【走进重高汇编】八上数学第十四章 第一节 整式的乘法训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八上数学第十四章 第一节 整式的乘法训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:59:25 | ||
图片预览
文档简介
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第一节 整式的乘法
一．选择题（共10小题）
1．计算b2?b3正确的结果是（ ）
A．2b6 B．2b5 C．b6 D．b5
2．式子﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立时，□内应填上（ ）
A．4a3bc B．36a3bc C．﹣4a3bc D．﹣36a3bc
3．已知am=5，an=2，则am+n的值等于（ ）
A．2.5 B．7 C．10 D．25
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4?x4=x16 B．（a3）2?a4=a9
C．（ab2）4÷（﹣ab）2=﹣ab4 D．（a﹣1b3）2=
5．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣p）3=p3 B．（a3）2=a5
C．（x5）3﹣（x2）6=x3 D．
6．当a=时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷7a的值是（ ）
A．6.25 B．0.25 C．﹣2.25 D．﹣4
7．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
9．若a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，则m、n、a的值分别为（ ）
A．m=4、n=3、a=14 B．m=5、n=4、a=17 C．m=4、n=3、a=16 D．m=4、n=4、a=16
10．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
A． B． C． D．a2014﹣1
二．填空题（共4小题）
11．计算：（a2+3）（a﹣2）﹣a（a2﹣2a﹣2）= ．
12．若a、b为正整数，且3a?3b=243，则a+b= ．
13．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 ．
14．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1= ．
三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）2（﹣x2）3?x2﹣2x3?x5+x2?（2x2）3
（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）；
（3）（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）0﹣（﹣2）﹣3
（4）（x2﹣2xy）?9x2﹣（9xy3﹣12x4y2）÷3xy
（5）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）
（6）（2x+3y）（3y﹣2x）﹣（x﹣3y）（x+2y）
16．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn﹣3?x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
17．化简求值
（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x=2，y=1
（2）（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中a=1，b=．
18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
19．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）=3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．
20．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第一节 整式的乘法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算b2?b3正确的结果是（ ）
A．2b6 B．2b5 C．b6 D．b5
【分析】根据同底数幂的乘法法则求出即可．
【解答】解：b2?b3=b5，
故选：D．
【点评】本题考查了对同底数幂的乘法法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
2．式子﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立时，□内应填上（ ）
A．4a3bc B．36a3bc C．﹣4a3bc D．﹣36a3bc
【分析】直接利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，求出即可．
【解答】解：∵﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立，
∴□内应填上12a5b2c÷（﹣3a2b）=﹣4a3bc．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握运算法则是解题关键．
3．已知am=5，an=2，则am+n的值等于（ ）
A．2.5 B．7 C．10 D．25
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am=5，an=2，
∴am+n=am×an=5×2=10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4?x4=x16 B．（a3）2?a4=a9
C．（ab2）4÷（﹣ab）2=﹣ab4 D．（a﹣1b3）2=
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是x4，故本选项不符合题意；
B、结果是a10，故本选项不符合题意；
C、结果是a2b6，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、整式的混合运算等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣p）3=p3 B．（a3）2=a5
C．（x5）3﹣（x2）6=x3 D．
【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、（﹣p）3=﹣p3，故本选项错误；
B、（a3）2=a6，故本选项错误；
C、（x5）3﹣（x2）6=x15﹣x12，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
6．当a=时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷7a的值是（ ）
A．6.25 B．0.25 C．﹣2.25 D．﹣4
【分析】本题主要考查多项式除以单项式的有关计算，先进行多项式除以单项式的运算，然后代入求值．
【解答】解：（28a3﹣28a2+7a）÷7a，
=28a3÷7a﹣28a2÷7a+7a÷7a，
=4a2﹣4a+1，
当a=时，原式=7×﹣4×+1=．
故选：B．
【点评】多项式除以单项式时，要注意逐项运算，要留心各项符号，代入求值时要注意符号变化．
7．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
【分析】两边长相乘，利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到长方形面积．
【解答】解：根据题意得：（2a+b）（a﹣b）=2a2﹣2ab+ab﹣b2=2a2﹣ab﹣b2．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
