【走进重高汇编】八上数学第十四章 第二节 乘法公式训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八上数学第十四章 第二节 乘法公式训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:59:13 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第二节 乘法公式
一．选择题（共9小题）
1．已知x+y=6，x﹣y=1，则x2﹣y2等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y）
C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
3．当x=3，y=1时，代数式（x+y）（x﹣y）+y2的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
4．等式（﹣x2﹣y2）（ ）=y4﹣x4成立，括号内应填入下式中的（ ）
A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2
5．下列式子运算正确的是（ ）
A．（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 B．（a+2）（b﹣1）=ab﹣2
C．（a+1）2=a2+1 D．（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2
6．某商品原价为a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是（ ）
A．1.08a元 B．0.88a元 C．0.968a元 D．a元
7．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a+1）（b﹣1）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣4 D．2
8．10a2（x﹣y）2﹣5a（y﹣x）3=M（2a+x﹣y）中，M（M为整式）等于（ ）
A．5a（x﹣y）2 B．5a（x﹣y） C．a（x﹣y） D．x﹣y
9．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
二．填空题（共5小题）
10．已知x+y=1，那么的值为 ．
11．观察下列各式，探索发现规律：
22﹣1=1×3；
42﹣1=15=3×5；
62﹣1=35=5×7；
82﹣1=63=7×9；
102﹣1=99=9×11；
…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ．
12．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ；x2+y2= ．
13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 ．
14．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 ．
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题
（1）（5m3n2）2?（﹣2m2）3?（﹣n3）4
（2）（3a2b）3?（﹣2ab4）2÷（6a5b3）
（3）x （x﹣y）﹣（x﹣3）（x+3）
（4）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x （x﹣1）﹣（2x﹣1）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2
（6）（a﹣2b+3c） （a+2b﹣3c）
（7）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
（8）[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中x=﹣1，y=﹣2．
16．（1）先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+（8xy3﹣4x2y2）÷4xy，其中x=﹣2，y=1．
（2）已知x2+4x﹣1=0，求代数式 （2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
17．如图，AB=n，P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作正方形．
（1）设AP=x，求两个正方形的面积之和S（用含有n、x的代数式表示）；
（2）当AP分别为n和n时，比较S的大小．
18．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a1，a2，a3，…，an，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
19．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．
∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．
∴．
解这个方程组，得：．
解答下面的问题：
（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．
20．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．
21．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（1）分解因式：x5﹣1= ；
（2）根据规律可得：（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）= （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）；
（4）计算：（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1．
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第二节 乘法公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知x+y=6，x﹣y=1，则x2﹣y2等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y=6，x﹣y=1，
∴原式=（x+y）（x﹣y）=6，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y） C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x﹣y）（﹣x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
C、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
3．当x=3，y=1时，代数式（x+y）（x﹣y）+y2的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2﹣y2+y2
=x2，
当x=3，y=1时，原式=9．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．等式（﹣x2﹣y2）（ ）=y4﹣x4成立，括号内应填入下式中的（ ）
A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：由于y4﹣x4=（y2﹣x2）（y2+x2）
=（x2﹣y2）（﹣x2﹣y2）
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
5．下列式子运算正确的是（ ）
A．（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 B．（a+2）（b﹣1）=ab﹣2
C．（a+1）2=a2+1 D．（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2
【分析】A、原式利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=4a2﹣b2，错误；
B、原式=ab﹣a+2b﹣2，错误；
C、原式=a2+2a+1，错误；
D、原式=x2﹣3x+2，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．某商品原价为a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是（ ）
