23.2 解直角三角形及其应用课时作业（4）

23.2 解直角三角形及其应用课时作业（4）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，一渔船由西往东航行，在点测得海岛位于北偏东的方向，前进海里到达点，此时，测得海岛位于北偏东的方向，则海里到航线的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．20海里 D．40海里
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2 海里 B．海里 C．海里 D．海里
如图，一艘潜艇在海面下500米A处测得俯角为30°的海底C处有一黑匣子发出信号，继续在同一深度直线航行4000米后，在B处测得俯角为60°的海底也有该黑匣子发出的信号，则黑匣子所在位置点C在海面下的深度为（ ）
A． 2000米 B． 4000米 C． 2000米 D． （2000+500）米
上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处（如图）．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为（　　）
A． 20海里 B． 20海里 C． 10海里 D． 20海里
如图，在A、B 两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是（　　）
A． 6千米 B． 8千米 C． 10千米 D． 14千米
如图，马航失联后，“海巡”船匀速在印度洋搜救，当它行驶到处时，发现它的北偏东方向有一灯塔，海巡船继续向北航行小时后到达处，发现灯塔在它的北偏东方向．若海巡船继续向北航行，那么要再过多少时间海巡船离灯塔最近？（ ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向距离灯塔60海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为(　 　)
A． 60海里 B． 60海里 C． 30海里 D． 30海里
如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（　　）
A． 海里 B． 海里
C． 海里 D． 海里
二、填空题
如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是_____海里（不近似计算）．
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长_____海里．
一艘货轮以18km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是　 　km．
 “奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新游戏：“奔跑”路线A、B、C、D四地，如图A、B、C三地在同一直线上，D在A北偏东30°方向，在C北偏西45°方向，C在A北偏东75°方向，且BD=BC=40m，从A地到D地的距离是_____m．
如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________小时即可到达 (结果保留根号)
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离约为_______nmile.(结果取整数，参考数据：＝1.7, ≈ 1.4)
如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为　 　．
三 、解答题
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）
（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km．
（1）求景点B与C的距离；
（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）
如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60°且C在B的南偏东30°上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）
如图，自来水厂A和村庄B在小河1的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道，为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西方向，B位于南偏西方向．
求BQ长度；
求A，B间的距离参考数据：
如图，海面上甲、乙两船分别从A，B两处同时出发，由西向东行驶，甲船的速度为24n mile/h，乙船的速度为15n mile/h，出发时，测得乙船在甲船北偏东50°方向，且AB=10nmile，经过20分钟后，甲、乙两船分别到达C，D两处．
（参考值：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
（1）求两条航线间的距离；
（2）若两船保持原来的速度和航向，还需要多少时间才能使两船的距离最短？（精确到0.01）
如图所示，位于处的海上救援中心获悉：在其北偏东方向的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东相距海里的处救生船，并通知救生船，遇险船在它的正东方向处，现救生船沿着航线前往处救援，若救生船的速度为海里/时，请问：
到的最短距离是多少？
救生船到达处大约需要多长时间？（结果精确到小时：参考数据：，，，，，）
答案解析
一 、选择题
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据方向角的定义、余角的性质、三角形的外角性质、等角对等边的性质即可解出.
解：由题意可知，已知∠ACD＝30°，∠CBD＝60°，
∵∠CBD＝∠CAD＋∠ACB，
∴AB＝BC＝40海里，
在RT△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝ ，
∴sin60°＝ ，
∴CD＝40×sin60°＝40× ＝ （海里）.
故选：C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和方向角的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】记灯塔P的正北方向为射线PC的方向，如图，根据题意可得∠APC=55°、PC∥AB、AP=2海里，结合平行线的性质可得∠PAB=55°；接下来，在Rt△ABP中利用三角函数的知识即可求解.
解：记灯塔P的正北方向为射线PC的方向.
根据题意可知∠APC=55°，PC∥AB，AP=2海里.
∵PC∥AB，∠APC=55°，
∴∠PAB=55°.
∵在Rt△ABP中，AP=2海里，∠PAB=55°，
∴AB=AP·cos∠PAB=2cos55°（海里）
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,平行线的性质,三角函数的定义,正确理解方向角的定义是解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点，易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCE中，利用正弦函数求出CE的长．
解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点.
已知AB=4000(米),∠BAC=30°,∠EBC=60°，
∵∠BCA=∠EBC?∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠BCA.
∴BC=BA=4000(米).
在Rt△BEC中，
EC=BC?sin60°=4000×=2000 (米).
∴CF=CE+EF=2000+500(米).