9．若a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，则m、n、a的值分别为（ ）
A．m=4、n=3、a=14 B．m=5、n=4、a=17 C．m=4、n=3、a=16 D．m=4、n=4、a=16
【分析】首先利用积的乘方进行计算，进而利用同底数幂的除法运算法则求出即可．
【解答】解：∵a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，
∴ax3my9÷4x6y2n=4x6y3，
∴a÷4=4，则a=16，
3m﹣6=6，则m=4，
9﹣2n=3，则n=3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方以及同底数幂的除法运算法则，熟练应用相关运算法则是解题关键．
10．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
A． B． C． D．a2014﹣1
【分析】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，得出aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，相减即可得出答案．
【解答】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力．
二．填空题（共4小题）
11．计算：（a2+3）（a﹣2）﹣a（a2﹣2a﹣2）= 5a﹣6 ．
【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则进行化简即可求出答案．
【解答】解：原式=a3﹣2a2+3a﹣6﹣a3+2a2+2a=5a﹣6
故答案为：5a﹣6
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式，本题涉及整式加减运算，属于基础题型．
12．若a、b为正整数，且3a?3b=243，则a+b= 5 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am?an=am+n计算即可．
【解答】解：3a?3b=3a+b=243=35，
∴a+b=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
13．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 6x2+5x﹣6 ．
【分析】根据小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，根据等于号的性质可得2b﹣3a=﹣13①；再根据小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）=2x2﹣x﹣6，可得2b+a=﹣1②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，进而可求一次项系数．
【解答】解：根据题意可知
小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a=﹣13①，
小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）=2x2﹣x﹣6，
即2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣x﹣6，
可得2b+a=﹣1②，
解关于①②的方程组，可得a=3，b=﹣2，
∴2b+3a=5．
故答案为：6x2+5x﹣6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则、解方程组，解题的关键是理解题目表达的意思．
14．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1= （n2+5n+5）2 ．
【分析】先根据题中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方变形后，归纳猜想得到所求式子的化简结果，然后进行证明，方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简，合并后，把平方项的系数拆为10+25，然后利用完全平方公式化简后，即可得到与等式的右边相等．
【解答】解：由1×2×3×4+1=25=52=（02+5×0+5）2；
2×3×4×5+1=121=112=（12+5×1+5）2；
3×4×5×6+1=361=192=（22+5×2+5）2，…
观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n2+5n+5）2．
证明：等式左边=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
=（n2+3n+2）（n2+7n+12）+1
=n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25
=n4+10n3+35n2+50n+25
=n4+2n2（5n+5）+（5n+5）2
=（n2+5n+5）2=等式右边．
故答案为：（n2+5n+5）2
【点评】此题考查学生根据已有的等式归纳总结，得出一般性规律的能力，是一道中档题．
三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）2（﹣x2）3?x2﹣2x3?x5+x2?（2x2）3
（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）；
（3）（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）0﹣（﹣2）﹣3
（4）（x2﹣2xy）?9x2﹣（9xy3﹣12x4y2）÷3xy
（5）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）
（6）（2x+3y）（3y﹣2x）﹣（x﹣3y）（x+2y）
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣2x6?x2﹣2x8+x2?8x6
=﹣2x8﹣2x8+8x8
=4x8
（2）原式=8x3﹣6x3﹣12x2+6x
=2x3﹣12x2+6x
（3）原式=﹣2﹣2+1﹣（﹣）
=﹣3+
=﹣
（4）原式=9x4﹣18x3y﹣（3y2﹣4x3y）
=9x4﹣18x3y﹣3y2+4x3y
=9x4﹣14x3y﹣3y2
（5）原式=x2+6x+9﹣x2+4
=6x+13
（6）原式=9y2﹣4x2﹣（x2﹣xy﹣6y2）
=15y2﹣5x2+xy
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
16．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn﹣3?x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n=4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n=4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n=4，
∴xn﹣3?x3（n+1）=xn﹣3?x3n+3=x4n=（x2n）2=42=16；
（2）∵x2n=4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n=9x6n﹣13x4n=9（x2n）3﹣13（x2n）2=9×43﹣13×42=576﹣208=368．
【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
17．化简求值
（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x=2，y=1
（2）（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中a=1，b=．
【分析】（1）首先利用完全平方公式，合并同类项化简括号内的式子，然后进行除法计算即可化简，然后代入数值计算即可；