A．1.08a元 B．0.88a元 C．0.968a元 D．a元
【分析】降价后这种商品的价格=两次提价后的价格×（1﹣20%）．
【解答】解：可先求第一次提价后为（1+10%）a元，第二次提价后为a（1+10%）2元，降价后为a（1+10%）2（1﹣20%）=0.968a元．故选C．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
7．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a+1）（b﹣1）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣4 D．2
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a﹣b=1，ab=﹣2代入进行计算即可．
【解答】解：原式=ab﹣a+b﹣1
=ab﹣（a﹣b）﹣1，
当a﹣b=1，ab=﹣2时，原式=﹣2﹣1﹣1=﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为ab﹣（a﹣b）﹣1的形式是解答此题的关键．
8．10a2（x﹣y）2﹣5a（y﹣x）3=M（2a+x﹣y）中，M（M为整式）等于（ ）
A．5a（x﹣y）2 B．5a（x﹣y） C．a（x﹣y） D．x﹣y
【分析】把等号左边进行因式分解，整理为含等号右边括号内的式子，再根据对应因式相等求解即可．
【解答】解：∵左边=10a2（y﹣x）2﹣5a（y﹣x）3，
=5a（y﹣x）2[2a﹣（y﹣x）]，
=5a（y﹣x）2（2a﹣y+x），
=5a（x﹣y）2（2a+x﹣y），
∴M=5a（x﹣y）2，
故选：A．
【点评】本题实质上考查提公因式法分解因式，解题时要注意互为相反数的偶次方相等的运用．
9．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．
【解答】解：（a+b）11的展开式第三项的系数是55．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2．
二．填空题（共5小题）
10．已知x+y=1，那么的值为 ．
【分析】根据完全平方公式，可知=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，再整体代入计算即可．
【解答】解：
=（x2+2xy+y2）
=（x+y）2
=×1
=．
故答案为 ．
【点评】此题考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式的结构特征是关键．
11．观察下列各式，探索发现规律：
22﹣1=1×3；
42﹣1=15=3×5；
62﹣1=35=5×7；
82﹣1=63=7×9；
102﹣1=99=9×11；
…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 （2n）2﹣1=（2n﹣1）（2n+1） ．
【分析】等式的左边2，4，6，8，10为等差数列可表示为（2n）2﹣1；等式右边的整式中：1、3、5、7、9和3、5、7、9、11，可以看出是等差数列可分别表示为（2n﹣1），（2n+1），然后两数列公式相乘．
【解答】解：左边：4n2﹣1=（2n）2﹣1，
右边：两个等差数列分别是：2n﹣1，2n+1，即（2n﹣1）（2n+1），
∴规律为（2n）2﹣1=（2n﹣1）（2n+1）．
【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键找到是等号左边是偶数的平方与1的差，等式右边是与该偶数相邻的两个奇数的乘积．
12．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= 4 ；x2+y2= 17 ．
【分析】根据完全平分公式可得：a2+b2=（a+b）2﹣2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即可解答．
【解答】解：xy=[（x+y）2﹣（x﹣y）2]=，
x2+y2=（x+y）2﹣2xy=25﹣8=17，
故答案为：4；17．
【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 ± ．
【分析】把（2a+2b）看作一个整体，然后利用平方差公式展开，再根据平方根的以进行解答即可．
【解答】解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=（2a+2b）2﹣1=7，
即4（a+b）2=8，
∴（a+b）2=2，
∴a+b=±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了平方差公式与直接开平方法解一元二次方程，把（2a+2b）看作一个整体，整体思想的利用是解题的关键．
14．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 11 ．
【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2=3，
∴a=5，
∵b﹣a+1=2，
∴b﹣5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题
（1）（5m3n2）2?（﹣2m2）3?（﹣n3）4
（2）（3a2b）3?（﹣2ab4）2÷（6a5b3）
（3）x （x﹣y）﹣（x﹣3）（x+3）
（4）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x （x﹣1）﹣（2x﹣1）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2
（6）（a﹣2b+3c） （a+2b﹣3c）
（7）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
（8）[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中x=﹣1，y=﹣2．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（4）原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（5）原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（6）原式先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开即可得到结果；
（7）原式第一项利用平方差函数化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（8）原式中括号中利用平方差公式化简，整理后再利用多项式乘以多项式法则计算，得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=25m6n4?（﹣8m6）÷n12=﹣；
（2）原式=（27a6b3）?（4a2b8）÷（6a5b3）=18a3b8；
（3）原式=x2﹣xy﹣x2+9=9﹣xy；
（4）原式=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1=9x﹣5；
（5）原式=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab；
（6）原式=a2﹣（2b﹣3c）2=a2﹣4b2+12bc﹣9c2；
（7）原式=x2﹣y2﹣x2+xy﹣y2=﹣y2+xy；
（8）原式=（2x2﹣x2+y2）（x2﹣y2+2y2）=x4+2x2y2+y4，
当x=﹣1，y=﹣2时，原式=1+8+16=25．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（1）先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+（8xy3﹣4x2y2）÷4xy，其中x=﹣2，y=1．
（2）已知x2+4x﹣1=0，求代数式 （2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（1）原式=4x2﹣y2+22﹣xy
=2x2+2xy，
当x=﹣2，y=1时，原式=8﹣4=4；
（2）（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2
=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2，
=3x2﹣12x+9，
∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x=1，
