课时作业(十九)
[第三章 1 圆]
一、选择题
1．下列条件中，能确定圆的是( )
A．以已知点O为圆心
B．以点O为圆心，2 cm长为半径
C．以1 cm长为半径
D．经过已知点A，且半径为2 cm
2．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧；(2)半径相等的圆是等圆；(3)等弧能够重合；(4)半径是圆中最长的弦．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图K－19－1
3．如图K－19－1，在⊙O中，弦的条数是( )
A．2
B．3
C．4
D．以上均不正确
4．已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O外一点，则OP的长可能是( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
5．在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径为( )
A．4 B．8
C．24 D．16
6．⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O 的位置关系是( )
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．点P在⊙O上或⊙O外
二、填空题
7．圆O的半径为3 cm，则圆O中最长的弦的长度为________．
8．如图K－19－2，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是________．
图K－19－2
9．如图K－19－3，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，HN＝c，则a，b，c三者间的大小关系为__________．
图K－19－3
10．在数轴上，点A表示的实数为3，点B表示的实数为a，⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，则a的取值范围是________.
11．⊙O1与⊙O2的半径分别是r1，r2，且r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根，若⊙O1与⊙O2是等圆，则a2019的值为________．
12．如图K－19－4，在数轴上，半径为1的⊙O从原点O开始以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，在原点右侧距原点7个单位长度处有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过________秒后，点P在⊙O上．
图K－19－4
三、解答题
13．如图K－19－5，一片草地上有两点A，B，AB＝6 m，在点A处拴了一头牛，拴牛的绳子长5 m，在点B处拴了一只羊，拴羊的绳子长3 m，请画出牛和羊都可以吃到草的区域.
图K－19－5
14.如图K－19－6所示，BD，CE都是△ABC的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
图K－19－6
15．如图K－19－7，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：∠A＝∠B.
图K－19－7
16．如图K－19－8，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm.
(1)以点B为圆心，BC长为半径画⊙B，点A，C及AB的中点E与⊙B有怎样的位置关系？
(2)以点A为圆心，R为半径画⊙A，若B，C，E三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，则⊙A的半径R应满足什么条件呢？
图K－19－8
17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，P为CD的中点，点C，P，D与⊙O有怎样的位置关系？
18．距工厂大门正北方向200米处的柱子上拴着一只大狼狗，狼狗的活动范围是以10米长为半径的圆的内部(包括边界)，一个小偷从大门向正北方向走了182米，发现前面有狗，就沿北偏西30°的方向跑去，想避开狼狗过去偷东西，小偷能避开狼狗吗？
探究题如图K－19－9，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC.将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合．
(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；
(2)当AB＝4时，求此梯形的面积．
图K－19－9
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] B (1)长度相等的弧是等弧，错误；(2)半径相等的圆是等圆，正确；(3)等弧能够重合，正确；(4)半径是圆中最长的弦，错误．故选B.
3．[解析] C 在⊙O中，弦有AB，DB，CB，CD，共4条．故选C.
4．[解析] D ∵P是⊙O外一点，∴OP>5 cm，∴OP的长可能是6 cm.
5．[解析] B 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠A＝∠AOC＝45°，
∴OC＝AC.
∵OC＝4，∴AC＝4，∴OA＝4 ，
∴⊙O的直径为8 .故选B.
6．[解析] A 在平面直角坐标系中，OP2＝16＋4＝20，r2＝25，因为20<25，故点P在⊙O内．
7．[答案] 6 cm
8．[答案] 28°
[解析] 由AB＝OC，得AB＝OB，所以∠A＝∠AOB.由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO.由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A＋∠AOB＝2∠A，所以∠BEO＝∠EBO＝2∠A.由∠EOD是△AOE的外角，得∠A＋∠AEO＝∠EOD，即∠A＋2∠A＝84°，所以∠A＝28°.故答案为28°.
9．[答案] a＝b＝c
[解析] 连接OM，OD，OA.
∵点A，D，M在半圆O上，
∴OM＝OD＝OA.
∵四边形ABOC，DEOF，HMNO均为矩形，
∴OM＝HN，OD＝EF，OA＝BC，
∴BC＝EF＝HN，即a＝b＝c.
10．[答案] 1＜a＜5
[解析] ∵⊙A的半径为2，若点B在⊙A内，
则AB＜2.
∵点A表示的实数为3，∴1＜a＜5.
11．[答案] 1
[解析] ∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴r1＝r2.∵r1和r2是方程x2－ax＋＝0的两个根，∴r1·r2＝，r1＋r2＝a，∴r1＝r2＝，a＝1，∴a2019＝12019＝1.
12．[答案] 2或
[解析] 设x秒后点P在圆O上．∵圆O从原点O开始以每秒1个单位长度的速度向右运动，同时，在原点右侧距原点7个单位长度处有一点P以每秒2个单位长度的速度向左运动，∴当第一次点P在圆O上时，(2＋1)x＝7－1，解得x＝2；当第二次点P在圆O上时，(2＋1)x＝7＋1，解得x＝.故答案为2或.
13．解：分别以点A，B为圆心，5 m，3 m长为半径作圆，两圆的公共部分即为所求，如图中的阴影部分(含边界)．
14．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形，
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF，
∴B，C，D，E四点在以点F为圆心，BC长为半径的圆上．
15．证明：∵OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，∴OD＝OC.
又∵∠O＝∠O，
∴△AOD≌△BOC，∴∠A＝∠B.
16．解：(1)∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2＋BC2，
∴AB＝5 cm.
∵⊙B的半径BC＝3 cm，∴AB＞BC，
∴点A在⊙B外．
∵BC为⊙B的半径，∴点C在⊙B上．
∵AB＝5 cm，E是AB的中点，
∴BE＝AB＝ cm＜3 cm，∴点E在⊙B内．
(2) cm＜R＜5 cm.
17．[解析] 先求出点C，P，D与圆心O的距离，再与半径OA(或OC)相比较．
解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，
∴AC＝＝6 cm，
∴OC＝AC＝×6＝3(cm)．
连接OP.∵P为CD的中点，OA＝OC，
∴OP是△ACD的中位线，
∴OP＝AD＝AB＝2.5 cm.
∵⊙O的半径r＝OC＝3 cm，
∴点C在⊙O上，点P在⊙O内．
连接OD.∵D为AB的中点，
∴OD＝BC＝×8＝4(cm)>3 cm，
∴点D在⊙O外．
18．解：如图，设柱子的位置为点O，小偷在A处拐弯，沿AC方向跑，则OA＝200－182＝18(米)，过点O作OC⊥AC，垂足为C.
在Rt△AOC中，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝9米<10米，
∴点C在⊙O内，即小偷的行走路线在狼狗的活动范围内，∴小偷不能避开狼狗．
[素养提升]
[解析] (1)只要说明MC＝MA＝MB即可．
(2)根据梯形面积公式可求．
解：(1)点C在以AB为直径的圆上．
理由：连接MD.
∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC.
又∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.
又∵AD＝MA，∴CD＝MA，
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴MC＝AD.同理MD＝BC.
∵AD＝BC，
∴MC＝MD＝BC＝AD＝MA＝MB，
∴点C在以AB为直径的圆上．
(2)由(1)得△AMD是等边三角形，过点D作DE⊥AB于点E，则AE＝1，
由勾股定理，得DE＝＝，
∴梯形ABCD的面积＝×(2＋4)×＝3 .
课时作业(二十)
[第三章 2 圆的对称性]
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．相等的圆心角所对的弦也相等
D．相等的弦所对的圆心角也相等
2．如图K－20－1，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠COD的度数为( )
图K－20－1
A．20° B．40°
C．50° D．60°
3．在⊙O中，已知＝5，那么下列结论正确的是( )
A．AB＞5CD B．AB＝5CD
C．AB＜5CD D．以上均不正确
4．把一张圆形纸片按图K－20－2所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是( )
图K－20－2
A．120° B．135° C．150° D．165°
5．如图K－20－3所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上的四点，OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④＝.其中正确的有()
图K－20－3
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
6．如图K－20－4所示，在⊙O中，若＝，则AB＝______，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE______OF.
图K－20－4
7．如图K－20－5，在⊙O中，AB∥CD，所对的圆心角的度数为45°，则∠COD的度数为________．
图K－20－5
8．如图K－20－6，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
图K－20－6
9．如图K－20－7，AD是⊙O的直径，且AD＝6，点B，C在⊙O上，＝，∠AOB＝120°，E是线段CD的中点，则OE＝________.
图K－20－7
10．如图K－20－8，AB是⊙O的直径，AB＝10，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，若P是直径AB上的一动点，则PD＋PC的最小值为________．
图K－20－8
三、解答题
11．2017·海淀区期中如图K－20－9，在⊙O中，＝，求证：∠B＝∠C.