（2）首先利用平方差公式和完全平方公式计算，合并同类项化简括号内的式子，然后进行除法计算即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）原式=（x2﹣4xy+4y2﹣4y2+2xy）÷2x
=（x2﹣2xy）÷2x
=x﹣y，
当x=2，y=1时，原式=×2﹣1=0；
（2）原式=a2﹣4b2+a2+2ab+4b2﹣4ab
=2a2﹣2ab，
当a=1，b=时，原式=2﹣=．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，理解平方差公式以及完全平方的结构，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）=x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项得：，
解得：．
即m=﹣4，n=﹣12；
（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）
=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
=m3+n3，
当m=﹣4，n=﹣12时，
原式=（﹣4）3+（﹣12）3=﹣64﹣1728=﹣1792．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）=3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．
【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；
理由如下：
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有
所以a+9=﹣3，a=﹣12，b=6；
=﹣2．
【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应．
20．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 2a+3b ．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示；
（4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）如图所示：
（4）根据题意得：2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b），
则较长的一边为2a+3b．
故答案为：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（4）2a+3b
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．计算b2?b3正确的结果是（ ）
A．2b6 B．2b5 C．b6 D．b5
2．式子﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立时，□内应填上（ ）
A．4a3bc B．36a3bc C．﹣4a3bc D．﹣36a3bc
3．已知am=5，an=2，则am+n的值等于（ ）
A．2.5 B．7 C．10 D．25
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4?x4=x16 B．（a3）2?a4=a9
C．（ab2）4÷（﹣ab）2=﹣ab4 D．（a﹣1b3）2=
5．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣p）3=p3 B．（a3）2=a5
C．（x5）3﹣（x2）6=x3 D．
6．当a=时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷7a的值是（ ）
A．6.25 B．0.25 C．﹣2.25 D．﹣4
7．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
9．若a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，则m、n、a的值分别为（ ）
A．m=4、n=3、a=14 B．m=5、n=4、a=17 C．m=4、n=3、a=16 D．m=4、n=4、a=16
10．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
A． B． C． D．a2014﹣1
二．填空题（共4小题）
11．计算：（a2+3）（a﹣2）﹣a（a2﹣2a﹣2）= ．
12．若a、b为正整数，且3a?3b=243，则a+b= ．
13．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 ．
14．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1= ．
三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）2（﹣x2）3?x2﹣2x3?x5+x2?（2x2）3
（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）；
（3）（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）0﹣（﹣2）﹣3
（4）（x2﹣2xy）?9x2﹣（9xy3﹣12x4y2）÷3xy
（5）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）
（6）（2x+3y）（3y﹣2x）﹣（x﹣3y）（x+2y）
16．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn﹣3?x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
17．化简求值
（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x=2，y=1
（2）（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中a=1，b=．
18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
19．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）=3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．
20．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第一节 整式的乘法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．计算b2?b3正确的结果是（ ）
A．2b6 B．2b5 C．b6 D．b5
【分析】根据同底数幂的乘法法则求出即可．
【解答】解：b2?b3=b5，
故选：D．
【点评】本题考查了对同底数幂的乘法法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力，注意：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
2．式子﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立时，□内应填上（ ）
A．4a3bc B．36a3bc C．﹣4a3bc D．﹣36a3bc
【分析】直接利用单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，求出即可．
【解答】解：∵﹣□?（3a2b）=12a5b2c成立，
∴□内应填上12a5b2c÷（﹣3a2b）=﹣4a3bc．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握运算法则是解题关键．
3．已知am=5，an=2，则am+n的值等于（ ）
A．2.5 B．7 C．10 D．25
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am=5，an=2，
