湘教版数学七年级上3.4.4一元一次应用模型练习题
一、选择题
1.某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )
A．5.5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里
2.某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨，按每吨a元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2a元收费，如果某户居民五月份缴纳水费20a元，则该居民这个月实际用水( )
A．4吨 B．8吨 C．12吨 D．16吨
3. 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3 km都需付7元车费）；超过3 km以后，每增加1 km，加收2.4元（不足1 km按1 km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（ ）
A．正好8 km B．最多8 km C．至少8 km D．正好7 km
二、填空题
4．为增强居民的节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下：
一户居民一个月用电量的范围
电费价格（单位：元/度）
不超过160度的部分
x
超过160度的部分
李磊家11月份用电200度，缴纳电费136元，则___ __．超出部分电费单价是__ ___．
5.有一旅客携带了30kg行李从北京到广州，按民航规定，旅客最多可免费携带20kg行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票．现该旅客购买的行李票价为180元，则他的飞机票价为 .
6. 某市是水资源缺乏的城市，为了鼓励居民节约用水，从去年开始实行阶梯水价，具体规定如下：每户每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为 .
三、解答题
7. 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等．方案一：如果每隔5 m栽1棵，则树苗缺21棵；方案二： 如果每隔5.5 m栽1棵，则树苗正好用完．根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度．
8. 芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00～22：00,14小时，谷段为22：00～次日8：00,10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？
(2)如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
9. 下表为深圳市居民每月用水收费标准，(单位：元/m3).
用水量
单价
x≤22
a
剩余部分
a＋1.1
(1)某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
(2)在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
10.某园林门票价格规定如下表：
购票人数
1～50人
51～100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
某校一年级甲、乙两班共104人去该园游玩，其中甲班人数较多，有50多人，经估算，若两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元．问：
(1)两班各有多少学生？
(2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？
11. 为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：
档次
每户每月用电量(度)
执行电价(元/度)
第一档
小于或等于200
0.55
第二档
大于200且小于400
0.6
第三档
大于或等于400
0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357(元)．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份分别用电多少度？
12. 天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市购买500元的商品后，即可获得天骄会员卡，再购买的商品按原价的85%收费；在金帝超市购买300元的商品后，即可获得金帝会员卡，再购买的商品按原价的90%收费．顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？
答案：
1.B 2.D 3.B 4. 0.61 5. 1200元 6. 13立方米
7. 解：设原有树苗x棵，根据等量关系，得
5(x＋21－1)＝5.5(x－1)，
即5(x＋20)＝5.5(x－1)．
化简，得－0.5x＝－105.5.解得x＝211.
因此，这段路长为5×(211＋20)＝1 155(m)．
答：原有树苗211棵，这段路的长度为1 155 m.
8. 解：(1)设原销售电价为每千瓦时x元，
根据题意，得
40×(x＋0.03)＋60×(x－0.25)＝42.73.
40x＋1.2＋60x－15＝42.73.
100x＝42.73＋13.8.x＝0.565 3.
所以当x＝0.565 3时，x＋0.03＝0.595 3；x－0.25＝0.315 3.
答：小明家该月支付平段电价为每千瓦时0.595 3元、谷段电价为每千瓦时0.315 3元．
(2)100×0.565 3－42.73＝13.8(元)．
答：如不使用分时电价结算，小明家5月份将多支付电费13.8元．
9. (1)由题意，得10a＝23，解得a＝2.3，∴a的值为2.3.
(2)设该用户用水x立方米，若x≤22，则2.3x＝71，解得x＝30＞22，舍去．
若x＞22，则2.3×22＋(2.3＋1.1)(x－22)＝71，解得x＝28，适合．
答：该用户用水28立方米．
10. (1)设甲班有x(x＞50)人，则乙班人数为(104－x)人．
①当104－x≤50时，有11x＋13(104－x)＝1240，解得x＝56(符合题意).104－x＝48(人)．
②当104－x＞50时，有11x＋11(104－x)＝1240，此方程无解．
(2)104×9＝936(元)，1240－936＝304(元)．
答：(1)甲班有56名学生，乙班有48名学生；(2)两班合起来购票可以节省304元．
11. 因为两个月的总用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户五、六月每月用电均超过200度，此时的电费共计：500×0.6＝300(元)，而300>290.5，不符合题意，又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档．
设五月份用电x度，则六月份用电(500－x)度，根据题意，得0.55x＋0.6×(500－x)＝290.5，解得x＝190，500－x＝310.
答：该户居民五、六月份分别用电190度、310度．
湘教版数学七年级上3.4.4一元一次方程模型的应用教学设计
课题
一元一次方程应用模型
单元
3
学科
数学
年级
七
学习
目标
1.会找出“收费”问题和“栽树”问题的等量关系.
