课件47张PPT。第2章——推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理[学习目标]
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.
2.了解合情推理在数学发展中的作用.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠.2.由合情推理得到的结论可靠吗？
答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.·[预习导引]
1.归纳推理
(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理.归纳推理的思维过程大致是 → →
.实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)归纳推理的特点：
①归纳推理是从 到 的推理；
②由归纳推理得到的结论 正确；
③归纳推理是一种具有 的推理.特殊一般不一定创造性2.类比推理
(1)类比推理的定义：
根据 对象之间在某些方面的 或 ，推演出它们在其他方面也 或 ，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法.两个(或两类)相同相似相同相似(2)类比推理的思维过程：3.合情推理
合情推理是根据 、 、 ，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 和 是数学活动中常用的合情推理.已有的事实正确的结论实验和实践的结果归纳推理类比推理要点一 归纳推理的应用
例1 观察如图所示的“三角数阵”
1 …………第1行
2 2 …………第2行
3 4 3 …………第3行
4 7 7 4 …………第4行
5 11 14 11 5 …………第5行
………… 记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.6 16 2525 16 6(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
解 a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)归纳出an＋1与an的关系式.
解 ∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4
由此归纳：an＋1＝an＋n.规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解.跟踪演练1 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式.
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
解 由已知可得a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)a1＝a，an＋1＝ ；∴a1＝1.(3)对一切n∈N*，an>0，且要点二 类比推理的应用
例2 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示
为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角
A，B，C的对边.类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想.
解 如右图所示，在四面体P－ABC中，
设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，
△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，
其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手.由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
(2)平面图形与空间图形的类比：要点三 平面图形与空间图形的类比
例3 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：解规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法.跟踪演练3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是________.
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等； ②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.
答案 ①②③1.下列推理中，是归纳推理的有________.
①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a＞AB，得P的轨迹为椭圆；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式；
1234④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特珠到一般的推理.
答案 ②123412342.下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是________.1234解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.
∴第36颗珠子的颜色为白色.
答案 白色3.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……………………1234按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________.123412344.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝
记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1234三角形数 N(n,3)＝ n2＋ n，
正方形数 N(n,4)＝n2，
五边形数 N(n,5)＝ n2－ n，
六边形数 N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝__________.1234解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，
可以推测：当k为偶数时，1234＝1 100－100＝1 000.答案 1 000课堂小结
1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的过程概括为：一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明.
2.归纳推理与类比推理都属合情推理：
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理. (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.课件42张PPT。第2章——推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理[学习目标]
1.理解演绎推理的意义.
2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.演绎推理的结论一定正确吗？
答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确.2.如何分清大前提、小前提和结论？
答 在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义.例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义.3.演绎推理一般是怎样的模式？
答 “三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.[预习导引]
1.演绎推理
由 的命题推演出 命题的推理方法，通常称为演绎推理.
演绎推理是根据 和 (包括 、 、 等)，按照严格的 得到新结论的推理过程. 是演绎推理的主要形式.一般性特殊性已有的事实正确的结论定义公理定理逻辑法则三段论2.三段论
(1)三段论的组成
①大前提——提供了一个 .
②小前提——指出了一个 .
③结论——揭示了 与 的内在联系.特殊对象特殊对象一般性的原理一般原理(2)三段论的常用格式为
M－P( ) S－M( ) S－P( )M是PS是PS是M要点一 用三段论的形式表示演绎推理
例1 把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
解 在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃， 大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃， 小前提
水会沸腾. 结论 (2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
解 一切奇数都不能被2整除， 大前提
2100＋1是奇数， 小前提
2100＋1不能被2整除. 结论(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数.
解 三角函数都是周期函数， 大前提
y＝tan α是三角函数， 小前提
y＝tan α是周期函数. 结论 规律方法 用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.一般可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略.在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.跟踪演练1 试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；
解 大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；
小前提：海王星是太阳系里的大行星；
结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行.(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
解 大前提：所有导体通电时发热；
小前提：铁是导体；
结论：铁通电时发热.(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
解 大前提：一次函数都是单调函数；
小前提：函数y＝2x－1是一次函数；
结论：y＝2x－1是单调函数.(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式.
解 大前提：等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q；
小前提：数列1,2,3，…，n是等差数列；
结论：数列1,2,3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式.要点二 演绎推理的应用
例2 正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长均为a，D、E分别为C1C与AB的中点，A1B交AB1于点G.
