3.1 数系的扩充
问题1：方程2x2－3x＋1＝0.试求方程的整数解？方程的实数解？
提示：方程的整数解为1，方程的实数解为1和.
问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有解．
问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解，x＝i.
问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋bi，这一新数集形式如何表示？
提示：C＝{a＋bi|a，b∈R}．
1．虚数单位i
我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)i2＝－1．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.
3．复数的代数形式
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，z是什么数？
提示：当b＝0时，z＝a为实数．
问题2：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，z是什么数？
提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数；当a＝0，b≠0，z＝bi为纯虚数．
1．复数z＝a＋bi
2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
1．注意复数的代数形式z＝a＋bi中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．
2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比较大小．在复数集里， 一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．
[例1] 实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．
[精解详析] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[一点通] z＝a＋bi(a，b∈R)是复数的基本定义，由a，b的取值来确定z是实数、虚数、纯虚数还是零．在解题时，关键是确定复数的实部和虚部．
1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________．
解析：∵z＝(x2－1)＋(x－1)i是纯虚数，
∴∴x＝－1.
答案：－1
2．已知复数2＋，i，0i，5i＋8，i(1－)，i2，其中纯虚数的个数为________．
解析：∵0i＝0，i2＝－1，
∴纯虚数有i，i.
答案：2
3．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：(1)当
即m＝2时，
复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，
即m≠0.
且m≠2时，
复数z是虚数；
(3)当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
[例2] 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[思路点拨] 因为M∪P＝P，所以M?P，从而可建立关于m的关系式，进而求得m的值．
[精解详析] ∵M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，
P＝{－1，1，4i}，且M∪P＝P.
∴M?P，即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
∴或
∴m＝1或m＝2.
[一点通] (1)一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．
(2)复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
(3)必须在代数形式下确定实部、虚部后才可应用．
4．当关于x的方程x2＋(1＋2i)x＋3m＋i＝0有实根，则实数m＝________．
解析：设实根为x0，则x＋x0＋2x0i＋3m＋i＝0.
即x＋x0＋3m＋(2x0＋1)i＝0.
∴
∴m＝.
答案：
5．已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x、y的值．
解：∵x，y为实数，
∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数，由复数相等的定义，
知∴
6．已知m是实数，n是纯虚数，且2m＋n＝4＋(3－m)i，求m，n的值．
解：设n＝bi(b∈R且b≠0)
由2m＋n＝4＋(3－m)i得2m＋bi＝4＋(3－m)i，
∴ ∴
∴m的值为2，n的值为i.
[例3] 若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[思路点拨] →→→.
[精解详析] ∵m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10，
∴
解上式得：m＝3.
[一点通] 不全为实数的两个复数没有大小的关系，只有相等或不等．由两个复数可以比较大小，知两个数必全为实数，进而根据复数的分类法列实数m的方程(组)求解．
7．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋2＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
解：∵x2－1＋(y＋1)i>2x＋2＋(y2－1)i，(x，y∈R)，
∴
∴
8．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z<0，求实数k.
解：∵z<0，∴z∈R.
∴k2－5k＋6＝0.
∴k＝2或k＝3.但当k＝3时，z＝0不符合题意．
k＝2时，z＝－2<0符合题意．
∴k＝2.
1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.
2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．
3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．即a＋bi>0(a，b∈R)?.
一、填空题
1．下列命题中，
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；
④两个虚数不能比较大小．
其中正确的命题是________．
解析：①若a＝－1，则(a＋1)i＝0，①错；②复数中的虚数只能说相等或不相等，不能比较大小．②错；③中x＝－1则x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1不适合，③错；④是正确的．
答案：④
2．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析：由复数相等的充要条件可知
解得a＝－4.
答案：－4
3．复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，则a的取值为________．
解析：∵复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i是纯虚数，
∴
解之得a＝－1.
答案：－1
4．已知M＝{1，2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1，3}，M∩N＝{3}，则实数a＝________．
解析：∵M∩N＝{3}，∴(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，即解之得a＝－1.
答案：－1
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：∵z1>z2，
∴即
故a＝0.
答案：0
二、解答题
6．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i，实部小于零，虚部大于零，求实数k的取值范围．
解：由题意得即
即解得－
7．求适合方程xy－(x2＋y2)i＝2－5i的实数x，y的值．
解：由复数相等的条件可知：
解得或或或
8．设复数z＝lg(m2－2m－14)＋(m2＋4m＋3)i，试求实数m的值，使(1)z是实数；(2)z是纯虚数．
解：(1)∵z为实数，
∴虚部m2＋4m＋3＝0，
则m＝－1或m＝－3.
而当m＝－1时，m2－2m－14＝1＋2－14<0(舍去)；
当m＝－3时，m2－2m－14＝1>0.
∴当m＝－3时z为实数．
(2)∵z为纯虚数，
∴实部lg(m2－2m－14)＝0，
且m2＋4m＋3≠0，即解得m＝5.
∴当m＝5时z为纯虚数．
3．1 数系的扩充
[学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．
[预习导引]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.
要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋i；③＋i；④π；⑤－i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为，是虚数；③的实部为，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
跟踪演练1 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
答案 0
解析 根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②是假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0，③是假命题，因为由纯虚数的条件得解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．
要点二 复数的分类
例2 求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6.
(1)复数z是实数的充要条件是
??m＝－2.
∴当m＝－2时复数z是实数．
(2)复数z是虚数的充要条件是
?m≠－3且m≠－2.
∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数．
(3)复数z是纯虚数的充要条件是?m＝3.
∴当m＝3时复数z是纯虚数．
规律方法 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解 由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，即k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，解得k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
要点三 两个复数相等
例3 (1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．
(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解 (1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴解得或
(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为
3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴解得a＝11或a＝－.