2.掌握列一元一次方程解“收费”问题和“栽树”问题.
3.通过解决“收费”问题和“栽树”问题让学生体验用数学知识解决实际问题.
重点
列一元一次方程解“收费”问题和“栽树”问题
难点
寻找“收费”问题和“栽树”问题的等量关系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
课件展示
某自来水公司按如下规定收取水费:如果每月用水不超过10t,按每吨1.5元收费;如果每月用水超过10t,超过部分按每吨2元收费.
小明家9月份用水15t,小明家9月份水费是 元。
小明家10月份用水at(a>10 ) , 小明家10月份水费是 元。
师：同学们试着填一填吧
师：通过这道题，你们发现了什么问题？
学生审题，填空，并从中发现问题.
由问题引入新课，让学生带着兴趣进入新的知识的学习。
讲授新课
课件展示
为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费1.96 元/ t，超标部分水费2.94元/t. 某家庭6月份用水12t，需交水费27.44元．求该市规定的家庭月标准用水量.
师：本问题首先要分析所交水费27.44元中是否含有超标部分，
生：由于1.96×12 = 23.52（元），小于27.44元，因此所交水费中含有超标部分的水费
师：那么能否将关系表示出来呢？
生：月标准内水费+超标部分的水费=该月所交水费.
师：恩，很好，谁能列方程解出来呢？
生：解：设家庭月标准用水量为x t，
根据等量关系得：1.96x +(12-x)×2.94 = 27.44
解得：x = 8 ．
答：该市家庭月标准用水量为8 t．
师：我们总结一下
师：在现实生活中，我们经常遇到一些问题，如通话方式.为了达到最佳的经济效益，我们要用数学的眼光透视世界，用数学的思想思考问题.
课件展示：
例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好栽完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.
师：观察植树示意图，想一想：
（１）相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？
（２）相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？
师：本题中涉及的等量关系有什么？
生：方案一的路长=方案二的路长
师：怎样解答呢？
解：设原有树苗x 棵，由题意可得下表：
生：根据等量关系，得 5(x+21-1)= 5.5(x-1) ，
化简，得 -0.5x=-105.5
解得 x=211
因此，这段路长为 5×(211+20)=1155m.
答：原有树苗211棵，这段路的长度为1155m．
师：间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等问题有什么规律吗？
生：(1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数-1=间隔数
(2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数+1=间隔数
课件展示
练习;
某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠。” 乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠。” 若全部票价是240元。
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由。
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
师：大家都知道手机收费有各种的套餐方式，每个方式都有各自的优点，下面我们来看一下这两种方式计费方法.
课件展示：
下表中有两种移动电话计费方式.
考虑下列问题
（1）设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）. 根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？
师：分析题目可知，计费和什么有关系呢？
生：时间，而且我们要将时间分段来计费.
师：非常正确，那么谁能将表格填一填呢？
当t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表：
师：通过填表，你能有什么发现吗？
生：①当t小于或等于150时，按方式一的计费少.
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而方式二的计费一直是88元.
师：试想：当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.怎样列方程？
生：58+0.25(t-150)=88
解得：t=270
因此，当 =270min时，两种方式的计费相等.
师：分析的很好，来一起将这道题完成吧
当150min当270min③当t=350时，方式____计费少.
④当t大于350时，方式____计费少.
综合上述分析，可以发现：
当 时，选择方式一省钱；
当 时，选择方式二省钱.
师：通过解题，你能总结出计费方案问题的步骤吗？
生：分段计费问题，需要分类讨论，弄清如何分类.
生：在分类讨论的某个范围内，可借助字母表达式表示计费.
生：不同方案的选择的转折点可通过方程计算寻找.
学生思考，解答，教师给予指导
学生思考，解答，教师给予指导
学生思考回答，试着解答此题.
学生思考，解答，教师给予指导
学生通过上面的探究过程，找到知识的共性，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生分析问题的能力。
通过例题教学，加深学生对法则的理解和认识。
检验学生对知识的掌握情况.
把主动权交给学生，让学生体验学习的乐趣
课堂练习
1.一家三人(父母、女儿)准备参加旅游团外出旅游，甲旅行社告知：“父母买全票，女儿按半价优惠”.乙旅行社告知：“家庭旅行按团体票计价，即每人按全价的??/??收费”.若两家旅行社每人票价相同，那么更优惠的是( )
A.甲 B.乙 C.甲乙相同 D.不能确定答案：B
2.某电信局现有两种通讯业务：快捷通，无月租费，每分钟的通话费为0.35元；全球通，月租费18元，每分钟的通话费为0.25元.小李每月的通话时间大约为300分钟，则他应选择( )
A.快捷通 B.全球通 C.两种一样 D.不能确定
答案：B
3.某单位急需用车，但又不想买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2 000元，另外每行驶1千米收2元，则用两个公司的车费用一样时的行驶里程____千米.
