【走进重高汇编】八上数学第十五章(第3节) 分式方程
一.选择题(共10小题)
1.下列关于x的方程,是分式方程的是( )
A. B. C. D.=1﹣
2.分式方程+1=的解为( )
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1
3.下列说法错误的是( )
A.分式方程=的解x=1
B.站在M处看N处在北偏东30°的方向上,那么站在N处看M处在南偏西30°的方向上
C.已知M=,N=(x≠±1),那么M与N互为相反数
D.四边都相等的四边形是正方形
4.为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具,其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元,经调查:用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.设A类玩具的进价为m元/个,根据题意可列分式方程为( )
A. B. C. D.
5.关于x的分式方程,下列说法正确的是( )
A.方程的解是x=m﹣5 B.m>5时,方程的解是正数
C.m<5时,方程的解为负数 D.无法确定
6.甲、乙两列火车长分别是150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某位乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口经过的时间是( )
A.5秒 B.7.5秒 C.8.5秒 D.10秒
7.下列分式方程有解的是( )
A.=0 B.=0 C. D.
8.若关于x的分式方程无解,则m的值为( )
A.﹣1.5 B.1 C.﹣1.5或2 D.﹣0.5或﹣1.5
9.若方程=有正数根,则k的取值范围是( )
A.k<2 B.k≠﹣3 C.﹣3<k<2 D.k>且k≠2
10.一个人步行从A地出发,匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发,匀速向A地驶去.二人在途中相遇,骑车者立即把步行者送到B地,再向A地驶去,这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍,那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是( )
A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:1
二.填空题(共6小题)
11.下列方程是关于x的方程,其中是分式方程的是 (只填序号)
①=5;②+2=;③;④;⑤1+=2﹣;⑥;⑦;⑧;⑨.
12.若关于x的方程的解是x=2,则a= .
13.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:.我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:x,5,3(x>5),则x的值是 .
14.若方程会产生增根,则k= .
15.星光时代广场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙两人在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了30级后到达楼上,乙登梯的速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍),他登了36级后到达楼上,那么由楼下到楼上自动扶梯级数为 .
16.已知实数x满足x2++x﹣=4,则x﹣的值是 .
三.解答题(共7小题)
17.解下列分式方程:
(1)+1=; (2)+=4;
(3)+=1; (4)=﹣1.
18.小明解方程的过程如图.请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因,并写出正确的解答过程.
解:方程两边同乘x得1﹣(x﹣2)=1.…①
去括号得1﹣x﹣2=1.…②
合并同类项得﹣x﹣1=1.…③
移项得﹣x=2.…④
解得x=﹣2.…⑤
所以原方程的解为x=﹣2.…⑥
19.已知关于x的方程+=无解,求m2+10的值.
20.某部队将在指定山区进行军事演习,为了使道路便于部队重型车辆通过,部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务,按原计划完成总任务的后,为了让道路尽快投入使用,工兵连将工作效率提高了50%,一共用了10小时完成任务.
(1)按原计划完成总任务的时,已抢修道路 米;
(2)求原计划每小时抢修道路多少米?
21.观察下列各式:
,
,
,
…
(1)在和式中,第6项为 ,第n项为 .
(2)请你计算:.
(3)受此启发,请你解下面的方程:=.
22.某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元,用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)该校打算用1000元购买篮球和足球,问恰好用完1000元,并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种?
23.先阅读下面的材料,然后回答问题:
方程x+=2+的解为x1=2,x2=;方程x+=3+的解为x1=3,x2=;方程x+=4+的解为x1=4,x2=; …
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+=5+的解是 ;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+=的解是 ;
(3)由(2)可知,在解方程:y+=时,可变形转化为x+=的形式求值,按要求写出你的变形求解过程.
【走进重高汇编】八上数学第十五章(第3节) 分式方程
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.下列关于x的方程,是分式方程的是( )
A. B. C. D.=1﹣
【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【解答】解:A、方程分母中不含未知数,故不是分式方程;
B、方程分母中不含未知数,故不是分式方程;
C、方程分母中不含表示未知数的字母,π是常数;
D、方程分母中含未知数x,故是分式方程.
故选:D.
【点评】判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).
2.分式方程+1=的解为( )
A.x=4 B.x=3 C.x=2 D.x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
【解答】解:原方程变形为:2(x﹣1)+(x+1)(x﹣1)=x(x+1)
2x﹣2+x2﹣1=x2+x
x=3,
经检验x=3是分式方程的解,
故选:B.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
3.下列说法错误的是( )
A.分式方程=的解x=1
B.站在M处看N处在北偏东30°的方向上,那么站在N处看M处在南偏西30°的方向上
C.已知M=,N=(x≠±1),那么M与N互为相反数
D.四边都相等的四边形是正方形
【分析】根据方程的解、方位角的概念及正方形的定义,利用排除法求解.
