3.1图形的初步
一、直线、射线和线段相关知识
1、直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.即：过两点有且只有________直线.
2、线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.即：两点之间线段最________.
（1）连接两点的线段的长度，叫做这两点的________.
（2）线段的中点到线段两端点的距离________.
3、直线、射线、线段的区别与联系：射线、线段都是________的一部分，线段有________个端点不能向两方延伸，射线有________个端点只能向一方延伸，直线________端点且向两方延伸.
4、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且________这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（1）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________.
（2）逆定理：怀一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上.
二、角的有关概念及性质?
1、角的有关概念：角是由一条射线绕着它的________旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．
2、角的单位与换算：1°＝________′，1′＝________″，1周角＝________平角＝________直角．?
3、余角与补角：如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于________，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角________．?
4、对顶角与邻补角?
（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，它们的另一边互为________的两个角是邻补角.
（2）对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，有________公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角.
（3）性质：邻补角________，对顶角________.
5、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离________.
逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的________上.
三、垂线及其性质
1、概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是________时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2、性质：
（1）过一点________一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段________.即：垂线段最短.
四、平行线的性质及判定
1、概念：在同一个平面内，________的两条直线叫做平行线.
注意：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：________或________.
2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有________直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都和第三条直线________，那么这两条直线也互相平行.
3、平行线的判定
（1）同位角相等，________.
（2）________，两直线平行.
（3）________，两直线平行.
4、平行线的性质：两直线平行，________相等，________相等，同旁内角________.
五、命题、定理、证明
1、命题的概念：________一件事情的语句，叫做命题.
2、命题的分类：按正确、错误与否分为：________命题和________命题
（1）真命题：如果题设成立，那么结论一定________的命题.
（2）假命题：如果题设成立，不能证明结论总是________的命题.
3、公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的________，叫做公理.
4、定理：用________的方法判断为正确的命题叫做定理.
5、证明：判断一个命题的正确性/的________过程叫做证明.
考点一：直线、射线、线段
如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=AC，②AB=BC，③AC=2AB，④AB+BC=AC，能表示B是线段AC的中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式跟进1如果线段AB=5cm，BC=4cm，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点间的距离是（ ）
A. 1cm B. 9cm C. 1cm或9cm D. 以上答案都不正确
考点二：相交线
如图，在下图中有对顶角的图形是（ ）
/
A. ① B. ①② C. ②④ D. ②③
变式跟进2如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
/
考点三：平行的判定与性质
如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
/
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
变式跟进3如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）.
/
A．60° B．80° C．100° D．120°
考点四：命题、定理、证明
如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
/
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
变式跟进4如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
///
(1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3＝∠1＋∠2；
(2)著点P在图(2)位置时，请写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
(3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系
一、选择题
1、（2016?柳州）如图，与∠1是同旁内角的是（?? ）
/
A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5
2、（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（?? ）
/
A、线段PA的长度 B、线段PB的长度 C、线段PC的长度D、线段PD的长度
3、（2017·台州）如图，点P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）
/
A、1 B、2 C、/ D、4
4、（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（?? ）
A、/ B、/
C、/ D、/
5、（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（?? ）
/
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、垂线段最短 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
6、（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（?? ）
/
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1=∠3 D、∠2=∠4
7、（2017·金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A,B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域.要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是（?????? )
/
A、E处 B、F处 C、G处 D、H处
8．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
/
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
9．（2018·锦州）如图，直线l1∥l2 ,且分别与直线l交于C,D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放.若∠1=52°，则∠2的度数为 （ ）
/
A．92° B．98° C．102° D．108°
10．（2018·莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
/
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
二、填空题
11、（2016?雅安）1.45°=________．
12、（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是________．
/
13、（2017?苏州）如图，点D 在的平分线OC上，点E在OA上，ED//OB， ，则 的度数为________ /．
/
14、（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
/
15．（2018·广安）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．
/
16．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____．
/
17．（2018·南京）如图，五边形??????????是正五边形，若
??