图K－20－9
12．如图K－20－10所示，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB的长为半径作圆，与AD，BC分别交于点E，F，延长BA交⊙A于点G.
求证：＝.
图K－20－10
13．如图K－20－11，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
图K－20－11
14．如图K－20－12，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．
(1)连接AB，AD，AF，求证：AB＋AF＝AD；
(2)若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB，PD，PF，写出这三条线段之间的数量关系(不必说明理由)．
图K－20－12
15．如图K－20－13，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，且＝，∠CAE＝∠CAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E.
(1)试说明：DE＝BF；
(2)若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．
图K－20－13
开放型问题如图K－20－14，⊙O上有A，B，C，D，E五点，且已知AB＝BC＝CD＝DE，AB∥DE.
(1)求∠BAE，∠DEA的度数；
(2)连接CO并延长交AE于点G，交于点H，写出三条与直径CH有关的正确结论(不必证明)．
图K－20－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B “在同圆或等圆中”是弧、弦、圆心角的关系定理成立的前提条件，不可忽视．以上选项中只有“等弧”满足该条件，所以B正确．
2．[解析] B ∵＝，∴＝，∴∠AOB＝∠COD.∵∠AOB＝40°，∴∠COD＝40°.故选B.
3．[解析] C ∵＝5，∴将弧AB等分成5份，将每一个分点依次设为E，F，M，N，连接AE，EF，FM，MN，NB.∵5CD＝AE＋EF＋FM＋MN＋NB＞AB，∴AB＜5CD，故选C.
4．[解析] C 如图所示，连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°.故选C.
5．[解析] B ①③④正确．
6．[答案] CD COD ＝
7．[答案] 90°
8．[答案] π
[解析] AB＝4 cm，CO⊥AB于点O，则OA＝2 cm.根据圆的旋转不变性，把最小的圆逆时针旋转90°，把中间圆旋转180°，则阴影部分就合成了扇形OAC，即圆面积的，∴阴影部分的面积为×π×()2＝π(cm2)．
9．[答案]
[解析] ∵＝，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠AOB＝120°，∴∠DOC＝60°.又∵OD＝OC，E为DC的中点，∴∠COE＝∠DOC＝30°，OE⊥DC.在Rt△OEC中，cos30°＝.∵OC＝AD＝×6＝3，∴OE＝ .
10．[答案] 10
[解析] 作点C关于AB的对称点C′，连接OC，OD，OC′，BC′.∵BC＝CD＝DA，∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°.∵点C与点C′关于AB对称，∴BC′＝BC，∴∠BOC′＝60°，∴D，O，C′在同一条直线上，∴DC′＝AB＝10，即PD＋PC的最小值为10.
11．证明：∵在⊙O中，＝，
∴∠AOB＝∠COD.
又∵OA＝OB，OC＝OD，
∴在△AOB中，∠B＝90°－∠AOB，在△COD中，∠C＝90°－∠COD，∴∠B＝∠C.
12．证明：连接AF.∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF，
∴∠GAE＝∠EAF，∴＝.
13．[解析] (1)由等弧所对的圆心角相等推知∠1＝∠COD＝60°；然后根据圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径知OA＝OC，从而证得△AOC是等边三角形；
(2)通过证明同位角∠1＝∠B，推知OC∥BD.
解：(1)△AOC是等边三角形．
理由：如图，∵＝，
∴∠1＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．
(2)证明：由(1)得∠1＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝60°.
又∵OB＝OD，∴∠B＝60°.
∴∠1＝∠B，∴OC∥BD.
14．解：(1)证明：连接OB，OF.
∵点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，
∴AD是⊙O的直径，
且∠AOB＝∠AOF＝60°.
又∵OA＝OB，OA＝OF，
∴△AOB，△AOF是等边三角形，
∴AB＝AF＝OA＝OD，∴AB＋AF＝AD.
(2)当点P在上时，PB＋PF＝PD；
当点P在上时，PB＋PD＝PF；
当点P在上时，PD＋PF＝PB.
15．解：(1)∵＝，∴CB＝CD.
又∵∠CAE＝∠CAB，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CE＝CF，
∴Rt△CED≌Rt△CFB，∴DE＝BF.
(2)连接OD，OC.∵∠DAB＝60°，OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝OD＝3，∠ADO＝∠AOD＝60°.
∵＝，
∴∠COD＝∠COB＝60°.
又∵OD＝OC，∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OD＝3，∠ODC＝60°，∴∠CDE＝60°.
在Rt△CDE中，sin60°＝，∴CE＝，
∴S△ACD＝AD·CE＝×3×＝.
[素养提升]
解：(1)连接BE，AD，∵AB＝BC＝CD＝DE，
∴＝＝＝，
∴＝，∴BE＝AD.
又∵AB＝DE，AE是公共边，
∴△ABE≌△EDA，∴∠BAE＝∠DEA.
又∵AB∥DE，
∴∠BAE＋∠DEA＝180°，
∴∠BAE＝∠DEA＝90°.
(2)答案不唯一，如：①CH平分∠BCD；②CH∥BA；③CH⊥AE.
课时作业(二十一)
[第三章 *3 垂径定理]
一、选择题
1．如图K－21－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定成立的是( )
图K－21－1
A．CM＝DM B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
2．如图K－21－2，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为E，若OE＝3，则AB的长是( )
图K－21－2
A．4 B．6 C．8 D．10
3．绍兴是著名的桥乡，如图K－21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为()
图K－21－3
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．2018·临安区如图K－21－4，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA长为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为( )
图K－21－4
A．6 B．6 C．3 D．3
5．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()
图K－21－5
A. B. C. D．2π
6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )
图K－21－6
A. B. C. D.
7．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为()
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
二、填空题
8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm，最短的弦长为8 cm，那么OM的长为________．
9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为________．
图K－21－7
10.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．
图K－21－8
11．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.
图K－21－9
12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
图K－21－10
三、解答题
13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5 ，求弦CD的长及圆O的半径.
图K－21－11
14．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.
求证：(1)∠OBA＝∠OCD；
(2)AB＝CD.
图K－21－12
15．一个半圆形桥洞截面如图K－21－13所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝16 m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
图K－21－13
探索存在题如图K－21－14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图K－21－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] C 连接OA，如图．
∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，
∴AE＝＝＝4，
∴AB＝2AE＝8.故选C.
3．[解析] D 连接OA，∵桥拱半径OC为5 m，∴OA＝5 m．∵CD＝8 m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝＝4 m，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．
4．[解析] A 设OA与BC相交于点D，连接AB，OB.∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA垂直平分BC，∴OD＝AD＝3，
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD＝＝3 ，∴BC＝6 .故选A.
5．[答案] A
6．[解析] C ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
过点C作CM⊥AB，交AB于点M，
则M为AD的中点．
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝.
在Rt△ACM中，根据勾股定理，得AC2＝AM2＋CM2，即9＝AM2＋()2，
解得AM＝，∴AD＝2AM＝.故选C.
7．[解析] C 连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，∴OM＝＝3 cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝＝＝4 (cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝3 cm，∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝＝＝2 (cm)．综上所述，AC的长为4 cm或2 cm.故选C.
8．[答案] 3 cm
[解析] 由题意作图，如图所示，AB为过点M最长的弦，CD为过点M最短的弦，连接OD，
则OM＝＝＝3(cm)．
9．[答案] (3，2)
[解析] 过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP.
∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝3.
在Rt△OPD中，∵OP＝，OD＝3，∴PD＝＝＝2，∴P(3，2)．
10．[答案] 6
[解析] 由AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M，N分别为AB，AC的中点，∴BC＝2MN＝6.
11．[答案] 2
[解析] 过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.
∵OD⊥AB，∴AD＝BD.由折叠的性质可知OD＝OA＝1，在Rt△OAD中，AD＝＝＝，∴AB＝2AD＝2 .故答案为2 .
12．[答案] 25
[解析] 如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为R cm.由题意得OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20 cm.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.故答案为25.
13．解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°.
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
∴OM＝OE＝2，EM＝OE·cos30°＝4×＝2 .
∵DE＝5 ，
∴DM＝DE－EM＝3 .
∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM＝6 .
∵在Rt△DOM中，OM＝2，DM＝3 ，
∴OD＝＝＝.
故弦CD的长为6 ，⊙O的半径为.
14．证明：(1)过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.
∵PO平分∠EPF，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM＝ON.
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
OM＝ON，OB＝OC，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，
∴∠OBA＝∠OCD.
(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC，∴BM＝CN.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB＝CD.
15．[解析] (1)由OE⊥CD，根据垂径定理求出DE，解Rt△DOE可求半径OD；
(2)在Rt△DOE中，由勾股定理求出OE，再用OE除以水面下降的速度，即可求出时间．
解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝16 m，
∴ED＝CD＝8 m.