故选D.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点B作BN⊥AM于点N．根据三角函数求出BN的长,再根据30 o角的性质求BM的长.
解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．
由题意得，AB=40×=20海里，∠ABM=105°，∠BAM=45 o,
∴∠M=180 o-105 o-45 o=30 o.
在直角△ABN中，BN=AB?sin45°=10．
在直角△BNM中，∵∠M=30°，
∴BM=2BN=20（海里）．
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角的有关计算和解直角三角形额应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据方位角的定义，结合平行线，可得∠ABG＝48°再结合∠CBE＝42°，可得∠ABC＝90°；再根据点到直线的距离，可以得到线段AB的长度就是点A到BC的距离，由此可以确定选项.
解：由分析可得∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°
∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°
∴A到BC的距离就是线段AB的长度.
∴AB＝8千米
【点睛】本题主要考查方位角的知识和平行线的性质以及点到直线的距离，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过B作AC的垂线，设垂足为D．由题易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°，得AC=BC．根据BC（即AC）的长求出CD的长的关系，进而可求出该船需要继续航行的时间．
解：作BD⊥AC于D，如下图所示，易知：∠DAB=30°，∠DCB=60°，则∠CBD=∠CBA=30°，∴AC=BC，
∴CD=BC=AC．
∵海巡船从A点继续向北航行4小时后到达C处，
∴海巡船继续向北航行2小时到达D处．
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，注意掌握“化斜为直”是解三角形的常规思路，需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】在Rt△APE中，先求出∠APC的度数，进而根据锐角三角函数的定义求出PE、AE的长；再在Rt△BPE中，根据30°的性质可得BP的长．
解：作PE⊥AB于E.由题意得∠A＝45°，∠B＝30°.
在Rt△PAE中，
∵∠A＝45°，PA＝60海里，
∴PE＝×60＝30(海里)，
在Rt△PBE中，
∵∠B＝30°，
∴PB＝2PE＝60 (海里)．
故选B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作AC⊥OB于C点，根据题目提供的方向角，并从图中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知识求得BC的长即可．
解：作AC⊥OB于C点，只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，
由已知得： OB=20海里，
∴
∵
解得： 海里，
∴海里，
故选A.
【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，作辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
二 、填空题
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题试题
【分析】过S作AB的垂线，设垂足为C．根据三角形外角的性质，易证SB=AB．在Rt△BSC中，运用正弦函数求出SC的长．
解：过S作SC⊥AB于C．
∵∠SBC=60°，∠A=30°，
∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，
即∠BSA=∠A=30°．
∴SB=AB=12．
Rt△BCS中，BS=12，∠SBC=60°，
∴SC=SB?sin60°=12×=6（海里）．
即船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是6海里．
故答案为：6．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP?cos∠A=2海里．
解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=60°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，
∴AB=AP?cos∠A=4×cos60°=4×=2海里．
故答案为2．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作CE⊥AB于E，根据题意求出AC的长，根据正弦的定义求出CE，根据三角形的外角的性质求出∠B的度数，根据正弦的定义计算即可．
解：作CE⊥AB于E，
18km/h×30分钟=9km，
∴AC=9km，
∵∠CAB=45°，
∴CE=AC?sin45°=9km，
∵灯塔B在它的南偏东15°方向，
∴∠NCB=75°，∠CAB=45°，
∴∠B=30°，
∴BC=km，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】过点D作DE⊥BC于E，由方向角可得出∠DAC=45°、∠BCD=60°，结合BC=BD=40m，即可得出△BCD为等边三角形，进而可得出DE的长度．在Rt△ADE中，由∠AED=90°、∠DAE=45°，可得出AE=DE=20m，再利用勾股定理即可得出AD的长度．
解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示．
由题意可知：∠DAC=75°﹣30°=45°，∠BCD=180°﹣75°﹣45°=60°．
∵BC=BD=40m，
∴△BCD为等边三角形，
∴DE=BD=20m．
在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=20m，AD==20m．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、勾股定理的应用以及等边三角形的判定与性质，根据方向角结合BC=BD找出△BCD为等边三角形是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN求得BM的长度，则易得所需时间．
解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ?tan30°=PQ（海里），
所以 PQ-90=PQ，
所以 PQ=45（3+）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+）（海里）
所以（小时）
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP?sin∠PAD=43 ，
由∠BPD=∠PBD=45°根据，即可求出．
解：过P作PD⊥AB，垂足为D，
∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86n mile的A处，
∴∠MPA=∠PAD=60°，
∴PD=AP?sin∠PAD=86×
=43，
∵∠BPD=45°，
∴∠B=45°．
在Rt△BDP中，由勾股定理，得
BP=≈102（n mile）
故答案为：102
【点睛】此题主要考查了方向角含义，勾股定理的运用，正确由三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【分析】方法1、作AD⊥BC于点D，设出AD=x米，在Rt△ACD中，得出CD=x，在Rt△ABD中，得出BD=x，最后用CD+BD=80建立方程即可得出结论；
方法2、先判断出△ABC是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质得出AB，AC，再利用同一个直角三角形，两直角边的积的一半和斜边乘以斜边上的高的一半建立方程求解即可．
解：方法1、过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°，
设AD=x米，
在Rt△ACD中，tan∠ACD=，
∴CD===x，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=，
∴BD===x，
∴BC=CD+BD=x+x=80
∴x=20
答：该河段的宽度为20米．
故答案是：20米．
方法2、过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，BC=80m，∠ACB=30°，
∴AB=40m，AC=40m，
∴S△ABC=AB×AC=×40×40=800，
∵S△ABC=BC×AD=×80×AD=40AD=800，
∴AD=20米
答：该河段的宽度为20米．
故答案是：20米．
三 、解答题
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出结论．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB?sin67°=520×==480km，
BD=AB?cos67°=520×==200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD?tan30°=200×=，
∴AC=AD+CD=480+≈480+115=595（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）先根据方向角的定义得出∠CAB=30°，∠ABC=120°，由三角形内角和定理求出∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，则∠CAB=∠C=30°，根据等角对等边求出BC=AB=10km；
（2）首先过点C作CE⊥AB于点E，然后在Rt△CBE中，求得答案即可．
解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，
∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°，
∴∠CAB=∠C=30°，
∴BC=AB=10km，
即景点B、C相距的路程为10km；
（2）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上，
∴∠CBE=60°，
在Rt△CBE中，CE=BC=5km．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识．根据条件得出∠CAB=∠C是解题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】作BG⊥AC，根据给出的方位角求出∠A和∠C的度数，然后根据等腰三角形的性质以及直角三角形的三角函数求出BA和AC的长度.
解：作BG⊥AC于G，
∵点C在A的南偏东60°，
∴∠A=90°﹣60°=30°，
∵C在B的南偏东30°，
∴∠ABC=120°，
∴∠C=30°，
∴BC=AB=100里，
∴BG=BC?sin30°=50里， CG=BC?cos30°=50里，
∴AC=2CG=100里．
答：A船到达事发地点C的距离是100里，B船到达事发地点C的距离是100里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等；
（2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ=PQ=1200，又由已知得∠AQB=90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离.
解：位于P点南偏东方向，
，
又位于Q点南偏西方向，
，
，即，
；
点P处测得A在正北方向，
在中，
，
在点Q处，测得A位于北偏西方向，B位于南偏西方向，
，在中，
答：A，B间的距离约为2000m．
【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是通过角的计算得出BQ=PQ，再由直角三角形先求出AQ，根据勾股定理求出AB.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）过点作，交的延长线于，解直角三角形即可解决问题；
（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过作于，设还需要小时才能使两船的距离最短，构建方程即可解决问题.
解：（1）过点A作AE⊥DB，交DB的延长线于E，
在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，∠EAB=50°，AB=10，
∴AE=AB?cos50°=10×0.643=6.43（n mile），
答：两条航线间的距离为6.43（n mile）；
（2）当甲乙两船的位置垂直时，两船之间的距离最短，过C作CF⊥BD于F．
∵BE=AB?sin50°=7.66，
AC=24×=8，BD=15×=5，
∴DF=BD+BE﹣AC=4.66，
设还需要t小时才能使两船的距离最短，
则有：24t﹣15t=4.66，
解得t=0.52（h），
答：还需要0.52h才能使两船的距离最短．
【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【分析】（1）根据锐角三角函数可以求得CD和BD的长，从而可以解答本题；
（2）根据（1）中的结果可以解答本题．
解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．
由题意知∠NAC＝30°，∠NAB＝68°，AC＝20，
∴∠CAB＝38°，∠BAM＝90°—68°＝22°，
∵BC∥AM，∴∠CBA＝∠BAM＝22°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°．
在Rt△BCD中，sin∠CBD＝，
∴CB＝，
（2）救生船到达B处大约需要：t＝＝1.7(小时)．
答：（1）到的最短距离是33.51海里，（2）救生船到达B处大约需要1.7小时.
【点睛】本题考查解直角三角形的问题--方向角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．