1
//
??
2
，则∠1?∠2=__________．
/
三、解答题
18、（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
/
19、（2017?重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
/
20．（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
/
一、选择题
1．（2017天津南开区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
/
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
2．（2017杭州萧山区临浦片期中）下列语句是命题的是（ ）
A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？
3．（2017山东聊城莘县一模）如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（ ）
/
A．152° B．118° C．28° D．62°
4．（2017安徽当涂县五校联考）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1＝25°，则∠2＝（ ）
/
A．35° B．45° C．55° D．75°
5．（2018?滨州二模）如图，有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点分别是 A，B，C，D，若 a+c=0， 则 b+d（ ）
/
A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不确定
6．（2018?厦门模拟）将一副三角板的直角顶点重合放置于D处，两块三角板在同一平面内自由转动形成不同的几何图形，下列结论一定成立的是（ ）
/
A．∠BDE＜∠ADC B．∠CDE＞∠ADB
C．∠CDE﹣∠BDA=45° D．∠EDC+∠BDA=180°
7．（2018?南阳三模）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠EFD=56゜，则∠D=（ ）
/
A．60゜ B．58゜ C．28゜ D．62゜
8．（2018?商丘模拟）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，则∠F的度数为（ ）
/
A．120° B．135° C．150° D．不能确定
二、填空题
9．（2017丹阳二模）如图，AB∥CD，若∠ECD=54°，则∠EAB的度数为______．
/
10．（2017河北卢龙县校级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A为110°，第二次拐角∠B为150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝___________度．
/
11．（2017山西农大附中期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB= 10cm，CD=6cm，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN =__________cm.
/
12．（2017杭州春蕾中学月考）如图，直线∥，∠3+∠4=35°，∠2=90°，则∠1=_______________。
/
13．（2018?天津期末）如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是 ．
/
14．（2018?本溪二模）将一张矩形纸片按图中方式折叠，若∠1=
50
°
，则∠2为______度.
/
15．（2018?南京模拟）如图，四边形ABCD中，点MN分别在AB，AC上，∠C=80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN=40°，则∠B的度数是_____．
/
16．（2018?秦皇岛一模）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10/，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC的最小值为__．
/
三、解答题
17．（2017盐城盐都区西片月考）已/知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由．
/
18．（2017江苏东台市校级调研）已知：如图，线段AB＝10，C是AB的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）若点D在直线AB上，DB＝2.5，求线段CD的长．
/
19．（2018?黑河模拟）如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？
/
20．（2018?临沂二模）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
/
/
3.1图形的初步
一、直线、射线和线段相关知识
1、直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线.即：过两点有且只有一条直线.
2、线段公理：所有连接两点的线中，线段最短.即：两点之间线段最短.
（1）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离.
（2）线段的中点到线段两端点的距离相等.
3、直线、射线、线段的区别与联系：射线、线段都是直线的一部分，线段有两个端点不能向两方延伸，射线有一个端点只能向一方延伸，直线没有端点且向两方延伸.
4、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.
（1）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
（2）逆定理：怀一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、角的有关概念及性质?
1、角的有关概念：角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．
2、角的单位与换算：1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．?
3、余角与补角：如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．?
4、对顶角与邻补角?
（1）邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角是邻补角.
（2）对顶角：两条直线相交所构成的四个角中，有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角.
（3）性质：邻补角互补，对顶角相等.
5、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
三、垂线及其性质
1、概念：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.
2、性质：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.即：垂线段最短.
四、平行线的性质及判定
1、概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
注意：同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.
2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
3、平行线的判定
（1）同位角相等，两直线平行.
（2）内错角相等，两直线平行.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
4、平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.
五、命题、定理、证明
1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.
2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题
（1）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.
（2）假命题：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.
3、公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理.
4、定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
5、证明：判断一个命题的正确性/的推理过程叫做证明.
考点一：直线、射线、线段
如果点B在线段AC上，那么下列表达式中：①AB=AC，②AB=BC，③AC=2AB，④AB+BC=AC，能表示B是线段AC的中点的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】根据中点的性质可得：①、②和③能表示B是线段AC的中点.
