新湘教版 数学 九年级上 3.4.1.2 相似三角形判定定理1教学设计
课题
3.4.1.2 相似三角形判定定理1
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握相似三角形的判定定理1，能根据判定定理判断两个三角形是否相似。?
过程与方法：
①领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
②通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形判定定理1的理解和认识，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
掌握相似三角形的判定定理1，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
难点
掌握相似三角形的判定定理1，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道有段两个三角形全等的判定定理，同样的对与三角形的相似也有许多的判定方法，在上节课中我们已经学过判定三角形相似一种方法，今天我们将继续探究其他的方法。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
【导入新课】 画△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’，∠B=∠B’.
（1）你画的两个三角形的度数有什么关系？两个三角形相似吗？
两个三角形的三个角对应相等，两三角形相似.
（2）你发现什么规律？，使三个角分别为60°，45°, 75°
规律：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．
求证:ΔABC∽ △ A'B'C‘.
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B'，AE=A'C' ，连结DE.
∵ AD=A'B’ ,∠A=∠A'，AE=A'C'
∴ ΔA DE≌Δ A'B'C' ，
又∵DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA'B'C'∽ΔABC.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（两角分别相等的两个三角形相似）
【小试牛刀】下面每组的两个三角形是否相似？为什么？
一角对应相等的两个三角形不一定相似.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】在△ABC中，∠C=90°，从点D分别做边AB，AC的垂线，垂足分别为E，F.DF与AB交于点H. 求证：△DEH∽△ BCA.
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC
∴DF//AC
∴∠BHF=∠A
∴∠DHE=∠A
又∵∠DEH=90°=∠C
∴△DEH∽△ BCA.
【试一试】下列各组条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是( B )
A．∠A＝40°，∠B＝60°，∠A′＝40°，∠C′＝50°
B．∠A＝40°，∠C＝80°，∠B′＝60°，∠C′＝80°
C．∠B＝30°，∠C＝70°，∠A′＝90°，∠B′＝30°
D．∠B＝30°，∠C＝80°，∠A′＝60°，∠C′＝80°
【例2】在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3.求EF的长.
证明：∵∠C=90°，∠F=90°，∠A=∠D
∴ △ABC∽△DEF
∴ABDE=BCEF
又∵AB=5，BC=4，DE=3.
∴EF=2.4.
小结：
【知识扩展】直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.（称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.）
已知:如图Rt△ABC中，CD是斜边上的高.
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
证明:∵ ∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似).
同理可证:△ABC∽△ACD.
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成两个三角形相似的判定定理1。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握两个三角形相似的判定定理1。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1．下列各组中两个图形不一定相似的是( A )
A．有一个角是35°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是120°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△ABC相似的三角形是( D )
A．△DBE B．△ADB
C．△ABD D．△BDC
3．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3，则此图中有 四 对相似三角形，分别是△ABD∽△ACB、△ADE∽△ABD、△ADE∽△ACB、△BDE∽△CBD .
4. 已知，如图∠1＝∠2，∠D＝∠C.
求证：AD·AB＝AC·AE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠DAE＝∠CAB，
又∠D＝∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
∴AD·AB＝AC·AE.
5.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且∠EFG＝90°.
求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（两角分别相等的两个三角形相似）
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
两个三角形相似（2）
相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（两角分别相等的两个三角形相似）
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第80页练习第1、2题.
3.4.1.2 相似三角形判定定理1
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共4小题，每题7.5分）
1．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A．都含有一个40°的内角 B．都含有一个50°的内角
C．都含有一个60°的内角 D．都含有一个70°的内角
2．如图，已知∠1=∠2，欲证△ADE∽△ACB，可补充条件（ ）
A．∠B=∠C B．DE=AB C．∠D=∠E D．∠D=∠C
3．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（易错题）已知：如图，∠ADE=∠ACD=∠ABC，图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二．填空题（共5小题，每题6分）
5．如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是 ．（只写一种情况即可）
6．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
7．如图，要使△ABC与△DAC相似，则只需添加一个条件是 （填一个即可）
8．如图，（1）若AE：AB= ，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E= ，则△ABC∽△AEF．
9．如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
三．解答题（共3小题，第10、11题各12分，第12题16分）
10．如图，AB∥DE，AC∥DF，点B、E、C、F在一条直线上，求证：△ABC∽△DEF．
11．如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC，AB相交于点D，E，连接BD，求证：△ABC∽△BDC．
12．如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．
（1）求证：△DAE≌△DCF；
（2）求证：△ABG∽△CFG．
试题解析
一．选择题
1．C
【分析】若要判定两三角形相似，最主要的方法是找两对对应相等的角，答案A，答案B，答案D都只能找到一对相等的角，只有答案C可以找两对对应相等的角．
【解答】解：因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的最常用的方法判断方法：“AA”即找两对对应相等的角．
2．D
【分析】由∠1=∠2可得∠DAE=∠BAC．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB．
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠BAC．
当∠D=∠C或∠E=∠B或时，△ADE∽△ACB．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属基础题，比较简单．但需注意对应关系．
3．D
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形判定定理是解答此题的关键．
4．D
【分析】根据已知先判定线段DE∥BC，再根据相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【解答】解：∵∠ADE=∠ACD=∠ABC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC，
∵DE∥BC
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠ACD=∠ABC，
∴△EDC∽△DCB，
同理：∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∵△ADE∽△ABC，△ABC∽△ACD，
∴△ADE∽△ACD
∴共4对
故选：D．
【点评】考查了平行线的判定；
相似三角形的判定：
（1）两角对应相等的两个三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（3）三边对应成比例的两个三角形相似；
（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
二．填空题
5．∠ADE=∠C或∠AED=∠B或
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
【解答】解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．
6．DF=6
【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．
【解答】解：∵∠A=∠D=80°，==，
∴当=，即=，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
7．∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC?DC）
【分析】由∠ACB=∠DCA结合相似三角形判定定理，即可找出添加的条件，此题得解．
【解答】解：∵∠ACB=∠DCA，
∴若要△ABC∽△DAC，只需∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC?DC）．
故答案为：∠B=∠DAC（∠BAC=∠ADC或=或AC2=BC?DC）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，牢记各相似三角形的判定定理是解题的关键．
8．AF：AC，∠B
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；
（2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．
故答案为：AF：AC，∠B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9．DF∥AC，或∠BFD=∠A
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一证明即可．
【解答】解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三．解答题
11．【分析】由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．
【解答】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，题目难度不大．
12．【分析】（1）由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；
（2）由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG=∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，
∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF；
（2）延长BA到M，交ED于点M，
∵△ADE≌△CDF，
∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，
∵∠MAD=∠BCD=90°，
∴∠EAM=∠BCF，
∵∠EAM=∠BAG，
∴∠BAG=∠BCF，
∵∠AGB=∠CGF，
∴△ABG∽△CFG．
【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是准确寻找全等三角形或相似三角形的条件，属于中考常考题型。
课件21张PPT。3.4.1.2 相似三角形判定定理1数学湘教版 九年级上 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC. 画△ABC和△A’B’C’，使得∠A=∠A’，∠B=∠B’.
（1）你画的两个三角形的度数有什么关系？两个三角形相似吗？
（2）你发现什么规律？，使三个角分别为60°，45°, 75° 规律：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．两个三角形的三个角对应相等，两三角形相似. 规律：若一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，则这两个三角形相似．即已知：在△ABC 和△ A‘B’C‘ 中,∠A=∠A’，∠B=∠B’.求证:ΔABC∽ △ A'B'C‘.证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B'，AE=A'C' ，连结DE.
∵ AD=A'B’ ,∠A=∠A'，AE=A'C'
∴ ΔA DE≌Δ A'B'C' ，
又∵DE//BC，
∴ ΔADE∽ΔABC.
∴ ΔA'B'C'∽ΔABC.DE相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'下面每组的两个三角形是否相似？为什么？相似不相似不相似两角对应相等.只有一个角相等.只有一个角相等.一角对应相等的两个三角形不一定相似. 【例1】在△ABC中，∠C=90°，从点D分别做边AB，AC的垂线，垂足分别为E，
F，DF与AB交于点H，求证：△DEH∽△ BCA.证明：∵∠C=90°，DE⊥BC
∴DF//AC
∴∠BHF=∠A
∴∠DHE=∠A
又∵∠DEH=90°=∠C
∴△DEH∽△ BCA.下列各组条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是( )
A．∠A＝40°，∠B＝60°，∠A′＝40°，∠C′＝50°
B．∠A＝40°，∠C＝80°，∠B′＝60°，∠C′＝80°
C．∠B＝30°，∠C＝70°，∠A′＝90°，∠B′＝30°
D．∠B＝30°，∠C＝80°，∠A′＝60°，∠C′＝80°B 【例2】在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F=90°，若∠A=∠D，AB=5，BC=4，
DE=3，求EF的长.?三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角角角边边边边边角边斜边与直角边
(直角三角形）1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2.两角分别相等的两个三角形相似. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
（称为“母子相似定理”,今后可以直接使用.）已知:如图Rt △ ABC中，CD是斜边上的高.
求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
证明:∵ ∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等,两三角形相似).
同理可证:△ABC∽△ACD.
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.1．下列各组中两个图形不一定相似的是( )
A．有一个角是35°的两个等腰三角形
B．两个等腰直角三角形
C．有一个角是120°的两个等腰三角形
D．两个等边三角形A 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在
下列三角形中，与△ABC相似的三角形是( )
A．△DBE B．△ADB
C．△ABD D．△BDCD 3．如图所示，已知∠1＝∠2＝∠3，则此图中有 对相似三角形，
分别是 .四 △ABD∽△ACB、△ADE∽△ABD、△ADE∽△ACB、△BDE∽△CBD 4. 已知，如图∠1＝∠2，∠D＝∠C，求证：AD·AB＝AC·AE.? 5.如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且∠EFG＝90°.
求证：△EBF∽△FCG.证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'作业布置教材第80页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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