2018高中数学苏教版选修1-2学案：第2章推理与证明（13份）

2．1.1　合情推理
[学习目标]　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用．
[知识链接]
1．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答　归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
2．由合情推理得到的结论可靠吗？
答　一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．
[预习导引]
1．归纳推理
(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
(2)归纳推理的特点：
①归纳推理是从特殊到一般的推理；
②由归纳推理得到的结论不一定正确；
③归纳推理是一种具有创造性的推理．
2．类比推理
(1)类比推理的定义：
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．
(2)类比推理的思维过程：
→→
3．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理．
要点一　归纳推理的应用
例1　观察如图所示的“三角数阵”
　　　　　　1…………第1行　
　　　2　2…………第2行　
　　3　4　3…………第3行　
　　　4　7　7　4…………第4行　
　51114115…………第5行　
…………　　　　　　　　　　　　　　　
记第n(n＞1)行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
解　由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
(1)6,16,25,25,16,6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4
由此归纳：an＋1＝an＋n.
规律方法　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解．
跟踪演练1　根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；
(2)a1＝a，an＋1＝；
(3)对一切n∈N*，an>0，且2＝an＋1.
解　(1)由已知可得a1＝3＝22－1，
a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1，
a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1，
a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1.
猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.
(2)由已知可得a1＝a，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
猜想an＝(n∈N*)．
(3)∵2＝an＋1，∴2＝a1＋1，
即2＝a1＋1，∴a1＝1.
又2＝a2＋1，
∴2＝a2＋1，∴a－2a2－3＝0.
∵对一切n∈N*，an>0，∴a2＝3.
同理可求得a3＝5，a4＝7，
猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
要点二　类比推理的应用
例2　
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边．类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解　
如右图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
规律方法　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形的类比：
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
跟踪演练2　已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在P(，)处的切线方程为________．
答案　2x－y－＝0
解析　将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过P的切线的斜率k＝，由于P(，)，故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.
要点三　平面图形与空间图形的类比
例3　三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
解　
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
规律方法　将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法．
跟踪演练3　类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是________．
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
答案　①②③
解析　由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.
1．下列推理中，是归纳推理的有________．
①A，B为定点，动点P满足PA＋PB＝2a＞AB，得P的轨迹为椭圆；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜出数列的前n项和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
答案　②
解析　从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn是从特珠到一般的推理．
2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色是________．
答案　白色
解析　由图知：三白二黑周而复始相继排列，36÷5＝7余1.∴第36颗珠子的颜色为白色．
3．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
　 7　8　9　10
　 11　12　13　14　15
……………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
答案　
解析　前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
4．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝
n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　N(n,3)＝n2＋n，
正方形数N(n,4)＝n2，
五边形数N(n,5)＝n2－n，
六边形数N(n,6)＝2n2－n
………………………………………
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.
答案　1000
解析　由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，
可以推测：当k为偶数时，
N(n，k)＝n2＋n，
∴N(10,24)＝×100＋×10
＝1100－100＝1000.
1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：
→→→
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．
2．归纳推理与类比推理都属合情推理：
(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.
一、基础达标
1．下面几种推理是合情推理的是________．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和是180°；
③某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形内角和是(n－2)·180°.
答案　①②④
2．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“__________”，这个类比命题的真假性是__________．
答案　夹在两平行平面间的平行线段相等　真命题
3．观察下列等式：
1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·(1＋2＋3＋…＋n)
4．如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.
答案　
解析　把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得＝.
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________________________________________________________________________．
答案　13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
解析　观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．
答案　n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
7．在△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解　由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P－ABC中，三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”．
证明　设P在平面ABC的射影为O，延长CO交AB于M，记PO＝h，
由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，从而PC⊥PM，又∠PMC＝α，
cosα＝sin∠PCO＝，cosβ＝，cosγ＝，
∵VP－ABC＝PA·PB·PC＝
·h，
∴h＝1，
即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
二、能力提升
8．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝________.
答案　
解析　
设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
答案　F＋V－E＝2
解析　观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.
10．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n个等式可为________________________________________________________________________．
答案　12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)
解析　分n为奇数、偶数两种情况．
当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－.
当n为奇数时，第n个等式＝－＋n2＝.
综上，第n个等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)．
11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解　(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30°
＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°·cosα＋sin30°sinα)
＝sin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
12．(1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：·为定值b2－a2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线－＝1(a>0，b>0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证·为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．
(1)证明　设点P(x0，y0)(x0≠±a)，
依题意，得A(－a,0)，B(a,0)，
所以直线PA的方程为y＝(x＋a)．
令x＝0，得yM＝，
同理得yN＝－，
所以yMyN＝.
又点P(x0，y0)在椭圆上，
所以＋＝1，
因此y＝(a2－x)，
所以yMyN＝＝b2.
因为＝(a，yN)，＝(－a，yM)，
所以·＝－a2＋yMyN＝b2－a2.
(2)解　定值为－(a2＋b2)．
三、探究与创新
13．在平面几何中，对于Rt△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，C＝90°.则(1)a2＋b2＝c2；(2)cos2A＋cos2B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆的半径r＝；(4)S△ABC＝ab.把上面的结论类比到空间，写出相类似的结论．
解　(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面面积为S，则S＋S＋S＝S2.
(检验：设PA，PB，PC两两互相垂直，PA＝m，PB＝n，PC＝t，PE⊥AB于点E，则
S2＝(m2＋n2)·(t2＋)＝S＋S＋S)
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(检验：因为S1＝Scosα，S2＝Scosβ，S3＝Scosγ)
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的外接球的半径R＝.(检验：补形为长、宽、高分别为m、n、t的长方体)
(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为m、n、t，则这个直四面体的体积为V＝mnt.
2.1.1　合情推理
课时目标　1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．
1．推理：从一个或几个已知命题得出________________________过程称为推理．
2．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
定义
从个别事实中推
演出一般性的结论
根据两个(或两类)对象
之间在某些方面的相似或相同，
推演出它们在其他方面也相似或相同
思维
过程
实验、观察→概
括、推广→猜测一
般性结论
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论
一、填空题
1．下列说法正确的是________．
①由合情推理得出的结论一定是正确的
②合情推理必须有前提有结论
③合情推理不能猜想
④合情推理得出的结论不能判断正误
2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是____________．
3．已知A＝1＋2x4，B＝x2＋2x3，x∈R，则A与B的大小关系为________．
4．给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
其中正确结论的个数是________．
5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为________．
6．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的
结论是____________________________．
7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．
8．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
二、解答题
9．观察等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝；
sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．
10．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝ (n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推测an的表达式．
能力提升
11．若Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则＝＋，在正方体的一角上截取三棱锥P—ABC，PO为棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M、N的大小关系是M________N．(填“<、>、＝、≤、≥”中的一种)
12．已知椭圆C：＋＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C：－＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．
1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．
2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．(3)检验这个猜想．
第2章　推理与证明
§2.1　合情推理与演绎推理
2．1.1　合情推理
答案
知识梳理
1．另一个新命题的思维
作业设计
1．②
解析　合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．
2．2n－1
解析　a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1.
3．A≥B
解析　∵A－B＝2x4－2x3－x2＋1＝(x－1)2·(2x2＋2x＋1)≥0，∴A≥B.
4．1
5．■
解析　图形涉及□、○、?三种符号；其中○与?各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才合适．
6．正四面体的内切球的半径是高的
解析　原问题的解法为等面积法，即S＝ah＝3×ar?r＝h，类比问题的解法应为等体积法，V＝Sh＝4×Sr?r＝h，即正四面体的内切球的半径是高的.
7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
8．962
解析　观察各式容易得m＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.
对于等式⑤，令α＝60°，则有
cos 600°＝512·－1 280·＋1 120·＋n＋p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，
联立方程组得
∴m－n＋p＝962.
9．解　∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，
∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，
则sin2α＋sin2β＋sin α·sin β＝.
10．解　由a1＝S1＝得，a1＝，
又a1>0，所以a1＝1.
当n≥2时，将Sn＝，
Sn－1＝的左右两边分别相减得
an＝－，
整理得an－＝－，
所以a2－＝－2，即a＋2a2＋1＝2，
又a2>0，所以a2＝－1.
同理a3－＝－2，即a＋2a3＋2＝3，
又a3>0，所以a3＝－.
可推测an＝－.
11．＝
12．证明　类似性质为：若M、N为双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与P点位置无关的定值．其证明如下：
设P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，
其中－＝1，即n2＝(m2－a2)．
∴kPM＝，kPN＝，
又－＝1，即y2＝(x2－a2)，
∴y2－n2＝(x2－m2)．
∴kPM·kPN＝＝.
故kPM·kPN是与P点位置无关的定值．
2.1.2　演绎推理
课时目标　1.通过生活中的实例和已学过的数学中的实例，体会演绎推理的重要性.2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理．
1．演绎推理
由__________的命题推演出____________命题的推理方法，通常称为演绎推理．
演绎推理是根据______________和______________(包括________、________、________等)，按照严格的______________得到新结论的推理过程．________________是演绎推理的主要形式．
2．三段论
(1)三段论的组成
①大前提——提供了一个________________．
②小前提——指出了一个______________．
③结论——揭示了____________与______________的内在联系．
(2)三段论的常用格式为
M－P(________)
S－M(________)
S－P(________)
3．演绎推理的特点
(1)演绎的前提是________________，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的________、______________，结论完全蕴涵于________之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在________的联系．
(3)演绎推理是一种__________的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的__________和__________．
一、填空题
1．下面几种推理过程是演绎推理的是________．
①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°；
②某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，
(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人；
③由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；
④在数列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式．
2．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提________________________________________________________________________．
3．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是________．
4．有一段演绎推理是这样的，“整数都是有理数，0.5是有理数，则0.5是整数”．
这个演绎推理的结论显然是错误的，是因为_____________________________________．
5．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2 (x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；
②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0；
④f<.