规律方法 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．
跟踪演练3 已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解 ∵M∪P＝P，∴M?P，
∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
1．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．
答案 ±，5
解析 由得a＝±，b＝5.
2．在复数集中，方程x2＋2＝0的解是x＝________.
答案 ±i
3．如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为________．
答案 0
解析 由题意知∴m＝0.
4．下列几个命题：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确命题的个数为________．
答案 4
解析 命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．
1.对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断.
一、基础达标
1．如果z＝(m2－4)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．
答案 －2
解析 由题意知，∴m＝－2.
2．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的________条件．
答案 必要不充分
解析 因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是________．
答案 2－2i
解析 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知：复数－＋2i的虚部为2；复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为________．
答案 1
解析 由复数相等的充要条件知，
x＋y＝0，∴2x＋y＝20＝1.
5．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
答案 2 ±2
解析 由z1＝z2得解得
6．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
答案 －2
解析 ?m＝－2.
7．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
∴实数x，y的值分别为，2.
二、能力提升
8．若(x3－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是________．
答案 1
解析 由题意，得解得x＝1.
9．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为________．
答案 2kπ＋(k∈Z)
解析 由题意，得解得(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋，k∈Z.
10．在给出下列几个命题中，正确命题的个数为________．
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
答案 1
解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错．
11．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，解得m≠6且m≠－3，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
12．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1解 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z1三、探究与创新
13．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
解 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，
所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1.
§3.1 数系的扩充
课时目标 1.了解引入虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
(2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的________与________．
2．复数的分类
.
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?________________.
一、选择题
1．(1＋)i的实部与虚部分别是__________．
2．a＝________时，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i表示纯虚数．
3．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i (x，y∈R)，则x，y的值分别为____________．
4．若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝________.
5．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，M∩P＝{3}，则实数m＝________.
6．已知复数z1＝(3m＋1)＋(2n－1)i，z2＝(n＋7)－(m－1)i，若z1＝z2，实数m、n的值分别为__________、________.
7．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______.
8．使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．
二、解答题
9．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
10．已知＋(x2－2x－3)i＝0 (x∈R)，求x的值．
能力提升
11．设a，b∈R，若a＋b＋i＝10＋abi(i为虚数单位)，则(－)2＝________.
12．如果m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z11．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．
2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．
§3.1 数系的扩充
答案
知识梳理
1．(1)－1 (2)实部 虚部
3．a＝c且b＝d
作业设计
1．0,1＋
解析 (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．0
解析 由已知得
∴a＝0时，z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i为纯虚数．
3．1,2
解析 (7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i
??
即x，y的值分别为1,2.
4．5 5.－1
6．2,0
解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．
故有，解得m＝2，n＝0.
7．－4
解析 若4－3a－a2i＝a2＋4ai，
则?
?.
∴a＝－4.
8．{3}
解析 ∵若使复数可以比较大小，
∴两个数必须为实数．
∴∴
∴m＝3.
9．解 (1)当z为实数时，则有：
∴∴a＝6.
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有：
∴
∴a≠±1且a≠6.
∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有：
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
10．解 由复数相等的定义得
解得：x＝3，∴x＝3为所求．
11．8
解析 由复数相等的充要条件得，
?(－)2＝a＋b－2＝10－2＝8.
12．解 由z1>z2，z1∴当z1>z2时，有
由①②解得m＝0，不能满足③式，
∴使z1>z2的m的值的集合为空集．
由以上可知，m＝0时，m2＋1<4m＋2，
∴使z13.2 复数的四则运算
第1课时 复数的加减与乘法运算
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
1．复数的加法、减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
问题1：如何规定两复数相乘？
提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
问题2：试验复数乘法的交换律．
提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，
z2z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
故z1z2＝z2z1.
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
问题：复数3＋4i与3－4i，a＋bi与a－bi(a，b∈R)有什么特点？
提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．
1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．
2．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
3．当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．
1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．
2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
[例1] 计算：
(1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．
[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．
[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.
(2)(－3＋2i)－(4－5i)
＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.
(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)
＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.
[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________．
解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)
＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i
＝－4－10i.
答案：－4－10i
2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)＝2，则x＋y＝________.
解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋yi)
＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i
＝(x－4)＋(y＋1)i.
∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，
即x－4＝2，y＋1＝0.
∴x＝6，y＝－1.
∴x＋y＝5.
答案：5
3．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．
解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；
(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
[例2] 计算：
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．
[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．
(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟记：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.
4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________．
解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.
答案：－1＋3i
5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________．
解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋bi，∴a＝1，b＝3，
故a＋b＝4.
答案：4
6．计算下列各题．
(1)(1＋i)2；
(2)(－1＋3i)(3－4i)；
(3)(1－i)(1＋i)．
解：(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i＋9i－12i2＝9＋13i.
(3)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)＝2
＝－1＋i.
[例3] 已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.
[思路点拨] ―→z＝a－bi(a，b∈R)―→.
[精解详析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[一点通]
(1)实数的共轭复数是它本身，即z∈R?z＝z，利用此性质可以证明一个复数是实数．
(2)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．
7．已知复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·z－z－1＝
________．
解析：∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z·z＝(1＋i)(1－i)＝2，
∴z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i－1＝－i.
答案：－i
8．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________．
解析：设z＝a＋bi，则z＝a－bi.
∴(1＋2i)(a－bi)＝4＋3i，∴a－bi＋2ai＋2b＝4＋3i，
即(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，
∴解之得a＝2，b＝1.∴z＝2＋i.
答案：2＋i
9．已知复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使 az＋2bz＝(a＋2z)2成立．
解：∵z＝1＋i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b 都是实数，
∴由 az＋2bz＝(a＋2z)2，得
两式相加，整理得 a2＋6a＋8＝0.
解得 a1＝－2，a2＝－4，对应得 b1＝－1，b2＝2.
∴所求实数为 a＝－2，b＝－1 或 a＝－4，b＝2.