【点评】利用中点的性质，并作图即可判断.
变式跟进1如果线段AB=5cm，BC=4cm，且A、B、C在同一条直线上，那么A、C两点间的距离是（ ）
A. 1cm B. 9cm C. 1cm或9cm D. 以上答案都不正确
【答案】C
【解析】
解：如图所示，
/
当点C在AB之间时,AC=AB?BC=5?4=1(cm)；
当点C在点B的右侧时,AC=AB+BC=5+4=9(cm).
故选：C.
【点评】本题没有给出图形，在画图时，应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，再根据正确画出的图形解题．当点C在AB之间时，AC=AB-BC；当点C在点B的右侧时，AC=AB+BC．
考点二：相交线
如图，在下图中有对顶角的图形是（ ）
/
A. ① B. ①② C. ②④ D. ②③
【答案】C
【解析】解：根据图形，有对顶角的图形只有②④．
故选C．
【点评】按对顶角定义并结合图形进行判断.
变式跟进2如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，
（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；
（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？
/
【答案】（1）20°；（2）α；（3）∠AOE=2∠BOD．
【解析】解：（1）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=40°，
∴∠AOF=140°；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=70°，
∴∠EOD=∠FOC=70°（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=50°，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=20°；
（2）∵∠AOE+∠AOF=180°（互为补角），∠AOE=α，
∴∠AOF=180°﹣α；
又∵OC平分∠AOF，
∴∠FOC=∠AOF=90°﹣α，
∴∠EOD=∠FOC=90°﹣α（对顶角相等）；
而∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=90°﹣α，
∴∠BOD=∠EOD﹣∠BOE=α；
（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE=2∠BOD．
【点评】（1）、（2）根据平角的性质求得∠AOF，又有角平分线的性质求得∠FOC；然后根据对顶角相等求得∠EOD=∠FOC；∠BOE=∠AOB﹣∠AOE，∠BOD=∠EOD﹣∠BOE；（3）由（1）、（2）的结果找出它们之间的倍数关系．
考点三：平行的判定与性质
如图，下列条件中，不能判断直线a∥b的是（ ）
/
A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠4=∠5 D. ∠2+∠4=180°
【答案】B
【解析】当∠1=∠3时，a∥b；
当∠4=∠5时，a∥b；
当∠2+∠4=180°时，a∥b．
故选B．
【点评】利用平行线的判定定理进行判断. 即同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
变式跟进3如图，已知∠AOB=40°，在∠AOB的两边OA、OB上分别存在点Q、点P，过点Q作直线QR∥OB，当OP=QP时，∠PQR的度数是（ ）.
/
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C.
【解析】解：∵QR∥OB，∠AOB=40°，
∴∠AQR=∠AOB=40°，
∵OP=QP，
∴∠PQO=∠AOB=40°，
∵∠AQR+∠PQO+∠PQR=180°，
∴∠PQR=180°﹣2∠AQR=100°．
故选C.
【点评】由QR∥OB，∠AOB=40°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠AQR的度数，又由∠AOB的两边OA，OB都为平面反光镜，根据平行线的性质，可得∠OQP=∠AQR=40°，然后根据三角形外角的性质，求得∠QPB的度数．
考点四：命题、定理、证明
如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）
/
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论一共有三种可能：①②为条件③为结论；①③为条件②为结论；②③为条件①为结论.
当①②为条件③为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠C=∠D，
∴∠C=∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A=∠F.
即①②可推出③.
当①③为条件②为结论时，
∵∠1=∠2，∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴BD∥CE.
∴∠D=∠4.
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠4=∠C ，
∴∠C=∠D.
即①③可推出②.
当②③为条件②为结论时，
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF.
∴∠4=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠4=∠D，
∴BD∥CE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠1=∠2.
即②③为条件①为结论.
故选D.
【点评】先利用分类讨论思想将本题分成三种情况，再利用平行线的判定与性质加以证明即可.