当f(x)＝lg x时，上述结论中正确结论的序号是__________________________________．
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．
7．已知f(x)＝x，求证：f(x)是偶函数．
证明：f(x)＝x·，其定义域为{x|x≠0}，
又f(－x)＝(－x)＝(－x)
＝x·＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
此题省略了__________．
8．补充下列推理的三段论：
(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.
(2)因为________，又因为e＝2.718 28…是无限不循环小数，所以e是无理数．
二、解答题
9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；
(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.
能力提升
11．在数列{an}中，已知a1＝1，Sn，Sn＋1,2S1成等差数列(Sn表示{an}的前n项和)，则S2，S3，S4分别为________________，由此猜想Sn＝__________.
12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提；有时可省略大前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
2．应用三段论解决问题时，首先要明确什么是大前提和小前提．如果大前提是显然的，则可以省略．有时，对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提．
2．1.2　演绎推理
答案
知识梳理
1．一般性　特殊性　已有的事实　正确的结论
定义　公理　定理　逻辑法则　三段式推理
2．(1)①一般性的原理　②特殊对象　③一般原理　特殊对象　(2)大前提　小前提　结论
3．(1)一般性原理　个别　特殊事实　前提
(2)必然　(3)收敛性　理论化　系统化
作业设计
1．①
解析　①为演绎推理，②④为归纳推理，③为类比推理．
2．矩形都是对角线相等的四边形
3．②
解析　①是大前提，②是小前提，③是结论．
4．推理形式错误
5．②③
6．②
解析　①是大前提，②是小前提，③是结论．
7．大前提
解析　此处省略了“偶函数的定义”这一大前提．
8．(1)a＝－8
(2)无限不循环小数是无理数
9．解　(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提
y＝tan α是三角函数，小前提
y＝tan α是周期函数．结论
10．证明　三角形的中位线平行于底边大前提
点E、F分别是AB、AD的中点小前提
所以EF∥BD结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD小前提
EF∥平面BCD.结论
11.，，　
12．证明　设x10，
f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x－x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1).
因为2＋x＋1>0，
所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
于是根据“三段论”，得函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
2.1.3　推理案例赏析
[学习目标]　1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．
[知识链接]
1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？
答　归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．
2．类比推理的结论是否一定正确？
答　从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证．
3．合情推理与演绎推理有何异同之处？
答　合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．
合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．
[预习导引]
1．数学活动与探索
数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．
2．合情推理和演绎推理的联系
在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．
要点一　运用归纳推理探求结论
例1　已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．
解　　把已知4项改写为，，，，记此数列的第n项为an，则有a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，….
据此猜测an＝.
规律方法　运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．
跟踪演练1　下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________．
答案　n2
解析　前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16.
猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.
要点二　运用类比推理探求结论
例2　Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA(如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？
解　如图，在三棱锥P－ABC中，作PO⊥平面ABC，
连结OB，OC，猜想下列结论：
S＝S△OBC·S△ABC.
证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.
PA⊥PB，PA⊥PC?PA⊥平面PBC.
∵PD?平面PBC，BC?平面PBC，
∴PA⊥PD，PA⊥BC.
∵PO⊥平面ABC，AD?平面ABC，BC?平面ABC，
∴PO⊥AD，PO⊥BC.∴BC⊥平面PAD.
∴BC⊥AD，BC⊥PD.
S＝(BC·PD)2＝BC2·PD2，
S△OBC·S△ABC＝BC·OD·BC·AD
＝BC2·OD·AD.
∵PD2＝OD·AD，
∴S＝S△OBC·S△ABC.
规律方法　在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．
跟踪演练2　如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中，＝l，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：
(1)S＝ah；
(2)S＝bcsin∠BAC.
运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假．
(1)________________________________________________________________________；
(2)________________________________________________________________________．
答案　(1)S＝lR　真命题
(2)S＝R2sinA1　假命题
要点三　运用演绎推理证明结论的正确性
例3　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)求证数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．
(1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
∴＝4 (n∈N*)．
∴数列{an－n}是以a1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．
(2)解　由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)
＝＋·4n－.
(3)证明　由(2)知，Sn＋1－4Sn＝＋·4n＋1－－4[＋·4n－]
＝－2n(n＋1)＋1＝－≤0，∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．
规律方法　演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．
跟踪演练3　已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．
证明　设x1，x2∈R，取x1则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，
∵x10，f(x2)>f(x1)．
∴y＝f(x)为R上的单调增函数.
1．一个数列的第2项到第4项分别是3，，，据此可以猜想这个数列的第一项是________．
答案　
解析　∵a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
∴猜想a1＝＝.
2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________.
答案　球内接平行六面体一定是长方体
3．设xi>0 (i∈N*)，有下列不等式成立，x1＋x2≥2；x1＋x2＋x3≥3，…类比上述结论，对于n个正数x1，x2，…，xn，猜想有下述结论________________________________．
答案　x1＋x2＋…＋xn≥n
4．已知a，b∈N*，f(a＋b)＝f(a)f(b)，f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
答案　4028
解析　令b＝1，则f(a＋1)＝f(a)f(1)，
∴＝f(1)＝2.
∴＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2×2014＝4028.
1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．
2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向．
一、基础达标
1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．
答案　31
解析　有底纹的正六边形的个数组成等差数列a1＝6，
d＝5，∴a6＝6＋(6－1)×5＝31.
2．观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…
由此猜测第n个等式为________________________________________________________________________(n∈N*)．
答案　1＋＋＋…＋>
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋1.则此数列的前4项分别为a1＝________，a2＝________，a3＝________，a4＝________.据此猜测，数列{an}的通项公式为an＝______________________.
答案　2　3　5　7　
4．正方形ABCD中，对角线AC⊥BD.运用类比的方法，猜想正方体ABCD－A1B1C1D1中，相关结论：______________________.
答案　对角面AA1C1C⊥面BB1D1D
5．如果函数f(x)是奇函数，那么f(0)＝0.因为函数f(x)＝是奇函数，所以f(0)＝0.这段演绎推理错误的原因是__________________．
答案　大前提错误
6．已知△ABC中，AD⊥BC于D，三边是a，b，c，则有a＝ccosB＋bcosC；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P－ABC中，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别是S，S1，S2，S3，二面角P－AB－C，P－BC－A，P－AC－B的度数分别是α，β，γ，则S＝__________________________.
答案　S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ
7．已知等式：tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝，
tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝，
tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝.
据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想．
解　猜想：tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝，
其中α＋β＝60°.
证明：∵tan(α＋β)＝，
即＝.
整理，得tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝.
二、能力提升
8．已知等式：(tan5°＋1)(tan40°＋1)＝2；(tan15°＋1)·(tan30°＋1)＝2；(tan25°＋1)(tan20°＋1)＝2.
据此可猜想出一个一般性命题：________________________________________________________________________.
答案　(tanα＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2
9．设M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s>0，t>0，都有f(s)＋f(t)①f1(x)∈M；②f1(x)?M；③f2(x)∈M；④f2(x)?M.
答案　②③
解析　对于f1(x)＝log2x；log22＋log24>log2(2＋4)，所以f1(x)?M.对于f2(x)＝2x－1：2s－1＋2t－1－(2s＋t－1)＝－(2s－1)(2t－1)<0，f2(x)∈M.
10．已知命题：平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.
将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案　平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在双曲线－＝1(m，n>0，p＝)上，双曲线的离心率为e，则＝
11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
解　(1)∵a1＝5，d＝2，
∴Sn＝5n＋×2＝n(n＋4)．
(2)∵Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.
∴T1＝5，T2＝4×22＋2＝18，T3＝4×32＋3＝39，
T4＝4×42＋4＝68，T5＝4×52＋5＝105.
S1＝5，S2＝2×(2＋4)＝12，S3＝3×(3＋4)＝21，
S4＝4×(4＋4)＝32，S5＝5×(5＋4)＝45.
由此可知S1＝T1，当2≤n≤5，n∈N时，Sn归纳猜想：当n＝1时，Sn＝Tn；当n≥2，n∈N时，Sn12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．
解　猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．
证明如下：设P为正三棱锥A－BCD底面上任一点，点P到平面ABC，ACD，ABD的距离分别为h1，h2，h3，以侧面ABC为底时对应的高为h，则：
VP－ABC＋VP－ACD＋VP－ABD＝VD－ABC.
即：S△ABC·h1＋S△ACD·h2＋S△ABD·h3
＝S△ABC·h.
∵S△ABC＝S△ACD＝S△ABD，
∴h1＋h2＋h3＝h，此即要证的结论．
三、探究与创新
13．记Sn为数列{an}的前n项和，给出两个数列：
(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…
(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…
(1)对于数列(Ⅰ)，计算S1，S2，S4，S5；对于数列(Ⅱ)，计算S1，S3，S5，S7；
(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足ak＋ak＋1＝0的这一类等差数列{an}的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．
解　(1)对于数列(Ⅰ)，S1＝S5＝5，S2＝S4＝8；对于数列(Ⅱ)，S1＝S7＝－14，S3＝S5＝－30.
(2)对于等差数列{an}，当ak＋ak＋1＝0时，猜想Sn＝S2k－n(n≤2k，n，k∈N*)．
下面给出证明：设等差数列{an}的前项为a1，公差为d.
∵ak＋ak＋1＝0，∴a1＋(k－1)d＋a1＋kd＝0，
∴2a1＝(1－2k)d.
