【走进重高汇编】八上数学第十四章 第三节 因式分解训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八上数学第十四章 第三节 因式分解训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:59:01 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第三节 因式分解
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．
2．多项式x2﹣4x+m可以分解为（x+3）（x﹣7），则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣21 D．21
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
4．对于多项式①x2﹣y2，②﹣x2﹣y2，③4x2﹣y，④x2﹣4，能够用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
5．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
6．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）2
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
8．若a﹣b=﹣1，a﹣c=，则（b﹣c）3﹣2b+2c+的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
9．若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A﹣B之值为何？（ ）
A．101 B．﹣101 C．808 D．﹣808
10．如果将x3﹣12x+16分解因式后有一个因式是x+4，则另一个因式为（ ）
A．（x﹣2）2 B．x2+x+1 C．（x+2）2 D．x2﹣4x+4
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：12x2﹣3y2= ．
12．已知a+b=3，ab=2，则的值为 ．
13．若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为 ．
14．如果一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们就称这个数为巧数．那么在所有二位数中，最大的巧数是 ．
15．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为 ．
16．已知xy=3，x2+xy﹣2y2=2（x+2y），且x≠﹣2y，则x+y= ．
三．解答题（共7小题）
17．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
18．把下列各式因式分解
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）．
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
19．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b等于多少？
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
21．请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
23．阅读下面材料，然后解答问题：
材料：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a?a2﹣a?ab+a?b2+b?a2﹣b?ab+b?b2，于是合并后可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3，
（1）将下列多项式进行因式分解：x3+8y3=
（2）应用：有趣的“约分”，，，…
面对这样荒谬的“约分”，一笑之后，再认真检查，发现其结果竟然正确；
仔细观察式子，完成以下问题：
①=，
②猜想：=
③你能证明你的猜想吗？
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第三节 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、符合因式分解的定义，故本选项正确；
C、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
2．多项式x2﹣4x+m可以分解为（x+3）（x﹣7），则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣21 D．21
【分析】可计算（x+3）（x﹣7），根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，即可求解．
【解答】解：（x+3）（x﹣7）=x2﹣4x﹣21，
因而m=﹣21．
故选：C．
【点评】注意正确计算多项式的乘法运算，然后进行对号入座．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式=（x+1）2，错误；
C、原式=3m（x﹣2y），错误；
D、原式=2（x+2），正确，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法与提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．对于多项式①x2﹣y2，②﹣x2﹣y2，③4x2﹣y，④x2﹣4，能够用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：①x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；②﹣x2﹣y2，不能用平方差公式分解；③4x2﹣y，不能用平方差公式分解；④x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
【分析】利用十字相乘法将2x2+5x﹣3分解为（2x﹣1）（x+3），即可得出符合要求的答案．
【解答】解：∵2x2+5x﹣3
=（2x﹣1）（x+3），
2x﹣1与x+3是多项式的因式，
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．
6．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）2
【分析】首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【解答】解：（4m+5）2﹣9=（4m+5）2﹣32，
=（4m+8）（4m+2），