原式=3（x2﹣4x）+9=3×1+9=12．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．如图，AB=n，P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作正方形．
（1）设AP=x，求两个正方形的面积之和S（用含有n、x的代数式表示）；
（2）当AP分别为n和n时，比较S的大小．
【分析】（1）表示出两正方形的边长，即可表示出两个正方形面积之和；
（2）把AP代入计算确定出S，比较即可．
【解答】解：（1）S=x2+（n﹣x）2=2x2﹣2nx+n2；
（2）当AP=时，S=n2，
当AP=时，S=n2，
由n2＞n2，得当AP=时，面积S较小．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a1，a2，a3，…，an，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
【分析】（1）将an的表达式根据平方差公式计算出来，看是否是8的倍数．
（2）==2，根据该式依次列出所需的完全平方数即可．
【解答】解：（1）根据平方差公式计算an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）=8n，
故an是8的倍数．
（2）设a=2b（b为大于0的自然数）
则==2，所以当n分别取2、8、18、32时得到一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
n=2时，an=16，
n=8时，an=64，
n=18时，an=144，
n=32时，an=256，
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”为16、64、144、256．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，读懂题目信息是解题的关键．
19．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．
∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．
∴．
解这个方程组，得：．
解答下面的问题：
（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式化为（x﹣4）2+（y+5）2=0的形式，根据非负数的性质求出x、y，代入代数式根据乘方法则计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式化为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2﹣8x+10y+41=0，
∴x2﹣8x+16+y2+10y+25=0．
∴（x﹣4）2+（y+5）2=0．
∴x﹣4=0且y+5=0．
∴x=4，y=﹣5．
∴（x+y）2016=[4+（﹣5）]2016=1．
（2）∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca．
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2=0．
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．
∴a﹣b=0且b﹣c=0且c﹣a=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
20．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= 9025 ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 100a（a+1）+25 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．
【分析】（1）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得952=9×10×100+25，据此解答即可．
（2）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得（10a+5）2=a×（a+1）×100+25，据此解答即可．
（3）①1952=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25，据此解答即可．
②根据89×81=（85+4）×（85﹣4），求出89×81的结果是多少即可．
【解答】解：（1）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴952=9×10×100+25=9025．
（2）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴（10a+5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25．
（3）①1952=19×20×100+25=38025．
②89×81
=（85+4）×（85﹣4）
=852﹣42
=8×9×100+25﹣16
=7200+25﹣16
=7209
故答案为：9025、100a（a+1）+25．
【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
21．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（1）分解因式：x5﹣1= （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1） ；
（2）根据规律可得：（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）= xn﹣1 （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）；
（4）计算：（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1．
【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，可知x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）．
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）=351﹣1．
（4）先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]=（﹣2）2018﹣1，然后再计算所给式子．
【解答】解：（1）分解因式：x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1），
故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）=xn﹣1，
故答案为：xn﹣1；
（3）（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）=351﹣1．
（4）∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]，
=（﹣2）2018﹣1，
=22018﹣1，
∴（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1=﹣．
【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
一．选择题（共9小题）
1．已知x+y=6，x﹣y=1，则x2﹣y2等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y）
C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
3．当x=3，y=1时，代数式（x+y）（x﹣y）+y2的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
4．等式（﹣x2﹣y2）（ ）=y4﹣x4成立，括号内应填入下式中的（ ）
A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2
5．下列式子运算正确的是（ ）
A．（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 B．（a+2）（b﹣1）=ab﹣2