1．复数的加减运算
把复数的代数形式z＝a＋bi看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．
2．复数的乘法运算
复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．
一、 填空题
1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．
解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.
答案：5－6i
2．若复数z＝1－2i，则z·z＋z的实部是________．
解析：∵z＝1－2i，
∴z＝1＋2i，
∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，
∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.
答案：6
3．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________．
解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)
∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)
＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i
＝5＋5i.
答案：5＋5i
4．(北京高考)若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．
解析：(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2.
答案：2
5．已知z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t＝________．
解析：∵z2＝t＋i，∴z2＝t－i，
∴z1·z2＝(3＋4i)(t－i)
＝3t－3i＋4ti－4i2
＝(3t＋4)＋(4t－3)i，
又∵z1·z2是实数，
∴4t－3＝0，即t＝.
答案：
二、解答题
6．计算：(1)＋；
(2)(3＋2i)＋(－2)i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．
解：(1)原式＝－i＝－i；
(3)(3＋2i)＋(－2)i＝3＋(2＋－2)i＝3＋i；
(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)
＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i
＝8＋2i.
7．计算：
(1)(4i－6)＋2＋i；
(2)(1＋i)．
解：(4i－6)＋2＋i
＝2i＋6i2－3－9i＋2＋i
＝－7－6i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
8．(江西高考改编)z是z的共轭复数．若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i为虚数单位)，求z.
解：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，
∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2.
∴b＝－1.
故z＝1－i.
法二：∵(z－z)i＝2，∴z－z＝＝－2i.
又z＋z＝2.
∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
第2课时 复数的乘方与除法运算
问题1：在实数中，若a·b＝c(a≠0)，则b＝.反之，若b＝，则a·b＝c.那么在复数集中，若z1·z2＝z3，有z1＝(z2≠0)成立吗？
提示：成立．
问题2：若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则如何运算？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后可得结果，
即＝＝
＝＋i(c＋di≠0)．
1．复数范围内正整数指数幂的运算性质
对任意复数z，z1，z2和m，n∈N*，有
(z)m·(z)n＝(z)m＋n；
(zm)n＝zmn；
(z1·z2)n＝z·z．
2．虚数单位in(n∈N*)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i．
3．复数的除法运算及法则
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫做复数a＋bi除以复数c＋di的商．且x＋yi＝＝＝＋i．
由＝＝＝＋i，可以看出复数除法的运算实质是将分母化为实数的过程即分母实数化．
[例1] 求1＋i＋i2＋…＋i2 016的值．
[思路点拨] 利用in的性质计算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．
[精解详析] 法一：1＋i＋i2＋…＋i2 016
＝＝＝＝1.
法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，
∴1＋i＋i2＋…＋i2 016
＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)
＝1.
[一点通] 等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
1．若z＝－，则z2 014＋z102＝________．
解析：∵z2＝＝－i，
∴z2 014＋z102＝(－i)1 007＋(－i)51
＝(－i)1 004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3
＝i＋i＝2i.
答案：2i
2．设z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6 ·… ·i12，则z1与z2的关系为z1________z2(用“＝”或“≠”填)．
解析：∵z1＝＝＝1，
z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝i＝i72＝(i4)18＝1，∴z1＝z2.
答案：＝
[例2] 计算：(1)＋(5＋i2)－；
(2).
[思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要注意观察式子中数据的特点，利用题目中数据的特点简化运算．
[精解详析] (1)原式＝＋(5＋i2)－＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.
(2)原式＝
＝＝
＝·(2i)2i＝－4i.
[一点通] 复数的除法就是分子，分母同乘以分母的共轭复数，从而使分母实数化，熟悉以下结论对简化运算很有帮助．
b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.
3．设复数z＝，则复数z2的实部与虚部的和为________．
解析：∵z＝＝＝＝－i＋1，
∴z2＝(1－i)2＝1－2i－1＝－2i.
实部为0，虚部为－2.
因此，实部与虚部的和为－2.
答案：－2
4．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z＝________．
解析：∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
答案：3＋5i
5．化简：＋＝________．
解析：原式＝＋＝i＋i＝2i.
答案：2i
1．复数除法的运算技巧
在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．
2．注意复数计算中常用的整体
(1)i的性质：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；
(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i；
(3)设ω＝－＋i，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω，ω3＝1.
一、填空题
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝________．
解析：z＝＝＝＝－1＋i.
答案：－1＋i
2．设i是虚数单位，复数的虚部为________．
解析：＝＝3＋i.
答案：1
3．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________．
解析：∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.
答案：4－3i
4．(浙江高考)已知 i是虚数单位，计算 ＝________．
解析： ＝＝＝＝－－i.
答案：－－i
5．i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________．
解析：设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8①
则iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9②
①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9
＝－8i
＝－8i.
∴S＝＝＝
＝4－4i.
答案：4－4i
二、解答题
6．计算－.
解：－
＝－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.
7．复数z＝，若z2＋＜0，求纯虚数a.
解：z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，
则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i＜0，
∴
∴m＝4.∴a＝4i.
8．已知1＋i是实系数方程x2＋ax＋b＝0的一个根．
(1)求a、b的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
解：(1)∵1＋i是方程x2＋ax＋b＝0的根，
∴(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝0，
即(a＋b)＋(a＋2)i＝0，
∴∴
∴a、b的值为a＝－2，b＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程，
左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0显然方程成立．
∴1－i也是方程的一个根.
3.2 复数的四则运算
习题课
课时目标 1.进一步理解复数的四则运算.2.了解解复数问题的基本思想．
1．复数乘方的性质：对任何z，z1，即z∈C及m、n∈N*，有zm·zn＝________
(zm)n＝zmn
(z1z2)n＝zz
2．n∈N*时，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
一、填空题
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是____________．
2．设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则＝______.