=8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，难度一般．
8．若a﹣b=﹣1，a﹣c=，则（b﹣c）3﹣2b+2c+的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】根据a﹣b=﹣1，a﹣c=，求出b﹣c=，再把要求的式子进行整理，然后把b﹣c的值代入，最后计算即可．
【解答】解：∵a﹣b=﹣1，a﹣c=，
∴﹣b+c=﹣1﹣=﹣，
∴b﹣c=，
∴（b﹣c）3﹣2b+2c+=（b﹣c）3﹣2（b﹣c）+=（）3﹣2×+=﹣3=4﹣3=1；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据a﹣b=﹣1，a﹣c=，求出b﹣c的值，注意因式分解的应用．
9．若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A﹣B之值为何？（ ）
A．101 B．﹣101 C．808 D．﹣808
【分析】先把101提取出来，再把9996化成（10000﹣4），10005化成（10000+5），10004化成（10000+4），9997化成（10000﹣3），再进行计算即可．
【解答】解：∵A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，
∴A﹣B=101×9996×10005﹣10004×9997×101
=101[（10000﹣4）（10000+5）﹣（10000+4）（10000﹣3）]
=101（100000000+10000﹣20﹣100000000﹣10000+12）
=101×（﹣8）
=﹣808；
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式，把所给的数都进行分解，再进行计算．
10．如果将x3﹣12x+16分解因式后有一个因式是x+4，则另一个因式为（ ）
A．（x﹣2）2 B．x2+x+1 C．（x+2）2 D．x2﹣4x+4
【分析】此题需先将x3﹣12x+16分解成x3﹣16x+4x+16，再利用分组分解法进行因式分解，即可求出另一个因式；
【解答】解：x3﹣12x+16=x3﹣16x+4x+16=x（x2﹣16）+4x+16=x（x+4）（x﹣4）+4（x+4）=（x+4）（x2﹣4x+4）=（x+4）（x﹣2）2，
∵有一个因式是x+4，
∴另一个因式为（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：12x2﹣3y2= 3（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公式．
【解答】解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式
12．已知a+b=3，ab=2，则的值为 ．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a+b=3，ab=2，代入原式进行计算即可．
【解答】解：原式=+a2b2
=+（ab）2．
∵a+b=3，ab=2，
∴原式=+4
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13．若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为 12 ．
【分析】由a+b﹣3=0，得a+b=3，把2a2+4ab+2b2﹣6的前三项利用完全平方公式分解因式，再整体代入即可．
【解答】解：∵a+b﹣3=0，即a+b=3，
∴2a2+4ab+2b2﹣6，
=2（a+b）2﹣6，
=18﹣6，
=12．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
14．如果一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们就称这个数为巧数．那么在所有二位数中，最大的巧数是 99 ．
【分析】由题意知，要首先确定巧数，假设是ab，那么ab+a+b=10a+b，所以可得到b等于9，幸运数是19，29，39，49，59，69，79，89，99；由此得出答案即可．
【解答】解：假设巧数是ab，那么ab+a+b=10a+b，所以可得到b等于9，幸运数是19，29，39，49，59，69，79，89，99；
那么在所有二位数中，最大的巧数是99．
故答案为：99．
【点评】此题考查列代数式，以及分类探讨的思想．
15．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为 0 ．
【分析】由已知条件得到x﹣2y=﹣2．所求的代数式可以转化为含有（x﹣2y）形式的代数式，将其整体代入进行求值即可．
【解答】解：∵x﹣2y+2=0，
∴x﹣2y=﹣2，
∴x2+y2﹣xy﹣1，
=（x2﹣4xy+4y2）﹣1，
=（x﹣2y）2﹣1，
=×（﹣2）2﹣1，
=1﹣1，
=0，
即x2+y2﹣xy﹣1=0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了因式分解的应用．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
16．已知xy=3，x2+xy﹣2y2=2（x+2y），且x≠﹣2y，则x+y= ±4 ．
【分析】将已知等式x2+xy﹣2y2=2（x+2y）右边整体移项到左边，分解因式后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，得出x﹣y=2，将所求式子平方，并利用完全平方公式变形，把xy与x﹣y的值代入，开方即可求出x+y的值．
【解答】解：∵x2+xy﹣2y2=2（x+2y），
∴（x﹣y）（x+2y）=2（x+2y），即（x﹣y）（x+2y）﹣2（x+2y）=0，
分解因式得：（x+2y）（x﹣y﹣2）=0，
可得x+2y=0（舍去）或x﹣y﹣2=0，
∴x﹣y﹣2=0，即x﹣y=2，
又xy=3，
∴（x+y）2=（x﹣y）2+4xy=4+12=16，
则x+y=±4．
故答案为：±4
【点评】此题考查了因式分解的应用，涉及的知识有：十字相乘法，完全平方公式，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
【分析】（1）将a2+b2+2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，都能使所得的多项式因式分解，先对所选的整式进行因式分解，然后将已知条件代入求值即可．
【解答】解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．
（2）答案不唯一，例如，
若选a2，b2，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．
【点评】（1）主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的解题方法；
（2）这是一道开放型题目，答案不唯一，只要根据所选整式先进行因式分解，再把已知条件代入求值．