C．（a+1）2=a2+1 D．（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2
6．某商品原价为a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是（ ）
A．1.08a元 B．0.88a元 C．0.968a元 D．a元
7．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a+1）（b﹣1）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣4 D．2
8．10a2（x﹣y）2﹣5a（y﹣x）3=M（2a+x﹣y）中，M（M为整式）等于（ ）
A．5a（x﹣y）2 B．5a（x﹣y） C．a（x﹣y） D．x﹣y
9．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
二．填空题（共5小题）
10．已知x+y=1，那么的值为 ．
11．观察下列各式，探索发现规律：
22﹣1=1×3；
42﹣1=15=3×5；
62﹣1=35=5×7；
82﹣1=63=7×9；
102﹣1=99=9×11；
…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 ．
12．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ；x2+y2= ．
13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 ．
14．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 ．
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题
（1）（5m3n2）2?（﹣2m2）3?（﹣n3）4
（2）（3a2b）3?（﹣2ab4）2÷（6a5b3）
（3）x （x﹣y）﹣（x﹣3）（x+3）
（4）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x （x﹣1）﹣（2x﹣1）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2
（6）（a﹣2b+3c） （a+2b﹣3c）
（7）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
（8）[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中x=﹣1，y=﹣2．
16．（1）先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+（8xy3﹣4x2y2）÷4xy，其中x=﹣2，y=1．
（2）已知x2+4x﹣1=0，求代数式 （2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
17．如图，AB=n，P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作正方形．
（1）设AP=x，求两个正方形的面积之和S（用含有n、x的代数式表示）；
（2）当AP分别为n和n时，比较S的大小．
18．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a1，a2，a3，…，an，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
19．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．
∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．
∴．
解这个方程组，得：．
解答下面的问题：
（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．
20．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．
21．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（1）分解因式：x5﹣1= ；
（2）根据规律可得：（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）= （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）；
（4）计算：（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1．
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第二节 乘法公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．已知x+y=6，x﹣y=1，则x2﹣y2等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】原式利用平方差公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x+y=6，x﹣y=1，
∴原式=（x+y）（x﹣y）=6，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（x﹣y） B．（x﹣y）（﹣x+y） C．（x+y）（﹣x+y） D．（﹣x+y）（﹣x﹣y）
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
B、（x﹣y）（﹣x+y）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确．
C、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行计算，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．
3．当x=3，y=1时，代数式（x+y）（x﹣y）+y2的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【分析】原式第一项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2﹣y2+y2
=x2，
当x=3，y=1时，原式=9．
故选：C．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．等式（﹣x2﹣y2）（ ）=y4﹣x4成立，括号内应填入下式中的（ ）
A．x2﹣y2 B．y2﹣x2 C．﹣x2﹣y2 D．x2+y2
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：由于y4﹣x4=（y2﹣x2）（y2+x2）
=（x2﹣y2）（﹣x2﹣y2）
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
5．下列式子运算正确的是（ ）
A．（2a+b）（2a﹣b）=2a2﹣b2 B．（a+2）（b﹣1）=ab﹣2
C．（a+1）2=a2+1 D．（x﹣1）（x﹣2）=x2﹣3x+2
【分析】A、原式利用平方差公式化简，计算即可得到结果；
B、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断；
D、原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=4a2﹣b2，错误；
B、原式=ab﹣a+2b﹣2，错误；
C、原式=a2+2a+1，错误；
D、原式=x2﹣3x+2，正确，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
6．某商品原价为a元，因需求量大，经营者连续两次提价，每次提价10%，后因市场物价调整，又一次降价20%，降价后这种商品的价格是（ ）
A．1.08a元 B．0.88a元 C．0.968a元 D．a元
【分析】降价后这种商品的价格=两次提价后的价格×（1﹣20%）．
【解答】解：可先求第一次提价后为（1+10%）a元，第二次提价后为a（1+10%）2元，降价后为a（1+10%）2（1﹣20%）=0.968a元．故选C．
【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
7．若a﹣b=1，ab=﹣2，则（a+1）（b﹣1）的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣4 D．2
【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a﹣b=1，ab=﹣2代入进行计算即可．