变式跟进4如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP＝∠1，∠PFB＝∠2，∠EPF＝∠3．
///
(1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3＝∠1＋∠2；
(2)著点P在图(2)位置时，请写出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；
(3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系
【答案】（1）证明见解析；（2）∠2=∠3+∠1， 理由见解析；（3）∠1+∠2+∠3=360°
【解析】解：
（1）证明：过点P作PM∥l1
∵l1∥l2, PM∥l1
∴PM∥l2
∴∠2=∠FPM
∵PM∥l1
∴∠1=∠EPM
∴∠3=∠FPM+∠EPM=∠2+∠1
（2）解：∠2=∠3+∠1 理由如下
过点P作PN∥l1
∵l1∥l2, PN∥l1
∴PN∥l2
∴∠2=∠FPM
∵PM∥l1
∴∠1=∠EPM
∴∠2=∠FPM=∠3+∠EPM=∠3+∠1
（3）∠1+∠2+∠3=360°
///
【点评】此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线、 的平行线，利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角，然后结合这些等角和∠3的位置关系，来得出∠1、∠2、∠3的数量关系．
一、选择题
1、（2016?柳州）如图，与∠1是同旁内角的是（?? ）
/
A、∠2 B、∠3 C、∠4 D、∠5
【答案】 D
【解析】解：A、∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误； B、∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；
C、∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；
D、∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确；
故选D．
【点评】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义逐个判断即可．
2、（2017?北京）如图所示，点P到直线l的距离是（?? ）
/
A、线段PA的长度 B、线段PB的长度 C、线段PC的长度D、线段PD的长度
【答案】B
【解析】解：由题意，得 点P到直线l的距离是线段PB的长度，
故选：B．
【点评】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
3、（2017·台州）如图，点P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA 的距离是（??? ）
/
A、1 B、2 C、/ D、4
【答案】B
【解析】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OB，
∴PE=PD,
∵PD=2,
∴PE=2,
即点P到OA的距离是2.
故答案为B.
【点评】过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到PE=PD.从而得出答案.
4、（2017?河北）用量角器测得∠MON的度数，下列操作正确的是（?? ）
A、/ B、/
C、/ D、/
【答案】C
【解析】解：量角器的圆心一定要与O重合， 故选C．
【点评】根据量角器的使用方法进行选择即可．
5、（2017?随州）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（?? ）
/
A、两点之间线段最短 B、两点确定一条直线
C、垂线段最短 D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】A
【解析】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间线段最短． 故选：A．
【点评】根据两点之间，线段最短进行解答．
6、（2017?恩施州）如图，若∠A+∠ABC=180°，则下列结论正确的是（?? ）
/
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3 C、∠1=∠3 D、∠2=∠4
【答案】D
【解析】解：∵∠A+∠ABC=180°， ∴AD∥BC，
∴∠2=∠4．
故选D．
【点评】先根据题意得出AD∥BC，再由平行线的性质即可得出结论．
7、（2017·金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A,B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域.要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是（?????? )
/
A、E处 B、F处 C、G处 D、H处
【答案】D
【解析】解：根据两点确定一条直线可以观察出答案，选D.
【点评】根据两点确定一条直线可以观察出答案.
8．（2018·河北）如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（ ）
/
A．北偏东30° B．北偏东80° C．北偏西30° D．北偏西50°
【答案】A
【解析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．
解：如图，AP∥BC，
∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，
∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，
∴此时的航行方向为北偏东30°，
故选A．
/
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键．
9．（2018·锦州）如图，直线l1∥l2 ,且分别与直线l交于C,D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放.若∠1=52°，则∠2的度数为 （ ）
/
A．92° B．98° C．102° D．108°
【答案】B
【解析】根据平行线的性质，得到∠3=52°，再根据∠4=30°，根据平角的定义即可得出∠2=98°．
解：如图，
/
∵l1∥l2 ，
∴∠1=∠3=52°，
又∵∠4=30°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=98°.