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝10 m.
(2)在Rt△DOE中，OE＝＝＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时0.5 m的速度下降，经过12小时才能将水排干．
[素养提升]
[解析] (1)根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长；(2)连接AB，如图，利用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝AB，即DE的长度保持不变．
解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝×6＝3.
在Rt△ODB中，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4.
(2)存在，DE的长度保持不变．
连接AB，如图，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5 .
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE是△CBA的中位线，
∴DE＝AB＝.
课时作业(二十二)
[第三章 4 第1课时 圆周角定理]
一、选择题
1．如图K－22－1，A，B，C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°，则∠A的度数是()
图K－22－1
A．40° B．50° C．80° D．100°
2．如图K－22－2，AB是⊙O的直径，若∠BOC＝80°，则∠BCA等于( )
图K－22－2
A．100° B．105° C．90° D．40°
3．如图K－22－3，A，B，C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OA交圆O于点F，则∠CBF等于( )
图K－22－3
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
4．2017·贵港如图K－22－4，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是弧AC的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC＝40°，则∠AMB的度数不可能是( )
图K－22－4
A．45° B．60° C．75° D．85°
5．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为( )
A．90° B．145°
C．270° D．90°或270°
图K－22－5
6．如图K－22－5，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( )
A．25° B．50°
C．60° D．30°
图K－22－6
7．2018·菏泽如图K－22－6，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )
A．64° B．58°
C．32° D．26°
8．A，B，C三点在⊙O上，OD⊥BC于点D，∠BOD＝40°，则∠BAC等于( )
A．20° B．40°或140°
C．40° D．20°或160°
9．如图K－22－7，MN是半径为2的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )
图K－22－7
A．4 B．2 C．2 D．4
二、填空题
10．如图K－22－8，将三角尺中60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝________°.
图K－22－8
11．如图K－22－9，在边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________．
图K－22－9
12．如图K－22－10所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为________．
图K－22－10
三、解答题
13．如图K－22－11，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
图K－22－11
14．如图K－22－12，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点， 且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD.
图K－22－12
15．2017·武汉期末如图K－22－13，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°.
(1)若点C在优弧BCD上，求∠ACD的度数；
(2)若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的度数．
图K－22－13
16．如图K－22－14，A，B，C，D是⊙O上的四点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝2，ED＝4，求AB的长．
图K－22－14
探究题如图K－22－15，已知BC是⊙O的一条弦，A是⊙O的优弧BAC上的一个动点(点A与点B，C不重合)，∠BAC的平分线AP交⊙O于点P，∠ABC的平分线BE交AP于点E，连接BP.
(1)求证：P为的中点；
(2)PE的长度是否会随点A的运动而变化？请说明理由．
图K－22－15
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[答案] C
3．[解析] B ∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA＝BC，OA∥BC.
又∵OA＝OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°.
∵OF⊥OA，
∴OF⊥BC，∴∠BOF＝∠COF＝30°，
∴∠CBF＝∠COF＝15°.故选B.
4．[解析] D 连接OA，OB，∵B是弧AC的中点，
∴∠AOB＝2∠BDC＝80°.
又∵M是OD上一点，
∴40°＝∠BDC≤∠AMB≤∠AOB＝80°.
则不符合条件的只有85°.故选D.
5．[解析] D 如图，连接OA，OB.∵在⊙O中，AB＝，OA＝OB＝1，
∴AB2＝OA2＋OB2，
∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90°，
即长度等于的弦所对的弧长有两段：一段所对圆心角为90°，另一段所对圆心角为270°，∴长度等于的弦所对的弧的度数为90°或270°.故选D.
6．[答案] A
7．[解析] D 如图，设OC交AB于点E.
由OC⊥AB，得
＝，∠OEB＝90°，
∴∠3＝2∠1＝64°，
在Rt△OBE中．
∵∠OEB＝90°，
∴∠B＝90°－∠3＝90°－64°＝26°.故选D.
8．[解析] B 连接OB，OC.
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠BOC＝2∠BOD＝80°，
∴劣弧BC的度数为80°.
当点A在优弧BC上时，∠BAC＝40°；
当点A在劣弧BC上时，∠BAC＝140°.
9．[解析] C 作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P就是所求作的点．此时PA＋PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∵∠AMN＝30°，
∴∠AON＝60°，∴的度数是60°，则的度数是30°，根据垂径定理得的度数是30°，则∠AOC＝90°.又OA＝OC＝2，∴AC＝2 .故选C.
10．[答案] 30
11．[答案]
[解析] ∵∠AED与∠ABC都是所对的圆周角，∴∠AED＝∠ABC.在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝1，根据勾股定理，得BC＝，
∴cos∠AED＝cos∠ABC＝＝.
12．[答案] 50°
[解析] 连接OC，由题意得∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝2(∠CDA＋∠BAC)＝80°.∵OA＝OB(都是半径)，∴∠ABO＝∠OAB＝(180°－∠AOB)＝50°.
13．证明：∵AB＝BC，∴＝.
∵∠ADB是所对的圆周角，∠BDC是所对的圆周角，
∴∠ADB＝∠BDC，即DB平分∠ADC.
14．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC，∠BAC＝∠APC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
(2)如图，连接OB，则OB＝8.
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，∴∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于点D，∴OD＝OB＝4.
15．解：(1)∵AO⊥BD，∴＝，
∴∠AOB＝2∠ACD.
∵∠AOB＝80°，∴∠ACD＝40°.
(2)如图，①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；
②当点C2在上时，
∵∠AC2D＋∠ACD＝180°，
∴∠AC2D＝140°.
综上所述，∠ACD的度数为40°或140°.
16．解：∵在⊙O中，AB＝AC，
∴＝，∴∠ABC＝∠D.
又∵∠BAE＝∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，∴＝，
即AB2＝AE·AD＝2×(2＋4)＝12，
∴AB＝2 (负值已舍去)．
[素养提升]
解：(1)证明：∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
∴＝，即P为的中点．
(2)PE的长度不会随点A的运动而变化．
理由：∵∠BAP＝∠CAP，∠CAP＝∠CBP，
∴∠BAP＝∠CBP.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＋∠BAE＝∠CBE＋∠CBP，
即∠BEP＝∠EBP，∴PE＝PB.
∵P为的中点，即PB为定长，
∴PE的长度为定值，即PE的长度不会随点A的运动而变化．
课时作业(二十三)
[第三章 4 第2课时 圆周角定理的推论]
一、选择题
1．如图K－23－1所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD＝50°，则∠DAB的度数是( )
图K－23－1
A．30° B．40°
C．50° D．60°
2.2017·广东如图K－23－2，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的度数为( )
图K－23－2
A．130° B．100° C．65° D．50°
3．下列命题中，正确的有( )
①90°的圆周角所对的弦是直径；
②若圆周角相等，则它们所对的弧也相等；
③同圆中，相等的圆周角所对的弦也相等．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．如图K－23－3，?ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是( )
图K－23－3
A．44° B．54°
C．72° D．53°
5．如图K－23－4，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则cos∠OBD＝( )
图K－23－4
A. B. C. D.
6．2018·咸宁如图K－23－5，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为( )
图K－23－5
A．6 B．8 C．5 D．5
二、填空题
7．2017·南浔区期末如图K－23－6，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F，若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是________．
图K－23－6
8．如图K－23－7，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD交BE于点M，若BE＝8且MD＝2，则直径AB为________．
图K－23－7
9．如图K－23－8，⊙O的半径为1，等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上，点D，E也在⊙O上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是________．
图K－23－8
三、解答题
10．如图K－23－9，已知在半圆AOB中，AD＝DC，∠CAB＝30°，AC＝2 ，求AD的长．
图K－23－9
11．已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.
12．如图K－23－10，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝66°.
(1)求∠B的度数；
(2)已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．
图K－23－10
13．已知：如图K－23－11所示，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.
(1)求∠EBC的度数；
(2)求证：BD＝CD.
图K－23－11
14．如图K－23－12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，DB＝DC，延长BA，CD相交于点E.
(1)求证：∠EAD＝∠CAD；
(2)若AC＝10，sin∠BAC＝，求AD的长．
图K－23－12
图形变换题已知：如图K－23－13，AB是⊙O的一条弦，C为的中点，CD是⊙O的直径，过点C的直线l交AB所在直线于点E，交⊙O于点F.
(1)猜想图①中∠CEB与∠FDC的数量关系，并证明你的结论；
(2)将直线l绕点C旋转(与CD不重合)，在旋转过程中，点E，F的位置也随之变化，请在下面的两个备用图中分别画出直线l在不同位置时，使(1)中的结论仍然成立的图形，标上相应字母，并选其中一个图形给予证明．
图K－23－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠B＝∠C＝50°，
∴∠DAB＝180°－∠ADB－∠B＝40°.故选B.
