23.1 锐角的三角函数课时作业（2）
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23.1 锐角的三角函数课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
在中，，，，则
A． B． C． D．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A． B． C． D．
第4题 第5题 第6题
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°
二 、填空题
在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A ( 2, 4( ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为( ，
那么( 的余弦值为__ __.
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A=__ __.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是__ __.
在中，，，，那么__ __.
已知△ABC中，∠C=90°，a=，∠B=30°,则c=__ __.
如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=__ __.
第14题 第15题
如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长
是__ __.
三 、解答题
等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
已知：如图，在Rt中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos∠DCA的值．
如图，△ABC中，AB＝BC．
（1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求的值.
如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．
如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出的值是_____________.
如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于的一元二次方程的两个根，且OA＞OB
（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由。
答案解析
一、选择题
【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义求解即可.
解：∵，，，
∴ =，
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
【考点】锐角三角函数的定义．．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC==3，
∴sinA==．
故选B．
【点评】本题主要考查勾股定理及锐角三角函数的定义的知识点，基础题，比较简单．
【考点】锐三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解：由勾股定理,得BC=，
∴cosB=.
答案：C
【考点】锐角三角函数
【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．
解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB==，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是正确计算出AB的长．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．
解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故选：A．
【点睛】考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求得AB的长，根据同角的余角相等证得∠BCD=∠A，则求cos∠BCD的值就可以转化为求∠A的三角函数值．从而转化为求△ABC的边长的比．
解：由勾股定理得，AB==5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A==．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A，从而将求cos∠BCD的值转化为求∠A的三角函数值是解决此题的关键．
【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质
【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选C．
【点睛】本题利用了等腰三角形的三线合一的性质，考查三角函数的定义．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】 根据互为余角三角函数，可得∠A的度数，根据角的正弦，可得答案．
解：由∠A=90°﹣35°=55°，
由正弦函数的定义，得
sin55°=，
BC=ABsin55°=7sin55°，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题
【考点】锐角三角函数
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
解：根据题意可得
所以
故答案为：
【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键.
【考点】锐角三角函数
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出cosA=，即可得出答案．
解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝，
∴cosA= ==.
故答案为： .
【考点】锐角三角函数
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴AC=，
∴cosA=．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求出cosA的再即可.
解：∵，，
∴AB= = =5，
∴cosA==，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用勾股定理是解题关键.
【考点】锐三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解：由cosB=,得c==10.
答案：10
【考点】 勾股定理；锐角三角函数的定义．
【分析】 首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，
S△ABC=×BC×AD=9，
∴×2AD=9，
解得：AD=，
故sin∠ABC===．
故答案为：．
【点评】 此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出直角三角形进而求出是解题关键．
【考点】正方形的性质；矩形的性质．
【分析】设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．
解：设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，
在Rt△ACB、Rt△A′DF、Rt△OHK中，
GK=GJ+JK=2xsinθ+xcosθ，
KH=2xcosθ，
∴GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8，①
同理得出EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7，②
解得xsinθ=1，xcosθ=2；
两边平方相加得x2=5，
所以正方形的边长x=．
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．
三、解答题
【考点】锐角三角函数
【分析】过顶点作底边的高线，分类讨论：当腰为6时，底边长为4；当底边为6时，腰长为5，然后分别根据余弦的定义求解即可．
解：过顶点作底边的高线，则垂足平分底边，
①当6为腰时，底边为4，
∴底角的余弦为： ，
②当6为底边时，腰为5，
∴底角的余弦为： ，
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，根据题意构建出直角三角形是解题关键.
【考点】锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【分析】在直角三角形ABC中，由直角边AC及斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边BC的长，根据锐角三角形函数的定义：一个角的余弦等于这个角的邻边比斜边，可求出cosB的值，同时A和B互余，可得sinA=cosB，由cosB的值得出sinA的值，由CD=AC，根据等边对等角可得∠ADC=∠A，故sin∠ADC的值即为sinA的值，过C作底边AD的垂线，根据三线合一得到CE为顶角的平分线，再由垂直定义得到∠AEC=90°，可得三角形AEC为直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出cos∠ACD即cos∠ACE，即为sinA的值，由sinA的值即可求出所求的cos∠ACD的值．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=，
∴cosB=sinA=；
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA=；
过点C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE为∠ACD的平分线，即∠ACE=∠DCA，
∴cos∠DCA=cos∠ACE=sinA=．?
