【走进重高汇编】八上数学第十五章 第1-2节 分式及其运算训练卷

【走进重高汇编】八上数学第十五章（第1-2节） 分式及其运算　
一．选择题（共10小题）
1．下列式子中，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．绵阳到某地相距n千米，提速前火车从绵阳到某地要t小时，提速后行车时间减少了0.5小时，提速后火车的速度比原来速度快了（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．下列各式中正确的是（　　）
A．= B．=1
C．=﹣b﹣a D．x
4．下列约分中，正确的是（　　）
A．=x3 B．=0 C． D．
5．若0＜x＜2，化简，结果等于（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．1
6．计算的结果是（　　）
A．a+b B．﹣a+b C．a﹣b D．﹣a﹣b
7．若非零实数m，n满足m（m﹣4n）=0，则分式的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
8．已知实数a、b、c满足+=2，+=3，+=4，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，设k=（a＞b＞0），则有（　　）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
10．关于分式，有下列说法，错误的有（　　）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x=5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则a＞4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
　
二．填空题（共5小题）
11．若﹣2有意义，则a的取值范围是　 　．
12．若m=3，则的值等于　 　．
13．若+=（a≠b），则﹣的值是　 　．
14．若，对任意自然数n都成立，则a﹣b=　 　．
15．已知：x7﹣1=0，则=　 　．
　
三．解答题（共6小题）
16．（1）计算：；
（2）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式．2x+6，x2+6x+9，x2﹣9．
17．计算．
（1） （2）÷
（3）﹣ （4）﹣22+（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0
（5） （6）（a+）
18．若a＞0，M=，N=，
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
19．阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1
∴==+=x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．
解答：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为10．
20．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
21．附加题：找找规律：
（1）①计算+
②计算++
③计算++++
（2）①计算下列两式．探索其中的共同规律：
++；++．
②这两个式子的值能为0吗？为什么？
　
【走进重高汇编】八上数学第十五章（第1-2节） 分式及其运算　
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列式子中，中，分式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：﹣3x，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，分母中含有字母，因此是分式．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
　
2．绵阳到某地相距n千米，提速前火车从绵阳到某地要t小时，提速后行车时间减少了0.5小时，提速后火车的速度比原来速度快了（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】根据速度等于路程除以时间可分别表示出提速前后火车的速度，然后求它们的差．
【解答】解：提速后火车的速度比原来速度快了（﹣）千米/小时．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式（分式）：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
　
3．下列各式中正确的是（　　）
A．=
B．=1
C．=﹣b﹣a
D．x
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、分子分母都减1，分式的值发生变化，故A错误；
B、分子分母除以不同的整式，分式的值发生变化，故B错误；
C、分子分母都除以（a﹣b），故C正确；
D、x÷y×==，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），分式的值不变．
　
4．下列约分中，正确的是（　　）
A．=x3 B．=0
C． D．
【分析】根据分式的基本性质，分别对每一项进行解答，即可得出答案．
【解答】解：A、=x4，故本选项错误；
B、=1，故本选项错误；
C、==，故本选项正确；
D、=，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
　
5．若0＜x＜2，化简，结果等于（　　）
A．0 B．﹣2 C．2 D．1
【分析】根据分式的基本性质，及绝对值的性质作答．
【解答】解：∵0＜x＜2，
∴|x﹣2|=2﹣x，|2﹣x|=2﹣x，
∴==﹣1﹣1=﹣2．
故选：B．
【点评】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，理解好这一点是解题的关键．
　
6．计算的结果是（　　）
A．a+b B．﹣a+b C．a﹣b D．﹣a﹣b
【分析】分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
【解答】解：=?=a+b．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的乘除法．在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
　
7．若非零实数m，n满足m（m﹣4n）=0，则分式的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．
【分析】已知等式整理得到m=4n，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵m（m﹣4n）=0，
∴m=0（舍去）或m=4n，
则原式=﹣==2，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
8．已知实数a、b、c满足+=2，+=3，+=4，则代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出=2，=3，=4，相加即可求出=，即可得出答案．
【解答】解：∵+=2，
b+a=2ab，
bc+ac=2abc，
∴=2①，
∵+=3，
∴c+b=3bc，
∴ac+ab=3abc，
∴=3②，
∵+=4，
∴c+a=4ac，
∴bc+ab=4abc，
∴=4③，
∴①+②+③得：=9，
∴=，
∴=，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的化简和求值的应用，关键是求出等式=2，=3，=4．
　
9．如图，设k=（a＞b＞0），则有（　　）
A．k＞2 B．1＜k＜2 C． D．
【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可．
【解答】解：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，
乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），
则k====1+，
∵a＞b＞0，
∴0＜＜1，
∴1＜+1＜2，
∴1＜k＜2
故选：B．
【点评】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键．
　
10．关于分式，有下列说法，错误的有（　　）个：
（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3；
（2）当x=5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5；
（4）当x取任何值时，这个分式一定有意义，则a＞4．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【解答】解：（1）当x取1时，这个分式有意义，则a≠3，说法正确；
