2018高中数学苏教版选修1-2练习：第2章推理与证明章末总结练习

第2章 推理与证明
章末总结
知识点一　合情推理
归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．
例1　在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？
例2　如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
知识点二　演绎推理
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
演绎推理的一般模式是“三段论”．
例3　已知函数f(x)＝＋bx，其中a>0，b>0，x∈(0，＋∞)，确定f(x)的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．
知识点三　综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
例4　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
知识点四　反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
例5　已知a，b，c∈(0,1)．求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
例6　如图所示，已知两直线l∩m＝O，l?α，m?α，l?β，m?β，α∩β＝a.求证：l与m中至少有一条与β相交．
章末总结
答案
重点解读
例1　解　设n条直线分平面为Sn部分，先实验观察特例有如下结果：
n
1
2
3
4
5
6
…
Sn
2
4
7
11
16
22
…
n与Sn之间的关系不太明显，但Sn－Sn－1有如下关系：
n
1
2
3
4
5
6
…
Sn
2
4
7
11
16
22
…
Sn－Sn－1
2
3
4
5
6
…
观察上表发现如下规律：Sn－Sn－1＝n(n＝2,3，…)．
这是因为在n－1条直线后添加第n条直线被原(n－1)条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n部分，
所以Sn＝Sn－1＋n，即Sn－Sn－1＝n.
从而S2－S1＝2，S3－S2＝3，S4－S3＝4，…，Sn－Sn－1＝n.
将上面各式相加有Sn－S1＝2＋3＋…＋n，
∴Sn＝S1＋2＋3＋…＋n＝2＋2＋3＋…＋n
＝1＋.
例2　解　
如图所示，在四面体P—ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，
其形式应为：
S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
例3　解　f(x)的单调区间为和，证明如下：设0f(x1)－f(x2)＝－
＝(x2－x1).
当0则x2－x1>0,0b，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在上是减函数．
当x2>x1≥时，
则x2－x1>0，x1x2>，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在上是增函数．
例4　证明　方法一　(综合法)
＝··
＝··＝
≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，所以不等式成立．
方法二　(分析法)
要证≥8成立，
只需证··≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证··≥8成立．
即··≥8.
只需证··≥··≥8成立，
而··≥8显然成立，
故≥8成立．
例5　证明　假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得：
(1－a)·a·(1－b)·b·(1－c)·c>， ①
又因为0∴0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤， ②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
例6　证明　假设l，m都不与β相交，
∵l?β，m?β，∴l∥β且m∥β.
又∵l?α，m?α，α∩β＝a，
∴l∥a，m∥a，∴l∥m.
这与已知l、m是相交直线矛盾．
因此l和m至少有一条与β相交．