2018高中数学苏教版选修1-2练习：第2章推理与证明习题课练习

第2章 推理与证明
习题课
课时目标　1.进一步理解直接证明和间接证明的思想.2.利用两种证明方法解决简单的实际问题．
1．________证明和________证明是数学证明的两类基本证明方法．________法和________法是直接证明中最基本的两种证明方法；__________是间接证明的一种基本方法．
2．综合法和分析法经常结合使用；直接证明比较麻烦的结论，我们可以采用__________．
一、填空题
1．若实数a，b满足02．使不等式＋>1＋成立的正整数a的最大值为________．
3．设a，b，c三数成等比数列，而x，y分别为a，b和b，c的等差中项，则＋＝________.
4．m＝＋，n＝＋ (a≥0)，则m与n的大小关系是________．
5．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a②“x＝y”的反面是“x>y或x③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述的个数为________．
6．已知sin θ＋cos θ＝且≤θ≤，则cos 2θ＝______.
7．在等差数列{an}中，当ar＝as (r≠s)时，{an}必定是常数数列．然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s (r≠s)，当ar＝as时，非常数数列{an}的一个例子是____________．
8．若一个圆和一个正方形的周长相等，则圆的面积比正方形的面积________(填“大”或“小”)．
二、解答题
9．△ABC的三边长a、b、c的倒数成等差数列．
求证：B<90°.
10．如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．
求证：(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
能力提升
11．如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)
12．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
1．综合法和分析法的证明思路截然相反；分析法既可作为一种证明方法，也可以用来探求解题思路方向．
2．直接证明较复杂，可以考虑使用反证法．
习题课
答案
知识梳理
1．直接　间接　综合　分析　反证法
2．反证法
作业设计
1．a2＋b2
解析　∵a＋b＝1，a＋b>2，∴2ab<，
由a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大．
2．12　3.2　4.m5．1
解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
6．－
解析　∵sin θ＋cos θ＝，∴1＋sin 2θ＝，
∴sin 2θ＝－.∵≤θ≤，
∴π≤2θ≤.∴cos 2θ＝－＝－.
7．an＝(－1)n (答案不惟一)
解析　设等比数列公比为q，首项为a1，由ar＝as，
得a1qr－1＝a1qs－1，即qr－s＝1.
∵r≠s，∴r－s≠0.又q≠1，∴q＝－1，
则数列{an}可以为an＝(－1)n.
8．大
解析　设正方形和圆的周长都为a，依题意圆的面积S1＝π2，正方形的面积
S2＝2.要比较S1与S2的大小，只需比较与的大小，因为π<4，所以圆的面积S1比正方形的面积S2大．
9．证明　由题意知＝＋，∴b(a＋c)＝2ac.
∵cos B＝≥＝1－
＝1－＝1－，
又△ABC三边长a、b、c满足a＋c>b，
∴<1.∴1－>0.∴cos B>0，即B<90°.
10．证明　(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.
又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD.
(2)
连接BD.因为AB＝AD，
∠BAD＝60°，
所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，
所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，
BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
11．AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)
12．证明　假设a、b、c都不大于0，
即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0.
而a＋b＋c
＝＋＋
＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.