(1)求证：A1B⊥AD；
证明 连结BD.
∵三棱柱ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴A1ABB1为正方形，∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，
∴△A1C1D≌△BCD，
∴A1D＝BD，
∵G为A1B的中点，
∴A1B⊥DG，
又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD?平面AB1D，
∴A1B⊥AD.(2)求证：EC∥平面AB1D.
证明 连结GE，
∵EG∥A1A，
∴GE⊥平面ABC.
∵DC⊥平面ABC，
∴GE∥DC，
∵GE＝DC＝ a，∴四边形GECD为平行四边形，
∴EC∥GD.
又∵EC?平面AB1D，DG?平面AB1D，
∴EC∥平面AB1D.规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略.
(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提.即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数.任取x1，x2∈R，且x1例3 如图所示，三棱锥A－BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂直，O为点A在底面BCD上的射影.
(1)求证：O为△BCD的垂心；
证明 ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A，
∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC.
∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC，
∵AD∩AO＝A，
∴BC⊥平面AOD，
∴BC⊥DO，同理可证CD⊥BO，
∴O为△BCD的垂心.(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明.
证明：连结DO并延长交BC于E，连结AE，
由(1)知AD⊥平面ABC，
AE?平面ABC，∴AD⊥AE，又AO⊥ED，
∴AE2＝EO·ED，规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下).跟踪演练3 已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn＝ (n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.
解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：证明如下：设等差数列{an}的公差为d，1.“因对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝log x是对数函数(小前提)，所以y＝log x是增函数(结论).”上面推理的错误是___________________.1234大前提错导致结论错12342.下面几种推理过程是演绎推理的是______(只填序号).
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质1234③某校高三共有10个班，1班有51个，2班有53个，3班有52人，由此推测各班都超过50人
④在数列{an}中，a1＝1，an＝ (an－1＋ )(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案 ①3.把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________________________；
小前提：____________________________；
结论：_________________________________.1234二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数 函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4.指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因：
(1)因为中国的大学分布在中国各地， 大前提
北京大学是中国的大学， 小前提
所以北京大学分布在中国各地. 结论1234解 推理形式错误.
大前提中的M是“中国的大学”，它表示中国的各所大学，
而小前提中M虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，
故推理形式错误.1234(2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提
而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提
所以菱形是正多边形. 结论
解 是错误的，
原因是大前提错误.因为所有边长都相等，
内角也都相等的凸多边形才是正多边形.1234课堂小结
1.演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确.
2.在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.课件35张PPT。第2章——推理与证明2.1 合情推理与演绎推理
2.1.3 推理案例赏析[学习目标]
1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.
2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？
答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.2.类比推理的结论是否一定正确？
答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.3.合情推理与演绎推理有何异同之处？
答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理.演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理.合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程.[预习导引]
1.数学活动与探索
数学发现活动是一个 的过程，是一个不断地 、 的过程.探索创造提出猜想验证猜想2.合情推理和演绎推理的联系
在数学活动中，合情推理具有 、 、 的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出 ，从而为调控探索活动提供 . 提出猜想发现结论提供思路“判决”或证明依据要点一 运用归纳推理探求结论规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________.解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.
猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.
答案 n2要点二 运用类比推理探求结论
例2 例2 Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA(如图甲).类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥P－ABC中，
作PO⊥平面ABC，连结OB，OC，
猜想下列结论：S ＝S△OBC·S△ABC.
证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.
PA⊥PB，PA⊥PC?PA⊥平面PBC.
∵PD?平面PBC，BC?平面PBC，∴PA⊥PD，PA⊥BC.
∵PO⊥平面ABC，AD?平面ABC，BC?平面ABC，
∴PO⊥AD，PO⊥BC.
∴BC⊥平面PAD.∵PD2＝OD·AD，∴BC⊥AD，BC⊥PD.规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性.一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠.跟踪演练2 如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中， ＝l，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出
其真假.
(1) ；
(2)_____________________ .真命题 假命题要点三 运用演绎推理证明结论的正确性
例3 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)求证数列{an－n}是等比数列；
证明 由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴数列{an－n}是以a1－1，
即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列.(2)求数列{an}的前n项和Sn；
解 由(1)可知an－n＝4n－1，
∴an＝n＋4n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*).规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提.跟踪演练3 已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，
试证明：f(x)为R上的单调增函数.
证明 设x1，x2∈R，取x1则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x1∴f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1).
