2018高中数学苏教版选修1-2练习：第3章数系的扩充与复数的引入章末检测（B）

第3章　数系的扩充与复数的引入(B)
(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是________．
2．复数1＋＝__________.
3．如图，设向量，，，所对应的复数分别为z1，z2，z3，z4，那么z2＋z4－2z3＝______________.
4．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝__________.
5．设z＝1＋i (i是虚数单位)，则z＋z＋＝______.
6．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z为________．
7．若(m＋i)3∈R，则实数m的值为________．
8．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值为________．
9．若是方程x2＋px＋1＝0的一个根，则p＝________.
10．在复平面上复数－1＋i、0、3＋2i所对应的点分别是A、B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为________．
11．在复平面内，复数对应点的坐标为________．
12．下列命题，正确的是________．(填序号)
①复数的模总是正实数；
②虚轴上的点与纯虚数一一对应；
③相等的向量对应着相等的复数；
④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数．
13．设z1＝1＋i，z2＝－2＋2i，复数z1和z2在复平面内对应点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
14．若复数z＝2＋2i对应的点为Z，则向量所在直线的倾斜角θ＝________.
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)计算＋(5＋i19)－22.
16．(14分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
17．(14分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
18．(16分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q的轨迹．
19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
20．(16分)已知复数z1＝i(1－i)3，
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
第3章　数系的扩充与复数的引入(B)
答案
1．1
解析　∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，
∴∴x＝1.
2．1＋2i
解析　1＋＝1－＝1＋2i.
3．0
解析　∵z2＋z4－2z3＝z2－z3＋(z4－z3)，而z2－z3对应的向量运算为：－＝－＝，z4－z3对应的向量运算为：－＝，又∵＋＝0，∴z2＋z4－2z3＝0.
4．－2i
解析　设z＝bi (b≠0)，则
＝＝＝.
因为是实数，所以2＋b＝0，
∴b＝－2，∴z＝－2i.
5．4
解析　z＋z＋＝(1＋i)(1－i)＋1＋i＋1－i
＝2＋2＝4.
6．3－i
解析　＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2i，
∴z＝＝＝＝3－i.
7．±
解析　因为(m＋i)3∈R，(m＋i)3＝m3－3m＋(3m2－1)i，所以3m2－1＝0，解得m＝±.
8．4
解析　复数z满足条件|z|＝1，z所对应的点的轨迹是单位圆，而|z＋2＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－2，－1)的距离．
从图形上可得|z＋2＋i|的最大值是4.
9．1
解析　已知是方程x2＋px＋1＝0的一个根，则x＝满足方程，
代入得2＋p·＋1＝0，
整理得(1－p)＋＝0，解得p＝1.
10．
解析　对应的复数为－1＋i，对应的复数为3＋2i，∵＝＋，
∴对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.
∴BD的长为.
11．(－1,1)
解析　＝＝i(1＋i)＝－1＋i.
∴复数对应点的坐标为(－1,1)．
12．③
13．2
解析　由题意知＝(1,1)，＝(－2,2)，
且||＝|z1|＝，||＝|z2|＝＝2.
∴cos∠AOB＝
＝＝0.
∴∠AOB＝，∴S△AOB＝||·||
＝××2＝2.
14．
解析　由题意＝(2，2)，
∴tan θ＝＝，即θ＝.
15．解　原式＝＋(5＋i3)－
＝i＋(5－i)－i11＝5－i3＝5＋i.
16．解　因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得：x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根据复数相等的定义，得：
方程①的解为x＝－3或x＝2，
方程②的解为x＝－3或x＝6.
∴x＝－3.
17．解　(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)
＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，该复数为实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，该复数为虚数．
(3)当
即k＝4时，该复数为纯虚数．
18．解　∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－3＋4i.
又|2z1|＝2，∴|z2－3＋4i|＝2，
即|z2－(3－4i)|＝2.
由模的几何意义知点Q的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．
19．解　(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴，得.∴b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
20．解　方法一　(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)
＝2(1－i)，∴|z1|＝＝2.
方法二　|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3
＝1×()3＝2.
(2)∵|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，
|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|
＝
＝.
∴当sin＝1时，|z－z1|2取得最大值
9＋4，从而得到|z－z1|的最大值为2＋1.