又S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d
＝[(k－n)(1－2k)＋－]d＝0.∴S2k－n＝Sn，猜想正确．
2.1.3　推理案例赏析
课时目标　1.了解和认识合情推理和演绎推理的含义.2.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.3.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理．
1．数学命题推理的分类
数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和____________是常用的合情推理．从推理形式上看，____________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，__________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．
2．合情推理的作用
合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有______________、______________、______________的作用．
合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想，要合乎情理地进行推理，充分挖掘已给的事实，寻求规律，类比则要比较类比源和类比对象的共有属性，不能盲目进行类比．
3．演绎推理的作用
演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了________，而且可以________________________和________，从而为调控探索活动提供依据．
一、填空题
1．下面几种推理是合情推理的是________．
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)×180°.
2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝_____________________________.
3．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 011(x)＝________.
4．如果数列{an}的前n项和Sn＝an－3，那么这个数列的通项公式是______________．
5．如图所示，图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝______________.
　
6．f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N＋)．计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有__________．
7．已知两个圆：x2＋y2＝1， ①
与x2＋(y－3)2＝1. ②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．
二、解答题
9．已知＋＋＋…＋，写出n＝1，2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
能力提升
11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
第1列
第2列
第3列
…
第1行
1
2
3
…
第2行
2
4
6
…
第3行
3
6
9
…
…
…
…
…
…
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．
1．归纳推理和类比推理都具有猜测的性质，要注意观察所给资料的规律性或两类事物具有的属性，得到可靠的结论．
2．三段论是演绎推理的常用形式，在实际应用时往往省略大前提．
2．1.3　推理案例赏析
答案
知识梳理
1．归纳　类比　归纳　类比　合情推理　演绎推理
2．提出猜想　发现结论　提供思路
3．前提　对猜想作出“判决”　证明
作业设计
1．①②④
2．3
解析　a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.
3．－cos x
解析　由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…
可以归纳出：
f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，
f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，
∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.
4．an＝2·3n
解析　当n＝1时，a1＝a1－3，∴a1＝6，
由Sn＝an－3，当n≥2时，Sn－1＝an－1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
∴an＝3an－1.
∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.
猜想：an＝6·3n－1＝2·3n.
5．
6．f(2n)>
7．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2 ③
(x－c)2＋(y－d)2＝r2 ④
其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程
8．125
解析　第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋＝27－3＝125.
9．解　n＝1时，＝；
n＝2时，＋＝＋＝；
n＝3时，＋＋＝＋＝；
n＝4时，＋＋＋＝＋＝.
观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想＋＋＋…＋
＝.
证明如下：
由＝1－，＝－，…，
＝－.
∴原式＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
10．证明　(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知
EF∥BC.
因为EF?平面ABC，BC?平面ABC.
所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知
CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D?A1B1C1，故CC1⊥A1D.
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD，
所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
11．n2＋n
解析　由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n2＋n.
12．解　猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，
则S＋S＋S＝S”．
事实上，本题还需要严格意义上的证明：
如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2＝EO·ED，
S＝BC2·AE2
＝
＝S△OBC·S△BCD，
同理S＝S△BCD·S△OCD，S＝S△BCD·S△OBD，
故S＋S＋S＝S.
2.1 合情推理与演绎推理
第1课时　归 纳 推 理
问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？
提示：都能导电．
问题2：由问题1你能得出什么结论？
提示：一切金属都能导电．
问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.
年龄(岁)
30
35
40
45
50
55
60
65
收缩压(水
银柱/毫米)
110
115
120
125
130
135
145
舒张压(水
银柱/毫米)
70
73
75
78
80
83
88
提示：140　85
问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？
提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．
问题5：数列{an}的前五项为1，3，5，7，9试写出an.
提示：an＝2n－1(n∈N*)．
1．推理
(1)推理的定义
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．
(2)推理的组成
任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得命题，它告诉我们推出的知识是什么．
2．归纳推理
(1)归纳推理的定义
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
(2)归纳推理的思维过程如图
→→
(3)归纳推理的特点
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．
2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．
3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．
　　[例1]　已知数列{an}的第1项a1＝1，且an＋1＝(n＝1，2，…)，求出a2，a3，a4，并推测an.
[思路点拨]　数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n与an的关系即可解决．
[精解详析] 当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝；
当n＝3时，a3＝＝；当n＝4时，a4＝＝.观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为an＝.
[一点通]　在求数列的通项与前n项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．
1．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝.求出a1，a2，a3，a4，并推测an.
解：∵Sn＝，∴a1＝，∴a＝1.
又∵an>0，∴a1＝1；
a1＋a2＝，即1＋a2＝，
∴a2＝－1；
a1＋a2＋a3＝，
即＋a3＝，∴a3＝－；
a1＋a2＋a3＋a4＝，
∴＋a4＝，∴a4＝2－；
观察可得，an＝－.
2．已知数列{an}中，a2＝6，＝n.
(1)求a1，a3，a4；
(2)猜想数列{an}的通项公式．
解：(1)由a2＝6，＝1，得a1＝1.
由＝2，得a3＝15.
由＝3，得a4＝28.
故a1＝1，a3＝15，a4＝28.
(2)由a1＝1＝1×(2×1－1)；
a2＝6＝2×(2×2－1)；
a3＝15＝3×(2×3－1)；
a4＝28＝4×(2×4－1)，
…
猜想an＝n(2n－1).
　　[例2]　对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．
[思路点拨]　→→→
[精解详析]　当n＝1时，21>12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23<32；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，25>52；
当n＝6时，26>62.
归纳猜想，当n＝3时，2n当n∈N*，且n≠3时，2n≥n2.
[一点通]　对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
3．观察下列式子：
1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n个不等式为__________________________．
解析：第1个不等式：1＋<；
第2个不等式：1＋＋<；
第3个不等式：1＋＋＋<；
…
故猜想第n个不等式为
1＋＋＋＋…＋<.
答案：1＋＋＋…＋<
4．对任意正整数n，猜想nn＋1与(n＋1)n的大小关系．
解：n＝1时，12<21；
n＝2时，23<32，n＝3时；34>43；
n＝4时，45>54，n＝5时；56>65.
据此猜想，当n<3时，nn＋1<(n＋1)n，
n≥3时，nn＋1>(n＋1)n.
　　[例3]　古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：
由于图中1，3，6，10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n个三角形数．
[思路点拨]　将1，3，6，10分别写成，，，，据此可完成本题的求解．
[精解详析]　观察项与项数的关系特点如下：
项
1
2
3
4
项数
分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．
归纳：第n个三角形数应为(n∈N*)．
[一点通]　此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n项和等．
5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n≥1)之间的关系是
_________________________________________________．
解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，
第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：
a3＝7, a4＝15，a5＝31.
归纳可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，
a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，
a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，
a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，
由归纳推理可猜测：an＋1＝2an＋1.
答案：an＋1＝2an＋1
6．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数是______．
解析：图中点的个数依次为：1，3，7，13，21.
又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3，13＝1＋3×4，21＝1＋4×5.　
结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N*)．
答案：n2－n＋1(n∈N*)
　　[例4]　如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．
[思路点拨]　由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．
[精解详析]　第8行：1 7 21 35 35 21 7 1.
一般规律：
(1)每行左、右的数字具有对称性；
(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；
(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．
[一点通]　解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：
(1)明确各行、各列数的大小；
(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；
(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．
7．将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是______．
解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1，2，3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n－1行的最后一个数字加3即为第n(n≥3)行的从左至右的第3个数，前n－1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，则第n(n≥3)行的从左至右的第3个数为＋3＝.
答案：
1
2　 4
3　 5　 7
6　 8　 10　12
9　 11　13　15　17
14 16 18 20 2224
… … … … ………
8.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j行．如a42＝8，若aij＝2 009.则i和j的和为________．
解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1
＝1 923，2 009＝1 923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
答案：107
1．归纳推理的一般步骤
(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质．
(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．
(3)猜想这个结论对该类事物都成立．
2．归纳推理应注意的问题
归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．
一、填空题
1．(陕西高考)观察下列等式
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律， 第n个等式可为________________．
解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 016(x)＝________．
解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，
f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4，
∴f2 016(x)＝f4(x)＝sin x.
答案：sin x
3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：
cos θ＝cos θ；
cos 2θ＝2cos2 θ－1；
cos 3θ＝4cos3 θ－3cos θ；
cos 4θ＝8cos4 θ－8cos2 θ＋1；
cos 5θ＝16cos5 θ－20cos3 θ＋5cos θ
依照规律猜想cos 6θ＝32cos6 θ＋mcos4 θ＋ncos2 θ－1.
则m＋n＝________．
解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，
即32＋m＋n－1＝1.
∴m＋n＝－30.
答案：－30
4．已知an＝，把数列{an}的各项排成如下的三角形：
a1
a2　a3　a4
a5　a6　a7　a8　a9
……
记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11，12)＝________．
解析：每行对应的元素个数分别为1，3，5 …，那么第10行最后一个数为a100，则第11行的第12个数为a112，
即A(11，12)＝a112＝.
答案：
5．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2， ＋<2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：________________________________________________________________________.
解析：2＋18＝20，4.5＋15.5＝20，3＋＋17－＝20，…，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为2.
答案：当a＋b＝20，a，b∈(0，＋∞)时，有＋≤2
二、解答题
6．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a，b均为实数)，请推测a，b的值．
解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律．
由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，
而分母是这个分子的平方减1，
由此推测 中，a＝6，b＝62－1＝35，
即a＝6，b＝35.
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n边形有几条对角线？
解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由此凸n边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)．
8．观察：
①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；
②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.
由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．
解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，
因此猜测此推广为α＋β＋γ＝，
且α、β、γ都不为kπ＋，k∈Z，
则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.