【解答】解：原式=ab﹣a+b﹣1
=ab﹣（a﹣b）﹣1，
当a﹣b=1，ab=﹣2时，原式=﹣2﹣1﹣1=﹣4．
故选：C．
【点评】本题考查的是整式的混合运算﹣化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为ab﹣（a﹣b）﹣1的形式是解答此题的关键．
8．10a2（x﹣y）2﹣5a（y﹣x）3=M（2a+x﹣y）中，M（M为整式）等于（ ）
A．5a（x﹣y）2 B．5a（x﹣y） C．a（x﹣y） D．x﹣y
【分析】把等号左边进行因式分解，整理为含等号右边括号内的式子，再根据对应因式相等求解即可．
【解答】解：∵左边=10a2（y﹣x）2﹣5a（y﹣x）3，
=5a（y﹣x）2[2a﹣（y﹣x）]，
=5a（y﹣x）2（2a﹣y+x），
=5a（x﹣y）2（2a+x﹣y），
∴M=5a（x﹣y）2，
故选：A．
【点评】本题实质上考查提公因式法分解因式，解题时要注意互为相反数的偶次方相等的运用．
9．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）11的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b）11的展开式第三项的系数．
【解答】解：（a+b）11的展开式第三项的系数是55．
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2．
二．填空题（共5小题）
10．已知x+y=1，那么的值为 ．
【分析】根据完全平方公式，可知=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，再整体代入计算即可．
【解答】解：
=（x2+2xy+y2）
=（x+y）2
=×1
=．
故答案为 ．
【点评】此题考查完全平方公式的应用，熟练掌握公式的结构特征是关键．
11．观察下列各式，探索发现规律：
22﹣1=1×3；
42﹣1=15=3×5；
62﹣1=35=5×7；
82﹣1=63=7×9；
102﹣1=99=9×11；
…
用含正整数n的等式表示你所发现的规律为 （2n）2﹣1=（2n﹣1）（2n+1） ．
【分析】等式的左边2，4，6，8，10为等差数列可表示为（2n）2﹣1；等式右边的整式中：1、3、5、7、9和3、5、7、9、11，可以看出是等差数列可分别表示为（2n﹣1），（2n+1），然后两数列公式相乘．
【解答】解：左边：4n2﹣1=（2n）2﹣1，
右边：两个等差数列分别是：2n﹣1，2n+1，即（2n﹣1）（2n+1），
∴规律为（2n）2﹣1=（2n﹣1）（2n+1）．
【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键找到是等号左边是偶数的平方与1的差，等式右边是与该偶数相邻的两个奇数的乘积．
12．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= 4 ；x2+y2= 17 ．
【分析】根据完全平分公式可得：a2+b2=（a+b）2﹣2ab，（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即可解答．
【解答】解：xy=[（x+y）2﹣（x﹣y）2]=，
x2+y2=（x+y）2﹣2xy=25﹣8=17，
故答案为：4；17．
【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．
13．如果（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=7，那么的a+b值为 ± ．
【分析】把（2a+2b）看作一个整体，然后利用平方差公式展开，再根据平方根的以进行解答即可．
【解答】解：（2a+2b+1）（2a+2b﹣1）=（2a+2b）2﹣1=7，
即4（a+b）2=8，
∴（a+b）2=2，
∴a+b=±．
故答案为：±．
【点评】本题考查了平方差公式与直接开平方法解一元二次方程，把（2a+2b）看作一个整体，整体思想的利用是解题的关键．
14．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是 11 ．
【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵x2+3x+2
=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2=3，
∴a=5，
∵b﹣a+1=2，
∴b﹣5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．
三．解答题（共7小题）
15．计算下列各题
（1）（5m3n2）2?（﹣2m2）3?（﹣n3）4
（2）（3a2b）3?（﹣2ab4）2÷（6a5b3）
（3）x （x﹣y）﹣（x﹣3）（x+3）
（4）（3x+2）（3x﹣2）﹣5x （x﹣1）﹣（2x﹣1）2
（5）（a+b）2﹣（a﹣b）2
（6）（a﹣2b+3c） （a+2b﹣3c）
（7）（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2
（8）[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]，其中x=﹣1，y=﹣2．
【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果；
（3）原式利用单项式乘以多项式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
（4）原式第一项利用平方差公式计算，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（5）原式利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（6）原式先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式展开即可得到结果；
（7）原式第一项利用平方差函数化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并即可得到结果；
（8）原式中括号中利用平方差公式化简，整理后再利用多项式乘以多项式法则计算，得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=25m6n4?（﹣8m6）÷n12=﹣；
（2）原式=（27a6b3）?（4a2b8）÷（6a5b3）=18a3b8；
（3）原式=x2﹣xy﹣x2+9=9﹣xy；
（4）原式=9x2﹣4﹣5x2+5x﹣4x2+4x﹣1=9x﹣5；
（5）原式=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab；
（6）原式=a2﹣（2b﹣3c）2=a2﹣4b2+12bc﹣9c2；
（7）原式=x2﹣y2﹣x2+xy﹣y2=﹣y2+xy；
（8）原式=（2x2﹣x2+y2）（x2﹣y2+2y2）=x4+2x2y2+y4，
当x=﹣1，y=﹣2时，原式=1+8+16=25．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（1）先化简，再求值：（2x﹣y）（2x+y）+（8xy3﹣4x2y2）÷4xy，其中x=﹣2，y=1．
（2）已知x2+4x﹣1=0，求代数式 （2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．
【分析】（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：（1）原式=4x2﹣y2+22﹣xy
=2x2+2xy，
当x=﹣2，y=1时，原式=8﹣4=4；
（2）（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2
=4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2，
=3x2﹣12x+9，
∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x=1，
原式=3（x2﹣4x）+9=3×1+9=12．
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
17．如图，AB=n，P是线段AB上一点，分别以AP、BP为边作正方形．
（1）设AP=x，求两个正方形的面积之和S（用含有n、x的代数式表示）；
（2）当AP分别为n和n时，比较S的大小．
【分析】（1）表示出两正方形的边长，即可表示出两个正方形面积之和；
（2）把AP代入计算确定出S，比较即可．
