新湘教版 数学 九年级上 3.4.1.3 相似三角形判定定理教学设计
课题
3.4.1.3 相似三角形判定定理
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握相似三角形的判定定理2，能根据判定定理判断两个三角形是否相似。?
过程与方法：
①领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
②通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形判定定理2的理解和认识，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
掌握相似三角形的判定定理2，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
难点
掌握相似三角形的判定定理2，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道有段两个三角形全等的判定定理，同样的对与三角形的相似也有许多的判定方法，在前面的课中我们已经学过判定三角形相似2种方法，今天我们将继续探究其他的方法。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）
【导入新课】 如图,方格纸上画两个三角形，使△ABC与△A’B’C’ 满足∠A=∠A’,ABA'B'=ACA'C'=k=2.
（1）量一量∠B与∠B’ ，∠C与∠C’ 的大小，他们分别相等吗？两三角形相似吗？
∠B=∠B’?，∠C=∠C’，两三角形相似.
（2）分别计算或量出BC与B’C’的长度，他们的比等于k吗？
BCB'C'=63=k=2.
（3）改变∠A或k的值，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
改变∠A或者k的值，两个三角形依然相似.
结论：两个对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）
证明：如果三角形两边对应成比例，且夹角相等请验证这两个三角形是相似的.即：已知：在△ABC 和△ A’B’C’中,A'B'AB=A'C'AC, ∠A=∠A’.求证:ΔABC∽ △ A'B'C‘.
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm. 求证：△ABC∽△ DEF.
证明：∵ AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.
∴DFAC=2.13.5=35,EFBC=1.52.5=35
∴DFAC=EFBC.
又∵∠C=∠F=70°
∴△ABC∽△ DEF.
小结：
知识拓展
对于△ABC和△A’B’C’, 如果 ,
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
【例2】在△ABC中，CD是边AB上的高，且ADCD=CDBD.求证：∠ABC=90°.
证明：∵CD是边AB上的高
∴∠ADC=∠CDB=90°.
又∵ADCD=CDBD
∴△ACD∽△CBD.
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD= ∠B+∠BCD=90
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成两个三角形相似的判定定理2。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌掌握两个三角形相似的判定定理2。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
课堂练习
1、下列命题错误的是( B )
A．两个等边三角形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两边对应成比例且一组内角对应相等两个三角形相似
D．有一个内角是100°的两个等腰三角形一定相似 2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是( D )
A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C
C．ADAE＝ACAB D.ADAB＝AEAC?
3．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( C )
4.如图，D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6，试说明：△ADE∽△ACB；
5.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .求证：△ ADE∽ △ ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90°.
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，
∴△ ABD ∽ △ ACE.
∴ADAE=ABAC?
∵ ∠A= ∠A，
∴ △ ADE ∽ △ ABC.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
借助练习检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
两个三角形相似（3）
相似三角形的判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．
（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）
作业
教材第82页练习第1、2题.
3.4.1.3 相似三角形判定定理2
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，DE=1，BC=3，AB=6，则AD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
2．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C．AB2=AD?AC D．ADAC=DBBC
4．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）
5．如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③ACCD=ABBC；④AC2=AD?AB
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题，每题6分）
6．在△ABC中，AB=12，AC=9，在AB边上有一点D，AD=4，在AC边上有一动点E．当AE= 时，△ABC与△ADE相似．
7．如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足 时，△ACP与△ABC相似．
8. 如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）
9.图中的每个点（包括△ABC的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是 ．（写出满足条件的所有的点）
10．如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于 ．
三．解答题（共2小题，每题20分）
11．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AC=8，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．
12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，求证：△FED∽△DEB．
试题解析
一．选择题
2．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，
A、C、D图形中的钝角都不等于135°，
由勾股定理得，BC=2，AC=2，
对应的图形B中的边长分别为1和2，
∵12=22，
∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键．
3．【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【解答】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴ACAB=ABAD，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、ADAB=ABBC不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4．【分析】根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．
5．
【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【解答】解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
二．填空题
6. 【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．
【解答】解：①当△ADE∽△ABC时，有AD：AE=AB：AC，
∵AB=12，AC=9，AD=4，
∴AE=3；
②当△AED∽△ABC时，有AD：AE=AC：AB，
∵AB=12，AC=9，AD=4，
∴AE=163，
故答案为：3或163．
【点评】本题考查了学生对相似三角形的判定的掌握情况，注意分类讨论思想的运用．
7．【分析】由两角相等的三角形相似即可得出结论；由两边成比例且夹角相等，得出如果APAC=ACAB，再由公共角相等得出△ACP与△ABC相似
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，
∴△ACP∽△ABC；
∵APAC=ACAB，∠A=∠A，
∴△ACP与△ABC；
故答案为：B；APAC=ACAB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，注意两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
8. 【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．
【解答】解：∵∠A=∠D=80°，ABDE=48=12，
∴当ABDE=ACDF，即12=3DF，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
9. 【分析】这个点是点Q或G，根据两边成比例夹角相等即可判断．
【解答】解：这个点是点Q．
∵∠ABC=∠QDE，ABDQ=12，BCDE=12，
∴ABDQ=BCDE，
∴△ABC∽QDE，
同法可得：ABDE=BCDG=24，△ABC∽△EDG，
故答案为Q或G．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
10. 【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当BEAE=DECE时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
【解答】解：∵∠AEC=∠BED，
∴当BEAE=DECE时，△BDE∽△ACE，
即43=5CE，
∴CE=154．
故答案为154．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
三．解答题
11. 【分析】根据两边成比例夹角相等的两三角形相似即可判断．
【解答】证明：∵BC=4，AC=8，CD=2，∴BCAC=CDBC， 又∵∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用数形结合的思想思考问题；
12. 【分析】只要证明△AFE∽△BAE，得 AEEF=EBAE，即可推出EDEF=EBED，而∠BED=∠BED，可得△FED∽△DEB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴∠AFE=∠BAE，∵∠AEF=∠BEA，
∴△AFE∽△BAE，
得 ∴AEEF=EBAE，
又∵AE=ED，
∴EDEF=EBED
，而∠BED=∠BED，
∴△FED∽△DEB．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
课件22张PPT。3.4.1.3 相似三角形
判定定理2数学湘教版 九年级上 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'?（1）量一量∠B与∠B’ ，∠C与∠C’ 的大小，他们分别相等吗？两三角形相似吗？
（2）分别计算或量出BC与B’C’的长度，他们的比等于k吗？
???
（3）改变∠A或k的值，你的结论相同吗？由此你有什么发
现？改变∠A或者k的值，两个三角形依然相似.??ED?ED相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）? 【例1】在△ABC与△DEF中，已知∠C=∠F=70°， AC=3.5cm，BC=2.5cm，
DF=2.1cm，EF=1.5cm. 求证：△ABC∽△ DEF.?三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角角角边边边边边角边斜边与直角边
(直角三角形）1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2.两角分别相等的两个三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.对于△ABC和△A’B’C’, 如果 ,
∠B=∠B’,这两个三角形一定相似吗?试着画画看.反例：如图，显然△ABC和△A’B’C’不相似??1、下列命题错误的是( )
A．两个等边三角形一定相似
B．两个等腰直角三角形一定相似
C．两边对应成比例，且一组内角对应相等的两个三角形相似
D．有一个内角是100°的两个等腰三角形一定相似B?D 3．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )C 4.如图，D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD＝5，BD＝3，AE＝4，CE＝6，
试说明：△ADE∽△ACB；?5.△ABC为锐角三角形，BD、CE为高 .求证：△ ADE∽ △ ABC.相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）?相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）?作业布置教材第82页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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