3．设C，R，I分别表示复数集、实数集、纯虚数集，取C为全集，下列命题正确的是____________(请填写相应的序号)．
①R∪I＝C；②R∩I＝{0}；③C∩I＝?IR；④R∩I＝?.
4．表示为a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.
5．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i (x∈R)，若z1·z2为实数，则x＝________.
6．已知复数z满足＋(1＋2i)＝10－3i，则z＝________.
7．复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则＝________.
8．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________.
二、解答题
9．已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
10．解方程x2－(2＋3i)x＋5＋3i＝0.
能力提升
11．已知z是虚数，且z＋是实数，求证：是纯虚数．
12．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在，若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
1．对于复数运算中的分式，要先进行分母实数化．
2．充分利用复数相等的条件解方程问题．
习题课
答案
知识梳理
1．zm＋n
作业设计
1．3－3i
解析 3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，故所求复数为3－3i.
2．±i
解析 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则＝x－yi，
依题意2x＝4且x2＋y2＝8，
解之得x＝2，y＝±2.
∴＝＝＝±i.
3．④
解析 复数的概念，纯虚数集和实数集都是复数集的真子集，但其并集不是复数集，当ab≠0时，a＋bi不是实数也不是纯虚数，利用韦恩图可得出结果．
4．1
解析 ∵＝＝i，∴a＝0，b＝1，
因此a＋b＝1.
5．－2 6.9＋5i
7．2＋i
解析 z＝＝＝＝2－i.
∴＝2＋i.
8． 2i
解析 设y＝bi (b≠0)，∴，∴x＝.
9．解 设z＝a＋bi (a，b∈R)，
则＝a－bi (a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
10．解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，
则有a2－b2＋2abi－[(2a－3b)＋(3a＋2b)i]＋5＋3i＝0，根据复数相等的充要条件得
解得或
故方程的解为x＝1＋4i或x＝1－i.
11．证明 设z＝a＋bi (a、b∈R)，于是
z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋
＝a＋＋i.
∵z＋∈R，∴b－＝0.
∵z是虚数，∴b≠0，∴a2＋b2＝1且a≠±1.
∴＝
＝
＝
＝＝i.∵b≠0，a≠－1，a、b∈R，
∴i是纯虚数，即是纯虚数．
12．解 设存在虚数z＝x＋yi (x、y∈R且y≠0)．
因为z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
由已知得
因为y≠0，所以
解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．
3.2 复数的四则运算
[学习目标] 1.理解复数代数形式的四则运算法则.2.能运用运算法则进行复数的四则运算．
[知识链接]
1．复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？
答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项．
2．若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2?
答 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
3．复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
答 复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.
4．z·与|z|2和||2有什么关系？
答 z·＝|z|2＝||2.
[预习导引]
1．复数加法与减法的运算法则
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数的乘法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
4.共轭复数：把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi.
5．复数的除法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝＋i.
要点一 复数加减法的运算
例1 计算：
(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．
解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i.
(2)原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)
＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.
规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减作实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项．
跟踪演练1 计算：(1)(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)．
解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.
要点二 复数乘除法的运算
例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.
解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)
＝－20＋15i.
(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25.
(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.
规律方法 复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．
跟踪演练2 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.
解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5.
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.
例3 计算：(1)(1＋2i)÷(3－4i)；
(2)()6＋.
解 (1)(1＋2i)÷(3－4i)＝＝
＝＝－＋i.
(2)原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
规律方法 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
跟踪演练3 计算：(1)；(2).
解 (1)＝＝＝1－i.
(2)＝＝＝－1－3i.
要点三 共轭复数及其应用
例4 已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①
因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②
由①②联立，解得或
所以＝－i，或＝－＋i.
规律方法 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．
跟踪演练4 已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．
解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，
∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，
即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，
∴解得
∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.
1．复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2＝________.
答案 －i
解析 z1＋z2＝(2＋)－(＋2)i＝－i.
2．若z＋3－2i＝4＋i，则z＝________.
答案 1＋3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
3．复数z＝＝________.
答案 i
解析 ＝＝＝i.
4．已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意可知：＝＝
＝－i＝－＋i，因此＝－，化简得5a2－5＝3a2＋3，a2＝4，则a＝±2，由－＝可知a＜0，仅有a＝－2满足，故a＝－2.
1.复数的四则运算：
(1)复数的加减法和乘法类似于多项式的运算，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
(2)在进行复数的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
3．复数问题实数化思想：
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
一、基础达标
1．已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝________.
答案 3－4i
解析 方法一 由(3＋4i)z＝25，
得z＝＝＝3－4i.
方法二 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即3a－4b＋(4a＋3b)i＝25，所以解得故z＝3－4i.
2．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
答案 －2i
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，则＝＝＝＝＋i是实数，所以b＋2＝0，b＝－2，所以z＝－2i.
3.的值等于________．
答案 2＋3i
4．8＋6i的平方根是________．
答案 ±(3＋i)
解析 方法一 设8＋6i的平方根是x＋yi(x，y∈R)，
则(x＋yi)2＝8＋6i，即x2－y2＋2xyi＝8＋6i.
由复数相等，得
∴或
方法二 ∵8＋6i＝9＋6i＋i2＝(3＋i)2，∴8＋6i的平方根是±(3＋i)．
5．若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝________.
答案 4＋i
解析 两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.
6．计算：(1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)；
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)；
(3)＋.
解 (1)(－7i＋5)－(9－8i)＋(3－2i)＝－7i＋5－9＋8i＋3－2i
＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i＝－1－i.
(2)(＋i)＋(2－i)－(－i)＝＋i＋2－i－＋i
＝(＋2－)＋(－1＋)i＝1＋i.
(3)＋
＝＋
＝＋
＝＋＝－29＋1＝－511.
7．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝(－2)＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
二、能力提升
8．复数的虚部是________．
答案 －
解析 原式＝＝＝－i，
∴虚部为－.