18．把下列各式因式分解
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）．
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
【分析】（1）直接提取公因式x（y﹣2），进而分解因式得出即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可；
（3）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可；
（4）首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可．
【解答】解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）=x（y﹣2）（x+1）；
（2）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1
=[5（x﹣y）﹣1]2
=（5x﹣5y﹣1）2；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
=（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
=（x﹣y）2（x+y）2；
（4）4m2﹣n2﹣4m+1
=（4m2﹣4m+1）﹣n2
=（2m﹣1+n）（2m﹣1﹣n）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
19．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b等于多少？
【分析】直接提取公因式（3x﹣7），进而合并同类项得出即可．
【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
=（3x﹣7）（x﹣8），
则a=﹣7，b=﹣8，
故a+3b=﹣7+3×（﹣8）=﹣31．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= 9 ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，
∴b=9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2=（2x2+y2）2﹣4x2y2=（2x2+y2+2xy）（2x2+y2﹣2xy）；
（2）原式=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab=（x﹣a）2﹣（a+b）2=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点评】此题考查了因式分解﹣配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 2004 次，结果是 （1+x）2005 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（x+1）n+x（x+1）n，
=（x+1）n+1．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
23．阅读下面材料，然后解答问题：
材料：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a?a2﹣a?ab+a?b2+b?a2﹣b?ab+b?b2，于是合并后可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3，
（1）将下列多项式进行因式分解：x3+8y3= （x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
（2）应用：有趣的“约分”，，，…
面对这样荒谬的“约分”，一笑之后，再认真检查，发现其结果竟然正确；
仔细观察式子，完成以下问题：
①=，
②猜想：=
③你能证明你的猜想吗？
【分析】（1）由阅读材料可知，a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），依此可将多项式x3+8y3进行因式分解；
（2）由已知四个等式，可得：
①；
②；
③利用a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），可得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a（a﹣b）+（a﹣b）2]，整理得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）]（a2﹣ab+b2），再约分即可．
【解答】（1）解：x3+8y3=（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）；
（2）①解：；
②解：；
③证明：∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），
a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a（a﹣b）+（a﹣b）2]，
∴a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a2+ab+a2﹣2ab+b2]
整理得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）]（a2﹣ab+b2），
∴．
故答案为（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
【点评】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．读懂阅读材料可知，利用公式a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）进行因式分解是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．
2．多项式x2﹣4x+m可以分解为（x+3）（x﹣7），则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣21 D．21
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
4．对于多项式①x2﹣y2，②﹣x2﹣y2，③4x2﹣y，④x2﹣4，能够用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
5．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
6．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）2
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