2．[解析] C ∵∠CBE＝50°，
∴∠ABC＝180°－∠CBE＝180°－50°＝130°.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－130°＝50°.
又∵DA＝DC，
∴∠DAC＝＝65°.故选C.
3．[答案] C
4．[解析] B ∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°.又∵∠E＝36°，∴∠B＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B＝54°.
5．[解析] C 连接CD，如图所示，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4.
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝5.
∵∠OBD＝∠OCD，
∴cos∠OBD＝cos∠OCD＝＝.故选C.
6．[解析] B 如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，
则∠AOB＋∠BOE＝180°.
又∵∠AOB＋∠COD＝180°，
∴∠BOE＝∠COD，
∴BE＝CD＝6.
∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，
∴AB＝＝＝8.故选B.
7．[答案] 55°
[解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝∠BCF＋∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠BCF.
∵∠EBF＝∠A＋∠E，而∠EBF＝180°－∠BCF－∠F，
∴∠A＋∠E＝180°－∠BCF－∠F，
∴∠A＋∠E＝180－∠A－∠F，
即2∠A＝180°－(∠E＋∠F)＝110°，
∴∠A＝55°.
8．[答案] 10
[解析] 连接AD，设AB＝x.∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AE⊥BE，AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵OA＝OB，∴OD∥AC，∴OD⊥BE，∴BM＝EM，∴CE＝2MD＝4，∴AE＝AC－CE＝x－4.∵在Rt△ABE中，BE＝8，∠AEB＝90°，∴x2＝(x－4)2＋82，解得x＝10，即直径AB为10.故答案为10.
9．[答案]
[解析] 连接BD，OC，如图．
∵四边形BCDE为矩形，∴∠BCD＝90°，∴BD为⊙O的直径，∴BD＝2.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°.
又OB＝OC，∴∠CBD＝30°.
在Rt△BCD中，CD＝BD＝1，BC＝CD＝，
∴矩形BCDE的面积＝BC·CD＝.
10．解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°.
∵AD＝DC，且所对的圆心角为30°×2＝60°，∴，，所对的圆心角均为60°，
∴BC＝AD.
在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，AC＝2 ，
∴BC＝2 ×tan30°＝2，∴AD＝2.
11．[解析] 因为AD＝BC，AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形．再根据圆内接四边形的性质可得出∠B＝∠D＝90°，因此，四边形ABCD是矩形．
解：四边形ABCD为矩形．
证明：如图，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D.
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
12．解：(1)∵∠CAB＝∠CDB(同弧所对的圆周角相等)，∠CAB＝40°，∴∠CDB＝40°.
又∵∠APD＝66°，
∴∠B＝∠APD－∠CDB＝26°.
(2)过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝4，BE＝DE.
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD＝2OE＝8.
13．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.
又∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°.
∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67.5°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝22.5°.
(2)证明：如图所示，连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BD＝CD.
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠BCD.
∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠BCD，
∴∠EAD＝∠DBC.
又∵∠DBC＝∠CAD，∴∠EAD＝∠CAD.
(2)∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∵AC＝10，sin∠BAC＝，∴＝，
∴BC＝6，∴AB＝8.
∵∠EAD＝∠CAD，∠ADC＝∠ADE＝90°，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC＝10，ED＝CD.
∵∠ADE＝∠EBC，∠E＝∠E，
∴△EAD∽△ECB，
∴＝＝，即＝＝，
得ED＝3 ，∴AD＝.
[素养提升]
[解析] (1)根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，根据圆周角定理的推论得到∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC；(2)根据垂径定理得到CD⊥AB，∠CFD＝90°，然后通过等量代换求证出∠CEB＝∠FDC.
解：(1)∠CEB＝∠FDC.
证明：∵CD是⊙O的直径，C为的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.
∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，
∴∠FDC＋∠ECD＝90°，
∴∠CEB＝∠FDC.
(2)所画图形不唯一，如图①②.选图②进行证明：如图②，∵CD是⊙O的直径，C为的中点，
∴CD⊥AB，∴∠CEB＋∠ECD＝90°.
∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，
∴∠FDC＋∠ECD＝90°，∴∠CEB＝∠FDC.
课时作业(二十四)
[第三章 5 确定圆的条件]
一、选择题
1．下列四个命题中正确的有( )
①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．三角形的外心具有的性质是( )
A．到三个顶点的距离相等
B．到三条边的距离相等
C．是三角形三条角平分线的交点
D．是三角形三条中线的交点
图K－24－1
3．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )
A．(0，0) B．(1，0)
C．(－2，－1) D．(2，0)
4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )
图K－24－2
A．△ABE B．△ACF
C．△ABD D．△ADE
5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为( )
图K－24－3
A．4 B．3 C．4 D.
6．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为( )
A．35° B．110°
C．35°或145° D．35°或140°
二、填空题
7．已知△ABC的三条边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，则这个三角形的外接圆的面积为________cm2.(结果用含π的代数式表示)
8．2017·十堰模拟如图K－24－4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC＋∠BOC＝180°，BC＝2 cm，则⊙O的半径为________cm.
图K－24－4
9．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.
10．2018·内江已知△ABC的三边长a，b，c满足a＋b2＋|c－6|＋28＝4 ＋10b，则△ABC的外接圆半径为________．
三、解答题
11．如图K－24－5，已知弧上三点A，B，C.
(1)用尺规作图法，找出所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求圆片的半径R.
图K－24－5
12.2017·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.
(1)求证：四边形AECD为平行四边形；
(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.
图K－24－6
13．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．
(1)求证：AO＝AB；
(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；
(3)求点P的坐标．
图K－24－7
14．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；
(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．
图K－24－8
探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．
(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？
图K－24－9
(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；
(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] A
3．[解析] C ∵△ABC的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图，
∴EF与MN的交点O′就是所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是(－2，－1)．故选C.
4．[解析] B 只有△ACF的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O的是△ACF.
5．[解析] C ∵OD⊥AC，∴AE＝CE＝6.∵AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝13.∵OA＝OB，AE＝CE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝BC＝2.5，∴DE＝OD－OE＝×13－2.5＝4.故选C.
6．[解析] C ①当点O在三角形的内部时，
如图①所示，则∠BAC＝∠BOC＝35°；
②当点O在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC＝(360°－70°)＝145°.故选C.
7．[答案] 25π
[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC为直角三角形，且斜边长为10 cm，则其外接圆的半径为5 cm，所以外接圆的面积为25π cm2.
8．[答案] 2
[解析] 如图，过点O作OE⊥BC于点E.
∵∠BAC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOC＝120°，∠BAC＝60°.
∵OE⊥BC，
∴BE＝EC＝，∠BOE＝∠COE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE.
设OE＝x cm，则OB＝2x cm，∴4x2＝x2＋()2，∴x＝1(负值已舍去)，∴OB＝2 cm.
9．[答案] 10或8
[解析] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.
10．[答案]
[解析] 原式整理，得b2－10b＋25＋a－1－4 ＋4＋|c－6|＝0，即(b－5)2＋()2－4 ＋4＋|c－6|＝0，(b－5)2＋(－2)2＋|c－6|＝0.∵(b－5)2≥0，(－2)2≥0，|c－6|≥0，∴b＝5，a＝5，c＝6，∴△ABC为等腰三角形．如图所示，过点C作CD⊥AB，设O为外接圆的圆心，则OA＝OC＝R，∵AC＝BC＝5，AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴CD＝＝4，∴OD＝CD－OC＝4－R.在Rt△AOD中，R2＝32＋(4－R)2，解得R＝.
11．[解析] (1)作AB，AC的中垂线即得圆心O；(2)已知BC和AB的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.
解： (1)如图，作AB，AC的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O.
(2)连接AO交BC于点E，连接BO.∵AB＝AC，∴＝，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝8 cm.
在Rt△ABE中，AE＝＝＝6(cm)．
在Rt△OBE中，R2＝82＋(R－6)2，
解得R＝ cm，即圆片的半径R为 cm.
12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B＝∠E.
又∠B＝∠D，∴∠E＝∠D.
∵CE∥AD，∴∠D＋∠ECD＝180°，
∴∠E＋∠ECD＝180°，
∴AE∥CD，∴四边形AECD为平行四边形．
(2)如图，过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥CE于点N，
∵四边形AECD为平行四边形，∴AD＝CE.
又AD＝BC，∴CE＝BC，
∴OM＝ON.
又OM⊥BC，ON⊥CE，∴CO平分∠BCE.
13．解：(1)证明：过点A作AC⊥x轴于点C.
∵A(6，8)，∴OC＝6，AC＝8.