9．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.
答案 2＋3i
解析 由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
10．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________.
答案 3＋4i
解析 由题意知a－i＝2－bi，
∴a＝2，b＝1，∴(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
11．已知z＝1＋i，a，b∈R，若＝1－i，求a，b的值．
解 ∵z＝1＋i，∴z2＝2i，
∴＝＝
＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，∴∴
12．已知复数z满足z2＝5－12i，求.
解 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝x2－y2＋2xyi.
又z2＝5－12i，所以x2－y2＋2xyi＝5－12i.
所以解得或
所以z＝3－2i或z＝－3＋2i.
所以＝＝＋i或＝＝－－i.
所以＝＋i或＝－－i.
三、探究与拓展
13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？
解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴得
∴b，c的值为b＝－2，c＝2.
(2)由(1)得方程为x2－2x＋2＝0.把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根.
§3.2 复数的四则运算
课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．
1．复数的加减法
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.则z1＋z2＝__________.z1－z2＝__________.
它们类似于多项式的合并同类项．
(2)复数的加法满足交换律与结合律，即
z1＋z2＝________.
(z1＋z2)＋z3＝____________.
(3)复数减法是加法的__________．
2．复数的乘除法
(1)z1·z2＝________________，
＝＝________________.
(2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即
z1z2＝__________.
(z1z2)z3＝__________.
z1(z2＋z3)＝__________.
3．共轭复数
若z＝a＋bi，则记z的共轭复数为，即＝________.
共轭复数的性质
①z∈R，z＋∈R；
②z＝?z∈R.
一、填空题
1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2＝__________.
2．已知a是实数，是纯虚数，则a＝________.
3．复数i3(1＋i)2＝________.
4．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
5．设i是虚数单位，则＝________.
6．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是________．
7．已知复数z＝1＋i，则－z＝________.
8．若＝a＋bi (a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.
二、解答题
9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；
(2)(1＋2i)2；
(3)6＋.
10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．
能力提升
11．已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.
12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．
1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．
2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.
3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．
4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．
§3.2 复数的四则运算
答案
知识梳理
1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
(2)z2＋z1 z1＋(z2＋z3) (3)逆运算
2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)i ＋i
(2)z2·z1 z1·(z2z3) z1z2＋z1z3
3．a－bi
作业设计
1．4＋2i
解析 z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.
2．1
解析 ＝＝
＝－i，
因为该复数为纯虚数，所以a＝1.
3．2
解析 i3(1＋i)2＝i3·2i＝2i4＝2.
4．1
解析 ∵＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
5．－1
解析 ∵＝＝＝－i，
∴＝i3·(－i)＝－i4＝－1.
6．x＝－1，y＝1
解析 x－2＝3x，y＝－(－1)，即x＝－1，y＝1.
7．－2i
解析 －z＝－1－i＝－1－i＝－2i.
8．2
解析 由＝a＋bi，得2＝(a＋bi)·(1－i)，
∴2＝a＋b＋(b－a)i，(a，b∈R)，
由复数相等的定义，知a＋b＝2.
9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2
＝－3＋4i.
(3)方法一 原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
方法二 (技巧解法)
原式＝6＋
＝i6＋＝－1＋i.
10．解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，
∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴∴或
或或
∴或
或或
11．解 设z＝a＋bi (a，b∈R)，则＝a－bi，
由题意得(a＋bi)(a－bi)＋2(a＋bi)i＝4＋2i，
∴a2＋b2－2b＋2ai＝4＋2i，
∴ ∴或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
12．解 设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0，
由复数相等的充要条件得，
解得或，
∴方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
3.3 复数的几何意义
问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？
提示：可以．
问题2：试说明理由．
提示：因复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)．
问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.
提示：如图所示．
问题2：向量和点Z有何关系？
提示：有一一对应关系．
问题3：复数z＝a＋bi与有何关系？
提示：也是一一对应．
1．复数与点，向量间的对应关系
2．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝|a＋bi|＝.
如图、分别与复数a＋bi，
c＋di对应．
问题1：试写出、及＋、－的坐标．
提示：＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
问题2：向量＋及－所对应的复数分别是什么？
提示：(a＋c)＋(b＋d)i及(a－c)＋(b－d)i.
1．复数加法的几何意义
设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线．如图，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2，则其对角线OZ所表示的向量就是复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．
2．复数减法的几何意义
复数的减法是加法的逆运算，设，分别与复数a＋bi，c＋di相对应，且，不共线，如图．
则这两个复数的差z1－z2与向量－ (等于)对应，这就是复数减法的几何意义．
3．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．
[例1] 实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？
(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？
[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则当a<0且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0且b<0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
[精解详析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
若已知复数z＝a＋bi，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；
当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；
当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z在第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．
1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．
解析：z＝＝＝＝i＋1的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．
答案：四
2．求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴的负半轴上．
解：(1)由题意，知
解得
即－7故当－7(2)由题意，知
由②得m＝－7或m＝4.
因m＝－7不适合不等式①，
m＝4适合不等式①，所以m＝4.
故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上．
[例2] 已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求|z1|及|z2|的值并比较它们的大小；
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形．
[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z1|及|z2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．
[精解详析] (1)|z1|＝|－i|＝＝2，
|z2|＝＝ ＝1，
所以|z1|＞|z2|.
(2)由(1)知1≤|z|≤2，
因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．
[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．
3．(辽宁高考改编)复数z＝的模为________．
解析：∵z＝＝＝
＝－－i，
∴|z|＝ ＝.
答案：
4．已知z＝3＋ai，且|z－2|＜2，则实数a的取值范围是________．
解析：∵z＝3＋ai，∴z－2＝1＋ai，∴|z－2|＝<2，即1＋a2<4，∴a2<3，即－答案：(－，)
5．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？
解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.
因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．
法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.
∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的C圆.
[例3] 已知?OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) 表示的复数；(2) 表示的复数；(3)点B对应的复数．
[思路点拨]
[精解详析] (1)＝－，故表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)＝－，故表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，故表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.
[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．
(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．
(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．
6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB―→对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？
解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，
∵z的实部－1<0，虚部1>0，
∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．
7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
解：如图，由复数加减法的几何意义，
＝＋，
即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．
所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.
|AD|＝|z4－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
1．复数模的几何意义
复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．
2．复数的模
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
一、填空题
1．若、对应的复数分别是7＋i,3－2i，则||＝________.
解析：∵＝(7,1)，＝(3，－2)，
∴＝－＝(－4，－3)，
∴||＝5.
答案：5
2．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．
解析：i(1－2i)＝2＋i对应的点为(2，1)，位于第一象限．
答案：一
3．若z＋|z|＝2＋8i，则z＝________．
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
所以解得
所以z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部．
于是|z|＝，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，
∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
答案：－15＋8i
4．已知z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，若z1＋z2所对应的点在实轴上，则a＝________．
解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝5＋(a＋1)i，
由z1＋z2所对应的点在实轴上可知a＋1＝0，即a＝－1.
答案：－1
5．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z＝＋i，则|z|＝________．
解析：＋i＝＋i＝＋i＝＋i，
则|z|＝ ＝.
答案：
二、解答题
6．若复数z＝(m2＋m－2)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．
解：由题意得z＝(m2＋m－2)－(4m2－8m＋3)i，z对应的点位于第一象限，
所以有所以
所以
即17．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解：(1)对应的复数为zB－zA＝(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)知||＝|1＋i|＝，||＝|－3＋i|＝，||＝|－2＋2i|＝2，
∴||2＋||2＝||2.
故△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝||·||＝××2＝2.
8．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解：已知|z－(－2＋2i)|＝1中，z的对应点轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，|z－(2＋2i)|表示圆上的点与点(2，2)之间的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易得值为3.
3.3 复数的几何意义 习题课
课时目标 1.进一步理解复数的概念.2.通过具体实例理解复平面的概念，复数的模的概念.3.将复数的运算和复数的几何意义相联系．
1．复数相等的条件：a＋bi＝c＋di?____________(a，b，c，d∈R)．
2．复数z＝a＋bi (a，b∈R)对应向量，复数z的模|z|＝||＝__________.
3．复数z＝a＋bi (a，b∈R)的模|z|＝__________，在复平面内表示点Z(a，b)到______________．
复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则|z1－z2|＝，在复平面内表示____________．
4．i4n＝______，i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，
i4n＋3＝______ (n∈Z)，＝______.
一、填空题
1．复数2＝__________.
2．已知i2＝－1，则i(1－i)＝____________.
3．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则a＝________，b＝______.
4．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是________．
5．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·＋z＝__________.
6．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．
7．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.
8．若|z－3－4i|＝2，则|z|的最大值是________．
二、解答题
9．已知复平面上的?ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，求向量对应的复数．
10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．
能力提升
11．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数．
12．(1)证明|z|＝1?z＝；
(2)已知复数z满足z·＋3z＝5＋3i，求复数z.
1．复数的运算可以和多项式运算类比，出现i2换成－1.
2．复数可以和点、向量建立对应关系．
3．复数问题实数化是解决问题的重要原则．
习题课
答案
知识梳理
1．a＝c，b＝d 2．
3． 原点的距离 点Z1(a，b)，Z2(c，d)两点间的距离
4．1 i －1 －i －i
作业设计
1．－3－4i
解析 2＝2
＝(1－2i)2＝－3－4i.
2．＋i
解析 i(1－i)＝i＋.
3．
4．H
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
5．6－2i
解析 z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.
6．2
解析 考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.
7．＋i
解析 设z＝x＋yi，则z＋|z|＝＋x＋yi＝2＋i，∴，∴，
∴z＝＋i.
8．7
解析 |z－3－4i|≥|z|－|3＋4i|，
∴|z|≤2＋|3＋4i|＝7.
9．解 设?ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得
＝－＝－＝(－)
＝(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，
所以向量对应的复数为－1－7i.
10．解 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
故 解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi (x，y∈R)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．
如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|min＝.
11．解 当四点顺序为ABCD时，第四个顶点D对应的复数为1＋9i；当四点顺序为ADBC时，第四个顶点D对应的复数为5－3i；当四点顺序为ABDC时，第四个顶点D对应的复数为－5－7i.
12．(1)证明 设z＝x＋yi (x，y∈R)，
则|z|＝1?x2＋y2＝1，
z＝?z·＝1?(x＋yi)(x－yi)＝1?x2＋y2＝1，
∴|z|＝1?z＝.
(2)解 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则＝x－yi，
由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi)
＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i，
∴∴或.
∴z＝1＋i或z＝－4＋i.
3.3 复数的几何意义
[学习目标] 1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．
[知识链接]
1．下列命题中不正确的有________．
(1)实数可以判定相等或不相等；
(2)不相等的实数可以比较大小；
(3)实数可以用数轴上的点表示；
(4)实数可以进行四则运算；
(5)负实数能进行开偶次方根运算；
答案 (5)
2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？
答 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．
[预习导引]
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数与点、向量间的对应
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量O＝(a，b)．
2．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝.
3．两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
要点一 复数与复平面内的点
例1 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．
解 复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.
(1)由题意得m2－2m－8＝0.
解得m＝－2或m＝4.
(2)由题意，得，∴2(3)由题意，得(m2－2m－8)(m2＋3m－10)<0，
∴2(4)由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝.