8．若a﹣b=﹣1，a﹣c=，则（b﹣c）3﹣2b+2c+的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
9．若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A﹣B之值为何？（ ）
A．101 B．﹣101 C．808 D．﹣808
10．如果将x3﹣12x+16分解因式后有一个因式是x+4，则另一个因式为（ ）
A．（x﹣2）2 B．x2+x+1 C．（x+2）2 D．x2﹣4x+4
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：12x2﹣3y2= ．
12．已知a+b=3，ab=2，则的值为 ．
13．若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为 ．
14．如果一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们就称这个数为巧数．那么在所有二位数中，最大的巧数是 ．
15．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为 ．
16．已知xy=3，x2+xy﹣2y2=2（x+2y），且x≠﹣2y，则x+y= ．
三．解答题（共7小题）
17．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
18．把下列各式因式分解
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）．
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
19．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b等于多少？
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
21．请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
23．阅读下面材料，然后解答问题：
材料：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a?a2﹣a?ab+a?b2+b?a2﹣b?ab+b?b2，于是合并后可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3，
（1）将下列多项式进行因式分解：x3+8y3=
（2）应用：有趣的“约分”，，，…
面对这样荒谬的“约分”，一笑之后，再认真检查，发现其结果竟然正确；
仔细观察式子，完成以下问题：
①=，
②猜想：=
③你能证明你的猜想吗？
【走进重高汇编】八上数学第十四章 第三节 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）
C．a2﹣4a﹣5=a（a﹣4）﹣5 D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、符合因式分解的定义，故本选项正确；
C、右边不是积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，关键是熟练掌握定义，区别开整式的乘除运算．
2．多项式x2﹣4x+m可以分解为（x+3）（x﹣7），则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣21 D．21
【分析】可计算（x+3）（x﹣7），根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，即可求解．
【解答】解：（x+3）（x﹣7）=x2﹣4x﹣21，
因而m=﹣21．
故选：C．
【点评】注意正确计算多项式的乘法运算，然后进行对号入座．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2）
【分析】A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
C、原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
D、原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B、原式=（x+1）2，错误；
C、原式=3m（x﹣2y），错误；
D、原式=2（x+2），正确，
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法与提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．对于多项式①x2﹣y2，②﹣x2﹣y2，③4x2﹣y，④x2﹣4，能够用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和④ D．②和④
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：①x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）；②﹣x2﹣y2，不能用平方差公式分解；③4x2﹣y，不能用平方差公式分解；④x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
5．下列四个多项式，哪一个是2x2+5x﹣3的因式（ ）
A．2x﹣1 B．2x﹣3 C．x﹣1 D．x﹣3
【分析】利用十字相乘法将2x2+5x﹣3分解为（2x﹣1）（x+3），即可得出符合要求的答案．
【解答】解：∵2x2+5x﹣3
=（2x﹣1）（x+3），
2x﹣1与x+3是多项式的因式，
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确的将多项式因式分解是解决问题的关键．
6．分解因式（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）2
【分析】首先把x﹣1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可．
【解答】解：（x﹣1）2﹣2（x﹣1）+1=（x﹣1﹣1）2=（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解﹣运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（ ）
A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除
【分析】将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除．
【解答】解：（4m+5）2﹣9=（4m+5）2﹣32，
=（4m+8）（4m+2），
=8（m+2）（2m+1），
∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数，
∴该多项式肯定能被8整除．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用，难度一般．
8．若a﹣b=﹣1，a﹣c=，则（b﹣c）3﹣2b+2c+的值是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【分析】根据a﹣b=﹣1，a﹣c=，求出b﹣c=，再把要求的式子进行整理，然后把b﹣c的值代入，最后计算即可．
【解答】解：∵a﹣b=﹣1，a﹣c=，
∴﹣b+c=﹣1﹣=﹣，
∴b﹣c=，
∴（b﹣c）3﹣2b+2c+=（b﹣c）3﹣2（b﹣c）+=（）3﹣2×+=﹣3=4﹣3=1；
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据a﹣b=﹣1，a﹣c=，求出b﹣c的值，注意因式分解的应用．
9．若A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，则A﹣B之值为何？（ ）
A．101 B．﹣101 C．808 D．﹣808
【分析】先把101提取出来，再把9996化成（10000﹣4），10005化成（10000+5），10004化成（10000+4），9997化成（10000﹣3），再进行计算即可．
【解答】解：∵A=101×9996×10005，B=10004×9997×101，
∴A﹣B=101×9996×10005﹣10004×9997×101
=101[（10000﹣4）（10000+5）﹣（10000+4）（10000﹣3）]
=101（100000000+10000﹣20﹣100000000﹣10000+12）
=101×（﹣8）
=﹣808；
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式，把所给的数都进行分解，再进行计算．
10．如果将x3﹣12x+16分解因式后有一个因式是x+4，则另一个因式为（ ）
A．（x﹣2）2 B．x2+x+1 C．（x+2）2 D．x2﹣4x+4
【分析】此题需先将x3﹣12x+16分解成x3﹣16x+4x+16，再利用分组分解法进行因式分解，即可求出另一个因式；
【解答】解：x3﹣12x+16=x3﹣16x+4x+16=x（x2﹣16）+4x+16=x（x+4）（x﹣4）+4（x+4）=（x+4）（x2﹣4x+4）=（x+4）（x﹣2）2，
∵有一个因式是x+4，
∴另一个因式为（x﹣2）2．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分解因式要彻底，直到不能再分解为止．
二．填空题（共6小题）
11．分解因式：12x2﹣3y2= 3（2x+y）（2x﹣y） ．
【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公式．
【解答】解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．
【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练，对一些乘法公式的特点记不准确而误选其它选项．要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式
12．已知a+b=3，ab=2，则的值为 ．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a+b=3，ab=2，代入原式进行计算即可．
【解答】解：原式=+a2b2
=+（ab）2．
∵a+b=3，ab=2，
∴原式=+4
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
13．若a+b﹣3=0，则2a2+4ab+2b2﹣6的值为 12 ．
【分析】由a+b﹣3=0，得a+b=3，把2a2+4ab+2b2﹣6的前三项利用完全平方公式分解因式，再整体代入即可．
【解答】解：∵a+b﹣3=0，即a+b=3，
∴2a2+4ab+2b2﹣6，
=2（a+b）2﹣6，
=18﹣6，
=12．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
14．如果一个数的各位数字之积加上各位数字之和，恰好等于这个数，我们就称这个数为巧数．那么在所有二位数中，最大的巧数是 99 ．
【分析】由题意知，要首先确定巧数，假设是ab，那么ab+a+b=10a+b，所以可得到b等于9，幸运数是19，29，39，49，59，69，79，89，99；由此得出答案即可．
【解答】解：假设巧数是ab，那么ab+a+b=10a+b，所以可得到b等于9，幸运数是19，29，39，49，59，69，79，89，99；
那么在所有二位数中，最大的巧数是99．
故答案为：99．
【点评】此题考查列代数式，以及分类探讨的思想．
15．已知x﹣2y+2=0，则x2+y2﹣xy﹣1的值为 0 ．
【分析】由已知条件得到x﹣2y=﹣2．所求的代数式可以转化为含有（x﹣2y）形式的代数式，将其整体代入进行求值即可．
【解答】解：∵x﹣2y+2=0，
∴x﹣2y=﹣2，
∴x2+y2﹣xy﹣1，
=（x2﹣4xy+4y2）﹣1，
=（x﹣2y）2﹣1，
=×（﹣2）2﹣1，
=1﹣1，
=0，
即x2+y2﹣xy﹣1=0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了因式分解的应用．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
16．已知xy=3，x2+xy﹣2y2=2（x+2y），且x≠﹣2y，则x+y= ±4 ．
【分析】将已知等式x2+xy﹣2y2=2（x+2y）右边整体移项到左边，分解因式后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个方程，得出x﹣y=2，将所求式子平方，并利用完全平方公式变形，把xy与x﹣y的值代入，开方即可求出x+y的值．
【解答】解：∵x2+xy﹣2y2=2（x+2y），
∴（x﹣y）（x+2y）=2（x+2y），即（x﹣y）（x+2y）﹣2（x+2y）=0，
分解因式得：（x+2y）（x﹣y﹣2）=0，
可得x+2y=0（舍去）或x﹣y﹣2=0，
∴x﹣y﹣2=0，即x﹣y=2，
又xy=3，
∴（x+y）2=（x﹣y）2+4xy=4+12=16，
则x+y=±4．
故答案为：±4
【点评】此题考查了因式分解的应用，涉及的知识有：十字相乘法，完全平方公式，以及提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．给出三个整式a2，b2和2ab．
（1）当a=3，b=4时，求a2+b2+2ab的值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程．
【分析】（1）将a2+b2+2ab利用完全平方公式分解因式后，把已知条件代入求值；