∴y＝f(x)为R上的单调增函数.1.一个数列的第2项到第4项分别是3， ， ，据此可以猜想这个数列的第一项是________.123412342.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：_________________________________.球内接平行六面体一定是长方体3.设xi>0 (i∈N*)，有下列不等式成立，x1＋x2≥2 ；x1＋x2＋x3≥3 ，…类比上述结论，对于n个正数x1，x2，…，xn，猜想有下述结论 . 12344.已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则1234解析 令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)f(1)， 1234答案 4 028＝2＋2＋…＋2＝2×2 014＝4 028.课堂小结
1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程.
2.合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向.课件43张PPT。课件38张PPT。课件38张PPT。一般性特殊性一般性原理个别特殊事实前提之中存在必然收敛性理论化系统化一般性的原理特殊对象一般原理特殊对象课件40张PPT。第2章课堂互动区考点一考点二训练提能区2.1
合情推理与演绎推理第 4课时
推理案例赏析考点三课件38张PPT。第2章——推理与证明2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 直接证明[学习目标]
1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.
2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.[预习导引]
1.直接证明
直接 逐步推得 的证明通常称为
直接证明. 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.从原命题的条件命题成立综合法和分析法2.综合法
从 出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 为止，这种证明方法通常称为综合法.已知条件要证明的结论3.分析法
从 出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和 吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.问题的结论已知条件或已知事实要点一 综合法的应用
例1 已知a，b是正数，且a＋b＝1，
证明 方法一 ∵a，b是正数且a＋b＝1，方法二 ∵a，b是正数，又a＋b＝1，当且仅当a＝b时，取“＝”.规律方法 利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法.
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪演练1 在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形.
证明 由A、B、C成等差数列，
有2B＝A＋C. ①
因为A、B、C为△ABC的内角，
所以A＋B＋C＝π. ②由①②，得B＝ . ③
由a、b、c成等比数列，
有b2＝ac. ④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，
得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
因此a＝c，
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤，
得A＝B＝C＝ .
所以△ABC为等边三角形.要点二 分析法的应用
例2 设a，b为实数，
证明 当a＋b≤0时，当a＋b>0时，用分析法证明如下：即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，综上所述，不等式得证.规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”.跟踪演练2 如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明 要证AF⊥SC，
只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).
由SA⊥平面ABC可知上式成立，
所以AF⊥SC.要点三 综合法和分析法的综合应用
例3 已知a、b、c是不全相等的正数，且02x＝a＋b,2y＝b＋c. ②只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.1.下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有________个.
解析 ①②③⑤正确.1234412342.设a，b是两个正实数，且a＝log195＋log1932＋log19231234＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)，12341234只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，1234∴1－tan α＝2＋tan α，
即2tan α＝－1.∴结论得证.课堂小结
1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因.
2.分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语.
3.在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的.没有分析就没有综合；没有综合也没有分析.问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.课件36张PPT。课件37张PPT。课件32张PPT。第2章——推理与证明1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.2.演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.题型一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.例1 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.解析 记an＋bn＝f(n)，
则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；
f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；
f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.
通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，
则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；
f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；
f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；
f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
答案 123跟踪演练1 给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________.解析 (a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，
故①错误.
sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立.
如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝ ，
故②错误.
由向量的运算公式知③正确.
答案 1题型二 直接证明
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式.如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.∵a>0，而上述不等式显然成立，
故原不等式成立.跟踪演练2 如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，
求证：(1)直线EF∥平面ACD；
证明 要证直线EF∥平面ACD，
只需证EF∥AD且EF?平面ACD.因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，
所以直线EF∥平面ACD.
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明 要证平面EFC⊥平面BCD，
只需证BD⊥平面EFC，
只需证因为
所以EF⊥BD.
又因为CB＝CD，F为BD的中点，
所以CF⊥BD.
所以平面EFC⊥平面BCD.题型三 反证法
如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法.通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立.反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立
体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题.例3 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明： 是函数f(x)的一个零点；
证明 ∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，
∴x1＝c是f(x)＝0的根，由00，跟踪演练3 若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋ ，b＝y2－2z＋ ，c＝z2－2x＋ .求证：a，b，c中至少有一个大于0.
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明 假设a，b，c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋ ＋y2－2z＋ ＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，
且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，
因此假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个大于0.课堂小结
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理
(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：?d∈M，d也具有某属性.
(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)2.使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：课件37张PPT。