【点睛】此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，其中当A和B互余时，根据锐角三角形函数定义可得sinA=cosB，cosA=sinB，熟练掌握此性质是解本题的关键．
【考点】锐角三角函数，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，由等腰三角形三线合一的性质知BD也是AC边上的中线；
（2）先根据勾股定理求出DC的长，再根据余弦函数的定义求解即可.
解：（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，BD即是BC边的中线；
(2)∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∴.
.
【点睛】本题考查了垂线的尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数值，熟练掌握尺规作图时解答（1）的关键，熟练掌握锐角三角函数的定义还是解（2）的关键.
【考点】锐角三角函数，平移的性质，菱形的判定
【分析】（1）由平移的性质结合平行四边形的判定方法易得四边形ACC′A′是平行四边形，由AA′∥CC′结合CD平分∠ACC′证得∠ACA'=∠AA'C，可得AA'=AC，从而可得平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中由已知条件易得AC=10，BC=6，结合平移的性质和四边形ACC′A′是菱形即可求得CB′的长度.
解：（1）四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∵AA'∥CC'，
∴∠AA'C=∠A'CB'，
∵CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC=，
∴AC=10，
∴BC=
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
【点睛】熟悉“平移的性质和菱形的判定方法”是正确解答本题的关键.
【考点】锐角三角函数，矩形的性质，勾股定理
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得AD=BC，∠ADE=∠BAC，结合AB=3，cos∠ADE=即可求得AC的长，再由勾股定理即可求得AD的长了；
（2）由（1）中所得AC、AD及CD的长结合S△ACD=AD·CD=AC·DE可求得DE的长，由此在△DEC中由勾股定理可得CE的长，这样就可求得△DEC的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE=，
∴cos∠BAC=，即，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD=；
（2）∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=AC·DE=AD·DC，即DE=，解得DE=，
∴在Rt△DEC中，EC=，
∴S△DEC=DE·EC=.
【考点】锐角三角函数，一元二次方程的两个根，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定
【分析】（1）求出一元二次方程的两个根，再结合OA＞OB即可得到结果；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
解：（1）解一元二次方程得，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3，
在 ，
∴ ，
∴cos∠ABC= ；
（2）设E（x，0），由题意得
解得
∴E（，0）或（，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4）
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为
在△AOE与△DAO中，
，
又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO。
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
在中，，，，则
A． B． C． D．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA等于（ ）
A． B． C． D．
在△ABC中，∠C＝90°，AC=，AB=，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（ ）
A． B． C． D．
第4题 第5题 第6题
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（ ）
A． B． C． D．
如图CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD的值是（ ）
A． B． C． D．
等腰三角形的底边长10cm，周长36cm，则底角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（ ）
A． B． 7sin55° C． cos55° D． tan55°
二 、填空题
在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A ( 2, 4( ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为( ，
那么( 的余弦值为__ __.
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cos A=__ __.
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，则cosA的值是__ __.
在中，，，，那么__ __.
已知△ABC中，∠C=90°，a=，∠B=30°,则c=__ __.
如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=__ __.
第14题 第15题
如图，在长和宽分别是8和7矩形内，放置了如图中5个大小相同的正方形，则正方形的边长
是__ __.
三 、解答题
等腰三角形周长为16，一边长为6，求底角的余弦值.
已知：如图，在Rt中，∠ACB=90°，点D是斜边AB上的一点，且CD=AC=3，AB=4，求cosB，sin∠ADC及cos∠DCA的值．
如图，△ABC中，AB＝BC．
（1）用直尺和圆规作△ABC的中线BD；（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BC＝6，BD＝4，求的值.
如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由；
（2）在△ABC中，∠B=90°，AB=8，cos∠BAC=，求CB′的长．
如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E， ，AB＝3，
（1）求AD的值；
（2）直接写出的值是_____________.
如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于的一元二次方程的两个根，且OA＞OB
（1）求cos∠ABC的值。
（2）若E为轴上的点，且，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由。
答案解析
一、选择题
【考点】锐角三角函数
【分析】根据余弦的定义求解即可.
解：∵，，，
∴ =，
故选A.
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键.