∴am+n=am×an=5×2=10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x4?x4=x16 B．（a3）2?a4=a9
C．（ab2）4÷（﹣ab）2=﹣ab4 D．（a﹣1b3）2=
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是x4，故本选项不符合题意；
B、结果是a10，故本选项不符合题意；
C、结果是a2b6，故本选项不符合题意；
D、结果是，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式、单项式除以单项式、整式的混合运算等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（﹣p）3=p3 B．（a3）2=a5
C．（x5）3﹣（x2）6=x3 D．
【分析】直接利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、（﹣p）3=﹣p3，故本选项错误；
B、（a3）2=a6，故本选项错误；
C、（x5）3﹣（x2）6=x15﹣x12，故本选项错误；
D、，故本选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查了积的乘方与幂的乘方．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键．
6．当a=时，代数式（28a3﹣28a2+7a）÷7a的值是（ ）
A．6.25 B．0.25 C．﹣2.25 D．﹣4
【分析】本题主要考查多项式除以单项式的有关计算，先进行多项式除以单项式的运算，然后代入求值．
【解答】解：（28a3﹣28a2+7a）÷7a，
=28a3÷7a﹣28a2÷7a+7a÷7a，
=4a2﹣4a+1，
当a=时，原式=7×﹣4×+1=．
故选：B．
【点评】多项式除以单项式时，要注意逐项运算，要留心各项符号，代入求值时要注意符号变化．
7．李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a﹣b，则该长方形的面积为（ ）
A．6a+b B．2a2﹣ab﹣b2 C．3a D．10a﹣b
【分析】两边长相乘，利用多项式乘以多项式法则计算，合并即可得到长方形面积．
【解答】解：根据题意得：（2a+b）（a﹣b）=2a2﹣2ab+ab﹣b2=2a2﹣ab﹣b2．
故选：B．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，
又∵乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=﹣3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．
9．若a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，则m、n、a的值分别为（ ）
A．m=4、n=3、a=14 B．m=5、n=4、a=17 C．m=4、n=3、a=16 D．m=4、n=4、a=16
【分析】首先利用积的乘方进行计算，进而利用同底数幂的除法运算法则求出即可．
【解答】解：∵a（xmy3）3÷（2x3yn）2=4x6y3，
∴ax3my9÷4x6y2n=4x6y3，
∴a÷4=4，则a=16，
3m﹣6=6，则m=4，
9﹣2n=3，则n=3，
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方以及同底数幂的除法运算法则，熟练应用相关运算法则是解题关键．
10．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：
S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①
然后在①式的两边都乘以6，得：
6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②
②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：
如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（ ）
A． B． C． D．a2014﹣1
【分析】设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，得出aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，相减即可得出答案．
【解答】解：设S=1+a+a2+a3+a4+…+a2014，①
则aS=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2015，②，
②﹣①得：（a﹣1）S=a2015﹣1，
∴S=，
即1+a+a2+a3+a4+…+a2014=，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法的应用，主要考查学生的阅读能力和计算能力．
二．填空题（共4小题）
11．计算：（a2+3）（a﹣2）﹣a（a2﹣2a﹣2）= 5a﹣6 ．
【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则进行化简即可求出答案．
【解答】解：原式=a3﹣2a2+3a﹣6﹣a3+2a2+2a=5a﹣6
故答案为：5a﹣6
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式，本题涉及整式加减运算，属于基础题型．
12．若a、b为正整数，且3a?3b=243，则a+b= 5 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am?an=am+n计算即可．
【解答】解：3a?3b=3a+b=243=35，
∴a+b=5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
13．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 6x2+5x﹣6 ．
【分析】根据小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，根据等于号的性质可得2b﹣3a=﹣13①；再根据小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）=2x2﹣x﹣6，可得2b+a=﹣1②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，进而可求一次项系数．
【解答】解：根据题意可知
小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）=6x2+（2b﹣3a）x﹣ab=6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a=﹣13①，
小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）=2x2﹣x﹣6，
即2x2+（2b+a）x+ab=2x2﹣x﹣6，
可得2b+a=﹣1②，
解关于①②的方程组，可得a=3，b=﹣2，
∴2b+3a=5．
故答案为：6x2+5x﹣6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则、解方程组，解题的关键是理解题目表达的意思．
14．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1=25=52；
2×3×4×5+1=121=112：
3×4×5×6+1=361=192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1= （n2+5n+5）2 ．
【分析】先根据题中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方变形后，归纳猜想得到所求式子的化简结果，然后进行证明，方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简，合并后，把平方项的系数拆为10+25，然后利用完全平方公式化简后，即可得到与等式的右边相等．