规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征．
跟踪演练1 实数m取什么值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)对应的点在x轴上方；
(2)对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
解 (1)由m2－2m－15>0，
得m<－3，或m>5，
所以当m<－3，或m>5时，
复数z对应的点在x轴上方．
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，
得m＝1，或m＝－，所以当m＝1，或m＝－时，
复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上．
要点二 复数的模及其应用
例2 已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
解 方法一 ∵z＝3＋ai(a∈R)，∴|z|＝，
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－，)．
方法二 利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，
∴线段AB(除去端点)为动点Z的集合．
由图可知：－规律方法 利用模的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模
的意义，结合图形，可利用平面几何知识解答本题．
跟踪演练2 求复数z1＝3＋4i，z2＝－－i的模，并比较它们的大小．
解 |z1|＝＝5，|z2|＝＝.∵5>，∴|z1|>|z2|.
要点三 复数的模的几何意义
例3 (1)当复数z1＝sin－icos，z2＝2＋3i时，试比较|z1|与|z2|的大小；
(2)求满足条件2≤|z|<3的复数z在复平面上表示的图形．
解 (1)∵|z1|＝|sin－icos|
＝＝＝，
|z2|＝|2＋3i|＝＝，
且＝<，∴|z1|<|z2|.
(2)如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．
规律方法 (1)利用模的定义，把复数问题转化为实数问题来解决，这也是本章的一种重要思想方法．
(2)根据|z|表示点Z和原点间的距离，直接判定图形形状．
跟踪演练3 已知a∈R，则复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z所对应的点的轨迹是什么？
解 ∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，
∴z的实部为正数，虚部为负数，
∴复数z所对应的点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，
∴复数z对应点的轨迹是一条射线.
1．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．
答案 9
解析 ∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2，解之得m＝9.
2．已知复数(2k2－3k－2)＋(k2－k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是________．
答案 (－，0)∪(1,2)
解析 ∵复数对应的点在第二象限，
∴
即
∴k的取值范围为(－，0)∪(1,2)．
3．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面内的点P，Q，则向量P对应的复数是________．
答案 3＋i
解析 ∵P(－1,0)，Q(2,1)，∴P＝(3,1)，∴P对应的复数为3＋i.
4．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
答案 1
解析 由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．
|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离．∴|z－1|min＝1.
1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应．
2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．
一、基础达标
1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第________象限．
答案 四
解析 z＝＋i3＝－i，∴z对应点Z(，－1)在第四象限．
2．当0答案 四
解析 ∵00，－1故对应的点在第四象限．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．
答案 2＋4i
解析 A(6,5)，B(－2,3)，
∵C为AB的中点，∴C(2,4)，
∴点C对应的复数为2＋4i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是________________________．
答案 以原点为圆心，以3为半径的圆
解析 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝3.
∴复数z对应的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆．
5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于________．
答案 －1＋i
解析 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，
＝2，解得a＝±1，故a＝－1，
所以z＝－1＋i.
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________________________．
答案 2解析 ∵z位于第三象限，
∴
∴27．(1)已知向量O与实轴正向的夹角为45°，向量O对应的复数z的模为1，求z；
(2)若z＋|z|＝2，求复数z.
解 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)．
∵O与x轴正向的夹角为45°，|z|＝1，
∴或
∴或
∴z＝＋i或z＝－i.
(2)∵z＋|z|＝2，∴z＝2－|z|∈R，
∴当z≥0时，|z|＝z，
∴z＝1，当z<0时，无解，∴z＝1.
二、能力提升
8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限．
答案 四
解析 复数(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，复数对应的点为(3，－4)，
所以在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第四象限．
9．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝________.
答案 1＋i
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)·(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)．
即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi???z＝1＋i.
10．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，若|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是________．
答案 －1解析 依题意有<，解得－111．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．
解 (1)要使点位于第四象限，须，
∴，∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，须，
∴，∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7.
12．已知复数z对应的向量为O(O为坐标原点)，O与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
解 根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，
∵|O|＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，∴a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－)，∴z＝－1＋i或z＝－1－i.
三、探究与拓展
13．试研究方程x2－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为
a2－b2－5＋6＋2abi＝0
?
?或或
即x＝±2或x＝±3或x＝±i.故方程在复数集上的解共有6个．
§3.3 复数的几何意义
课时目标 1.理解复平面及相关概念和复数与复平面内的点、向量的对应关系.2.掌握复数加减法的几何意义及应用.3.掌握复数模的概念及其几何意义．
1．复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做________，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数与点、向量间的对应
在复平面内，复数z＝a＋bi (a，b∈R)可以用点Z表示，其坐标为__________，也可用向量表示，并且它们之间是一一对应的．
3．复数的模
复数z＝a＋bi (a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝____________.
4．复数加减法的几何意义
如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是________，与z1－z2对应的向量是________．
两个复数的__________就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
一、填空题
1．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在第______象限．
2．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下说法中正确的有________．(填序号)
①z对应的点在第一象限； ②z一定不是纯虚数；
③z对应的点在实轴上方； ④z一定是实数．
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是____________．
4．复数z＝在复平面上对应的点位于第______象限．
5．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝________.
6．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3) (m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________．
7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于，则实数x的取值范围是__________．
8．若二、解答题
9．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范围．
10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
能力提升
11．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面中的对应点位于第四象限？位于x轴的负半轴上？
12．已知z＝3＋ai且|z－2|<2，求实数a的取值范围．
1．复数的几何意义包含两种
(1)复数与复平面内点的对应关系；每一个复数都和复平面内的一个点一一对应，两者联系：复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标，从而讨论复数对应点在复平面内的位置，关键是确定复数的实、虚部，由条件列出相应的方程(或不等式组)．
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点惟一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识．
2．复数z＝a＋bi的模即向量的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数的模可以比较大小．
§3.3 复数的几何意义
答案
知识梳理
1．实轴 虚轴 原点
2．(a，b)
3．
4． 差的模
作业设计
1．一
解析 ∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，
∴解得
∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．
2．③
解析 ∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数．
3．2＋4i
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，且C为AB的中点，
∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.