（2）当x=5时，分式的值一定为零，说法错误，当x=5，a≠﹣5时，分式的值一定为零；
（3）若这个分式的值为零，则a≠﹣5，说法正确；
（4）当方程x2﹣4x+a=0中，b2﹣4ac=16﹣4a＜0时，此方程无实数根，
解得：a＞4，即x取任何值时，这个分式一定有意义，说法正确；
故错误的有1个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
　
二．填空题（共5小题）
11．若﹣2有意义，则a的取值范围是　a≠1　．
【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣1≠0，
解得a≠1．
故答案为：a≠1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
　
12．若m=3，则的值等于　　．
【分析】对分子，利用提取公因式法进行因式分解；对分母，利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：原式==．
把m=3代入，得
上式==．
故答案是：．
【点评】本题考查了约分．约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
　
13．若+=（a≠b），则﹣的值是　　．
【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到a+b=ab，原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，把a+b=ab代入计算即可求出值．
【解答】解：∵+==，
∴a+b=ab，
则原式====．
故答案为：
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
14．若，对任意自然数n都成立，则a﹣b=　1　．
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵=+=，
∴2n（a+b）+a﹣b=1，即，
解得：a=，b=﹣，
a﹣b=1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式的加减法，解本题的关键是得到关于a，b的方程组．
　
15．已知：x7﹣1=0，则=　或﹣2　．
【分析】首先将x7﹣1=0分解得出（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=0，再分析两式分别等于0时的情况，由x7﹣1=0，得出x7=1，即x8=x?x7=x，x9=x2?x7=x2，x10=x3?x7=x3，x11=x4?x7=x4，x12=x5?x7=x5，然后将原式分别通分，求出y的值．
【解答】解：∵x7﹣1=0
∴（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=0
∴x=1或x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0
当x=1时，原式=；
当x6+x5+x4+x3+x2+x+1=0
∵x7﹣1=0
∴x8=x?x7=x，x9=x2?x7=x2，x10=x3?x7=x3，
x11=x4?x7=x4，x12=x5?x7=x5，
则原式=
故答案为：﹣2或．
【点评】此题主要考查了高次项多项式的因式分解，以及分式的加减运算，得出由x7﹣1=0，得出x7=1，进而得出x8=x?x7=x，x9=x2?x7=x2，x10=x3?x7=x3，x11=x4?x7=x4，x12=x5?x7=x5，是解决问题的关键．
　
三．解答题（共6小题）
16．（1）计算：；
（2）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式．2x+6，x2+6x+9，x2﹣9．
【分析】（1）利用负指数化正指数性质以及0指数幂的性质和锐角三角函数分别化简求出即可；
（2）利用任意两式组合，根据因式分解化简即可．
【解答】解：（1）
=+1﹣
=0；
（2）根据题意可以随便组合：例如：2x+6，x2+6x+9组合，
==．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及分式的化简，正确因式分解是进行化简分式的关键．
　
17．计算．
（1）
（2）÷
（3）﹣
（4）﹣22+（﹣）﹣2+（3.14﹣π）0
（5）
（6）（a+）
【分析】（1）因式分解后，再进行约分计算即可；
（2）先因式分解，再算乘法，最后算除法即可；
（3）先算乘方，再算乘除；
（4）根据乘方法则、负整数指数幂、零指数幂的法则计算；
（5）先约分，再计算同分母的加法，最后通分后计算；
（6）先算括号里的，再算括号外的除法．
【解答】解：（1）原式=×
=；
（2）原式=××
=；
（3）原式=﹣×÷（﹣mn4）
=﹣mn3÷（﹣mn4）
=；
（4）原式=﹣4+4+1
=1；
（5）原式=+﹣
=+
=；
（6）原式=×
=．
【点评】本题考查了分式的混合运算、实数运算，解题的关键是掌握有关运算法则，以及注意分子、分母的因式分解，通分、约分．
　
18．若a＞0，M=，N=，
（1）当a=3时，计算M与N的值；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）直接将a=3代入原式求出M，N的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【解答】解：（1）当a=3时，M==，N==；
（2）方法一：猜想：M＜N
理由：M﹣N=﹣
=
=，
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，
∴，
∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N
理由：，
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，
∴，
∴，∴M＜N．
【点评】此题主要考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题关键．
　
19．阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1
∴==+=x2+2+
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．
解答：
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明 的最小值为10．
【分析】（1）仿照已知解题方法将原式变形即可；
（2）根据（1）的结果，利用非负数的性质求出最小值即可．
【解答】解：（1）设﹣x4﹣8x2+10=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b），
∴，
解得：a=9，b=1，
则原式==x2+9+；
（2）由原式=x2+9+，
得到当x=0时，x2+9与分别取得最小值，
则x=0时，原式的最小值为10．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
20．问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
【分析】（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣=，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
【解答】解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣=，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．
（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
【点评】本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．
　
21．附加题：找找规律：
（1）①计算+
②计算++
③计算++++
（2）①计算下列两式．探索其中的共同规律：
++；++．
②这两个式子的值能为0吗？为什么？
【分析】（1）①先通分，再相加．最简公分母是（1﹣x）（1+x）；
②在①的结果的基础上，继续通分相加；
③在①和②的基础上，应当依次通分相加进行计算；
（2）①找到各个式子的最简公分母，进行通分相加；
②根据计算的结果，发现分子是几个非负数的和，要想值为0，则分子为0．此时再根据分式有意义的条件进行分析就可．
【解答】解：（1）①原式==；
②原式=+==；
③原式=++=；
（2）①原式=；原式=．
②若它们的值为0，则分子为0，根据几个非负数的和为0，则这几个非负数必须同时为0，此时分母等于0，分式无意义．所以这些分式的值不能等于0．
【点评】计算分式的加减运算的时候，一定要注意观察各个分式，有时候不能全部通分相加减，需要依次通分相加减；讨论分式的值为0的条件：分子等于0，分母不等于0．