【解答】解：（1）S=x2+（n﹣x）2=2x2﹣2nx+n2；
（2）当AP=时，S=n2，
当AP=时，S=n2，
由n2＞n2，得当AP=时，面积S较小．
【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．设a1=32﹣12，a2=52﹣32，…，an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2（n为大于0的自然数）．
（1）探究an是否为8的倍数，并用文字表述出你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，例如：1，4，9，16，…，是“完全平方数”．试写出a1，a2，a3，…，an，这一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
【分析】（1）将an的表达式根据平方差公式计算出来，看是否是8的倍数．
（2）==2，根据该式依次列出所需的完全平方数即可．
【解答】解：（1）根据平方差公式计算an=（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）=8n，
故an是8的倍数．
（2）设a=2b（b为大于0的自然数）
则==2，所以当n分别取2、8、18、32时得到一列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”．
n=2时，an=16，
n=8时，an=64，
n=18时，an=144，
n=32时，an=256，
所以列数中从小到大排列的前4个“完全平方数”为16、64、144、256．
【点评】本题主要考查平方差公式的应用，读懂题目信息是解题的关键．
19．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m2+2mn+2n2﹣2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣2n+1=0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣2n+1=0．
∴（m+n）2+（n﹣1）2=0．
∴．
解这个方程组，得：．
解答下面的问题：
（1）如果x2+y2﹣8x+10y+41=0成立．求（x+y）2016的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．
【分析】（1）根据完全平方公式把原式化为（x﹣4）2+（y+5）2=0的形式，根据非负数的性质求出x、y，代入代数式根据乘方法则计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式化为（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）∵x2+y2﹣8x+10y+41=0，
∴x2﹣8x+16+y2+10y+25=0．
∴（x﹣4）2+（y+5）2=0．
∴x﹣4=0且y+5=0．
∴x=4，y=﹣5．
∴（x+y）2016=[4+（﹣5）]2016=1．
（2）∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca．
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2=0．
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0．
∴a﹣b=0且b﹣c=0且c﹣a=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
20．我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：
152=1×2×100+25=225，
252=2×3×100+25=625，
352=3×4×100+25=1225，
…
（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= 9025 ，
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果 100a（a+1）+25 ，
（3）这种简便计算也可以推广应用：
①个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果，
②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数想成的算式，请写出89×81的简便计算过程和结果．
【分析】（1）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得952=9×10×100+25，据此解答即可．
（2）根据152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，可得（10a+5）2=a×（a+1）×100+25，据此解答即可．
（3）①1952=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25，据此解答即可．
②根据89×81=（85+4）×（85﹣4），求出89×81的结果是多少即可．
【解答】解：（1）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴952=9×10×100+25=9025．
（2）∵152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…，
∴（10a+5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25．
（3）①1952=19×20×100+25=38025．
②89×81
=（85+4）×（85﹣4）
=852﹣42
=8×9×100+25﹣16
=7200+25﹣16
=7209
故答案为：9025、100a（a+1）+25．
【点评】（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．
（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．
21．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
…
（1）分解因式：x5﹣1= （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1） ；
（2）根据规律可得：（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）= xn﹣1 （其中n为正整数）；
（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）；
（4）计算：（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1．
【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，可知x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）．
（2）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
（3）根据所给式子的规律，把x换为3即可，（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）=351﹣1．
（4）先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]=（﹣2）2018﹣1，然后再计算所给式子．
【解答】解：（1）分解因式：x5﹣1=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1），
故答案为：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（xn﹣1+…+x+1）=xn﹣1，
故答案为：xn﹣1；
（3）（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）=351﹣1．
（4）∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1]，
=（﹣2）2018﹣1，
=22018﹣1，
∴（﹣2）2017+（﹣2）2016+（﹣2）2015+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1=﹣．
【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．