4．一
解析 ＝＋i，在第一象限．
5．
6．
解析 log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，
log2＝－1，
＝，m＝±，而m>3，
∴m＝.
7．
解析 根据模的定义得<，∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，
∴－8．四
解析 ∵0，m－1<0，
∴复数对应点位于第四象限．
9．解 ∵复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，
∴x满足
解得210．解 设z＝x＋yi (x，y∈R)．
则x＋yi＋＝2＋8i，
∴∴，
∴z＝－15＋8i.
11．解 当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面上的对应点位于第四象限时，
∴∴－7当复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面上的对应点位于x轴的负半轴上时，
由②得m＝－7或m＝4，∵m＝－7不适合①，
∴m＝4.
12．解 方法一 利用模的定义．
∵z＝3＋ai (a∈R)，由|z－2|<2，
即|3＋ai－2|<2，即|1＋ai|<2，
∴<2，∴－方法二
利用复数的几何意义．
由|z－2|<2可知，在复平面内z对应的点Z在以(2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图．由z＝3＋ai可知z对应的点Z在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图知，－第3章 数系的扩充与复数的引入
1．虚数单位i
(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．
2．复数的分类
3．共轭复数的性质
设复数z的共轭复数为z，则
(1)z·z＝|z|2＝|z|2；
(2)z为实数?z＝z，z为纯虚数?z＝－z.
4．复数的几何意义
5．复数相等的条件
(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0(a，b∈R)?a＝b＝0.
注意：两复数不是实数时，不能比较大小．
(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2?对应点Z1，Z2重合?OZ1―→与OZ2―→重合．
6．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．
解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2，1)，则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：－5
2．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．
解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.
答案：3＋4i
3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＝＋i，
∴z的虚部是.
答案：
4．已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni等于________．
解析：＝1－ni，所以m＝(1＋n)＋(1－n)i，因为m，n∈R，
所以
所以即m＋ni＝2＋i.
答案：2＋i
5．定义运算＝ad－bc，则满足条件＝4＋2i的复数z为________．
解析：＝zi＋z，
设z＝x＋yi，
∴zi＋z＝xi－y＋x＋yi＝x－y＋(x＋y)i＝4＋2i，
∴
∴
∴z＝3－i.
答案：3－i
6．在复平面内，复数对应的点位于第________象限．
解析：＝＝＝－i，
对应的点位于第四象限．
答案：四
7.＝________．
解析：＝＝＝1－38i.
答案：1－38i
8．设a是实数，且＋是实数，则a等于________．
解析：∵＋＝＋＝＋i是实数，
∴＝0，即a＝1.
答案：1
9．复数z满足方程＝4，那么复数z的对应点P组成图形为________．
解析：＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.
设－1＋i对应的点为C(－1，1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1，1)为圆心，4为半径的圆．
答案：以(－1，1)为圆心，以4为半径的圆
10．已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝________．
解析：由M∩N＝{4}，知4∈M，
故zi＝4，∴z＝＝－4i.
答案：－4i
11．若复数z满足|z|－z＝，则z＝________．
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴|z|－z＝－(a－bi)＝－a＋bi，
＝＝＝2＋4i，
∴解得
∴z＝3＋4i.
答案：3＋4i
12．若＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，则＝________.(用复数代数形式表示)
解析：由于＝3i＋4，＝－1－i，i是虚数单位，
所以＝－＝(－1－i)－(3i＋4)＝－5－4i.
答案：－5－4i
13．复数z满足|z＋1|＋|z－1|＝2，则|z＋i＋1|的最小值是________．
解析：由|z＋1|＋|z－1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z对应的点到两点(－1，0)和(1，0)的距离和为2，说明该点在线段y＝0(x∈[－1，1])上，而|z＋i＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.
答案：1
14．已知关于x的方程x2＋(1＋2i)x－(3m－1)＝0有实根，则纯虚数m的值是________．
解析：方程有实根，不妨设其一根为x0，设m＝ai代入方程得x＋(1＋2i)x0－(3ai－1)i＝0，
化简得，(2x0＋1)i＋x＋x0＋3a＝0，
∴解得a＝，∴m＝i.
答案：i
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)计算：
(1)；(2).
解：(1)＝＝＝2.
(2)＝
＝＝＝
＝－＋i.
16．(本小题满分14分)求实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)分别是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．
解：由z＝(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i.
(1)当k2－5k－6＝0时，z∈R，
∴k＝6或k＝－1.
(2)当k2－5k－6≠0时，z是虚数，即k≠6且k≠－1.
(3)当时，z是纯虚数，
∴k＝4.
(4)当时，z＝0，解得k＝－1.
综上，当k＝6或k＝－1时，z∈R.
当k≠6且k≠－1时，z是虚数．
当k＝4时，z是纯虚数，当k＝－1时，z＝0.
17．(本小题满分14分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1＋3i－z，
得－1－3i＋a＋bi＝0，
则所以
所以z＝－4＋3i.
则＝＝＝3＋4i.
18．(本小题满分16分)已知ω＝－＋i.
(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；
(2)若等比数列{an}的首项为a1＝1，公比q＝ω，求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)ω2＝＝－i－＝－－i.
ω2＋ω＋1＝＋＋1＝0.
(2)由于ω2＋ω＋1＝0，
∴ωk＋2＋ωk＋1＋ωk＝ωk(ω2＋ω＋1)＝0，k∈Z.
∴Sn＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn－1＝
∴Sn ＝
19．(本小题满分16分)已知z＝(a∈R且a＞0)，复数ω＝z(z＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．
解：把z＝(a＞0)代入ω中，
得ω＝＝＋i.
由－＝，得a2＝4.
又a＞0，所以a＝2.
所以|ω|＝|＋3i|＝.
20．(本小题满分16分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，
所以点A(1，1)，B(0，2)，
C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0，2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