【解答】解:A、原方程可化为﹣=0,即=0,
解得x=1,经检验x=1是原方程的解,故本选项正确;
B、站在M处看N处在北偏东30°的方向上,那么站在N处看M处在南偏西30°的方向上,故本选项正确;
C、∵M=﹣=﹣,N=(x≠±1),故M与N互为相反数,故本选项正确;
D、四边都相等且有一个角是直角的四边形是正方形,故本选项错误;
故选:D.
【点评】此题比较复杂,涉及到分式的加减法,方向角及正方形的性质,需同学们熟练掌握.
4.为迎接“六一”儿童节,某儿童品牌玩具专卖店购进了A、B两类玩具,其中A类玩具的进价比B类玩具的进价每个多3元,经调查:用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同.设A类玩具的进价为m元/个,根据题意可列分式方程为( )
A. B. C. D.
【分析】根据题意B类玩具的进价为(m﹣3)元/个,根据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可.
【解答】解:设A类玩具的进价为m元/个,则B类玩具的进价为(m﹣3)元/个,
由题意得,=,
故选:C.
【点评】本题考查的是列分式方程解应用题,找到等量关系是解决问题的关键.
5.关于x的分式方程,下列说法正确的是( )
A.方程的解是x=m﹣5 B.m>5时,方程的解是正数
C.m<5时,方程的解为负数 D.无法确定
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,根据方程的解为正数,负数,确定出m的范围,即可作出判断.
【解答】解:关于x的分式方程=1,
去分母得:x+5=m,
解得:x=m﹣5,
当m﹣5=﹣5,即m=0时,分式方程无解;
当m﹣5>0,即m>5时,方程的解是正数;
当m﹣5<0,即m<5,且m≠0时,分式方程的解是负数,
故选:B.
【点评】此题考查了分式方程的解,分式方程注意分母为0时无解.
6.甲、乙两列火车长分别是150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某位乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口经过的时间是( )
A.5秒 B.7.5秒 C.8.5秒 D.10秒
【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口,此时路程为乙车的长度,速度为甲乙两车速度之和;坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口,此时路程为甲车长度,速度为两人速度之和.等量关系为:乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间=甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间,把相关数值代入即可求解.
【解答】解:设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是x秒.
由题意,有=,
解得x=7.5.
经检验,x=7.5是原方程的解.
即乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒.
故选:B.
【点评】本题考查分式方程的应用,根据两车的速度和得到等量关系是解决本题的关键.
7.下列分式方程有解的是( )
A.=0 B.=0 C. D.
【分析】分别按照解分式方程的步骤去分母,解整式方程可判断方程的解的情况.
【解答】解:A、方程两边都乘以2x﹣3得:1=0,不成立,故方程无解;
B、方程两边都乘以x得:x2+1=0,此整式方程无解,故原分式方程无解;
C、方程两边都乘以x﹣1得:2x=x+1,解得x=1,而x=1时分母x﹣1=0,故原分式方程无解;
D、方程两边都乘以x﹣1得:x﹣1=1,解得x=2,当x=2时,分母x﹣1=1≠0,x=2是原分式方程的解;
故选:D.
【点评】本题主要考查解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
8.若关于x的分式方程无解,则m的值为( )
A.﹣1.5 B.1 C.﹣1.5或2 D.﹣0.5或﹣1.5
【分析】去分母得出方程①(2m+x)x﹣x(x﹣3)=2(x﹣3),分为两种情况:①根据方程无解得出x=0或x=3,分别把x=0或x=3代入方程①,求出m;②求出当2m+1=0时,方程也无解,即可得出答案.
【解答】解:方程两边都乘以x(x﹣3)得:(2m+x)x﹣x(x﹣3)=2(x﹣3),
即(2m+1)x=﹣6,
分两种情况考虑:
①∵当2m+1=0时,此方程无解,
∴此时m=﹣0.5,
②∵关于x的分式方程无解,
∴x=0或x﹣3=0,
即x=0,x=3,
当x=0时,代入①得:(2m+0)×0﹣0×(0﹣3)=2(0﹣3),
解得:此方程无解;
当x=3时,代入①得:(2m+3)×3﹣3(3﹣3)=2(3﹣3),
解得:m=﹣1.5,
∴m的值是﹣0.5或﹣1.5,
故选:D.
