课件32张PPT。第3章——数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充[学习目标]
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数.[预习导引]
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做 .a叫做复数的____，b叫做复数的 .
(2)复数的表示方法：复数通常用字母 表示，即 .
(3)复数集定义： 所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.虚数单位虚部zz＝a＋bi全体复数实部2.复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)(2)集合表示：3.复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di? .a＝c且b＝d要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；
②的实部为－3，虚部为 ，是虚数；
③的实部为 ，虚部为1，是虚数；
④的实部为π，虚部为0，是实数；
⑤的实部为0，虚部为－ ，是纯虚数；
⑥的实部为0，虚部为0，是实数.规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪演练1 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________.解析 根据复数的有关概念判断命题的真假.
①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数.
②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，
③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数.
④是假命题，因为没有强调a，b∈R.
⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立.
答案 0要点二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时，z＝ ＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.(1)复数z是实数的充要条件是∴当m＝－2时复数z是实数.∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数.(2)复数z是虚数的充要条件是(3)复数z是纯虚数的充要条件是∴当m＝3时复数z是纯虚数.规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)
＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.要点三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值.
解 ∵x2－y2＋2xyi＝2i，(2)关于x的方程3x2－ x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值.
解 设方程的实数根为x＝m，
则原方程可变为3m2－ m－1＝(10－m－2m2)i，解得a＝11或a＝－ .规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪演练3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得综上可知m＝1或m＝2.1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________.123412342.在复数集中，方程x2＋2＝0的解是x＝________.3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为________.1234∴m＝0.04.下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；12341234⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦ i是一个无理数.
其中正确命题的个数为________.解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误.4课堂小结
1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况.
2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.课件34张PPT。课件39张PPT。第3章——数系的扩充与复数的引入3.2 复数的四则运算[学习目标]
1.理解复数代数形式的四则运算法则.
2.能运用运算法则进行复数的四则运算.1预习导学 挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功[知识链接]
1.复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.2.若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小.3.复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.[预习导引]
1.复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝ ，z1－z2＝ .
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝ ，(z1＋z2)＋z3＝ .(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)2.复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.3.复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有z2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z34.共轭复数：把 的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数记作 ，即
＝ .实部相等、虚部互为相反数a－bi5.复数的除法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋d i(c＋di≠0)，要点一 复数加减法的运算
例1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
解 原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i).
解 原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.跟踪演练1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；
解 原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解 原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.要点二 复数乘除法的运算
例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
解 (1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.(2)(3＋4i)(3－4i)；
解 (3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2
＝9－(－16)＝25.
(3)(1＋i)2.
解 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.跟踪演练2 计算：(1)(2＋i)(2－i)；
解 (2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.
(2)(1＋2i)2.
解 (1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2
＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.例3 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).＝1－i.要点三 共轭复数及其应用
例4 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数 .
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)
＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，
而(3＋4i)z是纯虚数，
所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点.跟踪演练4 已知复数z满足：z· ＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z· ＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴a＋b＝4，
∴复数z的实部与虚部的和是4.1.复数z1＝2－ i，z2＝ －2i，则z1＋z2＝________.12342.若z＋3－2i＝4＋i，则z＝________.
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.12341＋3i1234i12341234化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，
则a＝±2，1234仅有a＝－2满足，
故a＝－2.
答案 －2课堂小结
1.复数的四则运算：
(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化.
2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题.
3.复数问题实数化思想：
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.课件39张PPT。课件28张PPT。课件38张PPT。课件49张PPT。第3章——数系的扩充与复数的引入1知识网络 系统盘点，提炼主干2要点归纳 整合要点，诠释疑点3题型研修 突破重点，提升能力章末复习提升1.复数的概念
(1)虚数单位i；
(2)复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)；
(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数.复数a＋bi?
(a，b∈R)?2.复数集3.复数的四则运算
若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)
(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；
(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；
(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；
(1±i)2＝±2i；
若ω＝ 则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4.共轭复数与复数的模5.复数的几何形式
(1)用点Z(a，b)表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量 表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)，Z称为z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0).(2)任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量 .题型一 分类讨论思想的应用
当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论.分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数.当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论.解 当z为实数时，∴当a＝6时，z为实数.解 当z为虚数时，∴a≠±1且a≠6，
即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数.解 当z为纯虚数时，∴不存在实数a，使z为纯虚数.跟踪演练1 当实数a为何值时，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)为实数；
解 z∈R?a2－3a＋2＝0，
解得a＝1或a＝2.(2)为纯虚数；
解 z为纯虚数，故a＝0.(3)对应的点在第一象限内；
解 z对应的点在第一象限，∴a＜0，或a＞2.
∴a的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).(4)复数z对应的点在直线x－y＝0上.
解 依题设(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，
∴a＝2.题型二 数形结合思想的应用
数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法.本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现.它们得以相互转化.涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等.例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
解 设z＝x＋yi，x，y∈R，如图.
∵OA∥BC，OC＝BA，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，∵OA≠BC，
∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.跟踪演练2 已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值.
解 如图所示，由|z|＝1可知，
z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2).
所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值.
由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)题型三 转化与化归思想的应用
在求复数时，常设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要.例3 已知z是复数，z＋2i， 均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，
∴y＝－2.∴x＝4.
∴z＝4－2i，
又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2
＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限.解得2
∴实数a的取值范围是(2,6).跟踪演练3 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，题型四 类比思想的应用
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i2＝－1.
在运算的过程中常用来降幂的公式有
(1)i的乘方：i4k＝1，i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i(k∈Z)；
(2)(1±i)2＝±2i；(3)设ω＝ ，则ω3＝1，ω2＝ ，1＋ω＋ω2＝0， ＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N*)等；(5)作复数除法运算时，有如下技巧：利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.＝i－i＝0.＝2－(i＋3)－i
＝－1－2i.课堂小结
高考对本章考查的重点
1.对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念.
2.对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数.最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
3.对复数几何意义的考查.在高考中 一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义.课件31张PPT。