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋()2，解得x＝1，即OD＝OF＝1.
∵tan∠BOD＝＝，∴∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝90°－∠BOD＝30°，
∴AD＝AF＝OD·tan∠AOD＝，
∴S阴影＝S四边形ADOF－S扇形DOF＝2×AD·OD－π×12＝－＝.
16．解：(1)证明：连接OC，如图，
∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.
又∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3.
∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAE.
(2)①∵DE⊥AD，OC⊥DE，∴OC∥AD，
∴∠COE＝∠FAB，
又∵∠FAB＝∠M，∴∠COE＝∠M.
设⊙O的半径为r，
在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，即＝，解得r＝4，即⊙O的半径为4.
②连接BF，如图，∵AB是直径，∠AFB＝90°.又∵DE⊥AD，∴BF∥DE.∴在Rt△AFB中，cos∠FAB＝，
∴AF＝8×＝.
在Rt△OCE中，OE＝5，OC＝4，∴CE＝3.
∵AB⊥FM，∴＝，∴∠5＝∠4.
∵BF∥DE，∴∠5＝∠E＝∠4.
又∵∠1＝∠2，
∴△AFN∽△AEC，∴＝，
即＝，∴FN＝.