2018高中数学苏教版选修1-2练习：第2章推理与证明章末复习提升练习

第2章 推理与证明
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．
3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.
题型一　归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用．
运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
例1　观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________.
答案　123
解析　记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
跟踪演练1　给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________．
答案　1
解析　(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．
sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立．
如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝，故②错误．
由向量的运算公式知③正确．
题型二　直接证明
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用．
例2　已知a>0，求证：－≥a＋－2.
证明　要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋.
∵a>0，故只需证2≥2，
即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，
从而只需证2≥，
只要证4≥2，
即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
跟踪演练2　
如图，在四面体B－ACD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：
(1)直线EF∥平面ACD；
(2)平面EFC⊥平面BCD.
证明　(1)要证直线EF∥平面ACD，
只需证EF∥AD且EF?平面ACD.
因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD，所以直线EF∥平面ACD.
(2)要证平面EFC⊥平面BCD，
只需证BD⊥平面EFC，
只需证因为所以EF⊥BD.
又因为CB＝CD，F为BD的中点，
所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.
题型三　反证法
如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通过反设结论，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成立．
反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：否定性、惟一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
例3　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是函数f(x)的一个零点；
(2)试用反证法证明>c.
证明　(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，
∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，
又x1x2＝，∴x2＝(≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．
即是函数f(x)的一个零点．
(2)假设0，由00，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
跟踪演练3　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.
证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾，因此假设不成立，
∴a，b，c中至少有一个大于0.
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理
(1)归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：?d∈M，d也具有某属性．
(2)类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
2．使用反证法证明问题时，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：
原结论词
反设词
原结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
p且q
至多有n个
n＋1个
p且q
p或q