故选B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
10．（2018·莱芜）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ）
/
A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°
【答案】B
【解析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF=
1
2
∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的计算即可得出结论．
解：如图，过点E作EG∥AB，
/
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥GE，
∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°，
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°；
又∵∠BED=61°，
∴∠ABE+∠CDE=299°．
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠FBE+∠EDF=
1
2
（∠ABE+∠CDE）=149.5°，
∵四边形的BFDE的内角和为360°，
∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°．
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．
二、填空题
11、（2016?雅安）1.45°=________．
【答案】87′
【解析】解：1.45°=60′+0.45×60′=87′．
故答案为：87′．
【点评】此题主要考查了度分秒的转化，正确掌握度分秒之间的关系是解题关键．直接利用度分秒的转化将0.45°转会为分即可．
12、（2017?德州）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是________．
/
【答案】同位角相等，两直线平行
【解析】解：由图形得，有两个相等的同位角存在， 所以依据：同位角相等，两直线平行，即可得到所得的直线与已知直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点评】过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平行．
13、（2017?苏州）如图，点D 在的平分线OC上，点E在OA上，ED//OB， ，则 的度数为________ /．
/
【答案】50
【解析】解：因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOB=2∠1=50°
因为ED//OB,
所以∠AED=∠AOB=50°
故答案为50.
【点评】由角平分线的定义，不难得出∠AOB=2∠1=50°；而ED//OB，两直线平行，同位角相等，可得∠AED=∠AOB=50°.
14、（2017?益阳）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为________．
/
【答案】2a+3b
【解析】解：∵AB=AC， BE=a，AE=b，
∴AC=AB=a+b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE=b，
∴∠ECA=∠BAC=36°，
∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECA=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠ECB=72°，
∴CE=BC=b，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=2a+3b
故答案为：2a+3b．
【点评】由题意可知：AC=AB=a+b，由于DE是线段AC的垂直平分线，∠BAC=36°，所以易证AE=CE=BC=b，从可知△ABC的周长；
15．（2018·广安）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=_____度．
/
【答案】120
【解析】先过点B作BF∥CD，由CD∥AE，可得CD∥BF∥AE，继而证得∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，又由BA垂直于地面AE于A，∠BCD=150°，求得答案．
解：如图，过点B作BF∥CD，
/
∵CD∥AE，
∴CD∥BF∥AE，
∴∠1+∠BCD=180°，∠2+∠BAE=180°，
∵∠BCD=150°，∠BAE=90°，
∴∠1=30°，∠2=90°，
∴∠ABC=∠1+∠2=120°．
故答案为：120．
【点评】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是_____．
/
【答案】75°30′（或75.5°）
【解析】首先证明∠EDO=∠AOB=37°45′，根据∠EDB=∠AOB+∠EDO计算即可解决问题.
解：∵CD∥OB，
∴∠ADC=∠AOB，
∵∠EDO=∠CDA，
∴∠EDO=∠AOB=37°45′，
∴∠DEB=∠AOB+∠EDO=2×37°45′=75°30′（或75.5°），
故答案为：75°30′（或75.5°）．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键.
17．（2018·南京）如图，五边形??????????是正五边形，若
??
1
//
??
2
，则∠1?∠2=__________．
/
【答案】72
【解析】延长AB交
??
2
于点F，根据
??
1
//
??
2
得到∠2=∠3,根据五边形??????????是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
解：延长AB交
??
2
于点F，
/
∵
??
1
//
??
2
，
∴∠2=∠3，
∵五边形??????????是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°.
【点评】此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
三、解答题
18、（2016?宜昌）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下： 如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB=20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
/
【答案】20 m
【解析】解：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
/，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=20（m）
【点评】由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得 △ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得结果．本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．
19、（2017?重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
/
【答案】50°
【解析】解：∵EF∥GH， ∴∠ABD+∠FAC=180°，
∴∠ABD=180°﹣72°=108°，
∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【点评】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数．
20．（2018·宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
/
【答案】(1) 65°；(2) 25°．
【解析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=
1
2
∠CBD=65°；
（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=
1
2
∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．
一、选择题
1．（2017天津南开区期中）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）.