证明如下：由α＋β＋γ＝得α＋β＝－γ，
∴tan(α＋β)＝tan＝cot γ.
又∵tan(α＋β)＝，
∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝cot γ(1－tan αtan β)．
∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α
＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β
＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β
＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.
第2课时　类 比 推 理
为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．
问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？
提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．
1．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
→→
2．合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
类比推理的特点主要体现在以下几个方面：
(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．
(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．
　　[例1]　在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
[思路点拨]　在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
[精解详析]　在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0，
即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1.
又由a10＝0，
得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．
[一点通]　类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a′，b′，c′，d′(a，b，c分别与a′，b′，c′相似或相同)，所以B类事物可能具有性质d′(d与d′相似或相同)．
1．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝(n∈N*)也是等差数列．
类比上述性质，相应地：
若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝
_____________________(n∈N*)也是等比数列．
答案：
2．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，则am＋n＝.现已知等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，类比上述结论，求bm＋n.
解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系．
利用类比可得bm＋n＝＝.
　　[例2]　
如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
[思路点拨]　在△DEF中，有三条边，三个角，与△DEF相对应的是四面体S－ABC，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．
[精解详析]　在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．
[一点通]　(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．
(2)平面图形与空间图形类比
平面图形
空间图形
点
线
线
面
边长
面积
面积
体积
线线角
二面角
三角形
四面体
3．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为___________．
　　 　图(1)　　　　　　　　 (2)
解析：平面中的面积类比到空间为体积，
故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，
故类比成.故有＝.
答案：＝
4.
如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
解：
如图所示，在四面体P—ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
　　[例3]　我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？
(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；
(2)探索等和数列{an}的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；
(3)在等和数列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n项和Sn.
[思路点拨]　可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和．
[精解详析]　(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．
(2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2，
所以an＋2＝an.
所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．
(3)当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N*，则
Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a
＝(a＋b)＋a＝a＋b；
当n为偶数时，令n＝2k，k∈N*，则
Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)．
所以它的前n项和Sn＝
[一点通]　(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．
(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．
5．类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”写出空间向量基本定理的是________．
答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3
6．已知椭圆C：＋＝1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值．
证明如下：
设M(m，n)，则N(－m，－n)，其中－＝1.
设P(x，y)，由KPM＝，KPN＝，
得KPM·KPN＝·＝，
将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPM·KPN＝.
1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
一、填空题
1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，
结论是______________________________．
答案：正方体　正方体的体积为棱长的立方
2．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
……
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
3．三角形的面积为S＝(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为
___________________________________________________．
解析：△ABC的内心为O，连结OA，OB，OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r.
答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球的半径)
4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，点A在BC边上的射影为D，有AB2＝BD·BC.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，点A在底面BCD上的射影为O，则有______________________________．”
答案：S＝S△BOC·S△BCD
5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝________．”
解析：
如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝×＝，AM＝ ＝，R＝ ，解得R＝.
于是，＝＝3.
答案：3
二、解答题
6．已知：等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，有如下的性质：
(1)通项an＝am＋(n－m)·d.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则am＋an＝2ap.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列．
类比上述性质，在等比数列{bn}中，写出相类似的性质．
解：设等比数列{bn}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)通项an＝am·qn－m.
(2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，
则am·an＝ap·aq.
(3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，则a＝am·an.
(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列．
7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；
(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；
(3)圆的周长与面积可求．
解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；
(2)空间中不共面的4个点确定一个球；
(3)球的表面积与体积可求．
8．若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式．
解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a*b＝，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)．
正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．
第3课时　演 绎 推 理
看下面两个问题：
(1)?是任意非空集合的真子集，A是非空集合，所以?是集合A的真子集；
(2)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？
提示：都说的一般原理．
问题2：第二句又说什么？
提示：都说的特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
1．演绎推理
含义
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法．
特点
(1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化.
2．三段论
一般模式
常用格式
大前提
提供了一个一般性的原理
M是P
小前提
指出了一个特殊对象
S是M
结论
揭示了一般原理与特殊对象的内在联系
S是P
1． 演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．
2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．
　　[例1]　将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)，曲线C：＋y2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n}(n∈N*)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．
[思路点拨]　这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可．
[精解详析]　(1)大前提：所有椭圆的离心率e的取值范围为(0，1)．
小前提：曲线C：＋y2＝1是椭圆．
结论：曲线C的离心率e的取值范围为(0，1)．
(2)大前提：等比数列的公比都不为零．
小前提：数列{2n}(n∈N*)是等比数列．
结论：数列{2n}的公比不为零．
[一点通]　演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．
1．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直．
(2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等．
(3)0.332是有理数．
(4)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)
正方形是菱形，(小前提)
所以正方形的对角线相互垂直．(结论)
(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提)
∠1和∠2不是对顶角，(小前提)
所以∠1和∠2不相等．(结论)
(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提)
0．332是有限小数，(小前提)
所以0.332是有理数．(结论)
(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)
y＝sin x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝sin x是周期函数．(结论)
2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确．
(1)a∥b一定有a＝λb(λ∈R)，向量c与向量d平行，所以c＝λd.
(2)指数函数y＝ax(0解：(1)大前提：a∥b一定有a＝λb(λ∈R)．
小前提：向量c与向量d平行．
结论是错误的，原因是大前提错误．
因为当a≠0，b＝0时a∥b，
这时找不到实数λ使得a＝λb.
(2) 大前提：指数函数y＝ax(0小前提：y＝是指数函数．
结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．
　　[例2]　
在平面四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，求证：四边形ABCD为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．
[思路点拨]　原题可用符号表示为：AB＝CD且BC＝AD?四边形ABCD为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB＝CD且BC＝AD)为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．
[精解详析]　(1)连结AC.
(2)AB＝CD，(已知)
BC＝AD，(已知)
CA＝AC.
(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：
对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提)
△ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)
△ABC与△CDA全等．(结论)
符号表示：
AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC?△ABC≌△CDA.
(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：
对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)
△ABC和△CDA全等；(小前提)
它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)
(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)
∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD
与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)
AB∥CD，AD∥BC.(结论)
(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)
四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)
四边形ABCD是平行四边形．(结论)
[一点通]　应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
常见的解题错误：
①条件理解错误(小前提错)；
②定理引入和应用错误(大前提错)；
③推理过程错误等．
3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝________．
解析：∵由题意可得，＋＋＝10，
∴a2＋b2＋c2＋＋＋－ax－by－cz＝0，
即＋＋＝0.
∴a＝，b＝，c＝.∴＝＝.
答案：
4.
梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角．
已知：在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．
求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.
证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DA，DC为两腰，(小前提)
∴∠1＝∠2.(结论)
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，(小前提)，
∴∠1＝∠3.(结论)
(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2和∠3都等于∠1，(小前提)
∴∠2＝∠3.(结论)即AC平分∠BCD.
(4)同理DB平分∠CBA.
5.
如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.
证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
∴BD＝＝2，
∴AB2＋BD2＝AD2，
∴AB⊥BD.
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD.
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.
合情推理
演绎推理
区别
定义
根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程
根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程
思维方法
归纳、类比
三段论
推理
形式
由部分到整体、由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理
由一般到特殊的推理
结论
结论不一定正确，有待于进一步证明
在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确
作用
具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养
按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高演绎推理和逻辑证明的能力
联系
合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过逻辑推理来证明
一、填空题
1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提__________________________________________；
小前提__________________________________________；
结论_____________________________________________．
答案：一次函数的图象是一条直线　函数y＝2x＋5是一次函数　函数y＝2x＋5的图象是一条直线．
2．“指数函数y＝ax(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．
①推理完全正确　②大前提不正确　③小前提不正确　④推理形式不正确
解析：∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数，
∴小前提错误．
答案：③
3．“公差不为零的等差数列{an}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{bn}的前n项和为Sn＝n2＋3n.所以{bn}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．
①大前提错误　②小前提错误　③结论错误　④正确
解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．
答案：④
4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．
解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.
答案：③
5．α<0，幂函数y＝xα的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论__________________________________________________．
解析：“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．
答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋∞)上是减函数
二、解答题
6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．
(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A＝∠B.
解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，
小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，
结论：水会沸腾．
(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．
小前提：∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角．
结论：∠A＝∠B.
7．已知函数f(x)＝(ax－a－x)，其中a＞0，且a≠1.
(1)判断函数f(x)在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；
(2)判断f(2)－2与f(1)－1，f(3)－3与f(2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．
解：(1)由已知得f′(x)＝(ax＋a－x)＞0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(2)f(2)－2＞f(1)－1，f(3)－3＞f(2)－2.
一般的结论：f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)．
证明如下：
上述不等式等价于f(n＋1)－f(n)＞1，即＞1，
化简得(an＋1－1)(an－1)＞0，
在a＞0且a≠1的条件下，(an＋1－1)(an－1)＞0显然成立，
故f(n＋1)－(n＋1)＞f(n)－n(n∈N*)成立．
8．已知{an}是各项均为正数的等差数列．lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，又bn＝(n＝1，2，3，…)．证明：{bn}为等比数列．
证明：∵lg a1、lg a2、lg a4成等差数列，
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4.
若{an}的公差为d，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，
从而d(d－a1)＝0.
①若d＝0，{an}为常数列，相应{bn}也是常数列，此时{bn}是首项为正数，公比为1的等比数列．
②若d＝a1≠0，则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
第4课时　推理案例赏析
　　[例1]　观察如图所示的“三角数阵”：
记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：
(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；
(2)依次写出a2、a3、a4、a5；
(3)归纳出an＋1与an的关系式．
[思路点拨]　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．
(2)由数阵可直接写出答案．
(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．
[精解详析]　由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．
[答案]　(1)6，16，25，25，16，6
(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11
(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，
∴由此归纳：an＋1＝an＋n.
