2018高中数学苏教版选修1-2练习：第3章数系的扩充与复数的引入章末检测（A）

第3章　数系的扩充与复数的引入(A)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列命题中正确的有________．(填序号)
①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
②复数z是实数的充要条件是z＝；
③复数z是纯虚数的充要条件是z＋＝0；
④i＋1的共轭复数是i－1.
2．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P、Q，则向量对应的复数是________．
3．已知复数z1＝x＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，则实数x的取值范围是________．
4．已知复数z＝1－i，则＝________.
5．已知z1＝3－4i，z2＝－7－2i，z1、z2对应点分别为P1，P2，则对应复数为________．
6．复数z＝的共轭复数＝________.
7．设＝＋ (x，y∈R)，则x＝________，
y＝________.
8．若(2－i)·4i＝4－bi (其中i为虚数单位，b为实数)，则b＝________.
9．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
10．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
11．已知＝1＋i，其中m是实数，i是虚数单位，则在复平面内复数－1＋mi对应的点在第________象限．
12．设f(n)＝()n＋()n(n∈Z)，则值域中元素有________个．
13．若复数z＝，则|＋3i|＝________.
14．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C.若＝2＋，则a＝________，b＝________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是
(1)虚数，(2)纯虚数．
16．(14分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．
17．(14分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
18．(16分)已知复数z的模为2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
19．(16分)已知z是虚数，证明：z＋为实数的充要条件是|z|＝1.
20．(16分)复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
第3章　数系的扩充与复数的引入(A)
答案
1．②
2．3＋i
解析　：z2－z1＝2－i3－()2＝2＋i＋1
＝3＋i.
3．(－1,1)
解析　∵|z2|＝，∴x2＋4<5，
∴x2<1，∴－14．2
解析　∵z＝1－i，∴z2＝－2i，
又z－1＝1－i－1＝－i，则＝＝2.
5．10－2i
解析　∵＝－，
∴对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－7－2i)＝(3＋7)－(4－2)i＝10－2i.
6．1－i
解析　z＝＝i(1－i)＝1＋i.∴＝1－i.
7.　－
解析　由已知可得
＝＋，
所以＝＋，
即－i＝＋＋i.
所以　所以
8．－8
解析　4＋8i＝4－bi，∴b＝－8.
9．－2i
解析　设z＝yi (y∈R，且y≠0)，则
＝∈R，
∴2＋y＝0，即y＝－2，∴z＝－2i.
10．(1)1或2　(2)－
解析　(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由题意知：m2－3m＋2＝0，
即m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)由题意得
解得m＝－.∴当m＝－时，z是纯虚数．
11．二
解析　∵m＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴－1＋mi＝－1＋2i，故其对应的点在第二象限．
12．3
解析　f(n)＝in＋(－i)n，n取特殊值1,2,3,4，可得相应的值．f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2.
13.
解析　∵z＝＝＝－1＋i.
∴＝－1－i，∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝.
14．－3　－10
解析　∵＝2＋
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即　∴.
15．解　由于m∈R，复数z可表示为
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当，
即m＝－时，z为纯虚数．
16．解　设z＝a＋bi (a，b∈R)．
因为|z|＝5，所以a2＋b2＝25.
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)
＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，
又(3＋4i)z在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，所以3a－4b＋4a＋3b＝0，
得b＝7a，
所以a＝±，b＝±，即z＝±，
所以z＝±(1＋7i)．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2.
当z＝－(1＋7i)时，
同理可得m＝0，或m＝－2.
17．解　z＝
＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi (m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴　∴m＝4.∴a＝4i.
18．解　利用公式||z1|－|z2||
≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
∵|z|＝2，∴||z|－|1＋i||
≤|z＋1＋i|≤|z|＋|1＋i|.
∴0≤|z＋1＋i|≤2＋2，
∴|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4.
19．证明　设z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
当|z|＝1，即x2＋y2＝1时，z＋＝2x∈R.
当z＋∈R，即y－＝0时，又y≠0，
∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.
∴z＋为实数的充要条件是|z|＝1.
20．解　z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4. ①
∵复数0、z、对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1. ②
又∵z对应的点在第一象限，
∴－2a>0，－2b>0，∴a由①②③得
故所求值为a＝－，b＝－1.