/
A．在AC，BC两边高线的交点处 B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处 D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
2．（2017杭州萧山区临浦片期中）下列语句是命题的是（ ）
A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点C
C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？
【答案】C
【解析】判断一件事情的句子，是命题，由此可知选项C满足条件，故选C.
【点评】命题是指对某件事情做出正确或错误的判断.
3．（2017山东聊城莘县一模）如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为（ ）
/
A．152° B．118° C．28° D．62°
【答案】D.
【解析】解：如图，
/
∵l1∥l2，∠1=62°，
∴∠3=∠1=62°，
∴∠2=∠3=62°（对顶角相等），
故选D．
【点评】利用平行线的性质即可求解．
4．（2017安徽当涂县五校联考）如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1＝25°，则∠2＝（ ）
/
A．35° B．45° C．55° D．75°
【答案】A
【解析】过点C作CD∥l，则∠1+∠2=∠C=60°，则∠2=60°-25°=35°.
【点评】利用平行线的性质进行求解.
5．（2018?滨州二模）如图，有理数 a，b，c，d 在数轴上的对应点分别是 A，B，C，D，若 a+c=0， 则 b+d（ ）
/
A．大于 0 B．小于 0 C．等于 0 D．不确定
【答案】B
【解析】∵a+c=0，
∴a，c互为相反数，
∴原点O是AC的中点，
∴由图可知：点D到原点的距离大于点B到原点的距离，且点D、B分布在原点的两侧，
故b+d＜0，
故选B.
【点评】由a+c=0可知a与c互为相反数，所以原点是AC的中点，利用b、d与原点的距离可知b+d与0的大小关系．
6．（2018?厦门模拟）将一副三角板的直角顶点重合放置于D处，两块三角板在同一平面内自由转动形成不同的几何图形，下列结论一定成立的是（ ）
/
A．∠BDE＜∠ADC B．∠CDE＞∠ADB
C．∠CDE﹣∠BDA=45° D．∠EDC+∠BDA=180°
【答案】D
【解析】求出∠EDC+∠BDA=∠EDB+∠BDC+∠BDA=∠BDC+∠EDA，代入求出即可．
解：∵∠BDC=∠EDA=90°，∴∠EDC+∠BDA=∠EDB+∠BDC+∠BDA
=∠BDC+∠EDA=90°+90°=90°，只有选项D正确，选项A、B、C都错误．
故选D．
【点评】本题考查了补角和余角，能求出∠EDC+∠BDA=∠BDC+∠EDA是解答此题的关键．
7．（2018?南阳三模）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠EFD=56゜，则∠D=（ ）
/
A．60゜ B．58゜ C．28゜ D．62゜
【答案】D
【解析】根据平行线性质求出∠BEF，求出∠1，根据平行线性质得出∠D=∠1，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵∠EFD=56°，∴∠BEF=124°．
∵∠1=∠2=
1
2
∠BEF，∴∠1=62°．
∵AB∥CD，∴∠D=∠1=62°．
故选D．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，主要考查学生灵活运用平行线性质进行推理和计算的能力．
8．（2018?商丘模拟）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，则∠F的度数为（ ）
/
A．120° B．135° C．150° D．不能确定
【答案】B
【解析】过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB，求出AB∥CD∥EH∥FQ，根据平行线的性质求出∠MFN=∠1+∠8，∠MEN=∠3+∠6=90°，即可求出答案．
解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．
∵EM⊥EN，∴∠MEN=90°．
∵MF平分∠AME，NF平分∠DNE，∴∠1=∠2，∠7=∠8．
过F作FQ∥AB，过E作EH∥AB．
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，AB∥CD∥FQ，∴∠3=∠4，∠5=∠6，∠1=∠MFQ，∠8=∠NFQ，∴∠MEN=∠4+∠5=∠3+∠6=90°，∠MFN=∠1+∠8．
∵∠1+∠2=180°﹣∠3，∠7+∠8=180°﹣∠6，∴2∠1+2∠8=180°+180°﹣（∠3+∠6）=360°﹣90°=270°，∴∠1+∠8=135°，∴∠MFN=135°．
/
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线定义、垂直定义等知识点，能够求出∠MEN=∠3+∠6=90°、∠MFN=∠1+∠8是解答此题的关键．
二、填空题
9．（2017丹阳二模）如图，AB∥CD，若∠ECD=54°，则∠EAB的度数为______．
/
【答案】54°
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ECD＝54°.
