课件22张PPT。数学人教版 九年级上24.1 .2 垂直于弦的直径 赵州桥是我国隋代工匠李春建造的。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。新知导入问题:赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37m7.23mO新知导入观察下列图形有何共同点?新知导入什么是轴对称图形?如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分
完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
新知导入知识回顾：实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形
新知讲解 它的对称轴是任何一条直径所在的直线活动一：
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？·OABCDE（1）这个图形是轴对称图形．
直径CD所在的直线是它的对称轴 （2）相等的线段： AE=BE做一做：AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？新知讲解活动二：已知：在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，CD是直径，且CD⊥AB，垂足为E 求证： AE=BE AC=BC AD=BD 证明:连结OA、OB ，则OA=OB
因为CD⊥AB
所以CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴 ，
也是⊙O的对称轴
把圆沿着直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合
点A和点B重合，AE和BE重合, AC与BC重合，AD与BD重合
因此，AE=BE AC=BC AD=BD
⌒⌒⌒⌒．OABCDE新知讲解平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。题设结论垂直于弦的直径｛.oABCDE新知讲解下列图形是否具备垂径定理的条件？说明理由是不是是不是是是新知讲解巩固定理：设圆的半径为r，圆心到弦的距离为d，弦长为a。 三者关系如何？rda关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的
垂线段，这是一条非常重要的辅助线。
圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。新知讲解新知讲解1、如图1， AB是⊙O的弦，直径MN⊥AB于C，
则AC= ，AN = ，AM=
2 、如图2， AB 、CD是⊙O的两条弦，
OE⊥AB于N， OE⊥CD于M，则AC=
BCBNBMBDABNCMO·OABMNCDE图1图2· OABE·ABCO2163、如图， AB是⊙O的弦，OC ⊥AB于C，若AB=2 ， OC=1,则半径OB的长为
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm, 则AB= cm。新知讲解问题:赵州桥的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？37m7.23mABOCD新知讲解课堂练习2、如图，在⊙O中，AB是⊙O 的直径、CD为弦，
CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，求⊙O的直径
1、如图，在⊙O中，CD为⊙O的直径，弦AB
⊥CD于E,CE=2，AE=3，求⊿ACB的面积
OABECDABOCD1、解：∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD于E∴AB=2AE=6
∴⊿ACB的面积= ×AB×CE=6
2、解：连结OD，设OD=r,则OB=r, ∴OE=r- 1
∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB于E ∴DE= CD=3
∵ DE2+ OE2= OD2 ∴ 32+ (r-1)2= r2 ∴r=5 ∴⊙O的直径为10
E变式１：若以Ｏ为圆心，再画一个圆交ＡB于C、D两点，则ＡC与 BＤ之 间存在怎样的大小关系如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦·ABO··OABCD变式2： 在变式１题图的基础上，将大圆隐去，连结ＯＡ、ＯＢ，
若ＯＡ＝ＯＢ，试证明：ＡＣ＝ＢＤ。·ABOCD拓展提高解：过O作OE ⊥AB于E, 则AE=BE, CE=DE ∴AC=BDE解：过O作OE ⊥AB于E, 则CE=DE ∵OA=OB ∴AE=BE ∴AC=BDE·课堂总结师生小结
垂径定理及其应用
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题
圆中经常做辅助线—半径、弦的垂线垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BE课堂总结板书设计24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧题设结论垂直于弦的直径｛oABCDE∵在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB，垂足为E
∴ AE=BE AC=BC AD=BD ⌒⌒⌒⌒例题讲解：ABOCD作业布置教材第83页练习
第1、2题
教材习题24.1
第12题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径第一课时教学设计
课题
垂直于弦的直径
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习
目标
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——作弦心距。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
3．情感目标：①通过探究垂径定理的活动，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质；
②培养学生观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，并从数学学习活动中获得成功的体验。
重点
垂径定理及其应用。
难点
垂径定理的证明，正确区分及运用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
（一）情境导入，激疑引趣
1．问题：同学们，你知道赵州桥吗？
赵州桥是我国隋代工匠李春建造的赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓形高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？
学生观察、分析、体会，初步感知。
结合赵州桥资料的介绍，向学生进行爱国主义教育和美育渗透。
讲授新课
（二）动手实践，发现定理
1、知识回顾：观察图形，你有什么发现，提出问题：什么是轴对称图形?
2、动动脑筋：学生动手操作，同学们拿出准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。
首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，重复几次，然后观察，你发现了什么？由此你得出什么结论？
教师用电脑演示重叠的过程。
引导学生发现结论。
3、实验验证：学生在做好的圆中，画出图形，提出问题：
AB是⊙O的一条弦，CD是直径，CD⊥AB， 垂足为E．（出示图形）
（1）、右图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）、你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
4、提出猜想：根据以上的研究和图，我们可以大胆提出这样的什么样的猜想
5、验证猜想：教师用电脑课件演示图1中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
（三）引导探究，证明定理
1、归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、引导证明：利用圆的对称性进行证明
引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路。
3、巩固定理：出示图形和填空题
（四）例题示范，变式练习
1、讲解例题：教师引导学生完成
2、课堂练习: 出示练习题
3、拓展提高：变式练习
学生进行折叠实验，观察分析，总结结论，合作交流。
先自主探究，再小组合作、分析、总结、交流。
学生先自主分析，再合作完成证明过程。
学生独立完成，写出解答过程，体会方法，形成规律
让学生亲自动手，进行实验、探究、得出结论，激发学生的求知欲。
通过该问题引导学生探究、发现垂径定理，初步感知。
教师通过引导学生自主分析、合作探究、验证，培养学生发现问题、解决问题的能力。
让学生在探究过程中，进一步把实际问题转换为数学问题，培养学生的应用意识和能力。
课堂小结
师生小结
垂径定理及其应用
将垂径定理和勾股定理有机结合，化圆中问题为三角形问题
圆中经常做辅助线—半径、弦的垂线
学生归纳、总结、发言、体会、反思
加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯
板书
垂直于弦的直径
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设 结论
垂直于弦的直径 平分弦
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
∵在⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB，垂足为E
∴ AE=BE AC=BC AD=BD
例题讲解：