【考点】锐角三角函数的定义．．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC==3，
∴sinA==．
故选B．
【点评】本题主要考查勾股定理及锐角三角函数的定义的知识点，基础题，比较简单．
【考点】锐三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解：由勾股定理,得BC=，
∴cosB=.
答案：C
【考点】锐角三角函数
【分析】首先利用勾股定理计算出AB长，再计算sinB即可．
解：∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinB==，
故选：A．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是正确计算出AB的长．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．
解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴cosA=
故选：A．
【点睛】考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求得AB的长，根据同角的余角相等证得∠BCD=∠A，则求cos∠BCD的值就可以转化为求∠A的三角函数值．从而转化为求△ABC的边长的比．
解：由勾股定理得，AB==5，
在Rt△BCD中，∠B+∠BCD=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∴cos∠BCD=cos∠A==．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、锐角三角函数的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等得出∠BCD=∠A，从而将求cos∠BCD的值转化为求∠A的三角函数值是解决此题的关键．
【考点】锐角三角函数，等腰三角形的性质
【分析】过顶点A作底边BC的垂线AD，垂足是D点，构造直角三角形．根据等腰三角形的性质，运用三角函数的定义，则可以求得底角的余弦cosB的值．
解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选C．
【点睛】本题利用了等腰三角形的三线合一的性质，考查三角函数的定义．
【考点】 锐角三角函数的定义．
【分析】 根据互为余角三角函数，可得∠A的度数，根据角的正弦，可得答案．
解：由∠A=90°﹣35°=55°，
由正弦函数的定义，得
sin55°=，
BC=ABsin55°=7sin55°，
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题
【考点】锐角三角函数
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
解：根据题意可得
所以
故答案为：
【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键.
【考点】锐角三角函数
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数关系得出cosA=，即可得出答案．
解：如图所示，
∵∠C=90°，AB=10，BC=8，
由勾股定理得，AC＝，
∴cosA= ==.
故答案为： .
【考点】锐角三角函数
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义解答．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=2，
∴AC=，
∴cosA=．
【点睛】本题考查锐角三角函数的概念及勾股定理，比较简单．
【考点】锐角三角函数
【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据余弦的定义求出cosA的再即可.
解：∵，，
∴AB= = =5，
∴cosA==，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义并灵活运用勾股定理是解题关键.
【考点】锐三角函数的定义
【分析】利用锐三角函数的定义求解
解：由cosB=,得c==10.
答案：10
【考点】 勾股定理；锐角三角函数的定义．
【分析】 首先过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，进而结合S△ABC得出AD的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，
∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9，
S△ABC=×BC×AD=9，
∴×2AD=9，
解得：AD=，
故sin∠ABC===．
故答案为：．
【点评】 此题主要考查了锐角三角函数关系以及勾股定理，得出直角三角形进而求出是解题关键．
【考点】正方形的性质；矩形的性质．
【分析】设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．
解：设正方形边长为x，由AC与BC边成的角为θ，FD与A′D边成的角为θ，HK与KO边成的角为θ，
在Rt△ACB、Rt△A′DF、Rt△OHK中，
GK=GJ+JK=2xsinθ+xcosθ，
KH=2xcosθ，
∴GH=GK+KH=2xcosθ+2xsinθ+xcosθ=8，①
同理得出EF=ED+DJ+JF=3xcosθ+xsinθ=7，②
解得xsinθ=1，xcosθ=2；
两边平方相加得x2=5，
所以正方形的边长x=．
故答案为：．
【点评】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．
三、解答题
【考点】锐角三角函数
【分析】过顶点作底边的高线，分类讨论：当腰为6时，底边长为4；当底边为6时，腰长为5，然后分别根据余弦的定义求解即可．
解：过顶点作底边的高线，则垂足平分底边，
①当6为腰时，底边为4，
∴底角的余弦为： ，
②当6为底边时，腰为5，
∴底角的余弦为： ，
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形，根据题意构建出直角三角形是解题关键.