【点评】利用平行线的性质即可求解.
10．（2017河北卢龙县校级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A为110°，第二次拐角∠B为150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C＝___________度．
/
【答案】140
【解析】解：延长FC，AB，交于点E，如图所示，
/
∵AD∥CE，
∴∠A=∠E=110°，
∵∠ABC为△BCE的外角，
∴∠BCE=∠ABC-∠E=40°，
∴∠BCF=140°．
【点评】构造三角形，利用平行的性质、三角形外角的性质即可解答.
11．（2017山西农大附中期末）如图，已知C，D两点在线段AB上，AB= 10cm，CD=6cm，M，N分别是线段AC，BD的中点，则MN =__________cm.
/
【答案】8
【解析】解：∵AB= 10cm，CD=6cm，∴AC+BD=10-6=4cm.
∵M，N分别是线段AC，BD的中点，∴AM+BN=4÷2=2cm.
∴MN=AB-(AM+BN)=10-2=8cm.
【点评】利用线段的中点、和与差即可求解.
12．（2017杭州春蕾中学月考）如图，直线∥，∠3+∠4=35°，∠2=90°，则∠1=_______________。
/
【答案】125°
【解析】解：如图，
/
∵
∴∠5+∠6=180°
∵∠2=90°
∴∠5+∠3=90°
∴∠6-∠3=90°
即∠6=90°+∠3
∴∠1=∠4+∠6=∠4+∠3+90°=35°+90°=125°.
【点评】利用平行线的性质即可求解.
13．（2018?天津期末）如图，AB∥CD，∠DCE=118°，∠AEC的角平分线EF与GF相交于点F，∠BGF=132°，则∠F的度数是 ．
/
【答案】11°．
【解析】∵AB//CD，∠DCE=118°，∴∠AEC=118°, ∵∠AEC的角平分线EF与GF相交线于点F, ∴∠AEF=∠FEC=59°, ∵∠BGF=132°, ∴∠F=11°.
故答案为11°.
【点评】本题考查的是平行线的内错角相等，角平分线的性质和三角形外角的性质.
14．（2018?本溪二模）将一张矩形纸片按图中方式折叠，若∠1=
50
°
，则∠2为______度.
/
【答案】65o
【解析】由已知∠1=50°，可得，∠3=50°，那么∠4=（180°-∠3）÷2=65°，所以∠2=180°-∠3-∠4．求出∠2．
解：如图，
/
由已知矩形纸片和平行线的性质及折叠原理得：
∠3=∠1=50°，
∴∠4=（180°-∠3）÷2=65°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-50°-65°=65°．
故答案为：65°．
【点评】此题考查的知识点是平行线的性质和翻转变换问题，解题的关键是由平行线的性质先求出∠3，再由折叠原求出∠4．从而求出∠2．
15．（2018?南京模拟）如图，四边形ABCD中，点MN分别在AB，AC上，∠C=80°，按如图方式沿着MN折叠，使FN∥CD，此时量得∠FMN=40°，则∠B的度数是_____．
/
【答案】100°
【解析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：∵FN∥DC，
∴∠BNF=∠C=80°，
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN=∠FMN=40°，
∠BNM=
1
2
∠BNF=
1
2
×80°=40°，
在△BMN中，∠B=180°﹣（∠BMN+∠BNM）=180°﹣（40°+40°）=180°﹣80°=100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了平行线的性质，用到的知识点是两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
16．（2018?秦皇岛一模）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10/，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE+PC的最小值为__．
/
【答案】
120
13
【解析】根据题意作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据勾股定理求出AD，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性质求出CP+EP=CM，根据垂线段最短得出CP+EP≥
120
13
，即可得出答案．
解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于P，连接EP，过C作CN⊥AB于N，
/
∵AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=
13
2
?