[一点通]　对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．
1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．
我的发现：[]＋[]＋[]＝3；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；
[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；
…
通过归纳推理，写出一般性结论
_________________________________________________(用含n的式子表示)．
解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[]．等号右边是n(2n＋1)．
答案：[]＋[]＋[]＋ … ＋[]＝n(2n＋1)
2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？
顶点数
边数
区域数
(a)
(b)
(c)
(d)
(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？
(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？
解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为
顶点数
边数
区域数
(a)
3
3
2
(b)
8
12
6
(c)
6
9
5
(d)
10
15
7
(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，
通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.
(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．
　　[例2]　通过计算可得下列等式：
23－13＝3×12＋3×1＋1；
33－23＝3×22＋3×2＋1；
43－33＝3×32＋3×3＋1；
…
(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得
(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，
即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)．
类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值．
[思路点拨]　类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24，44－34，…(n＋1)4－n4，然后将各式相加求解．
[精解详析]　∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，
44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，
…
(n＋1)4－n4＝4×n3＋6×n2＋4×n＋1.
将以上各式两边分别相加，
得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n
∴13＋23＋…＋n3＝·＝n2(n＋1)2.
[一点通]　(1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．
(2)类比推理的步骤与方法
第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．
第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．
3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________．
解析：(2πr4)′＝8πr3.
答案：2πr4
4．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面的面积，S4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是______________________．
解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S＝S＋S＋S.
答案：S＝S＋S＋S
　　[例3]　已知{an}为等差数列，首项a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*.
求证：lg an＋1lg an－1<(lg an)2.
[思路点拨]　对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．
[精解详析]　∵{an}为等差数列，
∴an＋1＋an－1＝2an.
∵d>0，
∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2∵a1>1，d>0，∴an＝a1＋(n－1)d>1.
∴lg an>0.
∴lg an＋1·lg an－1≤
＝<＝(lg an)2，
即lg an＋1·lg an－1<(lg an)2.
[一点通]　三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
5.
如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．
解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，
侧面BCC1B1是菱形(小前提)，
所以B1C⊥BC1(结论)．
又线面垂直的判定定理(大前提)，
B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B(小前提)，
所以B1C⊥平面A1BC1(结论)．
又面面垂直的判定定理(大前提)，
B1C?平面AB1C，B1C⊥平面A1BC1(小前提)，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1(结论)．
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A1B∥平面B1CD(小前提)，
所以A1B∥DE(结论)．
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1∶1.
6．求证：函数y＝是奇函数，且在定义域上是增函数．
证明：y＝f(x)＝＝1－，
所以f(x)的定义域为x∈R.
f(－x)＋f(x)＝＋
＝2－＝2－
＝2－＝2－2＝0，
即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝2＝2·.
因为x1所以f(x1)1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．
2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．
一、填空题
1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋___________.
解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．
所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.
答案：k－1
2．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有__________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)＝______；f(n)＝________．(答案用数字或含n的式子表示)
解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
即n＋n＋＝.f(4)＝4×2＋×2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋×(n－2)＝.
答案：　12　
3．(陕西高考)已知f(x)＝ ，x≥0，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*, 则f2 014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝?f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想f2 014(x)＝.
答案：
4．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：
23＝　33＝　43＝　….
仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2 015，则m＝________．
解析：根据分裂特点，设最小数为a1，
则ma1＋×2＝m3，∴a1＝m2－m＋1.
∵a1为奇数，又452＝2 025，
∴猜想m＝45.
验证453＝91 125＝.
答案：45
5．观察以下等式
sin230°＋cos290°＋sin 30°·cos 90°＝；
sin225°＋cos285°＋sin 25°·cos 85°＝；
sin210°＋cos270°＋sin 10°·cos 70°＝.
推测出反映一般规律的等式：_______________________________________.
解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，
∴其一般规律为sin2α＋cos2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.
答案：sin2α＋cos2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝
二、解答题
6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：
(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；
(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；
(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，数列1，2，3…，n是等差数列，所以数列1，2，3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．
解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)
海王星是太阳系中的大行星，(小前提)
海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)
(2)所有导体通电时发热，(大前提)
铁是导体，(小前提)
铁通电时发热．(结论)
(3)一次函数都是单调函数，(大前提)
函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)
y＝2x－1是单调函数．(结论)
(4)等差数列的通项公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)
数列1，2，3，…，n是等差数列，(小前提)
数列1，2，3，…，n的通项具有an＝pn＋q的形式．(结论)
7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)
解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；
(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．
(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；
(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．
(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；
(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.
(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；
(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．
8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)写出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
解：(1)f(5)＝41.
(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
…
由以上规律，可得出f(n＋1)－f(n)＝4n，
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
所以当n≥2时，
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
＝…
＝f[n－(n－1)]＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4[n－(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
f(1)＝1也适合上式，故f(n)＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
(3)当n≥2时，
＝＝，
所以＋＋＋…＋
＝1＋
＝1＋＝－.
2．2.1　直接证明
[学习目标]　1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．
[知识链接]
1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
答　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．
2．必修5中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎样证明的？
答　要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
[预习导引]
1．直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为
直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．
3．分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.
要点一　综合法的应用
例1　已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明　方法一　∵a，b是正数且a＋b＝1，
∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4.
方法二　∵a，b是正数，∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0，
∴(a＋b)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
方法三　＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”．
规律方法　利用综合法证明问题的步骤：
(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法．
(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法．
跟踪演练1　在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明　由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①
因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②
由①②，得B＝.③
由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C.⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC为等边三角形．
要点二　分析法的应用
例2　设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
证明　当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．
规律方法　分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“?”．
跟踪演练2　如图所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.
求证：AF⊥SC.
证明　要证AF⊥SC，
只需证SC⊥平面AEF，
只需证AE⊥SC(因为EF⊥SC)，
只需证AE⊥平面SBC，
只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB)，
只需证BC⊥平面SAB，
只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC)．
由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC.
要点三　综合法和分析法的综合应用
例3　已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx证明　要证明
logx＋logx＋logx只需要证明logx由已知0abc.
由公式≥>0，≥>0，≥>0，
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx规律方法　综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
跟踪演练3　设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
证明　由已知条件得b2＝ac，①
2x＝a＋b,2y＝b＋c.②
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy.
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证.
1．下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是间接证明法；
⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有________个．
答案　4
解析　①②③⑤正确．
2．设a，b是两个正实数，且a①a>>>b；②b>>>a；
③b>>>a；④b>a>>.
答案　③
3．求证：＋＋<2.
证明　因为＝logab，所以左边
＝log195＋2log193＋3log192
＝log195＋log1932＋log1923＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
4．已知＝1，求证：cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)．
证明　要证cosα－sinα＝3(cosα＋sinα)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tanα＝3(1＋tanα)，只需证tanα＝－，
∵＝1，∴1－tanα＝2＋tanα，
即2tanα＝－1.∴tanα＝－显然成立，
∴结论得证．
1.综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它．
一、基础达标
1．分析法是________．
①执果索因的逆推法；
②执因导果的顺推法；
③因果分别互推的两头凑法；
④寻找结论成立的充要条件的证明办法．
答案　①
2．设a，b是正实数，以下不等式①＞；②a＞|a－b|－b；③ab＋＞2恒成立的序号是________．
答案　②③
解析　当a＝b时，＝，∴①不成立．
a，b为正数，∴a＋b＞|a－b|，②成立．
ab＋≥2＞2，故③成立．
3．设函数f(x)是定义在R上，周期为3的奇函数，若f(1)＜1，f(2)＝，则a的取值范围为________．
答案　a＜－1或a＞0
解析　由题意得f(－2)＝f(1－3)＝f(1)＜1，
∴－f(2)＜1，即－＜1.
∴＞0，即3a(a＋1)＞0.∴a＜－1或a＞0.
4．如果a＋b＞a＋b，则正数a，b应满足的条件是________．
答案　a≠b
解析　∵a＋b＞a＋b，
∴(a－b)＋(b－a)＞0，
∴(a－b)(－)＞0.
∴(＋)(－)2＞0，
∴－≠0即a≠b.
5．要证明＋<2，可选择的方法有很多，最合理的应为________．
答案　分析法
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
答案　(2，＋∞)
解析　由已知得
＝3x＋b，
所以h(x)＝6x＋2b－.
h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，
3x＋b>恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，
可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．
7．在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.
证明　∵左边＝＋
＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)
＝(a＋c)＋(a·＋c·)
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b＝右边．
∴acos2＋ccos2≥b.
二、能力提升
8．设0答案　c
解析　∵b－c＝(1＋x)－＝＝－<0，
∴bx＝a，∴a9．p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为________．
答案　p≤q
解析　q＝≥
＝＋＝p.
10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
答案　对角线互相垂直
解析　本题答案不惟一，要证A1C⊥B1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1⊥CC1，故只需证B1D1⊥A1C1即可．
11．已知a＞0，b＞0，－＞1.求证：＞.
证明　要证＞成立，
只需证1＋a＞，
只需证(1＋a)(1－b)＞1(1－b＞0)，
即1－b＋a－ab＞1，
∴a－b＞ab，只需证＞1，即－＞1.
由已知a＞0，－＞1成立，
∴＞成立．
12．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
证明　
如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证MM′＝AB
由抛物线的定义：AA′＝AF，BB′＝BF，
所以AB＝AA′＋BB′，
因此只需证MM′＝(AA′＋BB′)，
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切．
三、探究与创新
13．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.