【点评】本题考查了对分式方程的解的理解和运用,关键是求出分式方程无解时的x的值,题目比较好,难度也适中.
9.若方程=有正数根,则k的取值范围是( )
A.k<2 B.k≠﹣3 C.﹣3<k<2 D.k>且k≠2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程有正数根,求出k的范围即可.
【解答】解:去分母得:3x+3k=2x+6,
解得:x=6﹣3k,
由分式方程有正根,得到6﹣3k>0,6﹣3k≠﹣3,即k≠3,
解得:k<2.
故选:A.
【点评】此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0.
10.一个人步行从A地出发,匀速向B地走去.同时另一个人骑摩托车从B地出发,匀速向A地驶去.二人在途中相遇,骑车者立即把步行者送到B地,再向A地驶去,这样他在途中所用的时间是他从B地直接驶往A地原计划所用时间的2.5倍,那么骑摩托车者的速度与步行者速度的比是( )
A.2:1 B.3:1 C.4:1 D.5:1
【分析】如果设步行者的速度为1,骑摩托车者的速度为v,AB两地相距s,那么根据时间=路程÷速度,可知骑摩托车者从B地直接驶往A地原计划所用时间为,而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和.当他骑摩托车从B地出发,匀速向A地驶去,与步行者在途中相遇用去时间;他把步行者送到B地又用去时间;他再向A地驶去又用去时间,这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍,即,根据这个等量关系列出方程,求出v的值即可.
【解答】解:设步行者的速度为1,骑摩托车者的速度为v,AB两地相距s.
由题意,有+=,
∴=,
解得v=3,
∴v:1=3:1.
即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是3:1.
故选:B.
【点评】本题考查了行程问题在分式方程中的应用.行程问题的基本关系式为路程=速度×时间.本题的关键是能够分析出骑摩托车者在途中所用的时间是三段时间的和,难点是设适当的未知数并且能够正确地表示这三段时间.
二.填空题(共6小题)
11.下列方程是关于x的方程,其中是分式方程的是 ④⑤⑥⑦⑨ (只填序号)
①=5;②+2=;③;④;⑤1+=2﹣;⑥;⑦;⑧;⑨.
【分析】根据分式方程的定义:分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断.
【解答】解:①=5是整式方程,故①错误;
②+2=是整式方程,故②错误;
③是整式方程,故③错误;
④是分式方程,故④正确;
⑤1+=2﹣是分式方程,故⑤正确;
⑥是分式方程,故⑥正确;
⑦是分式方程,故⑦正确;
⑧是整式方程,故⑧错误;
⑨是分式方程,故⑦正确;
故答案为:④⑤⑥⑦⑨.
【点评】本题考查了分式方程,判断一个方程是否为分式方程,主要是依据分式方程的定义,也就是看分母中是否含有未知数(注意:仅仅是字母不行,必须是表示未知数的字母).
12.若关于x的方程的解是x=2,则a= .
【分析】根据解分式方程的一般步骤,可得分式方程的解,根据分式方程的解,可得a的值.
【解答】解:方程两边都乘以2(ax﹣1),得
2(x﹣a)=ax﹣1,
x==2,
a=,
故答案为:.
【点评】本题考查了分式方程的解,先用a表示出分式方程的解,再求出a的值.
13.数学的美无处不在.数学家们研究发现,弹拨琴弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和谐.例如,三根弦长度之比是15:12:10,把它们绷得一样紧,用同样的力弹拨,它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so,研究15、12、10这三个数的倒数发现:.我们称15、12、10这三个数为一组调和数.现有一组调和数:x,5,3(x>5),则x的值是 15 .
【分析】题中给出了调和数的规律,可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里,然后列出方程求解.
【解答】解:根据题意,得:.
解得:x=15
经检验:x=15为原方程的解.
故答案为:15.
【点评】此题主要考查了分式方程的应用,重点在于弄懂题意,准确地找出题目中所给的调和数的相等关系,这是列方程的依据.
14.若方程会产生增根,则k= 3 .
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母x﹣3=0,得到x=3,然后代入化为整式方程的方程算出k的值即可.
【解答】解:方程两边都乘(x﹣3),
得:x=2(x﹣3)+k,
∵原方程有增根,
∴最简公分母:x﹣3=0,
解得x=3,
当x=3时,k=3.
∴当m=2时,方程产生增根.
故答案为:3.
