新湘教版 数学 九年级上 3.4.1.4 相似三角形判定定理3教学设计
课题
3.4.1.4 相似三角形判定定理3
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：掌握相似三角形的判定定理3，能根据判定定理判断两个三角形是否相似。?
过程与方法：
①领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性；
②通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观：
①通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识。
②深化对相似三角形判定定理3的理解和认识，发展学生的应用能力，建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。
重点
掌握相似三角形的判定定理3，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
难点
掌握相似三角形的判定定理3，并能根据判定定理判断两个三角形是否相似。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
在前面的学习中，我们已经知道有段两个三角形全等的判定定理，同样的对与三角形的相似也有许多的判定方法，在前面的课中我们已经学过判定三角形相似3种方法，今天我们将继续探究其他的方法。在上新课之前，我们一起回顾下之前学过的知识：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）
相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）
【导入新课】如图,方格纸上画两个三角形，使△ABC的边长是△A’B’C’ 的k=2倍.
（1）量一量∠A与∠A’，∠B与∠B’ ，∠C与∠C’ 的大小，他们分别相等吗？
∠A=∠A’，∠B=∠B’?，∠C=∠C’.
（2）这两个三角形相似吗？由此你发现什么规律？
两个三角形相似.
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题，并探究知识。
导入新课，利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中，我们可以得到两个三角形相似的判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）
证明：
如图，在△ABC 和△ A’B’C’中，已知A'B'AB=A'C'AC=B'C'BC=K.求证:ΔABC∽ △ A'B'C‘.
证明:在△ABC的边AB上截取AD=A′B′, 过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴ △ADE∽△ABC，∴ ADAB=AEAC=DEBC.
∵AD=A’B’, A'B'AB=A'C'AC=B'C'BC,
∴ADAB=AEAC=A'C'AC,
∴AE=A’C’,DE=B’C’
∴△ADE ≌ △A’B’C’
∴△ABC ∽△A’B’C’
【小试牛刀】 已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE＝6， EF＝8， DF＝9
(2) AB=4， BC=8， AC＝10
DE＝20， EF＝16， DF＝8
(3) AB=12， BC=15， AC＝24
DE＝16， EF＝20， DF＝30
解：（1）否，（2）是，（3）否.
结论：（大对大，小对小，中对中）
接下来，我们看一些具体的例子：
【例1】在Rt △ ABC和Rt△A'B'C'中， ∠C=90°， ∠C’= 90，ABA'B'=ACA'C' . 求证: Rt△ABC∽Rt △ A 'B'C'.
分析:已知两边成比例，只要得到三边成比例即可完成证明.
【例2】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由，
解：在△ABC中，AB> BC>CA，在△DEF中，DE>EF> FD.
∵DEAB=2.44=0.6，EFBC=2.13.5=0.6，FDCA=1.83=0.6.
∴DEAB=EFBC=FDCA
∴△DEF∽△ABC.
小结：
【做一做】1.两个直角三角形一定相似吗？ 两个等腰直角三角形呢？为什么？
1.所有的直角三角形不都相似；
2.所有的等腰直角三角形都相似.
2、两个等腰三角形一定相似吗？ 两个等边三角形呢？为什么？
1.所有的等腰三角形不都相似；
2.所有的等边三角形都相似.
结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握成两个三角形相似的判定定理3。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候，自己先思考，然后再听老师讲解。
讲授知识，让学生掌握两个三角形相似的判定定理3。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
1、已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似 （ C ）
A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm；
C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm .
2．若△ABC各边分别为AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，△DEF的两边分别为DE＝10cm，EF＝8cm，则当DF＝ 6 cm时，△ABC∽△DEF.
3．在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝13cm，AC＝12cm，A′B′＝19.5cm，当A′C′＝ 18 cm时，Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
4．如图，已知ABAD＝BCDE＝ACAE，∠BAD＝22°.求∠CAE的度数．
解：∵ABAD＝BCDE＝ACAE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAD＝22°，
∴∠CAE＝22°.
学生自主完课堂练习中的练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
相似三角形的判定定理3 ：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）
板书
两个三角形相似（4）
相似三角形的判定定理3 ：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）
借助板书，让学生知识本节课的重点。
作业
教材第85页练习第1、2题.
