2018高中数学苏教版选修1-2练习：第3章数系的扩充与复数的引入章末检测

第3章　数系的扩充与复数的引入
章末检测
一、填空题
1．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的________条件．
答案　充分不必要
解析　因为z1＝z2，
所以
解得m＝1或m＝－2，
所以m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．
2．i是虚数单位，复数的共轭复数为________．
答案　1－2i
解析　＝＝＝1＋2i，其共轭复数为1－2i.
3．已知a是实数，是纯虚数，则a＝________.
答案　1
解析　＝＝是纯虚数，则a－1＝0，a＋1≠0，解得a＝1.
4．若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝________.
答案　2＋i
解析　∵(x－i)i＝y＋2i，xi－i2＝y＋2i，∴y＝1，x＝2，
∴x＋yi＝2＋i.
5．在复平面内，O是原点，，，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，那么对应的复数为________．
答案　4－4i
解析　因为，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________．
答案　0
解析　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.
7．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
答案　
解析　因为复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，所以z＝＝＝＝＋i，
故z的虚部等于.
8．设x＝3＋4i，则复数z＝x－|x|－(1－i)在复平面上的对应点在第________象限．
答案　二
解析　∵x＝3＋4i，∴|x|＝＝5，
∴z＝3＋4i－5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i
＝－3＋5i.
∴复数z在复平面上的对应点在第二象限．
9．若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是________．
答案　(4，－2)
解析　z＝＝4－2i对应的点的坐标是(4，－2)．
10．已知f(n)＝in－i－n(n∈N*)，则集合{f(n)}的元素个数是________．
答案　3
解析　f(n)有三个值0,2i，－2i.
11．复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
答案　(3,4)
解析　∵z＝m2－4m＋(m2－m－6)i所对应的点在第二象限，∴，解得312．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
答案　1＋2i
解析　由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，即a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，所以a＋bi＝1＋2i.
13．下列说法中正确的序号是________．
①若(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，则必有；
②2＋i>1＋i；
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
④若一个数是实数，则其虚部不存在；
⑤若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．
答案　⑤
解析　由y∈?CR，知y是虚数，则不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．
14．下列是关于复数的类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由实数绝对值的性质|x|2＝x2类比得到复数z的性质|z|2＝z2；
③已知a，b∈R，若a－b＞0，则a＞b类比得已知z1，z2∈C，若z1－z2＞0，则z1＞z2；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．
其中推理结论正确的是________．
答案　①④
二、解答题
15．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当m为何值时，
(1)z是实数？(2)z是纯虚数？
解　(1)要使复数z为实数，需满足，解得m＝－2或－1.即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足，
解得m＝3.即当m＝3时，z是纯虚数．
16．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi.
∵z2的虚部为2，∴2ab＝2.
∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝AC×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝AC×1＝×2×1＝1.
∴△ABC的面积为1.
17．设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
解　z＝＝＝
＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
∴∴
18．已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．
解　|z|2＝(2x＋a)2＋(2－x＋a)2＝22x＋2－2x＋2a(2x＋2－x)＋2a2.
令t＝2x＋2－x，则t≥2，且22x＋2－2x＝t2－2.
从而|z|2＝t2＋2at＋2a2－2＝(t＋a)2＋a2－2.
当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝；
当－a<2，即a>－2时，g(a)＝
＝|a＋1|.
综上可知，g(a)＝
19．已知z0＝2＋2i，|z－z0|＝.
(1)求复数z在复平面内的对应点的轨迹；
(2)求z为何值时|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
解　(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－z0|＝得：
|x＋yi－(2＋2i)|
＝|(x－2)＋(y－2)i|＝，
解得：(x－2)2＋(y－2)2＝2.
∴复数z对应点的轨迹为以Z0(2,2)为圆心，为半径的圆．
(2)当Z点在OZ0的连线上时，|z|有最大值或最小值．
∵OZ0＝2，半径为.
∴当z＝1＋i时，|z|min＝.
20．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)．
试求a的取值范围．
解　设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi.
由(1)知x＜0，y＞0.
又由(2)z＋2iz＝8＋ai(a∈R)，得
(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai(a∈R)，
即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai(a∈R)，
所以
所以4(y－1)2＝36－a2.
因为4(y－1)2≥0，所以36－a2≥0，
即a2≤36，所以－6≤a≤6.
又因为a＝2x，而x＜0，所以a＜0，
所以－6≤a＜0.
故所求a的取值范围是[－6,0)．