(1)解　当n＝1时，
＝2a1＝a2－－1－＝2，
解得a2＝4.
(2)解　2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，②
①－②得2an＝nan＋1－(n－1)an－n2－n，
整理得nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，即＝＋1，－＝1，当n＝1时，－＝2－1＝1.
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以＝n，即an＝n2.
所以数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N*.
(3)证明　因为＝＜＝－(n≥2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－＜.
2．2.1　直接证明(一)
课时目标　1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．
1．直接证明
(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
?A?B?C?…?本题结论．
2．综合法
(1)定义
从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．
(2)综合法的推理过程
?…?…?.
3．分析法
(1)定义
从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．
(2)分析法的推理过程
?…?…?.
一、填空题
1．设a＝，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小关系为____________．
2．设a，b是两个正实数，且a①a>>>b；②b>>>a；
③b>>>a；④b>a>>.
3．已知xy＝，04．如果x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，则x＋y的最小值是________．
5．要证明＋<＋ (a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是________．
6．设a＝＋2，b＝2＋，则a、b的大小关系为________．
7．已知a、b、u均为正实数，且＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是__________．
二、解答题
8．已知a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
9．已知a，b，c，d∈R，求证：
ac＋bd≤.
能力提升
10．a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________．
11．已知a、b、c是不全相等的正数，且0求证：logx＋logx＋logx1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．
2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．
3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．
§2.2　直接证明与间接证明
2．2.1　直接证明(一)
答案
知识梳理
1．(1)原命题的条件　(2)已知定义　已知公理
已知定理
2．(1)已知条件　定义　公理　定理
3．(1)结论　结论　使结论成立的条件和已知条件吻合
作业设计
1．a>c>b
解析　∵(＋)2＝9＋2，
(＋)2＝9＋2.
∴＋<＋，∴－<－，即b又2>，∴>－，即a>c.
∴a>c>b.
2．③
3．(0,1)
解析　logx>0，logy>0，
logx·logy≤＝log(xy)
＝×2＝1.∴04．2－2
解析　由x>0，y>0，x＋y＋xy＝2，
则2－(x＋y)＝xy≤2，
∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0，
∴x＋y≥2－2或x＋y≤－2－2.
∵x>0，y>0，∴x＋y的最小值为2－2.
5．分析法
解析　要证＋<＋，
只要证a＋a＋7＋2
只要证<，
只要证a2＋7a只要证0<12.
由此可知，最合理的是分析法．
6．a解析　a＝＋2，b＝2＋，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，明显<，故a7．(－∞，16]
解析　∵a＋b＝(a＋b)
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当＝即3a＝b时取等号，
若a＋b≥u恒成立，则u≤16.
8．证明　∵＋＝
＝，
又∵a>0，b>0，
∴a2－ab＋b2－ab＝(a－b)2≥0，
∴a2－ab＋b2≥ab，∴≥1，
∴(a＋b)·≥a＋b.
∴＋≥a＋b.
9．证明　①当ac＋bd≤0时，显然成立．
②当ac＋bd>0时，欲证原不等式成立，
只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2.
即证2abcd≤b2c2＋a2d2.
即证0≤(bc－ad)2.
因为a，b，c，d∈R，所以上式恒成立．
故原不等式成立，
综合①、②知，命题得证．
10．4
解析　∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.
若＋≥恒成立，
即＋≥n恒成立．
＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴当且仅当a－b＝b－c时取等号．
∴n的最大值为4.
11．证明　要证logx＋logx＋logx
只需要证明logx由已知0只需证明··>abc
由公式≥>0，≥>0，
≥>0.
又∵a，b，c是不全相等的正数，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx2.2.1　直接证明(二)
课时目标　1.进一步理解综合法和分析法.2.利用综合法、分析法解决一些数学问题和简单的应用问题．
1．综合法证题由因导果，分析法是____________．
2．分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路，综合法条理清晰，重于表述．
一、填空题
1．已知a、b均为正数，且a＋b＝1－ab，则a＋b的取值范围是________．
2．设x>0，y>0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为____________．
3．已知函数y＝x＋在[2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．
4．关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根，则a的取值范围为________．
5．若平面内有＋＋＝0，且||＝||＝||，则△P1P2P3一定是____________三角形．
6．已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy的最大值为______．
7．已知tan＝2，则的值为________．
8．已知函数f(x)＝logax＋x－b (a>0，且a≠1)．当2二、解答题
9．如果3sin β＝sin(2α＋β)．求证：tan(α＋β)＝2tan α.
10．已知△ABC的三条边分别为a，b，c.
用分析法证明：<.
能力提升
11．用综合法证明：＋＋<2.
12．已知a>0，b>0，用两种方法证明：＋≥＋.
1．在审题时，要尽可能的挖掘题目条件提供的信息，熟练地对文字语言、符号语言、图形语言进行转换．
2．综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用．
2．2.1　直接证明(二)
答案
知识梳理
1．执果索因
作业设计
1．[2－2,1)
解析　a＋b＝1－ab≥1－2，设a＋b＝t，
则有t2＋4t－4≥0，∴t≥2－2或t≤－2－2(舍)，又a＋b＝1－ab<1，∴a＋b∈[2－2,1)．
2．A解析　＋>＋
＝.
3．(－∞，4]
解析　y＝x＋，当a≤0时，显然在[2，＋∞)上是增函数；
当a>0时，y＝x＋在[，＋∞)上是增函数，
∴≤2，得04．[－3,0)
5．等边
解析　∵＋＋＝0，∴O是△P1P2P3的重心．又∵||＝||＝||，
∴O是△P1P2P3的外心，
∴△P1P2P3是等边三角形．
6．3
解析　∵1＝＋≥2＝.
∴xy≤3，当且仅当x＝，y＝2时等号成立．
7．
解析　由tan＝＝2，
可得tan x＝，∴tan 2x＝.
∴＝×＝.
8．2
解析　根据f(2)＝loga2＋2－bf(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－4＝0，
而函数f(x)在(0，＋∞)上连续，且单调递增，故函数f(x)的零点在区间(2,3)内，故n＝2.
9．证明　∵3sin β＝sin(2α＋β)，
∴3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
∴3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α.
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α.
10．证明　依题意a>0，b>0，
所以1＋>0,1＋a＋b>0，
所以要证<，
只需证(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)，
只需证只需证a2＋b2＋ab>0，
因为a2＋b2＋ab＝2＋b2>0成立，
所以<成立．
11．证明　因为logab＝，
所以左边＝log195＋2log193＋3log192
＝log19(5×32×23)＝log19360.
因为log19360所以＋＋<2.
12．证明　方法一　(综合法)：
因为a>0，b>0，
所以＋－－
＝＋
＝＋＝(a－b)
＝≥0，
所以＋≥＋.
方法二　(分析法)：
要证＋≥＋，
只需证a＋b≥a＋b，
即证(a－b)(－)≥0，
因为a>0，b>0，a－b与－同号，
所以(a－b)(－)≥0成立，
所以＋≥＋成立．
2.2.2　间接证明
[学习目标]　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
[知识链接]
1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
答　这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
2．反证法主要适用于什么情形？
答　①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
[预习导引]
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．
2．反证法
从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．
3．反证法步骤
反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．
4．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
5．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有
(不存在)
至少有两个
至多有
(n－1)个
至少有
(n＋1)个
结论词
只有一个
对所有x成立
对任意x不成立
反设词
没有或至
少有两个
存在某个x
不成立
存在某个x成立
结论词
都是
一定是
p或q
p且q
反设词
不都是
不一定是
綈p且綈q
綈p或綈q
要点一　用反证法证明“至多”“至少”型命题
例1　已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：，中至少有一个小于2.
证明　假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
规律方法　对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．
跟踪演练1　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
证明　假设a，b，c，d都是非负数，
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝1.
又∵(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
∴ac＋bd≤1.
这与已知ac＋bd>1矛盾，
∴a，b，c，d中至少有一个是负数．
要点二　用反证法证明不存在、惟一性命题
例2　求证对于直线l：y＝kx＋1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax(a为常数)对称．
证明　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有(1)直线l：y＝kx＋1与直线y＝ax垂直；(2)点A、B在直线l：y＝kx＋1上；(3)线段AB的中点在直线y＝ax上，
所以
由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.④
当k2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．
由②、③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2，⑤
由④知x1＋x2＝，代入⑤整理得：
ak＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．
规律方法　证明“惟一性”问题的方法：“惟一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
跟踪演练2　求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直．
已知：平面α和一点P.
求证：过点P与α垂直的直线只有一条．
证明　如图所示，不论点P在α内还是在α外，设PA⊥α，垂足为A(或P)．
假设过点P不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB⊥α，设PA，PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立．
要点三　用反证法证明否定性命题
例3　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解　设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴　∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
规律方法　(1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
跟踪演练3　已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明　假设x0是f(x)＝0的负数根，则x0<0且x0≠－1且＝－，由0<<1?0<－<1，
解得故方程f(x)＝0没有负数根．
1．用反证法证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设______________________．
答案　三角形中至少有两个直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________________．
答案　每一个内角都小于60°
3．“a答案　a＝b或a>b
4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________________________________．
答案　方程x3＋ax＋b＝0没有实根
解析　方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
证明　(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
1.反证法证明的基本步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
2．用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
一、基础达标
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是________(填序号)．
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
答案　①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为__________________________________．
答案　a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“ay或x答案　②
解析　①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．
答案　a，b都不能被5整除
解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________________________．
答案　a，b，c都不是偶数
解析　a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________．
答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．
7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．
证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则
ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，
则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．
二、能力提升
8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________________．
答案　a，b不全为0
解析　“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
9．设a，b，c都是正数，则下面关于三个数a＋，b＋，c＋的说法正确的是________．
①都大于2；
②至少有一个大于2；
③至少有一个不小于2；
④至少有一个不大于2.