【点评】此题考查了分式方程增根的知识.注意增根问题可按如下步骤进行:
①让最简公分母为0确定增根;
②化分式方程为整式方程;
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
15.星光时代广场有一部自动扶梯匀速由下而上运动,甲、乙两人在乘扶梯的同时匀速登梯,甲登了30级后到达楼上,乙登梯的速度是甲的2倍(单位时间内乙登楼级数是甲的2倍),他登了36级后到达楼上,那么由楼下到楼上自动扶梯级数为 45 .
【分析】可以设自动扶梯在单位时间上升x级,甲在单位时间上y级,则乙在单位时间上2y级,由甲上的台阶总数为x+y,需要的时间为30÷y,即可得总扶梯阶数;同理可根据甲的登梯情况列出乙登梯的代数式,由扶梯从楼下到楼上的级数相等建立方程,解方程可得x与y的关系,代入其中一个代数式即可得扶梯阶数.
【解答】解:设自动扶梯在单位时间上升x级,甲在单位时间上y级,则乙在单位时间上2y级.根据题意得:
(x+y)×=(x+2y)×,
解得:y=2x.
即甲上2级,自动扶梯上升1级,
那么由楼下到楼上,自动扶梯级数为:(x+y)×=
+30=45(级).
故答案为:45级.
【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的数量关系,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.
16.已知实数x满足x2++x﹣=4,则x﹣的值是 1或﹣2 .
【分析】设x﹣=t,则原方程利用完全平方公式转化为关于t的一元二次方程t2+t+2=4,通过解该方程求得t即x﹣的值.
【解答】解:x﹣=t,则由原方程,得
t2+t+2=4,
整理,得
(t﹣1)(t+2)=0,
解得 t=1或t=﹣2,
所以 x﹣的值是 1或﹣2.
故答案是:1或﹣2.
【点评】本题考查了换元法解分式方程.用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法,根据方程特点设出相应未知数,解方程能够使问题简单化.
三.解答题(共7小题)
17.解下列分式方程:
(1)+1=;
(2)+=4;
(3)+=1;
(4)=﹣1.
【分析】(1)首先找出最简公分母,进而去分母解方程得出答案;
(2)首先找出最简公分母,进而去分母解方程得出答案;
(3)首先找出最简公分母,进而去分母解方程得出答案;
(4)首先找出最简公分母,进而去分母解方程得出答案.
【解答】解:(1)+1=
方程两边同乘以x﹣2得:
x﹣3+(x﹣2)=﹣3,
解得:x=1,
检验:当x=1时,x﹣2≠0,故分式方程的解为x=1;
(2)+=4
方程两边同乘以2x﹣3得:
x﹣5=4(2x﹣3),
解得:x=1,
检验:当x=1时,2x﹣3≠0,故分式方程的解为x=1;
(3)+=1
方程两边同乘以(x﹣2)(x+1)得:
(x+1)2+(x﹣2)=(x﹣2)(x+1),
解得:x=﹣,
检验:当x=﹣时,(x﹣2)(x+1)≠0,故分式方程的解为x=﹣;
(4)=﹣1
方程两边同乘以3(x﹣2)得:
则3(5x﹣4)=4x+10﹣3(x﹣2),
解得:x=2,
当x=2时,3(x﹣2)=0,故原方程无解.
【点评】此题主要考查了解分式方程,正确找出最简公分母是解题关键.
18.小明解方程的过程如图.请指出他解答过程中的错误步骤及错误原因,并写出正确的解答过程.
解:方程两边同乘x得1﹣(x﹣2)=1.…①
去括号得1﹣x﹣2=1.…②
合并同类项得﹣x﹣1=1.…③
移项得﹣x=2.…④
解得x=﹣2.…⑤
所以原方程的解为x=﹣2.…⑥
【分析】步骤①是去分母出错;步骤②是去括号出错;步骤⑥是没有检验,写出正确的解答过程即可.
【解答】解:步骤①去分母等号右边漏乘x;
步骤②去括号,当括号前是“﹣”的时候没有变号;
步骤⑥前少“检验”步骤,
正确解法:
方程两边同乘x,得1﹣(x﹣2)=x,
去括号,得1﹣x+2=x,
移项,得﹣x﹣x=﹣1﹣2,
合并同类项,得﹣2x=﹣3,
两边同除以﹣2,得x=,
经检验,x=是原方程的解,
∴原方程的解是x=.
【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
19.已知关于x的方程+=无解,求m2+10的值.
【分析】分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.
【解答】解:方程去分母得:m+2(x﹣3)=x+3,
解得:x=9﹣m,
∵关于x的方程+=无解,
∴x=±3,
∴当x=3时,9﹣m=3,m=6,即m2+10=46;
∴当x=﹣3时,9﹣m=﹣3,m=12,即m2+10=154;
∴m2+10的值为46或154.
