23.1 锐角的三角函数课时作业（1）
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23.1 锐角的三角函数课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（ ）
A． sinα = B． cosα= C． tanα= D． tanα=2
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( )
A． ∠B＝60° B． a＝5 C． b＝5 D． tan B＝
4.如图，已知在中，，，，则的长是（ ）
A． 2 B． 8 C． 2 D． 4
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A． 2+ B． 2 C． 3+ D． 3
6.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． 1 C． D．
7.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
、填空题
8.在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，则________．
9.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=．则点B′点的坐标为____．
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为___.
11.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．
12.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝____．
13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
、解答题
14.在等腰直角三角形ABC中， ∠C=900， AC=10， D是AC上一点，若tan∠DBC=，求AD的长．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC=，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
16.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度结果保留整数
参考数据：，，
17.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
18.在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
19.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东方向，求出这段河的宽度结果精确到1米，参考数据：，，，
答案解析
、选择题
1.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为==3，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
2.【考点】锐角三角函数定义，坡度的定义
【分析】根据坡度的定义解答．
解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6． 故选C．
【点评】本题考查了坡度的定义
3.【考点】锐角三角函数定义
【分析】在Rt△ABC中，解直角三角形，先求∠B，再求a, tanB=.
解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，
所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°,
a=c=5,b=cosAc=5, tanB== .
所以，选项A,B,C正确，选项D错误.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：解直角三角形. 解题关键点：熟记直角三角形性质.
4.【考点】锐角三角函数定义
【分析】tanA＝＝，AC＝4，即可求出BC的长度，再运用勾股定理，求出AB的长度.
解：tanA＝＝，AC＝4，得出：BC＝2，运用AC2＋BC2＝AB2,可得AB＝2.
【点睛】本题主要考查勾股定理的概率和三角函数的概念.
5.【考点】锐角三角函数定义 ，含30度直角三角形
【分析】在直角三角形ABC中，根据AB=2AC求出∠ABC的度数，分别设出DC与AC，即可求出所求．
解：在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= .
故选：A.
【点睛】考查了解直角三角形，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6.【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，矩形的性质
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
、填空题
8.【考点】锐角三角函数定义
【分析】根据锐角三角函数的定义进行解答：tan∠B= .
解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a=，
∴tan∠B= ==.
故答案是：
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻变比斜边，正切为对边比邻边.
9.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由四边形OABC是矩形，边长OC为9，tan∠OB′C=，利用三角函数的知识即可求得OB′的长，继而求得答案．
解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C=，
∴=，即=，
解得，OB′=12，
则点B′点的坐标为（12，0），
故答案为：（12，0）．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切值等于对边比邻边是解答本题的关键.
10.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由，，利用互余关系证明，再求的正切值即可.
解： ，，
，，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
11.【考点】锐角三角函数定义，翻折变换
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得CE⊥BD．根据同角的余角相等可证∠BCE=∠ABD，在Rt△ABD中求出tan∠ABD即可解答．
解：如图，连接BD，交CE于点F．
根据题意得CE⊥BD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠ABD =90°，
∴∠BCE=∠ABD．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的翻折变换及解直角三角形的知识，证明∠BCE=∠ABD是解决本题的关键．
12.【考点】锐角三角函数定义，含30°角的直角三角形，勾股定理
【分析】此题可设AB=AC=2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．
解：由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CD=AC=x，
则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，
∴AD=x，
∴BD=AB-AD=2x-x=（2-）x，
∴tan15°==
故答案为：2-．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．
13.【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
、解答题
14.【考点】锐角三角函数定义
【分析】利用等腰直角三角形的性质得BC=AC=10，再在Rt△BCD中，利用正切的定义得到tan∠DBC=，则可计算出CD=2，然后计算AC-CD即可．
解：如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=10，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=，
∴CD=×10=2，
∴AD=AC-CD=10-2=8．
15.【考点】锐角三角函数定义
【分析】首先根据∠ACB=90°，tanB=求出AC,再利用勾股定理求出AB，CD⊥AB在Rt△BCD中，利用三角函数，代入相应数值即可求出．
解：∵ tanB=
设：，则，即
综上：，，
【点评】此题主要考查了解直角三角形
16.【考点】锐角三角函数定义
【分析】作交CB的延长线于D，设AD为x，用含x的式子表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
解：如图，作交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得，，，
在中，，
，即CD=x+100，
在中，，
，
，
解得，．
故热气球离地面的高度为233米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
17.【考点】锐角三角函数定义，矩形的判定与性质
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．
解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，
BD=30，BN：ND=1：，
∴BN=15，DN=，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=，
在RT△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
∴AC=AM+CM=．
【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念。
18.【考点】锐角三角函数定义，平行四边形的性质，矩形的判定
【分析】（1）由已知条件易得BE=DF且BE∥DF，从而可得四边BFDE是平行四边形，结合∠EDB=90°即可得到四边形BFDE是矩形；
（2）由已知易得AB=5，由AF平分∠DAB，DC∥AB可得∠DAF=∠BAF=∠DFA，由此可得DF=AD=5，结合BE=DF可得BE=5，由此可得AB=8，结合BF=DE=4即可求得tan∠BAF=.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）在Rt△BCF中，由勾股定理，得
AD =，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
∵AF平分∠DAB
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5,
∵四边形BFDE是矩形，
∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，
∴AB=AE+BE=8，
∴tan∠BAF=．
【点睛】（1）熟悉平行四边形的性质和矩形的判定方法是解答第1小题的关键；（2）能由AF平分∠DAB，DC∥AB得到∠DAF=∠BAF=∠DFA，进而推得DF=AD=5是解答第2小题的关键.