答案　③
解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，
则(a＋)＋(b＋)＋(c＋)<6.
又(a＋)＋(b＋)＋(c＋)＝(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________________．
答案　a≤－2或a≥－1
解析　若两方程均无实根，则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－211．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
证明　用反证法：
假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，
不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，
可得c>－(a＋b)，
又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)，
ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab，
即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2.
∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，
这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，∴假设不成立．
∴a>0，b>0，c>0成立．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
证明　假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0同理0所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤，②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
三、探究与创新
13．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：
(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；
(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.
证明　(1)因为a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，
又因为f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，
f(b)＞f(－a)，
由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．
(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
因为f(x)是R上的增函数，
所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾，
所以假设不正确，所以原命题成立．
2.2.2　间接证明
课时目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种______________________的方法通常称为间接证明．__________就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有__________、__________等．
2．反证法
(1)反证法证明过程
反证法的证明过程可以概括为“__________—推理—________”，即从__________开始，经过__________，导致______________，从而达到____________(即肯定原命题)的过程．
→→→
(2)反证法证明命题的步骤
①________——假设____________不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从________和____________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由____________，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
一、填空题
1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设__________________．
2．设x、y、z>0，则三数x＋，y＋，z＋的值______．
①都大于2　　　　　　　　 ②都不小于2
③至少有一个不小于2 ④至少有一个不大于2
3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________________________．
4．“实数a、b、c不全为0”的含义是_________________________________________．
5．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是__________________．
6．用反证法证明命题“x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时应假设为____________．
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．(填序号)
8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
二、解答题
9．已知三个正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：，，不可能成等差数列．
10．如图所示，已知△ABC为锐角三角形，直线SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，H为垂足，求证：H不可能是△SBC的垂心．
能力提升
11．已知数列{an}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数．求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．
12．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
1．在使用反证法时，必须在假设中列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．
2．推理必须从假设出发，不用假设进行论证就不是反证法．
3．对于否定性命题，结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
2．2.2　间接证明
答案
知识梳理
1．不是直接证明　反证法　同一法　枚举法
2．(1)否定　否定　否定结论　正确的推理　逻辑矛盾
新的否定　否定结论q　(2)①反设　命题结论
②反设　已知条件　③矛盾结果
作业设计
1．至少有两个钝角
2．③
解析　假设三个数都小于2，
则＋＋≤6
而＋＋
＝＋＋≥6矛盾，
故③正确．
3．a，b，c都不是偶数
4．a、b、c中至少有一个不为0
5．{a|a≤－2或a≥－1}
6．x＝a或x＝b
解析　否定结论时，一定要全面否定，x≠a且x≠b的否定为x＝a或x＝b.
7．③①②
解析　考查反证法的一般步骤．
8．丙
解析　若甲说的话对，则丙、丁至少有一人说的话对，则乙说的话不对，则甲、丙至少有一个人获奖是对的．又∵乙或丙获奖，∴丙获奖．
9．证明　假设，，成等差数列，
则＝＋＝.
∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴＝?b2＝ac.
∴2＝ac?(a＋c)2＝4ac?(a－c)2＝0?a＝c.
又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.
因此，d＝b－a＝0，这与d≠0矛盾．
所以，，不可能成等差数列．
10．证明　假设H是△SBC的垂心，
连接BH并延长BH与SC相交，则BH⊥SC.
又∵AH⊥平面SBC，
∴AH⊥SC，
∴SC⊥平面ABH，
∴SC⊥AB.
又∵SA⊥平面ABC，
∴AB⊥SA.
∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.
即∠BAC＝90°，这与三角形ABC为锐角三角形矛盾，所以H不可能是△SBC的垂心．
11．证明　假设存在一个实数λ，使数列{an}是等比数列，则有a＝a1a3，
即2＝λ，
即λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，上式显然不成立，所以假设不成立，所以数列{an}不是等比数列．
12．证明　假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0?ax0＝－.
∵a>1，∴0解上述不等式，得这与假设x0<0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．
2.2 直接证明与间接证明
第1课时　直 接 证 明
1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4.
证明：因为2a＋2b≥2＝2，
又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝4.
故2a＋2b≥4成立．
问题1：本题利用什么公式？
提示：基本不等式．
问题2：本题证明顺序是什么？
提示：从已知到结论．
2．求证：＋2<2＋.
证明：要证明＋2<2＋，
由于＋2>0，2＋>0，
只需证明(＋2)2<(2＋)2，
展开得11＋4<11＋4，只需证明6<7，显然6<7成立．
所以＋2<2＋成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证题思路是什么？
提示：寻求上一步成立的充分条件．
1．直接证明
(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．
(2)直接证明的一般形式
?…?本题结论．
2．综合法和分析法
直接证明
定义
推证过程
综合法
从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法
?…?…?
分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法
?…?…?
1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．
2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．
　　[例1]　已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥.
[思路点拨]　从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．
[精解详析]　∵a2＋≥，
b2＋≥，c2＋≥，
∴＋＋≥a＋b＋c
＝(a＋b＋c)＝.
∴a2＋b2＋c2≥.
[一点通]　综合法证明问题的步骤
第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．
第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．
1．设a，b，c为不全相等的正数，且abc＝1，
求证：＋＋>＋＋.
证明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1，
∴＋＋＝bc＋ca＋ab.
又bc＋ca≥2·＝2＝2，
同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2.
∵a、b、c不全相等．
∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立．
∴2(bc＋ca＋ab)>2(＋＋)，
即bc＋ca＋ab>＋＋，故＋＋>＋＋.　
2.
(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．
解：(1)证明：法一：
如图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又因为a?π，n⊥π，所以a·n＝0，
故a·c＝0，从而a⊥c.
法二：
如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.
∵PO⊥π，a?π，∴直线PO⊥a.
又a⊥b，b?平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO.又c?平面PAO，∴a⊥c.
(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.
逆命题为真命题.
　　[例2]　已知a>b>0，求证：<－<.
[思路点拨]　本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．
[精解详析]　要证明<－<成立，
只需证即证<(－)2<成立．
只需证<－<成立．
只需证<1<成立，
即证＋<2且＋>2，
即<.
∵a>b>0，∴<成立．
∴<－<成立．
[一点通]　在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．
3．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，求证：P＜Q.
证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，
只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，
即证0＜12.
因为0＜12成立，所以P＜Q成立．
4．已知a、b是正实数，求证：＋≥ ＋.
证明：要证＋≥ ＋，
只需证a＋b≥(＋)．
即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，
即证a＋b－≥.
也就是要证a＋b≥2.
因为a，b为正实数，所以a＋b≥2成立，
所以＋≥ ＋.
　　[例3]　已知0求证：≥1.
[思路点拨]　因为0[精解详析]　∵a>0，b>0，c>0，
∴要证≥1，
只需证1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc，
即证1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0.
∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)
＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a)
＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)，
又a≤1，b≤1，c≤1，
∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0，
∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立，
即证明了≥1.
[一点通]　(1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．
(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．
5．在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列．
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
只需证＋＝3，即＋＝1，
只需证＝1，即＝1.
下面证明：＝1.
∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
∴b2＝a2＋c2－ac.
∴＝＝1.
故原等式成立．
6．若a，b，c是不全相等的正数．
求证：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c.
证明：要证lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c成立，即证lg>lg(abc)成立，
只需证··>abc成立，
∵≥>0，≥>0，≥>0，
∴··≥abc>0，(*)
又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，
∴原不等式成立．
1．综合法：由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．
2．分析法：执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．
3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P2；当由P1可以推出P2时，结论得证．
一、填空题
1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：在△ABC中，由正弦定理得＝.
又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B
反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B
∴A>B是sin A>sin B的充要条件．
答案：充要
2．设n∈N，则－________－(判断大小)．
解析：要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
即2n＋5＋2<2n＋5＋2.
只需证<，
只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，
即n2＋5n＋4而4<6成立，故－<－.
答案：<
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是____________________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b
?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
4．若三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)
解析：
如图，设S在底面ABC上的射影为点O，
∴SO⊥平面ABC，连接AO，BO，
∵SA⊥BC，SO⊥BC，
∴BC⊥平面SAO，∴BC⊥AO.
同理可证，AC⊥BO.∴O为△ABC的垂心．
答案：垂心
5．已知函数f(x)＝10x，a＞0，b＞0，A＝f，B＝f，C＝f，则A，B，C的大小关系为____________________．
解析：由≥≥，又f(x)＝10x在R上是单调增函数，所以f≥f≥f，
即A≥B≥C.
答案：A≥B≥C
二、解答题
6．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．
解：f(a)＋f(c)＞2f(b)．
证明如下：因为a，b，c是两两不相等的正数，
所以a＋c＞2.
因为b2＝ac，所以ac＋2(a＋c)＞b2＋4b，
即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4，
从而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2.
因为f(x)＝log2(x＋2)是增函数，
所以log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2，
即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)．
故f(a)＋f(c)＞2f(b)．
7．已知a>0，用分析法证明： －>a＋－2.
证明：要证 －≥a＋－2，
只需证 ＋2≥a＋＋.
因为a>0，故只需证≥，
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2 ＋2，
从而只需证2≥ ，
只需证4≥2，
即a2＋≥2，
而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
8．(江苏高考改编)设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，Sn是其前n项的和．记bn＝，n∈N*，其中 c为实数．若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)．
证明：由c＝0，得bn＝＝a＋d.
又b1，b2，b4成等比数列，
所以b＝b1b4，
即＝a，
化简得d2－2ad＝0.因为d≠0，
所以d＝2a.