∵B(12，0)，∴OB＝12，∴BC＝6＝OC，
∴AC是OB的垂直平分线，∴AO＝AB.
(2)如图，作OA的垂直平分线交AC于点P，点P就是所求的外心．
(3)连接PO.
∵点P是△AOB的外心，∴PA＝PO＝r.∵AC＝8，∴PC＝8－r.
在Rt△POC中，PO2＝OC2＋PC2，
∴r2＝62＋(8－r)2，
解得r＝，∴PC＝，∴P.
14．解：(1)证明：∵AE⊥EF，EF∥BC，∴AD⊥BC.
又∵D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC.
(2)证明：连接BO，由(1)知AD是BC的垂直平分线，∴BO＝CO.
又∵AO＝CO，∴AO＝BO＝CO，
∴点O是△ABC外接圆的圆心．
(3)解法1：∵∠ABE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝∠AEB＋∠BAE＝90°，
∴∠ABD＝∠AEB.
又∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，∴＝.
在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4，∴AE＝.
解法2：由(2)得AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAO.
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠OEB＝90°，
∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE.
在Rt△ABD中，∵AB＝5，BD＝BC＝3，
∴AD＝4.设 OB＝x, 则 OD＝4－x，
由32＋(4－x)2＝x2，解得x＝，
∴AE＝2OB＝.
[素养提升]
解：(1)对角互补(对角之和等于180°)．
(2)没有．题图④中，∠B＋∠D＜180°；
题图⑤中，∠B＋∠D＞180°.
(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．
课时作业(二十五)
[第三章 6 第1课时 直线和圆的位置关系]
一、选择题
1．已知⊙O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
2．如图K－25－1，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，⊙O的半径为5，则BP的长为( )
图K－25－1
A. B. C．10 D．5
3．2017·乐昌市期末在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为(4，8)，半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是( )
A．相交 B．相离
C．相切 D．以上都不是
4.如图K－25－2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )
图K－25－2
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
5．如图K－25－3，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为()
图K－25－3
A. B. C. D.
6.2017·新沂市期中如图K－25－4，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ长的最小值为( )
图K－25－4
A. B. C．3 D．5
7．如图K－25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆与AC，BC分别相切于点D，E，则AD的长为( )
图K－25－5
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
二、填空题
8．2018·徐州如图K－25－6，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝________度．
图K－25－6
9．如图K－25－7，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，⊙P的半径为1 cm，且OP＝4 cm，如果⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么________s后⊙P与直线CD相切．
图K－25－7
三、解答题
10．如图K－25－8所示，已知∠AOB＝30°，P为OB上一点，且OP＝5 cm，以点P为圆心，r为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2 cm；(2)r＝4 cm；(3)r＝2.5 cm.
图K－25－8
11．2017·南京如图K－25－9，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.
(1)求证：PO平分∠APC；
(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.
图K－25－9
12．2017·北京如图K－25－10，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
(1)求证：DB＝DE；
(2)若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径．
图K－25－10
13．如图K－25－11，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)求证：BC2＝AB·BD；
(3)若PA＝6，PC＝6 ，求BD的长．
图K－25－11
开放型题如图K－25－12，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为F，连接BD，BE.
(1)仔细观察图形并写出四个不同的正确结论(不添加其他字母和辅助线，不必证明)：
①________________________________________________________________________；
②________________________________________________________________________；
③________________________________________________________________________；
④________________________________________________________________________.
(2)若∠E＝30°，CD＝，求⊙O的半径r.
图K－25－12
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[解析] D 如图，连接OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠COP＝60°，∴∠P＝30°，
∴OP＝2OC＝10，
∴BP＝OP－OB＝10－5＝5.故选D.
3．[解析] B 在直角坐标系内，以P(4，8)为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8.∵r＝5，∴d＞r，∴⊙P与x轴相离．故选B.
4．[解析] C 如图，设切点为C，连接OC，OA，则OC⊥AB，∴AC＝BC.在Rt△AOC中，AO＝5 cm，OC＝4 cm，根据勾股定理，得AC＝＝3(cm)，∴AB＝2AC＝6(cm)．
5．[解析] A 连接OC，∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCE＝90°.
∵∠CDB＝30°，∴∠COB＝2∠CDB＝60°，
∴∠E＝90°－∠COB＝30°，
∴sinE＝.故选A.
6．[解析] B ∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP＝90°，∴PQ2＝OP2－OQ2，而OQ＝2，∴PQ2＝OP2－4，即PQ＝，则当OP最小时，PQ最小．∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为＝.故选B.
7．[解析] B 连接OD，OE，设AD＝x.
∵半圆与AC，BC相切，∴∠CDO＝∠CEO＝90°.
又∵∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形．
又∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，
∴CD＝CE＝OE＝OD＝4－x，BE＝6－(4－x)＝x＋2.
∵OE∥AC，∴∠A＝∠BOE.又∵∠ODA＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴＝，即＝，解得x＝1.6.
8．[答案] 126
[解析] 连接OD，∵CD与⊙O相切，∴∠ODC＝90°.∵∠C＝18°，∴∠COD＝72°.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A＝∠COD＝36°，
∴∠CDA＝∠ODC＋∠ODA＝90°＋36°＝126°.
9．[答案] 2或6
[解析] 如图，当CD在⊙P右侧，且与⊙P相切时，设切点为E，连接PE.
在Rt△OEP中，∠EOP＝∠AOC＝30°，PE＝1 cm，∴OP＝2PE＝2 cm，故此时⊙P运动了4－2＝2(cm)，运动的时间为2÷1＝2(s)；当CD在⊙P左侧，且与⊙P相切时，同理可求得OP＝2 cm，此时⊙P运动了4＋2＝6(cm)，运动的时间为6÷1＝6(s)，因此经过2 s或6 s后⊙P与直线CD相切．故答案为2或6.
10．解：过点P作PC⊥OA于点C.
∵∠AOB＝30°，∴PC＝OP＝2.5 cm.
(1)∵d>r，∴⊙P与直线OA相离．
(2)∵d(3)∵d＝r，∴⊙P与直线OA相切．
11．证明：(1)连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，∴PO平分∠APC.
(2)∵OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠CAP＝∠OBP＝90°.
∵∠C＝30°，
∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°.
∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝∠APC＝30°，
∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.
又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，
∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.
12．解：(1)证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵BD是⊙O的切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBA＋∠EBD＝90°.
∵EC⊥OA，∴∠OAB＋∠CEA＝90°，
∴∠EBD＝∠CEA.
∵∠CEA＝∠BED，∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE.
(2)过点D作DF⊥AB于点F，连接OE.
∵AE＝EB＝AB＝6，
∴OE⊥AB.
∵DB＝DE，
∴EF＝BE＝3.
在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，
∴DF＝＝4.
∵∠AOE＋∠A＝90°，∠AEC＋∠A＝90°，
∴∠AOE＝∠AEC.
又∠AEC＝∠DEF，∴∠AOE＝∠DEF，
∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝＝.
∵AE＝6，∴AO＝，∴⊙O的半径为.
13．解：(1)证明：连接OC，如图．
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD.
又∵BD⊥PD，∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD.
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD.
(2)证明：连接AC，如图．
∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵BD⊥PD，∴∠PDB＝90°.
又∵∠CBD＝∠OBC，
∴△ABC∽△CBD，∴＝，
∴BC2＝AB·BD.
(3)在Rt△PCO中，OA＝OC，PA＝6，PC＝6 ，
由勾股定理，得OC2＋PC2＝PO2，即OC2＋(6 )2＝(6＋OA)2＝(6＋OC)2，解得OC＝3.
∵OC∥BD，∴＝，
即＝，解得BD＝4，∴BD的长为4.
[素养提升]
解：(1)答案不唯一，如BC⊥AB，AD⊥BD，DF＝FE，BD＝BE，△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD，∠BDF＝∠BEF，∠A＝∠E，DE∥BC等(写出4个即可)．
(2)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
又∵∠E＝30°，∴∠A＝30°，∴BD＝AB＝r.
∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA＝90°，
∴∠C＝60°.
在Rt△BCD中，CD＝，
∴＝＝tan60°，∴r＝2.
课时作业(二十六)
[第三章 6 第2课时 圆的切线的判定]
一、选择题
1．下列直线是圆的切线的是( )
A．和半径垂直的直线
B．和圆有公共点的直线
C．到圆心的距离等于直径的直线
D．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线
2．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．无法确定
3．2017·十堰期末如图K－26－1，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为( )
图K－26－1
A．110° B．125°
C．130° D．140°
4．2017·武汉已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( )
A. B.
C. D．2
5．如图K－26－2，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()
图K－26－2
A．DE＝DO B．AB＝AC
C．CD＝DB D．AC∥OD
二、填空题
6．如图K－26－3，⊙P的半径为2，圆心P在函数y＝(x＞0)的图象上运动，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为________．
图K－26－3
7．如图K－26－4，已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．
图K－26－4
8．如图K－26－5，在△ABC中， AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，3 cm长为半径作⊙A，当AB＝________cm时，BC与⊙A相切.