19.【考点】锐角三角函数定义
【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得．
解：如图，延长CA交BE于点D，
则，
由题意知，，，
设米，
则米，米，
在中，，
，
解得，
答：这段河的宽约为37米．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（ ）
A．3 B． C． D．
2.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i=1:6的斜坡铺设管道. 下列等式成立的是（ ）
A． sinα = B． cosα= C． tanα= D． tanα=2
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( )
A． ∠B＝60° B． a＝5 C． b＝5 D． tan B＝
4.如图，已知在中，，，，则的长是（ ）
A． 2 B． 8 C． 2 D． 4
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点B在CD上，且BD=BA=2AC，则tan∠DAC的值为（ ）
A． 2+ B． 2 C． 3+ D． 3
6.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B． 1 C． D．
7.如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）
A． B． C． D．
、填空题
8.在中，为直角，、、所对的边分别为、、，且，，则________．
9.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=．则点B′点的坐标为____．
10.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为___.
11.如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．
12.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°，根据图形计算tan15°＝____．
13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.
、解答题
14.在等腰直角三角形ABC中， ∠C=900， AC=10， D是AC上一点，若tan∠DBC=，求AD的长．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，tan∠ABC=，且BC=9cm，求AC，AB及CD的长.
16.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度结果保留整数
参考数据：，，
17.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
18.在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
19.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点A处，测得河的南岸边点B处在其南偏东方向，然后向北走20米到达点C处，测得点B在点C的南偏东方向，求出这段河的宽度结果精确到1米，参考数据：，，，
答案解析
、选择题
1.【考点】锐角三角函数的定义
【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴∠A的正切值为==3，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．
2.【考点】锐角三角函数定义，坡度的定义
【分析】根据坡度的定义解答．
解：根据坡度的定义可知tanα=BC：AC=1：6． 故选C．
【点评】本题考查了坡度的定义
3.【考点】锐角三角函数定义
【分析】在Rt△ABC中，解直角三角形，先求∠B，再求a, tanB=.
解：在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，
所以，∠B＝90°-∠A＝90°-30°=60°,
a=c=5,b=cosAc=5, tanB== .
所以，选项A,B,C正确，选项D错误.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：解直角三角形. 解题关键点：熟记直角三角形性质.
4.【考点】锐角三角函数定义
【分析】tanA＝＝，AC＝4，即可求出BC的长度，再运用勾股定理，求出AB的长度.
解：tanA＝＝，AC＝4，得出：BC＝2，运用AC2＋BC2＝AB2,可得AB＝2.
【点睛】本题主要考查勾股定理的概率和三角函数的概念.
5.【考点】锐角三角函数定义 ，含30度直角三角形
【分析】在直角三角形ABC中，根据AB=2AC求出∠ABC的度数，分别设出DC与AC，即可求出所求．
解：在Rt△ABC中，BA=2AC，
∴∠ABC=30°，∠BAC=60°，
∵设BD=BA=2x，
∴AC=x，BC= x，
∴DC=DB+BC=2x+ x，
则tan∠DAC= .
故选：A.
【点睛】考查了解直角三角形，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6.【考点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
解：连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
7.【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，矩形的性质
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
、填空题
8.【考点】锐角三角函数定义
【分析】根据锐角三角函数的定义进行解答：tan∠B= .