3.4.1.4 相似三角形判定定理3
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题6分）
1．如图，在大小为4×4的正方形网格中各有一个三角形，其中是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
2．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．各顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，如图，在4×8的方格中，以M、N为顶点且与△ABC相似的格点三角形的个数共有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列三个三角形中相似的是（ ）
A．A与B B．A与C
C．B与C D．A，B，C都相似
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 秒时，△CPQ与△ABC相似．
6．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有 （填序号）
7．在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：
（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．
其中是真命题的为 （填序号）．
8. 如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
9. 如图，在△ABC和△ADE中，AB/AD=BC/DE=AC/AE，点B．D．E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．
10.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？
试题解析
1．【分析】分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【解答】解：∵①中的三角形的三边分别是：2，2，10；
②中的三角形的三边分别是：3，2，5；
③中的三角形的三边分别是：22，2，25；
④中的三角形的三边分别是：3，17，42；
∵①与③中的三角形的三边成比例：22=222=1025，
∴①与③相似．
故选：C．
【点评】本题考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，求出三角形的边长，属于中考常考题型．
2．【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．
A、∵4BC=48=12，对应边 ABBC=68=34，12≠34，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
B、∵2AC=12，对应边 ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；
C、∵3AC=34，对应边 ACAB=46=23，34≠23，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
D、∵36=3AB=12，
ABBC=34，12≠34，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．
3．【分析】根据相似三角形的判定定理（三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似）进行解答．
【解答】解：如图，
符合条件的三角形共有4个．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定．解题时，注意分类讨论数学思想的应用，以防漏解而导致解题错误．
4．【分析】先根据勾股定理的逆定理求出三个三角形各边的长，进而可得出结论．
【解答】解：A中三角形的三边长分别为：2，2，10；
B中三角形的三边长分别为：3，5，2；
C中三角形的三边长分别为：5，5，10．
∵105=210=25，
∴A与C相似．
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知三条边对应成比例的三角形相似是解答此题的关键．
5．【分析】分CP和CB是对应边，CP和CA是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，CPCB=CQCA，
即16?2t16=t12，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，CPCA=CQCB，
即16?2t12=t16，
解得t=6411．
综上所述，当t=4.8或6411时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或6411．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
6．【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．
【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则△ABC的各边长分别为1、2、5．则
②△BCD的各边长分别为1、5、22；
③△BDE的各边长分别为2、22、25（为△ABC各边长的2倍）；
④△BFG的各边长分别为5、5、10（为△ABC各边长的5倍）；
⑤△FGH的各边长分别为2、2、10（为△ABC各边长的2倍）；
⑥△EFK的各边长分别为3、2、5．
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到与三角形①相似的是③④⑤．
故答案为③④⑤．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题的关键．
7．【分析】根据全等三角形的判定方法以及相似三角形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：（1）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1是正确的，利用SAS判定即可；
（2）若AB=A1B1，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1是错误的，SSA不能判定两个三角形全等，角必须是夹角；
（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两对角相等的三角形相似判定即可；
（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1是正确的，根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定即可，
综上可知①③④，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握其各种判定方法并且灵活运用其各种判定方法．
8. 【分析】利用格点三角形的知识求出AB，BC及EF，DE的长度，继而可作出判断．
【解答】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2，BC=2，DE=，DF=，EF=2，
∵=，==，==，
∴==，
∴△ABC∽△DEF．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．
9. 【分析】由在△ABC和△ADE中，，可证得△ABC∽△ADE，即可证得∠BAD=∠CAE，又由，即可证得：△ABD∽△ACE．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10. 【分析】设出BP=xcm，由BD﹣BP=PD表示出PD的长，若△ABP∽△PDC，根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．
【解答】解：由AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
设BP=xcm，则PD=（14﹣x）cm，
若△ABP∽△PDC，
则 =，
=，
变形得：14x﹣x2=24，即x2﹣14x+24=0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣12）=0，
解得：x1=2，x2=12，
所以BP=2cm或12cm时，△ABP∽△PDC；
若△ABP∽△CDP，
则 =，
即 =，解得：x=8.4，
∴BP=8.4cm，
综上，BP=2cm或12cm或8.4cm时，△ABP∽△PDC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定的应用，注意有两种情况，用的知识点是：当两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
课件22张PPT。3.4.1.4 相似三角形
判定定理3数学湘教版 九年级上 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.相似三角形的判定定理1 ：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
（两角分别相等的两个三角形相似）符号表示：
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'相似三角形的判定定理2 ：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.）??（1）量一量∠A与∠A’，∠B与∠B’ ，∠C与∠C’ 的大小，他们分别相等吗？
（2）这两个三角形相似吗？由此你发现什么规律？?两个三角形相似.?ED?相似三角形的判定定理3 ：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）? 已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(1) AB=3， BC=4， AC＝6
DE＝6， EF＝8， DF＝9
(2) AB=4， BC=8， AC＝10
DE＝20， EF＝16， DF＝8
(3) AB=12， BC=15， AC＝24
DE＝16， EF＝20， DF＝30是否否（大对大，小对小，中对中）方法总结：把每个三角形的三边按大小顺序依次排列，然后比较他们对应的比值是否相等?? 【例2】判断图3-26中的两个三角形是否相似，并说明理由，?三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角角角边边边边边角边斜边与直角边
(直角三角形）1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2.两角分别相等的两个三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.4.三边对应成比例的两个三角形相似.1.两个直角三角形一定相似吗？ 两个等腰直角三角形呢？为什么？1.所有的直角三角形不都相似；
2.所有的等腰直角三角形都相似.2、两个等腰三角形一定相似吗？ 两个等边三角形呢？为什么？1.所有的等腰三角形不都相似；
2.所有的等边三角形都相似.1、已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A. 2cm，3cm； B. 4cm，5cm；
C. 5cm，6cm； D. 6cm，7cm . C 2．若△ABC各边分别为AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，△DEF的两边分别为
DE＝10cm，EF＝8cm，则当DF＝ cm时，△ABC∽△DEF.
3．在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝13cm，AC＝12cm，
A′B′＝19.5cm，当A′C′＝ cm时，Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 618??相似三角形的判定定理3 ：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）?三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角角角边边边边边角边斜边与直角边
(直角三角形）1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．2.两角分别相等的两个三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.4.三边对应成比例的两个三角形相似.相似三角形的判定定理3 ：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．（三边对应成比例的两个三角形相似.）?作业布置教材第85页练习第1、2题. 谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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