（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，都能使所得的多项式因式分解，先对所选的整式进行因式分解，然后将已知条件代入求值即可．
【解答】解：（1）当a=3，b=4时，a2+b2+2ab=（a+b）2=49．
（2）答案不唯一，例如，
若选a2，b2，则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
若选a2，2ab，则a2±2ab=a（a±2b）．
【点评】（1）主要考查了利用完全平方公式进行因式分解的解题方法；
（2）这是一道开放型题目，答案不唯一，只要根据所选整式先进行因式分解，再把已知条件代入求值．
18．把下列各式因式分解
（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）．
（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
（4）4m2﹣n2﹣4m+1．
【分析】（1）直接提取公因式x（y﹣2），进而分解因式得出即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式得出即可；
（3）直接利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可；
（4）首先分组，进而利用公式法分解因式得出即可．
【解答】解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）=x（y﹣2）（x+1）；
（2）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1
=[5（x﹣y）﹣1]2
=（5x﹣5y﹣1）2；
（3）（x2+y2）2﹣4x2y2
=（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）
=（x﹣y）2（x+y）2；
（4）4m2﹣n2﹣4m+1
=（4m2﹣4m+1）﹣n2
=（2m﹣1+n）（2m﹣1﹣n）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
19．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a，b均为整数，则a+3b等于多少？
【分析】直接提取公因式（3x﹣7），进而合并同类项得出即可．
【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
=（3x﹣7）（x﹣8），
则a=﹣7，b=﹣8，
故a+3b=﹣7+3×（﹣8）=﹣31．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= 9 ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，
∴b=9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．请看下面的问题：把x4+4分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）
人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲?热门的做法，将下列各式因式分解．
（1）4x4+y4；
（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可；
（2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=4x4+y4+4x2y2﹣4x2y2=（2x2+y2）2﹣4x2y2=（2x2+y2+2xy）（2x2+y2﹣2xy）；
（2）原式=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab=（x﹣a）2﹣（a+b）2=（x+b）（x﹣2a﹣b）．
【点评】此题考查了因式分解﹣配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法 2004 次，结果是 （1+x）2005 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（x+1）n+x（x+1）n，
=（x+1）n+1．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
23．阅读下面材料，然后解答问题：
材料：（a+b）（a2﹣ab+b2）=a?a2﹣a?ab+a?b2+b?a2﹣b?ab+b?b2，于是合并后可得（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3，
（1）将下列多项式进行因式分解：x3+8y3= （x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
（2）应用：有趣的“约分”，，，…
面对这样荒谬的“约分”，一笑之后，再认真检查，发现其结果竟然正确；
仔细观察式子，完成以下问题：
①=，
②猜想：=
③你能证明你的猜想吗？
【分析】（1）由阅读材料可知，a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），依此可将多项式x3+8y3进行因式分解；
（2）由已知四个等式，可得：
①；
②；
③利用a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），可得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a（a﹣b）+（a﹣b）2]，整理得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）]（a2﹣ab+b2），再约分即可．
【解答】（1）解：x3+8y3=（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）；
（2）①解：；
②解：；
③证明：∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），
a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a（a﹣b）+（a﹣b）2]，
∴a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）][a2﹣a2+ab+a2﹣2ab+b2]
整理得a3+（a﹣b）3=[a+（a﹣b）]（a2﹣ab+b2），
∴．
故答案为（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）．
【点评】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．读懂阅读材料可知，利用公式a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）进行因式分解是解题的关键．