解：
∵在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=1，a=，
∴tan∠B= ==.
故答案是：
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻变比斜边，正切为对边比邻边.
9.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由四边形OABC是矩形，边长OC为9，tan∠OB′C=，利用三角函数的知识即可求得OB′的长，继而求得答案．
解：在Rt△OB′C中，tan∠OB′C=，
∴=，即=，
解得，OB′=12，
则点B′点的坐标为（12，0），
故答案为：（12，0）．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正切值等于对边比邻边是解答本题的关键.
10.【考点】锐角三角函数定义
【分析】由，，利用互余关系证明，再求的正切值即可.
解： ，，
，，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.
11.【考点】锐角三角函数定义，翻折变换
【分析】连接BD，根据折叠的性质可得CE⊥BD．根据同角的余角相等可证∠BCE=∠ABD，在Rt△ABD中求出tan∠ABD即可解答．
解：如图，连接BD，交CE于点F．
根据题意得CE⊥BD．
∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠ABD =90°，
∴∠BCE=∠ABD．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形的翻折变换及解直角三角形的知识，证明∠BCE=∠ABD是解决本题的关键．
12.【考点】锐角三角函数定义，含30°角的直角三角形，勾股定理
【分析】此题可设AB=AC=2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB-AD，从而求出tan15°．
解：由已知设AB=AC=2x，
∵∠A=30°，CD⊥AB，
∴CD=AC=x，
则AD2=AC2-CD2=（2x）2-x2=3x2，
∴AD=x，
∴BD=AB-AD=2x-x=（2-）x，
∴tan15°==
故答案为：2-．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．
13.【考点】锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质
【分析】首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
解：如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，
∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF==2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为：2
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
、解答题
14.【考点】锐角三角函数定义
【分析】利用等腰直角三角形的性质得BC=AC=10，再在Rt△BCD中，利用正切的定义得到tan∠DBC=，则可计算出CD=2，然后计算AC-CD即可．
解：如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AC=10，
在Rt△BCD中，∵tan∠DBC=，
∴CD=×10=2，
∴AD=AC-CD=10-2=8．
15.【考点】锐角三角函数定义
【分析】首先根据∠ACB=90°，tanB=求出AC,再利用勾股定理求出AB，CD⊥AB在Rt△BCD中，利用三角函数，代入相应数值即可求出．
解：∵ tanB=
设：，则，即
综上：，，
【点评】此题主要考查了解直角三角形
16.【考点】锐角三角函数定义
【分析】作交CB的延长线于D，设AD为x，用含x的式子表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
解：如图，作交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得，，，
在中，，
，即CD=x+100，
在中，，
，
，
解得，．
故热气球离地面的高度为233米.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
17.【考点】锐角三角函数定义，矩形的判定与性质
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题．
解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，
BD=30，BN：ND=1：，
∴BN=15，DN=，
∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM=BM=15，BM=CN=，
在RT△ABM中，tan∠ABM=，
∴AM=，
∴AC=AM+CM=．
【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念。
18.【考点】锐角三角函数定义，平行四边形的性质，矩形的判定
【分析】（1）由已知条件易得BE=DF且BE∥DF，从而可得四边BFDE是平行四边形，结合∠EDB=90°即可得到四边形BFDE是矩形；
（2）由已知易得AB=5，由AF平分∠DAB，DC∥AB可得∠DAF=∠BAF=∠DFA，由此可得DF=AD=5，结合BE=DF可得BE=5，由此可得AB=8，结合BF=DE=4即可求得tan∠BAF=.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）在Rt△BCF中，由勾股定理，得
AD =，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
∵AF平分∠DAB
∴∠DAF=∠FAB，
∴∠DAF=∠DFA，
∴DF=AD=5,
∵四边形BFDE是矩形，
∴BE=DF=5，BF=DE=4，∠ABF=90°，
∴AB=AE+BE=8，
∴tan∠BAF=．
【点睛】（1）熟悉平行四边形的性质和矩形的判定方法是解答第1小题的关键；（2）能由AF平分∠DAB，DC∥AB得到∠DAF=∠BAF=∠DFA，进而推得DF=AD=5是解答第2小题的关键.
19.【考点】锐角三角函数定义
【分析】延长CA交BE于点D，得，设，得米，米，根据列方程求出x的值即可得．
解：如图，延长CA交BE于点D，
则，
由题意知，，，
设米，
则米，米，
在中，，
，
解得，
答：这段河的宽约为37米．