答案：2000
4.小王到超市购物,售货员告诉他,如果花20元钱办理“会员卡”,将享受八折优惠.请问:
(1)在这次购物中，小王买标价为多少元商品的情况下办会员卡与不办会员卡花钱一样多?
(2)当小王买标价为200元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
(3)当小王买标价为60元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
答案：
解:(1)设买标价x元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.
根据题意，得x=20+0.8x，解得x=100.
答：买标价100元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.
(2)不办会员卡花200元，办会员卡时花20+200×0.8= 180(元)，所以买标价为200元的商品时,办会员卡合算，能省20元.
(3)不办会员卡花60元，办会员卡花20+60×0.8=68(元)，所以买标价为60元的商品时,不办会员卡合算，能省8元.
拓展提高
某校科技小组的26名学生在1名生物老师的带领下准备前往国家森林公园考察标本，森林公园的票价是每人5元，一次性购满30张，每张票可少收1元. 当老师准备到售票处买27张票时，平时爱动脑筋的聪聪喊住了老师，提议买30张票.
（1）请你回答，买30张票合算还是买27张合算，为什么？
（2）当少于30人进入森林公园，入园人数为多少时，按实际人数购票和买30张票，两
种方法付款相同？
（3）若森林公园有退票制，也就是你买票之后，可以在规定时间内退票，每张票返款3元，则少于30人时至少有多少人去森林公园买30张票合算？答案：
解：（1）由题意，得 购27张的费用为：27×5=135元，购30张的费用为：30×4=120元， ∵135＞120， ∴买30张票合算；
（2）设入园人数为x时，按实际人数购票和买30张票，两种方法付款相同，
由题意，得5x=30×4， 解得：x=24． 答：当少于30人进入森林公园，入园人数为24时，按实际人数购票和买30张票，两种方法付款相同．
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性。
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
一元一次方程应用模型
1.计费方案选择问题
2.解决优化方案问题的一般步骤
课件29张PPT。3.4.4一元一次方程模型的应用湘教版 七年级上 某自来水公司按如下规定收取水费:如果每月用水不超过10t,按每 吨1.5元收费;如果每月用水超过10t,超过部分按每吨2元收费.小明家9月份用水15t,小明家9月份水费是 元。小明家10月份用水at(a>10 ) , 小明家10月份水费是 元。新知导入2515+2(a-10) 为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费1.96 元/ t，超标部分水费2.94元/t. 某家庭6月份用水12t，需交水费27.44元．求该市规定的家庭月标准用水量.分析：本问题首先要分析所交水费27.44元中是否含有超标部分，由于1.96×12 = 23.52（元），小于27.44元，因此所交水费中含有超标部分的水费，即月标准内水费+超标部分的水费=该月所交水费.新知讲解新知讲解解：设家庭月标准用水量为x t，根据等量关系得：1.96x +(12-x)×2.94 = 27.44解得：x = 8 ．答：该市家庭月标准用水量为8 t．解分段计费问题首先要考虑收费在哪一段，所用水(电)是否超出标准.如果在标准内，那么所交费用=标准内费率×所用水(电)量；
如果超过标准，那么所交费用=标准内费用+超过标准的费用，
即为：所交费用=标准内费率×标准量+标准外费率×超标准的量.新知讲解在现实生活中，我们经常遇到一些问题，如通话方式.为了达到最佳的经济效益，我们要用数学的眼光透视世界，用数学的思想思考问题.归纳：新知讲解例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，要求路的两端各栽1棵，并且每2棵树的间隔相等.
方案一：如果每隔5m栽1棵，则树苗缺21棵；
方案二：如果每隔5.5m栽1棵，则树苗正好栽完.根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度.
新知讲解新知讲解分析 观察植树示意图，想一想：（１）相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？
（２）相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？本题中涉及的等量关系有：方案一的路长=方案二的路长根据等量关系，得 5(x+21-1)= 5.5(x-1) ，55.5
x+21
x5(x+21-1)5.5(x-1)新知讲解化简， 得 -0.5x = -105.5
解得 x = 211
因此，这段路长为 5×(211+20)=1155 (m）.
答：原有树苗211棵，这段路的长度为1155m．解：设原有树苗x 棵，由题意可得下表：间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等.需要注意：(1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数-1=间隔数(2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数+1=间隔数新知讲解自主练习某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠。” 乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠。” 若全部票价是240元。
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由。
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？解：（1）甲：240×10×0.5+240＝1440元，
乙：240×(10+1)×0.6＝1584元.（2）设当学生人数为?x人时；
240×x×0.5+240＝40×(x?+1)×0.6，
所以x＝4.
