2018高中数学苏教版选修1-2练习：第1章统计案例章末检测

第1章 统计案例
章末检测
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．为了调查色弱与性别是否有必然联系，我们对一批人进行了检测，结果发现表中数据(人数)：
男
女
正常
a
b
色弱
c
d
统计量χ2的计算公式为
χ2＝，χ2的值越大，表明判定色弱与性别有关的可靠性越________(填“大”或“小”)．
答案　大
2．若线性回归方程中的回归系数＝0，则相关系数r＝________.
答案　0
解析　＝，
r＝.
若＝0，则r＝0.
3．如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程＝x＋＋e(单位：亿元)．其中，＝0.8，＝2，|e|≤0.5.若今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过________亿元．
答案　10.5
解析　回归方程为＝0.8x＋2＋e，当x＝10时，y＝0.8×10＋2＋e≤10＋0.5＝10.5.
4．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性线性回归方程＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是________．
①>b′，>a′；②>b′，③a′；④答案　③
解析　b′＝2，a′＝－2，
由公式＝求得．
＝，＝－＝－×＝－，
∴a′.
5．已知x，y的取值如下表：
x
2
3
5
6
y
2.7
4.3
6.1
6.9
从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为
＝1.02x＋，则＝________.
答案　0.92
解析　由题意得＝4，＝5，又(，)在直线＝1.02x＋上，所以＝5－4×1.02＝0.92.
6．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：
杂质高
杂质低
旧设备
37
121
新设备
22
202
根据以上数据，则可得到的结论是________．
答案　含有杂质的高低与设备改造有关
解析　由已知数据得2×2列联表，得公式χ2＝≈13.11
由于13.11>10.828，所以有99.9%的把握认为含有杂质的高低与设备改造有关．
7．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.
答案　185
解析　由题意可得父亲和儿子的身高组成了三个坐标(173,170)、(170,176)、(176,182)，
∴＝＝173，
＝＝176，
∴＝＝1，
∴＝－×＝176－173＝3，
∴＝x＋3，
即孙子的身高约为＝182＋3＝185.
8．某工厂为了调查工人文化程度与月收入关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：
月收入2000元以下
月收入2000元及以上
合计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
合计
30
75
105
由上表中数据计算得χ2＝≈6.109，估计有________把握认为“文化程度与月收入有关系”．
答案　97.5%
9．计算下面事件A与事件B的2×2列联表的χ2统计量值，得χ2≈________，从而得出结论________.
B
合计
A
39
157
196
29
167
196
合计
68
324
392
答案　1.779　没有充分的证据显示两者有关系
解析　χ2＝≈1.779.
∵1.779<2.706，∴没有充分的证据显示两者有关系．
10．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.
气温(℃)
14
12
8
6
用电量(度)
22
26
34
38
由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为________．
答案　40
解析　回归方程过点(，)＝(10,30)，
则回归方程为＝－2x＋50.
故当x＝5时，＝－2×5＋50＝40.
11．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列联表如下：
y1
y2
合计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
对于同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为________．(填序号)
①a＝9，b＝8，c＝7，d＝6；
②a＝9，b＝7，c＝8，d＝6；
③a＝6，b＝7，c＝8，d＝9；
④a＝7，b＝6，c＝8，d＝9.
答案　④
解析　对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间关系越强．通过计算可知①②③中的|ad－bc|＝|54－56|＝2，④中|ad－bc|＝|63－48|＝15.
12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：
温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度(y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由资料看y与x呈线性相关，试求线性回归方程为______________________________．
答案　＝0.8809x＋67.173
解析　＝30，＝
＝93.6，
iyi＝0×66.7＋10×76.0＋20×85.0＋50×112.3＋70×128.0＝17035，
＝02＋102＋202＋502＋702＝7900.
＝≈0.8809.
＝－＝93.6－0.8809×30＝67.173.
故线性回归方程为＝0.8809x＋67.173.
13．对有关数据的分析可知，每一立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y(单位：kg/cm2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为＝0.30x＋9.99.根据建设项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7kg/cm2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确度0.1kg)
答案　265.7
解析　由0.30x＋9.99≥89.7，得x≥265.7.
14．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下推断实验效果与教学措施________(填“有关”、“无关”).
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
答案　有关
解析　χ2＝≈8.306>7.879，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“实验效果与教学措施有关”．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)在调查男女同学是否喜爱篮球的情况中，已知男同学喜爱篮球的为28人，不喜爱篮球的也是28人，而女同学喜爱篮球的为28人，不喜爱篮球的为56人，
(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；
(2)试判断是否喜爱篮球与性别有关？
解　(1)2×2列联表如下：
喜爱篮球
不喜爱篮球
合计
男同学
28
28
56
女同学
28
56
84
合计
56
84
140
(2)计算
χ2＝＝≈3.889.
因为χ2>3.841，故我们有95%的把握认为是否喜爱篮球与性别有关．
16．(14分)已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x(kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y(t)之间的关系有如下数据：
年份
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
x(kg)
70
74
80
78
85
92
90
95
y(t)
5.1
6.0
6.8
7.8
9.0
10.2
10.0
12.0
年份
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
x(kg)
92
108
115
123
130
138
145
y(t)
11.5
11.0
11.8
12.2
12.5
12.8
13.0
(1)求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关；
(2)若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量x之间的线性回归方程，并估计每单位面积菜地施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量．
(已知数据：＝101，≈10.1133，＝161125，
＝1628.55，iyi＝16076.8)
解　(1)由已知数据，故每单位面积蔬菜产量与使用氮肥量的相关系数
r＝＝
≈0.8632>r0.05＝0.514.
这说明每单位面积蔬菜产量与使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系．
(2)设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝≈0.0931，
＝－＝0.7102，
则＝0.0931x＋0.7102.
当每单位面积菜地施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量＝0.0931×150＋0.7102＝14.6752(t)．
17．(14分)下表是对某市8所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果：
吸烟学生
不吸烟学生
父母中至少有一人吸烟
816
3203
父母均不吸烟
188
1168
(1)在父母至少有一人吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？
(2)在父母均不吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？
(3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由．
(4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？
解　(1)×100%≈20.3%.
(2)×100%≈13.86%.
(3)有关，因为父母吸烟与不吸烟，其子女吸烟的比例有较大的差异．
(4)提出假设H0：学生的吸烟习惯和父母是否吸烟无关．根据列联表中的数据可以求得χ2＝27.677>10.828.因为当H0成立时，P(χ2>10.828)≈0.001，所以我们有99.9%以上的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关．
18．(16分)某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
P(χ2≥x0)
0.10
0.05
0.010
0.005
x0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：χ2＝.
解　(1)300×＝90，
所以应收集90位女生的样本数据．
(2)由频率分布直方图得
1－2×(0.025＋0.100)＝0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(人)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得χ2＝
＝≈4.762>3.841.
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
19．(16分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽数y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
解　(1)设事件A表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．
基本事件总数为10，事件包含的基本事件数为4.
∴P()＝＝，
∴P(A)＝1－P()＝.
(2)＝12，＝27，iyi＝977，＝434，
∴＝＝
＝2.5，
＝－＝27－2.5×12＝－3，
∴＝2.5x－3.
(3)由(2)知：当x＝10时，＝22，误差不超过2颗；
当x＝8时，＝17，误差不超过2颗．
故所求得的线性回归方程是可靠的．
20．(16分)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
附：χ2＝
P(χ2≥k)
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828
解　(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.
从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．
其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.
(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
25周岁以上组
15
45
60
25周岁以下组
15
25
40
合计
30
70
100
所以得χ2＝
＝＝≈1.79.
因为1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．