图K－26－5
9．三角形的面积为12，周长为24，则其内切圆的半径为________．
三、解答题
10．如图K－26－6，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.
(1)先作∠ACB的平分线，设它交AB于点O，再以点O为圆心，OB长为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)求证：AC是所作⊙O的切线；
(3)若BC＝，sinA＝，求△AOC的面积．
图K－26－6
11.如图K－26－7，AB是⊙O的弦，OA⊥OD于点O，AB，OD交于点C，且CD＝BD.
(1)判断BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)当OA＝3，OC＝1时，求线段BD的长．
图K－26－7
12．2017·黄石如图K－26－8，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于点D，连接BD并延长至点F，使得BD＝DF，连接CF，BE.
(1)求证：BD＝DE；
(2)求证：直线CF为⊙O的切线．
图K－26－8
13．2018·新疆如图K－26－9，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B，连接PB，AO，延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若CO＝3，AC＝4，求sinE的值．
图K－26－9
新定义探究题联想三角形内心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．
举例：如图K－26－10①所示，若PD⊥AB，PE⊥BC，PD＝PE，则点P为△ABC的准内心．
应用：如图②所示，BF为等边三角形的角平分线，准内心P在BF上，PD⊥AB，PE⊥BC，且PF＝BP，求证：点P是△ABC的内心．
探究：如图③所示，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，准内心P在AC上，PD⊥AB.若PC＝AP，求∠A的度数．
图K－26－10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[解析] B ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴BC为△BDC外接圆的直径．又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥CB，∴AC是△BDC的外接圆的切线．
3．[解析] B ∵点O为△ABC的外心，
∴∠A＝∠BOC＝70°，
∴∠ABC＋∠ACB＝180°－70°＝110°.
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝55°，
∴∠BIC＝180°－55°＝125°.故选B.
4．[解析] C 如图，AB＝7，BC＝5，AC＝8，内切圆的半径为r，切点为G，E，F，过点A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝5－x.
由勾股定理可知：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，
即72－x2＝82－(5－x)2，解得x＝1，∴AD＝4 .
∵·BC·AD＝(AB＋BC＋AC)·r，
即×5×4 ＝×20×r，∴r＝.故选C.
5．[解析] A 由于D是圆上一点，所以要说明DE是⊙O的切线，只需证明OD⊥DE即可．又因为DE⊥AC，所以当AC∥OD时，可得OD⊥DE；当CD＝DB时，即D为BC的中点，而点O为AB的中点，所以OD∥AC；当AB＝AC时，连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝DB.因此B，C，D中的条件均可说明DE是⊙O的切线．
6．[答案] (3，2)
7．[答案]
[解析] 设BC与⊙O切于点D，连接BO，OD，则BD＝BC，∠DBO＝30°.
在Rt△BOD中，∠BDO＝90°，∠DBO＝30°，BD＝1，解直角三角形得OD＝，
所以⊙O的面积S＝π×＝.
8．[答案] 6
9．[答案] 1
[解析] 由题意作图．
因为S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△CAO，所以AB·r＋BC·r＋CA·r＝12，
即(AB＋BC＋CA)·r＝12，所以r＝＝1.
10．解：(1)如图所示．
(2)证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵CF平分∠ACB，∠ABC＝90°，
∴OE＝OB，∴AC是所作⊙O的切线．
(3)∵sinA＝，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
∴∠ACO＝∠OCB＝∠ACB＝30°.
∵BC＝，∴AC＝2 ，OB＝BC·tan30°＝×＝1，∴OE＝OB＝1，∴△AOC的面积为AC·OE＝×2 ×1＝.
11．解：(1)BD是⊙O的切线．证明：连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAC＝∠OBC.
∵OA⊥OD，∴∠AOC＝90°，
∴∠OAC＋∠ACO＝90°.
∵CD＝BD，∴∠DCB＝∠DBC.
∵∠DCB＝∠ACO，∴∠ACO＝∠DBC，
∴∠DBC＋∠OBC＝90°，
即∠OBD＝90°，∴BD是⊙O的切线．
(2)设BD＝x，则CD＝x，OD＝x＋1，OB＝OA＝3，
在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2＋BD2＝OD2，即32＋x2＝(x＋1)2，解得x＝4.
∴线段BD的长为4.
12．证明：(1)∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠BED，
∴DB＝DE.
(2)连接CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∴＝，∴BD＝CD.
∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF，∴∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，∴直线CF为⊙O的切线．
13．解：(1)证明：连接OB，
∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB.
在△PAO和△PBO中，∵PA＝PB，AO＝BO，PO＝PO，
∴△PAO≌△PBO，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴PB是⊙O的切线．
(2)连接BD，则BD∥PO，且BD＝2OC＝6.
在Rt△ACO中，CO＝3，AC＝4，∴AO＝5.
在△ACO与△PAO中，∠AOC＝∠POA，
∠ACO＝∠PAO＝90°，
∴△ACO∽△PAO，
∴＝＝，
∴PO＝，PA＝
，∴PB＝PA＝.
∵BD∥PO，∴△EBD∽△EPO，
∴＝，解得EB＝，∴EP＝，
∴sinE＝＝.
[素养提升]
解：应用：
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°.∵BF为△ABC的角平分线，∴∠PBE＝30°.
∵PE⊥BC，∴PE＝BP.
∵BF是等边三角形ABC的角平分线，
∴BF⊥AC.
∵点P是△ABC的准内心，PD⊥AB，PE⊥BC，∴PD＝PE.∵PF＝BP，∴PE＝PD＝PF，∴点P是△ABC的内心．
探究：
根据题意，得PD＝PC＝AP.
∵sinA＝＝＝，∠A是锐角，
∴∠A＝30°.
课时作业(二十七)
[第三章 *7 切线长定理]
一、选择题
1．2017·红桥区期末如图K－27－1，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，与PA，PB分别交于C，D两点，则△PCD的周长是( )
图K－27－1
A．10 B．18 C．20 D．22
2．如图K－27－2，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别切于点D，E，F，则AF的长为()
图K－27－2
A．5 B．10 C．7.5 D．4
3．已知⊙O的半径是4，P是⊙O外一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为()
A．4 B．4 C．4 D．2
4．如图K－27－3，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中，错误的是( )
图K－27－3
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OP D．PA2＝PC·PO
5．如图K－27－4，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC.下列结论：①∠DOC＝90°；②AD＋BC＝CD；③S△AOD∶S△BOC＝AD2∶AO2；④OD∶OC＝DE∶EC；⑤OD2＝DE·CD.其中正确的有( )
图K－27－4
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
二、填空题
6．如图K－27－5，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为________．
图K－27－5
7．2017·昌平区期末如图K－27－6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC长为8，BC长为15，则△ABC的内切圆⊙O的直径是________．
图K－27－6
8．如图K－27－7，P是⊙O的直径AB的延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝________°.
图K－27－7
9．如图K－27－8所示，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，若PA＝15 cm，则△PEF的周长是________ cm；若∠P＝50°，则∠EOF＝________°.
图K－27－8
10．如图K－27－9所示，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠ABC，∠ACB所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________．
图K－27－9
三、解答题
11．如图K－27－10，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC.求证：AC＝BC.
图K－27－10
12．2017·孝感模拟如图K－27－11，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.
求：(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径.
图K－27－11
13．如图K－27－12，△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，∠A＝60°，BC＝7，⊙O的半径为.
求：(1)BF＋CE；
(2)△ABC的周长．
图K－27－12
14．如图K－27－13，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2.
(1)求BC的长；
(2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长．
图K－27－13
探究存在题如图K－27－14，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过点D作⊙O的切线交BC边于点E.
(1)求证：EB＝EC＝ED.
(2)在线段DC上是否存在点F，使得BC2＝4DF·DC？若存在，求出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由．
图K－27－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长是PC＋CD＋PD＝PC＋AC＋DB＋PD＝PA＋PB＝10＋10＝20.故选C.
2．[解析] A 设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9－x，CE＝CF＝CA－AF＝6－x，则有9－x＋6－x＝5，解得x＝5，即AF的长为5.
3．[解析] C 如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．
∵OA＝4，PO＝8，∴AP＝＝4，∠APO＝30°，∴∠APB＝2∠APO＝60°，
∴△PAB是等边三角形，∴AB＝AP＝4 .
4．[解析] D 如图，连接OA，OB.
∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，∴PA＝PB，
∴△ABP是等腰三角形．易证∠1＝∠2，
∴AB⊥OP.故A，B，C均正确．设OP交AB于点D，易证△PAD∽△POA，∴PA∶PO＝PD∶PA，∴PA2＝PD·PO.故D错误．
5．[解析] C 连接OE.∵AD，BC，CD分别与⊙O切于点A，B，E，∴OA⊥AD，OB⊥BC，OE⊥CD，DA＝DE，EC＝BC，∠ADO＝∠EDO，∠ECO＝∠BCO，∴∠OAD＝∠OED＝∠OEC＝∠OBC＝90°，∴∠AOD＝∠EOD，∠BOC＝∠EOC.①∵∠AOD＋∠EOD＋∠BOC＋∠EOC＝180°，∴∠DOC＝∠EOD＋∠EOC＝90°，∴①正确；②∵DA＝DE，EC＝BC，∴AD＋BC＝DE＋EC＝CD，∴②正确；③∵∠AOD＋∠BOC＝90°，∠AOD＋∠ADO＝90°，∴∠BOC＝∠ADO.又∵∠OAD＝∠CBO＝90°，∴△OAD∽△CBO，∴S△AOD∶S△BOC＝AD2∶BO2＝AD2∶AO2，∴③正确；④∵△OAD∽△CBO，∴＝＝.∵OB≠EC，∴④不正确；⑤∵∠DOC＝∠OED＝90°，∴∠EOD＋∠EDO＝90°，∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠EOD＝∠DCO，∴△OED∽△COD，∴＝，即DE·CD＝OD2，∴⑤正确．综上，正确的有①②③⑤.故选C.
6．[答案] 44
[解析] ∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AD＋BC＝AB＋CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD＋BC＋AB＋CD＝44.
7．[答案] 6
[解析] ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝17，∴△ABC的内切圆⊙O的直径为×2＝6.故答案为6.
8．[答案] 60
[解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴OP＝PA－OA＝6－2＝4.∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°.
9．[答案] 30 65
[解析] ∵PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D，
∴PA＝PB＝15 cm，ED＝EA，FD＝FB，∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝30 cm，即△PEF的周长是30 cm；连接OA，OB，OD.∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝50°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－50°＝130°.易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠3＝∠AOB＝65°，即∠EOF＝65°.
10．[答案] 2
[解析] 如图，设⊙O与AB，AC的延长线及BC边分别相切于点F，D，E.连接OD，OE.∵⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，∴AF＝AD，BE＝BF，CE＝CD，OD⊥AD，OE⊥BC.∵∠ACB＝90°，∴四边形ODCE是正方形．设OD＝r，则CD＝CE＝r.∵BC＝3，∴BE＝BF＝3－r.∵AB＝5，AC＝4，∴AF＝AB＋BF＝5＋3－r，AD＝AC＋CD＝4＋r，∴5＋3－r＝4＋r，解得r＝2，则⊙O的半径是2.
11．证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC，∴AC＝BC.
12．解：(1)连接OF.根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∴∠OBF＋∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°.
(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理，得BC＝＝10 cm，
∴BE＋CG＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，由三角形的面积公式，得OB·OC＝BC·OF，∴OF＝＝4.8 cm.
13．解：(1)∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，
∴BF＝BD，CE＝CD，
∴BF＋CE＝BD＋CD＝BC＝7.
(2)如图，连接OE，OF，OA.
∵△ABC外切于⊙O，切点分别为D，E，F，
∴∠OEA＝90°，∠OAE＝∠BAC＝30°，
∴OA＝2OE＝2 .
由勾股定理，得AF＝AE＝＝3，
∴△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝AF＋AE＋CE＋BF＋BC＝3＋3＋7＋7＝20，
即△ABC的周长是20.
14．[解析] (1)过点D作DF⊥BC于点F，由切线长定理可得DE＝AD＝2，CE＝BC.设BC＝x，在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即可得方程(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 )2，解此方程即可求得答案；(2)易证得△ADE∽△GCE，由相似三角形的对应边成比例，可得AE∶EG＝4∶5，由勾股定理即可求得AG的长，继而求得答案．
解：(1)过点D作DF⊥BC于点F.
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，
∴DF＝AB＝2 ，BF＝AD＝2.
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC.
设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x.
在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2，即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2 )2，
解得x＝，即BC＝.
(2)∵∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，
∴＝，＝.
∵AD＝DE＝2，∴GC＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC＋CG＝5，＝.
在Rt△ABG中，AG＝＝3 ，
∴EG＝AG＝ .
[点评] 此题考查了切线的性质与判定、切线长定理以及勾股定理等知识，难度适中，注意掌握辅助线的作法与方程思想的应用．
[素养提升]
[解析] (1)连接BD，已知ED，EB都是⊙O的切线，由切线长定理可证得OE垂直平分BD，而BD⊥AC(圆周角定理)，则OE∥AC.由于O是AB的中点，可证得OE是△ABC的中位线，即E是BC的中点，那么在Rt△BDC中，DE就是斜边BC的中线，由此可证得所求的结论．(2)由(1)知：BC＝2BE＝2DE，则所求的比例关系式可转化为()2＝DF·DC，即DE2＝DF·DC，那么只需作出与△DEC相似的△DFE即可，这两个三角形的公共角为∠CDE，只需作出∠DEF＝∠C即可．①当∠DEC＞∠C，即180°－2∠C＞∠C，0°＜∠C＜60°时，∠DEF的EF边与线段DC相交，那么交点即为所求的点F；②当∠DEC＝∠C，即180°－2∠C＝∠C，∠C＝60°时，点F与点C重合，点F仍在线段DC上，此种情况也成立；③当∠DEC＜∠C，即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，∠DEF的EF边与线段DC的延长线相交，与线段CD没有交点，所以在这种情况下不存在符合条件的点F.
解：(1)证明：连接BD.
∵ED，EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO，
∴OE垂直平分BD.
又∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BD，
∴AD∥OE，即OE∥AC.
又O为AB的中点，
∴OE为△ABC的中位线，
∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED.
(2)存在．在△DEC中，∵ED＝EC，
∴∠C＝∠CDE，
∴∠DEC＝180°－2∠C.
①当∠DEC＞∠C时，有180°－2∠C＞∠C，
即0°＜∠C＜60°时，在线段DC上存在满足条件的点F.
在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求．
证明：在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF，
∴△DEF∽△DCE，∴＝，
∴DE2＝DF·DC，即(BC)2＝DF·DC，
∴BC2＝4DF·DC.
②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，
即∠DEC＝∠C＝60°，此时，点C即为满足条件的点F，
于是，DF＝DC＝DE，
仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC.
③当∠DEC＜∠C，
即180°－2∠C＜∠C，60°＜∠C＜90°时，
所作的∠DEF＞∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F.
课时作业(二十八)
[第三章 8 圆内接正多边形]
一、选择题
1．2017·株洲下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
2．2017·滨州若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B．2
C. D．1
3．2017·达州以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
4．若正六边形的两条平行边相距12 cm，则它的边长为()
A．6 cm B．12 cm
C．4 cm D. cm
5．2017·慈溪市期末如图K－28－1，A，B，C三点在⊙O上，AB是⊙O内接正六边形的一边，BC是⊙O内接正十边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n等于( )
图K－28－1
A．12 B．15 C．18 D．20
6．如图K－28－2，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，交⊙O于点C，那么下列说法错误的是( )
图K－28－2
A．∠BAC＝30°
B.＝
C．线段OB的长等于圆内接正六边形的半径
D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
二、填空题
7．2017·邗江区一模如图K－28－3，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a应是________.
图K－28－3
8．正六边形的面积是18 ，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为________．
9．如图K－28－4，M，N分别是正八边形相邻的边AB，BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形的中心，则∠MON的度数为________．
图K－28－4
10．2017·广东模拟为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图K－28－5所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为________．
图K－28－5
三、解答题
11．已知：如图K－28－6，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求证：五边形AEBCD是正五边形．
图K－28－6
12．2018·平房区二模如图K－28－7，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N.
(1)求证：AE＝BF；
(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△ABM全等的三角形．
图K－28－7
13．用一个长60米的篱笆围成一个羊圈，分别计算所围羊圈是正三角形、正方形、正六边形、圆时的面积(结果精确到1平方米)．
(1)比较这些面积的大小；
(2)归纳出周长相等的正多边形、圆面积大小的规律(不需证明)．
探究题(1)如图K－28－8①所示，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，求∠MON的度数；
(2)如图②，③，…，，M，N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON，则图②中∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________，由此可猜测在图中，∠MON的度数是________．
图K－28－8
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A ∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形．故选A.
2．[解析] A 如图所示，E为切点，连接OA，OE，
∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OA＝.故选A.