答：当学生人数是4人时，两家旅行社收费一样多自主练习下表中有两种移动电话计费方式.拓展提高 （1）设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）. 根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？ 考虑下列问题分析：
(1)由上表可知，计费与主叫 相关，计费时首先要看主叫是否限定时间.因此，考虑 的取值时，两个主叫限定时间150min和350min是不同时间范围的划分点. (2)观察(1)中的表，可以发现：主叫时间超出限定时间越长，计费越多.随着主叫时间的变化，可以选择省钱的计费方式.时间拓展提高当t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表：58+0.25（350-150）=10858+0.25(t-150)88+0.19（t-350）拓展提高①当t小于或等于150时，按方式一的计费少.②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到 元，而方式二的计费一直是88元.试想：当t大于150并且小于350时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等.列方程得：
_______________ _
解得：________________________
因此，当 =270min时，两种方式的计费______.
10858+0.25(t-150)=88t=270相等拓展提高当150min当270min③当t=350时，方式____计费少.
④当t大于350时，方式____计费少.
综合上述分析，可以发现：
当 时，选择方式一省钱；
当 时，选择方式二省钱.一二二二t<270t＞270拓展提高归纳：计费方案选择问题1、分段计费问题，需要分类讨论，弄清如何分类.2、在分类讨论的某个范围内，可借助字母表达式表示计费.3、不同方案的选择的转折点可通过方程计算寻找.新知讲解?B课堂练习2.某电信局现有两种通讯业务：快捷通，无月租费，每分钟的通话费为0.35元；全球通，月租费18元，每分钟的通话费为0.25元.小李每月的通话时间大约为300分钟，则他应选择( )
A.快捷通 B.全球通 C.两种一样 D.不能确定B3.某单位急需用车，但又不想买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租公司中的一家鉴定月租车合同，个体车主的收费是3元/千米，国营出租公司的月租费为2 000元，另外每行驶1千米收2元，则用两个公司的车费用一样时的行驶里程是____ 千米.2 000课堂练习4.小王到超市购物,售货员告诉他,如果花20元钱办理“会员卡”,将享受八折优惠.请问:
(1)在这次购物中小王买标价为多少元商品的情况下办会员卡与不办会员卡花钱一样多?
(2)当小王买标价为200元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
(3)当小王买标价为60元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?课堂练习解:(1)设买标价x元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.
根据题意，得x=20+0.8x，解得x=100.
答：买标价100元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.(2)不办会员卡花200元，办会员卡时花20+200×0.8= 180(元)，所以买标价为200元的商品时,办会员卡合算，能省20元.
(3)不办会员卡花60元，办会员卡花20+60×0.8=68(元)，所以买标价为60元的商品时,不办会员卡合算，能省8元.课堂练习拓展提高某校科技小组的26名学生在1名生物老师的带领下准备前往国家森林公园考察标本，森林公园的票价是每人5元，一次性购满30张，每张票可少收1元. 当老师准备到售票处买27张票时，平时爱动脑筋的聪聪喊住了老师，提议买30张票.
（1）请你回答，买30张票合算还是买27张合算，为什么？
（2）当少于30人进入森林公园，入园人数为多少时，按实际人数购票和买30张票，两
种方法付款相同？
（3）若森林公园有退票制，也就是你买票之后，可以在规定时间内退票，每张票返款3元，则少于30人时至少有多少人去森林公园买30张票合算？解：（1）由题意，得 购27张的费用为：27×5=135元，购30张的费用为：30×4=120元， ∵135＞120， ∴买30张票合算；拓展提高（2）设入园人数为x时，按实际人数购票和买30张票，两种方法付款相同，
由题意，得5x=30×4， 解得：x=24． 答：当少于30人进入森林公园，入园人数为24时，按实际人数购票和买30张票，两种方法付款相同．课堂总结解决优化方案问题的步骤运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程的解，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论.2.解决优化方案问题的一般步骤板书设计运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程的解，分别代入两种方案中计算，比较两种方案的优劣后下结论.1.计费方案选择问题分段计费问题，需要分类讨论，弄清如何分类.在分类讨论的某个范围内，可借助字母表达式表示计费.不同方案的选择的转折点可通过方程计算寻找.作业布置某市剧院举办大型文艺演出，其门票价格为：一等席300元／人,二等席200元／人，三等席150元／人,某公司组织36名员工去观看,计划用5 850元购买2种门票,请你帮助公司设计可能的购票方案.谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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