5
2
=12，
∴S△ABC=
1
2
×BC×AD=
1
2
×AB×CN，
∴CN=
????×????
????
=
10×12
13
=
120
13
，
∵E关于AD的对称点M，
∴EP=PM，
∴CP+EP=CP+PM=CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CP+EP≥
120
13
，
即CP+EP的最小值是
120
13
，
故答案为：
120
13
.
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性．
三、解答题
17．（2017盐城盐都区西片月考）已/知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由．
/
【答案】AB∥CD；理由见解析.
【解析】解：AB∥CD．
理由如下：
∵BE⊥DE，
∴∠BED=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠A+2∠1+∠C+2∠2=360°，
∴∠A+∠C=180°，
∴AB∥CD．
【点评】本题主要考查垂直、等腰三角形、平行线的判定等知识，解题的关键在于利用等腰三角形的性质得出∠A+∠C=180°这一结论.
18．（2017江苏东台市校级调研）已知：如图，线段AB＝10，C是AB的中点．
（1）求线段BC的长；
（2）若点D在直线AB上，DB＝2.5，求线段CD的长．
/
【答案】（1）BC =5；（2）线段CD的长为2.5或7.5．
【解析】解：（1）∵线段AB=10，C是AB的中点，∴BC=/AB=5；
（2）如图1，∵BC=5，BD=2.5，∴CD=BC﹣CD=2.5；
/
如图2，∵BC=5，BD=2.5，∴CD=BC+CD=7.5，
/
综上所述：线段CD的长为2.5或7.5．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．
19．（2018?黑河模拟）如图，点C在线段AB上，AC=8 cm，CB=6 cm，点M、N分别是AC、BC的中点．
（1）求线段MN的长；
（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；
（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；
（4）你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？
/
【答案】（1）7；（2）
1
2
a；（3）
1
2
b；（4）答案见解析
【解析】（1）根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半，那么MC、CN的和就应该是AC、BC和的一半，也就是说MN是AB的一半，有了AC、CB的值，那么就有了AB的值，也就能求出MN的值了；
（2）方法同（1）只不过AC、BC的值换成了AC+CB=a?cm，其他步骤是一样的；
（3）当C在线段AB的延长线上时，根据M、N分别是AC、BC的中点，我们可得出MC、NC分别是AC、BC的一半．于是，MC、NC的差就应该是AC、BC的差的一半，也就是说MN是AC-BC即AB的一半．有AC-BC的值，MN也就能求出来了；
（4）综合上面我们可发现，无论C在线段AB的什么位置（包括延长线），无论AC、BC的值是多少，MN都恒等于AB的一半．
解：（1）MN=MC+NC=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
（AC+BC）=
1
2
×（8+6）=
1
2
×14=7;
（2）MN=MC+NC=
1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
（AC+BC）=
1
2
a;
(3)MN=MC-NC=
1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
(AC-BC)=
1
2
b;
（4）如图，只要满足点C在线段AB所在直线上，点M、N分别是AC、BC的中点．那么MN就等于AB的一半．
/
20．（2018?临沂二模）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．
/
【答案】（1）AD= DC+AB，证明见解析；（2）AB= AF+CF，证明见解析.
【解析】（1）AD=AB+DC，理由：延长AE交DC的延长线于点F，利用AAS证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，据此即可证得结论；
（2）AB=AF+CF，理由：延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；
解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，
/
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠F，
在△AEB和△FEC中，
/，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠F，
∴∠EAD=∠F，
∴AD=DF，
∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，
（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，
/
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
/，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF，
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键.
/