【考点】锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【分析】在直角三角形ABC中，由直角边AC及斜边AB的长，利用勾股定理求出直角边BC的长，根据锐角三角形函数的定义：一个角的余弦等于这个角的邻边比斜边，可求出cosB的值，同时A和B互余，可得sinA=cosB，由cosB的值得出sinA的值，由CD=AC，根据等边对等角可得∠ADC=∠A，故sin∠ADC的值即为sinA的值，过C作底边AD的垂线，根据三线合一得到CE为顶角的平分线，再由垂直定义得到∠AEC=90°，可得三角形AEC为直角三角形，根据直角三角形的两个锐角互余得出cos∠ACD即cos∠ACE，即为sinA的值，由sinA的值即可求出所求的cos∠ACD的值．
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=，
∴cosB=sinA=；
∵CD=AC，
∴∠ADC=∠A，
∴sin∠ADC=sinA=；
过点C作CE⊥AD于E，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠A=90°，
又CD=AC，CE⊥AD，
∴CE为∠ACD的平分线，即∠ACE=∠DCA，
∴cos∠DCA=cos∠ACE=sinA=．?
【点睛】此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，其中当A和B互余时，根据锐角三角形函数定义可得sinA=cosB，cosA=sinB，熟练掌握此性质是解本题的关键．
【考点】锐角三角函数，尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理
【分析】（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，由等腰三角形三线合一的性质知BD也是AC边上的中线；
（2）先根据勾股定理求出DC的长，再根据余弦函数的定义求解即可.
解：（1）过点B作AC的垂线交AC与点D，BD即是BC边的中线；
(2)∵AB=BC,∴∠A=∠C,
∴.
.
【点睛】本题考查了垂线的尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理和锐角三角函数值，熟练掌握尺规作图时解答（1）的关键，熟练掌握锐角三角函数的定义还是解（2）的关键.
【考点】锐角三角函数，平移的性质，菱形的判定
【分析】（1）由平移的性质结合平行四边形的判定方法易得四边形ACC′A′是平行四边形，由AA′∥CC′结合CD平分∠ACC′证得∠ACA'=∠AA'C，可得AA'=AC，从而可得平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中由已知条件易得AC=10，BC=6，结合平移的性质和四边形ACC′A′是菱形即可求得CB′的长度.
解：（1）四边形ACC′A′是菱形，理由如下：
由平移的性质可得：AA'=CC'，且AA'∥CC'
∴四边形ACC′A′是平行四边形，
∵AA'∥CC'，
∴∠AA'C=∠A'CB'，
∵CD平分∠ACB'，
∴∠ACA'=∠A'CB'，
∴∠ACA'=∠AA'C，
∴AA'=AC，
∴平行四边形ACC′A′是菱形；
（2）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8，
∴cos∠BAC=，
∴AC=10，
∴BC=
由平移的性质可得：BC=B'C'=6，
由（1）得四边形ACC′A′是菱形，
∴AC=CC'=10，
∴CB'=CC'﹣B'C'=10﹣6=4．
【点睛】熟悉“平移的性质和菱形的判定方法”是正确解答本题的关键.
【考点】锐角三角函数，矩形的性质，勾股定理
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，易得AD=BC，∠ADE=∠BAC，结合AB=3，cos∠ADE=即可求得AC的长，再由勾股定理即可求得AD的长了；
（2）由（1）中所得AC、AD及CD的长结合S△ACD=AD·CD=AC·DE可求得DE的长，由此在△DEC中由勾股定理可得CE的长，这样就可求得△DEC的面积.
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，DE⊥AC于点E，
∴AD=BC，CD=AB=3，∠BAD=∠ADC=∠AED=90°，
∴∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAC=∠ADE，
∵cos∠ADE=，
∴cos∠BAC=，即，解得：AC=5，
∴在Rt△ADC中，AD=；
（2）∵DE⊥AC于点E，
∴S△ADC=AC·DE=AD·DC，即DE=，解得DE=，
∴在Rt△DEC中，EC=，
∴S△DEC=DE·EC=.
【考点】锐角三角函数，一元二次方程的两个根，平行四边形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定
【分析】（1）求出一元二次方程的两个根，再结合OA＞OB即可得到结果；
（2）先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；分别求出两三角形夹直角的两对应边的比，如果相等，则两三角形相似，否则不相似；
解：（1）解一元二次方程得，
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3，
在 ，
∴ ，
∴cos∠ABC= ；
（2）设E（x，0），由题意得
解得
∴E（，0）或（，0），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D的坐标是（6，4）
设经过D、E两点的直线的解析式为
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为
若图象过点（，0），（6，4）
则，解得
此时函数解析式为
在△AOE与△DAO中，
，
又∵∠AOE=∠OAD=90°
∴△AOE∽△DAO。