3．[解析] A 如图①，
∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；
图①
如图②，
图②
∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；
如图③，
图③
∵OA＝2，
∴OD＝2×cos30°＝，
则该三角形的三边长分别为1，，.
∵12＋()2＝()2，
∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是×1×＝.
故选A.
4．[解析] C 两条平行边相距12 cm，即可得边心距为6 cm，从而可得正六边形的边长为4 cm.
5．[解析] B 连接OC，OA，OB，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°.
∵BC是⊙O内接正十边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷10＝36°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－36°＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15.
故选B.
6．[解析] A ∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝AB＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.显然∠BAC＝∠BOC＝∠AOB＝×60°＝15°.故选项A说法错误．∵OC⊥AB，∴＝，故选项B说法正确．易知△AOB为等边三角形，∠AOB＝60°，以AB为一边正好可以构成正六边形，故选项C说法正确．∵OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝30°，＝12，∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D说法正确．故选A.
7．[答案] 2 cm
[解析] 过正六边形的中心O作一边的垂线，垂足为B，连接OA.
则∠O＝30°，AB＝1 cm，
∴OB＝＝ cm，
∴a＝2OB＝2 cm.
故答案为2 cm.
8．[答案] 3π
[解析] 如图所示，设正六边形的边长为a，
∵正六边形的面积是18 ，
∴△OAB的面积是3 ，
即AB·OA·sin60°＝3 ，a2·＝3 ，
∴a＝2 ，∴OD＝OA·sin60°＝2 ×＝3，
∴S圆环＝S外接圆－S内切圆＝π×(2 )2－π×32＝12π－9π＝3π.
9．[答案] 45°
[解析] 连接OA，OB，OC.
∵正八边形是中心对称图形，
∴中心角为360°÷8＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝＝67.5°.
∵OA＝OB, ∠OAM＝∠OBN，AM＝BN，
∴△OAM≌△OBN，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MOB＝∠NOC.
∵∠AOC＝∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC＝90°，
∴∠MON＝∠MOB＋∠BON＝(∠AOM＋∠MOB＋∠BON＋∠NOC)＝∠AOC＝45°.
10．[答案] 2a2
[解析] △ABC是等腰直角三角形，且AB＝a，则AC＝BC＝a，
则S△ABC＝AC·BC＝×·＝，中间的正方形的面积是a2，则阴影部分的面积是4×＋a2＝2a2.
11．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝∠BAC＝36°，
∴＝＝＝＝，
即点A，E，B，C，D把⊙O五等分，
∴五边形AEBCD是正五边形．
12．解：(1)证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝FE＝BA，∠AFE＝∠BAF.
在△AFE与△BAF中，∵AF＝BA，∠AFE＝∠BAF，FE＝AF，
∴△AFE≌△BAF，∴AE＝BF.
(2)与△ABM全等的三角形有△DEN，△FEM，△CBN.
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝AF＝FE，∠BAF＝∠AFE＝120°，
∴∠ABM＝∠FAE＝30°，
∴∠BAM＝90°.
同理可得∠DEN＝30°，∠EDN＝90°，
∴∠ABM＝∠DEN，∠BAM＝∠EDN.
在△ABM和△DEN中，∵∠BAM＝∠EDN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∴△ABM≌△DEN.
同理可证明△FEM≌△ABM，△CBN≌△ABM.
13．解：①当所围羊圈是正三角形时，其边长为20米，
S正三角形＝×20×10 ＝100 ≈173(米2)；
②当所围羊圈是正方形时，其边长为15米，
S正方形＝152＝225(米2)；
③当所围羊圈是正六边形时，其边长为10米，
S正六边形＝6××10×＝150 ≈260(米2)；
④当所围羊圈是圆形时，其半径为米，
S圆＝π·()2＝≈286(米2)．
(1)S正三角形(2)周长相等的正多边形中，边数越多，其面积越大，圆可以近似看成是边数无穷多的正n边形，因而圆的面积最大．
[素养提升]
解：(1)连接OB，OC.∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB＝OC，∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OBA＝30°.又∵BM＝CN，∴△OBM≌△OCN，∴∠MOB＝∠NOC，∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(2)90° 72°
课时作业(二十九)
[第三章 9 弧长及扇形的面积]
一、选择题
1．2017·武汉期末如图K－29－1，等边三角形ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是( )
图K－29－1
A．π B．2π C．4π D．6π
2.2018·福州二模如图K－29－2，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若＝＝，则图中阴影部分的面积是( )
图K－29－2
A．6π B．12π C．18π D．24π
二、填空题
3．2017·长春如图K－29－3，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交BC于点D，则的长为________．(结果保留π)
图K－29－3
4．如图K－29－4，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)
图K－29－4
5．如图K－29－5，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫正三角形的渐开线，其中，，的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．
图K－29－5
6．如图K－29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2 ，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．
图K－29－6
三、解答题
7．如图K－29－7，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在扇形上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
图K－29－7
8．2018·椒江区模拟如图K－29－8，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交于点D，连接AD.
(1)求证：∠CAD＝∠BAD；
(2)若⊙O的半径为1，∠B＝50°，求的长．
图K－29－8
9．2017·如东县一模如图K－29－9，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.
(1)求BD的长；
(2)求阴影部分的面积．
图K－29－9
10．2017·贵阳如图K－29－10，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数；
(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).
图K－29－10
11．如图K－29－11，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向将△ABC在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝，则顶点A运动到点A″的位置时，
(1)求点A所经过的路线长；
(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少？
图K－29－11
研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝lR.接着老师让同学们解决两个问题：
问题 Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图K－29－12中的阴影部分，已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．
(1)请你解答问题Ⅰ.
(2)在解完问题 Ⅱ 后的全班交流中，有名同学发现扇形面积公式S扇形＝lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝(l1＋l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．
图K－29－12
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝×3＝2π.故选B.
2．[解析] A ∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝＝6π.故选A.
3．[答案]
[解析] ∵在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－100°)＝40°.
∵AB＝4，∴的长为＝.
4．[答案] 2π
5．[答案] 4π
[解析] 的长是＝，
的长是＝，的长是＝2π，
则曲线CDEF的长是＋＋2π＝4π.
故答案为4π.
6．[答案] 2 －
[解析] 依题意，有AD＝BD.又∠ACB＝90°，所以CB＝CD＝BD，即△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°.由AC＝2 ，求得BC＝2，AB＝4，
S弓形BD＝S扇形BCD－S△BCD＝－＝π－，故阴影部分的面积为S△ACD－S弓形AD＝－(－)＝2 －.
7．解：如图，连接OD.
根据折叠的性质，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，
∴OB＝OD＝BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝∠DBO＝30°.
∵∠AOB＝90°，
∴OC＝OB·tan∠CBO＝6×＝2 ，
∴S△BDC＝S△OBC＝·OB·OC＝×6×2 ＝6 .
∵S扇形OAB＝π×62＝9π，l＝π×6＝3π，
∴整个阴影部分的周长为AC＋CD＋BD＋l＝AC＋OC＋OB＋l＝OA＋OB＋l＝6＋6＋3π＝12＋3π，
整个阴影部分的面积为S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－6 －6 ＝9π－12 .
8．解：(1)证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，
∴＝，∴∠CAD＝∠BAD.
(2)连接CO，
∵∠B＝50°，OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∴的长为＝.
9．解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H.
在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.
在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，
∴CH＝BC＝2，BH＝CH＝2 .
∵CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝4 .
(2)连接CD.
∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°，
∴∠BCD＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形CBD的面积－△CBD的面积＝－×4 ×2＝π－4 .
10．解：(1)连接OD，OC，
∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
(2)由(1)知∠AOD＝60°.
又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．
∵AB＝4，∴OA＝AD＝2.
∵DE⊥AO，∴DE＝，
∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2×＝π－.
11．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝，
∴AB＝2，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，
则∠ABA′＝120°，∠A′C″A″＝90°，
∴l＝＝，l＝＝π，
∴点A所经过的路线长为＋π.
(2)S扇形BAA′＝l·AB＝××2＝，
S扇形C″A′A″＝l·C″A′＝××＝π，
S△A′B′C′＝×1×＝，
∴点A所经过的路线与l围成的图形的面积是π＋π＋＝π＋.
[素养提升]
[解析] 根据扇形面积公式、弧长公式之间的关系，结合已知条件推出结果．
解：(1)根据弧长公式l＝，弧长为4π，圆心角为120°，可得R＝6，∴S扇形＝lR＝×4π×6＝12π.
(2)他的猜想正确．
设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角的度数为n°，则由l＝，得R＝，r＝，
∴花坛的面积为
l1R－l2r
＝·l1·－·l2·
＝
＝(l1＋l2)(l1－l2)
＝·(l1＋l2)(R－r)
＝(l1＋l2)(R－r)＝(l1＋l2)d.
故他的猜想正确．