【解答】解：由1×2×3×4+1=25=52=（02+5×0+5）2；
2×3×4×5+1=121=112=（12+5×1+5）2；
3×4×5×6+1=361=192=（22+5×2+5）2，…
观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1=（n2+5n+5）2．
证明：等式左边=（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
=（n2+3n+2）（n2+7n+12）+1
=n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25
=n4+10n3+35n2+50n+25
=n4+2n2（5n+5）+（5n+5）2
=（n2+5n+5）2=等式右边．
故答案为：（n2+5n+5）2
【点评】此题考查学生根据已有的等式归纳总结，得出一般性规律的能力，是一道中档题．
三．解答题（共6小题）
15．计算
（1）2（﹣x2）3?x2﹣2x3?x5+x2?（2x2）3
（2）（2x）3﹣6x（x2+2x﹣1）；
（3）（﹣）﹣1﹣2+（π﹣3.14）0﹣（﹣2）﹣3
（4）（x2﹣2xy）?9x2﹣（9xy3﹣12x4y2）÷3xy
（5）（x+3）2﹣（x+2）（x﹣2）
（6）（2x+3y）（3y﹣2x）﹣（x﹣3y）（x+2y）
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣2x6?x2﹣2x8+x2?8x6
=﹣2x8﹣2x8+8x8
=4x8
（2）原式=8x3﹣6x3﹣12x2+6x
=2x3﹣12x2+6x
（3）原式=﹣2﹣2+1﹣（﹣）
=﹣3+
=﹣
（4）原式=9x4﹣18x3y﹣（3y2﹣4x3y）
=9x4﹣18x3y﹣3y2+4x3y
=9x4﹣14x3y﹣3y2
（5）原式=x2+6x+9﹣x2+4
=6x+13
（6）原式=9y2﹣4x2﹣（x2﹣xy﹣6y2）
=15y2﹣5x2+xy
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
16．已知n为正整数，且x2n=4
（1）求xn﹣3?x3（n+1）的值；
（2）求9（x3n）2﹣13（x2）2n的值．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为（x2n）2，再把x2n=4代入进行计算即可；
（2）根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则将原式化简为9（x2n）3﹣13（x2n）2，再把x2n=4代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x2n=4，
∴xn﹣3?x3（n+1）=xn﹣3?x3n+3=x4n=（x2n）2=42=16；
（2）∵x2n=4，
∴9（x3n）2﹣13（x2）2n=9x6n﹣13x4n=9（x2n）3﹣13（x2n）2=9×43﹣13×42=576﹣208=368．
【点评】本题考查的是幂的乘方与同底数幂的乘法法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘是解答此题的关键．
17．化简求值
（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x=2，y=1
（2）（a+2b）（a﹣2b）+（a+2b）2﹣4ab，其中a=1，b=．
【分析】（1）首先利用完全平方公式，合并同类项化简括号内的式子，然后进行除法计算即可化简，然后代入数值计算即可；
（2）首先利用平方差公式和完全平方公式计算，合并同类项化简括号内的式子，然后进行除法计算即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）原式=（x2﹣4xy+4y2﹣4y2+2xy）÷2x
=（x2﹣2xy）÷2x
=x﹣y，
当x=2，y=1时，原式=×2﹣1=0；
（2）原式=a2﹣4b2+a2+2ab+4b2﹣4ab
=2a2﹣2ab，
当a=1，b=时，原式=2﹣=．
【点评】本题主要考查整式的化简求值，理解平方差公式以及完全平方的结构，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
18．已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x3和x2项．
（1）求m与n的值．
（2）在（1）的条件下，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；
（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．
【解答】解：（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）=x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，
根据展开式中不含x2和x3项得：，
解得：．
即m=﹣4，n=﹣12；
（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）
=m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3
=m3+n3，
当m=﹣4，n=﹣12时，
原式=（﹣4）3+（﹣12）3=﹣64﹣1728=﹣1792．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21计算如下：
因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）=3x+2．
（1）阅读上述材料后，试判断x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，说明理由．
（2）利用上述方法解决：若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．
【分析】（1）直接利用竖式计算，进一步判定即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．
【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；
理由如下：
（2）若多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除则有
所以a+9=﹣3，a=﹣12，b=6；
=﹣2．
【点评】此题考查利用竖式计算整式的除法，注意同类项的对应．
20．当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式： （a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）；
（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b的正方形，5 张边长分别为a、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 2a+3b ．
【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；
（2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可；
（3）根据已知等式，做出相应图形，如图所示；
（4）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边．
【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）=121﹣76=45；
（3）如图所示：
（4）根据题意得：2a2+5ab+3b2=（2a+3b）（a+b），
则较长的一边为2a+3b．
故答案为：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（4）2a+3b
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．