因此，对于所有的m∈N*，有Sm＝m2a.
从而对于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.
第2课时　间 接 证 明
1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？
提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．
2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．
问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？
提示：不能．
问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2＋b2＝c2吗？
提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2＋b2＝c2.
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．
2．反证法
(1)反证法证明过程
反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下面的框图表示：
→→→
(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．
2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．
　　[例1]　已知平面上四点，没有三点共线，求证：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．
[思路点拨]　本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．
[精解详析]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．
(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．
(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．
综上所述．原结论成立．
[一点通]　(1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．
(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．
1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．
①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.
解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．
答案：④
2.
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．
解：假设直线BM与A1N共面．
则A1D1?平面A1BND1，
且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，
由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，
故A1D1∥BN，
又A1D1∥BC，
所以BN∥BC.
这与BN∩BC＝B矛盾，
故假设不成立．
所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．
3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，， 不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，
则＋＝2，
即a＋c＋2＝4b，
而b2＝ac，
即b＝，
∴a＋c＋2＝4，
所以(－)2＝0.
即＝，
从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，
故， ， 不成等差数列．
　　[例2]　求证：两条相交直线有且只有一个交点．
[思路点拨]　“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．
[精解详析]　假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．
若直线a，b无交点，
则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．
若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，
这样同时经过点A，B就有两条直线，
这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．
[一点通]　证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．
4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．
证明：∵2x＝3，
∴x＝log23，这说明方程有一个根．
下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3，2b2＝3.
两式相除得：2b1－b2＝1.
如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．
因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．
如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．
故2x＝3有且仅有一个根．
5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．
解：已知P?平面α.
求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．
证明：(1)存在性：∵P?平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．
(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．
由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．
综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直.
　　[例3]　已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1.
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
[思路点拨]　本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．
[精解详析]　假设a、b、c、d都不是负数，
即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
∵a＋b＝c＋d＝1，
∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.
∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1
＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.
∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.
∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，
即ac＋bd≤1.
与ac＋bd>1相矛盾．
∴假设不成立．
∴a、b、c、d中至少有一个是负数．
[一点通]　(1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．
(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
原结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有n－1个
至少有n＋1个
6．已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c∈(0，1)，
∴1－a＞0，1－b＞0，1－c＞0，
∴≥＞ ＝.
同理＞，＞.
三式相加，得＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，
设α，β为其中的两个实根．
因为α≠β，不妨设α<β，
又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，
所以f(α)这与f(α)＝0＝f(β)矛盾．
所以方程f(x)＝0在区间 [a，b]上至多只有一个实根．
1．反证法证明的适用情形
(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；
(3)“否定性”命题；(4)“惟一性”命题；
(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；
(7)涉及“无限”结论的命题．
2．用反证法证明问题的三个注意点
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．
一、填空题
1．命题“，中至多有一个小于2”的反设为__________________．
答案：，都小于2
2．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．
解析：至少有一个实根的否定是没有实根．
答案：方程x3＋ax＋b＝0没有实根
3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为____________________．
解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
4．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.
答案：③①②
5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为______________________．
解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．
答案：x＝a或x＝b
二、解答题
6．(陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，
∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，
∵a1≠0，
∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，
∴q2－2q＋1＝0，
∴q＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．
7．设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
则有
于是有
由①、②得－4由②、③得－6④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．
8．已知P?直线a.求证：过点P和直线a平行的直线b有且只有一条．
证明：(1)存在性：∵P?直线a，∴点P和直线a确定一个平面α.
由平面几何知识知：在平面α内过点P能作出一条直线与直线a平行，故直线b存在．
(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与a平行．
∵a∥b，a∥c，
∴b∥c，这与直线b、c有共点P矛盾．
故假设不存在，因此直线b惟一．
综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平形.
第2章 推理与证明
一、合情推理和演绎推理
1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法：
(1)综合法是“由因导果”．它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴”或“?”．
(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常见书面表达是“要证……只需……”或“?”．
2．间接证明主要是反证法：
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
　　　　　　　　　　　 　　　　
(考试时间：120分钟　试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．(新课标Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一个城市．
由此可判断乙去过的城市为________．
解析：由甲、丙的回答易知甲去过A城市和C城市，乙去过A城市或C城市，结合乙的回答可得乙去过A城市．
答案：A
2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________．
解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．
故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．
答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大
3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)
①演绎推理是由一般到特殊的推理　②演绎推理得到的结论一定是正确的　③演绎推理的一般模式是“三段论”形式　④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关
解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．
答案：①③④
4．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_________________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
6．设函数f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．
解析：∵f(x)＝，
f(1－x)＝＝＝.
∴f(x)＋f(1－x)＝＝，
发现f(x)＋f(1－x)正好是一个定值，
∴2S＝×12.∴S＝3.
答案：3
7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________________________________________________________________________．
解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．
答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心
8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x＋y＝1.
解析：要使x＋y＝1，
只需x2(1－y2)＝1＋y2(1－x2)－2y，
即2y＝1－x2＋y2.
只需使(－y)2＝0，
即＝y，∴x2＋y2＝1.
答案：1
9．设数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“理想数”．已知数列a1，a2，…，a500的“理想数”为2 004，那么数列3，a1，a2，…，a500的“理想数”为________．
解析：由题意知T500＝2 004＝，
则T501＝
＝＝2 003.
答案：2 003
10.
如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝r2(r＞0)内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则是m2，n2的等差中项；现有一椭圆＋＝1(a＞b＞0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点P，若OP―→＝mOA―→＋nOB―→ (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为________．
解析：
如图，设P(x，y)，由＋＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由OP―→＝mOA―→＋nOB―→可得代入＋＝1可得(m－n)2＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，所以＝，即m2，n2的等差中项为.
答案：
11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A1A2＝a3 ，…， A5A6＝a7 ，则 a7＝________．
解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A1A2＝a3＝1，…，A5A6＝a7＝a1×＝.
法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×，故a7＝2×＝.
答案：
12．已知x>0，不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为________．
解析：由x＋≥2，x＋＝x＋≥3，x＋＝x＋≥4，…，可推广为x＋≥n＋1，故a＝nn.
答案：nn
13．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n个图形中共有______________个顶点．
解析：设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an－2＝n＋n·n，
an＝(n＋2)2＋n＋2＝n2＋5n＋6.
答案：n2＋5n＋6
14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数　　　N(n，3)＝n2＋n，
正方形数 N(n，4)＝n2，
五边形数 N(n，5)＝n2－n，
六边形数 N(n，6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________．
解析：N(n，k)＝akn2＋bkn(k≥3)，其中数列{ak}是以为首项，为公差的等差数列；数列{bk}是以为首项，－为公差的等差数列；所以N(n，24)＝11n2－10n，当n＝10时，N(10，24)＝11×102－10×10＝1 000.
答案：1 000
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
证明：∵a>0，b>0，a＋b＝1.
∴1＝a＋b≥2，≤，ab≤，
∴≥4，
又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.(当a＝，b＝时等号成立)
∴＋＋≥8.
16．(本小题满分14分)已知数列{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝(n∈N*)，若Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，bn＝6Tn－5nan，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，求数列{bn}的通项公式．
解：因为Tn＝a1＋a2·5＋a3·52＋…＋an·5n－1，①
所以5Tn＝a1·5＋a2·52＋a3·53＋…＋an－1·5n－1＋an·5n，②
由①＋②得：
6Tn＝a1＋(a1＋a2)·5＋(a2＋a3)·52＋…＋(an－1＋an)·5n－1＋an·5n
＝1＋×5＋×52＋…＋×5n－1＋an·5n
＝n＋an·5n，
所以6Tn－5nan＝n，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
17．(本小题满分14分)观察 ①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝.
由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．
解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝.
证明：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin 2α
＝＋＋sin 2α
＝＋＋cos 2α－sin 2α＋sin 2α
＝.
18．(本小题满分16分)若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.
证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2.
因a＋d＝b＋c，则只需证＜，即证ad＜bc.
设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)·(c＋d－t)＜0.
故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．
19．(本小题满分16分)设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，已知a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0.求证：
(1)a＞0，且－2＜＜－1；
(2)方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实数根．
证明：(1)因为a＋b＋c＝0，f(0)＝c＞0，f(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b＞0，
而b＝－a－c，则a－c＞0，所以a＞c＞0.
又2a＞－b，所以－2＜，
而a＋b＜0，则＜－1，因此有－2＜＜－1.
(2)Δ＝(2b)2－12ac＝4[(a＋c)2－3ac]＝4＋3c2，
则Δ＞0，f(x)的对称轴为x＝－，由(1)可得＜－＜，　
又f(0)＞0，f(1)＞0且a＞0，故方程f(x)＝0在(0，1)内有两个实数根．
20．(本小题满分16分)已知数列{an}满足a1＝，2an＋1＝anan＋1＋1.
(1)猜想数列{an}的通项公式(不用证明)；
(2)已知数列{bn}满足bn＝(n＋1)an＋，求证：数列{bn}中的任意不同的三项都不可能成等比数列．
证明：(1)由条件可得：a1＝，a2＝，a3＝，……
猜想：an＝.
(2)由(1)可知：bn＝n＋.
假设数列{bn}中存在不同的三项bp，bq，br使其成等比数列，则b＝bp·br，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
则有q2＋2＋2q＝pr＋2＋(p＋r)，
化简得q2＋2q＝pr＋(p＋r)．
因为p，q，r∈N*，所以有消去q得(p＋r)2＝4pr，即(p－r)2＝0，所以p＝r.
这与假设bp，bq，br为不同的三项矛盾，所以数列{bn}中的任意不同的三项都不可能成等比数列．