【点评】本题考查了分式的解,以及分式方程无解的条件,是需要识记的内容.
20.某部队将在指定山区进行军事演习,为了使道路便于部队重型车辆通过,部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务,按原计划完成总任务的后,为了让道路尽快投入使用,工兵连将工作效率提高了50%,一共用了10小时完成任务.
(1)按原计划完成总任务的时,已抢修道路 1200 米;
(2)求原计划每小时抢修道路多少米?
【分析】(1)按原计划完成总任务的时,列式计算即可;
(2)设原计划每天修道路x米.根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10等量关系列出方程.
【解答】解:(1)按原计划完成总任务的时,已抢修道路3600×=1200米,
故答案为:1200米;
(2)设原计划每小时抢修道路x米,
根据题意得:,
解得:x=280,
经检验:x=280是原方程的解.
答:原计划每小时抢修道路280米.
【点评】本题考查了分式方程的应用.分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.本题应用的等量关系为:工作时间=工作总量÷工效.
21.观察下列各式:
,
,
,
…
(1)在和式中,第6项为 ,第n项为 .
(2)请你计算:.
(3)受此启发,请你解下面的方程:=.
【分析】(1)观察可得规律:第n项为:,继而可求得答案;
(2)原式可变形为:(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣),继而求得答案;
(3)首先原分式方程可化简为:﹣=,继而可求得答案.
【解答】解:(1)∵观察可得规律:第n项为:,
∴第6项为,第n项为
(2)
=(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)
=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)
=(1﹣)
=;
(3)∵=,
∴(﹣)+(﹣)+(﹣)=,
∴(﹣)=,
∴﹣=,
方程的两边同乘2x(x+9),得:2(x+9)﹣2x=9x,
解得:x=2.
检验:把x=2代入2x(x+9)=44≠0.
则原方程的解为:x=2.
【点评】此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法.注意得到规律:第n项为:是关键;注意解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.注意解分式方程一定要验根.
22.某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球.其中篮球的单价比足球的单价多40元,用1500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.
(1)篮球和足球的单价各是多少元?
(2)该校打算用1000元购买篮球和足球,问恰好用完1000元,并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种?
【分析】(1)首先设足球单价为x元,则篮球单价为(x+40)元,根据题意可得等量关系:1500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数,由等量关系可得方程=,再解方程可得答案;
(2)设恰好用完1000元,可购买篮球m个和购买足球n个,根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1000,再求出整数解即可.
【解答】解:(1)设足球单价为x元,则篮球单价为(x+40)元,由题意得:
=,
解得:x=60,
经检验:x=60是原分式方程的解,
则x+40=100,
答:篮球和足球的单价各是100元,60元;
(2)设恰好用完1000元,可购买篮球m个和购买足球n个,
由题意得:100m+60n=1000,
整理得:m=10﹣n,
∵m、n都是正整数,
∴①n=5时,m=7,②n=10时,m=4,③n=15,m=1;
∴有三种方案:
①购买篮球7个,购买足球5个;
②购买篮球4个,购买足球10个;
③购买篮球1个,购买足球15个.
【点评】此题主要考查了分式方程和二元一次方程的应用,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系,列出方程.
23.先阅读下面的材料,然后回答问题:
方程x+=2+的解为x1=2,x2=;方程x+=3+的解为x1=3,x2=;方程x+=4+的解为x1=4,x2=; …
(1)观察上述方程的解,猜想关于x的方程x+=5+的解是 x1=5,x2= ;
(2)根据上面的规律,猜想关于x的方程x+=的解是 x1=a,x2= ;
(3)由(2)可知,在解方程:y+=时,可变形转化为x+=的形式求值,按要求写出你的变形求解过程.
【分析】(1)(2)根据已知材料即可得出答案;(3)把方程转化成(y+1)+=3+,由材料得出y+1=3,y+1=,求出方程的解即可.
【解答】(1)解:关于x的方程x+=5+的解是:x1=5,x2=,
故答案为:x1=5,x2=.
(2)解:关于x的方程x+=的解是:x1=a,x2=,
故答案为:x1=a,x2=.
(3)解:y+=,
y+=,
y+1+=3+,
(y+1)+=3+,
即y+1=3,y+1=,
解得:y1=2,y2=﹣.
【点评】本题考查了分式方程的解和解分式方程的应用,解此题的关键是找出材料中隐含的规律,通过做此题培养了学生的阅读能力和理解能力.