第三章 二次函数 第4课时 （练习）

第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
第3课时
课前预习
1.配方法求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标
把y=ax2+bx+c的右边配方,得
=
=
=。
因此,二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条___________，它的对称轴是直线__________，
顶点坐标是______________。
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的位置与a,b,c之间的关系
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置是由a,b,c决定的,具体情况如下：
(1)a决定抛物线的开口方向：①a>0 开口__________ ②a<0 开口__________
(2)c决定抛物线与y轴交点的位置：
①c>0 图象与y轴的交点在x轴的_______________。
②c=0 图象过_____________。
③c<0 图象与y轴的交点在x轴的_______________。
(3)a,b决定抛物线对称轴的位置(对称轴为直线)：
①a,b同号 对称轴在y轴的_______________。
②b=0 对称轴是________________。
③a,b异号 对称轴在y轴的_______________。
(4)顶点坐标为_______________。
(5)二次函数的最大、最小值由a决定：
当a>0时,函数有最_____值。当a<0时,函数有最________值。
课内探究
知识点1 二次函数关系式的转化
【典例1】把二次函数y=x2-4x-1配方,可化为（ ）
A.y=(x-2)2 B.y=(x-2)2-5 C.y=(x+2)2+1 D.y=(x+2)2-5
思路分析：y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=(x-2)2-5.
答案:B
经验交流
利用配方法先提出二次项系数,再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式,把一般式转化为顶点式。
巩固练习
1.将二次函数y=2x2+6x+7进行配方化为顶点式为_______________________。
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【典例2】如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为(-1,3),下列结论:①ac<0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④对于任意x均有ax2+bx≥a+b.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
思路分析:根据图象可得:抛物线开口向上,则a>0.抛物线与y轴交于负半轴,则c<0，
故①ac<0正确。
∵它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0),∴对称轴是x=1。∴
∴b+2a=0.故②2a+b=0正确
把x=2代入y=ax2+bx+c=4a+2b+c,由图象可得4a+2b+c<0.
故③4a+2b+c>0错误
∵ax2+bx+c≥a+b+c,∴对于任意x均有ax2+bx≥a+b
故④正确
答案:C
经验交流
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧.(简称:左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于（0，c）
巩固练习
2.关于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),下面结论：
①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当a<0时,情况相反.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同。
其中正确的有( )
A.①②③ B.①③ C.①② D.①
基础训练
一、选择题
1.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a,b为常数)的图象如图所示,则a的值为( )
A. 1 B.
C. - D. -2
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-2,0),O(0,0),B(-3,y1),C(3,y2)四点,则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1 > y2 B.y1=y2 C.y13.如图所示的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象中,观察得出了下面五条信息:①abc<0; ②a+ +c<0; ③b+2c>0; ④a-2b+4c>0; ⑤a=b，其中正确信息的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题
4.已知二次函数y=4x2-mx+5,当x<-2时,y随 x的增大而减小;当x>-2时,y随x的增大而增大，
当x=1时，y=_____________。
三、解答题
5.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
(1)y=4x2-8x+4; (2)y=2(x+1)(x-3)
已知二次函数y=x2-2x-1.将二次函数y=x2的图象如何平移能得到二次函数y=x2-2x-1的图象?
7.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,直线x=为该函数图象的对称轴,根据函数图象,你能得到关于该函数的哪些性质和结论?(写出四个即可)
四、拓展探究题
8.一跳水运动员从10 m高台上跳下,他的高度h(单位:m)与所用时间t(单位:s)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起后多长时间达到最大高度吗?最大高度是多少米?

课后提高
1.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列选项正确的是( )
A. a>0 B. c>0 C. ac>0 D. bc
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象大致如图所示,关于该二次函数,下列说法错误的是( )
A.函数有最小值 B.对称轴是直线
C.当x<1时,y随x的增大而减小 D.当-10
3.函数y=2x2+4x-5中,当-3≤x<2时,则y值的取值范围是（ ）
A.-3≤y≤1 B..-7≤y≤1 C.-7≤y≤11 D..-7≤y<11
4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那次函数y=bx+b2-4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为( )


5.抛物线y=2x2-6x+10的顶点坐标是__________。
6.二次函数y=x2-mx+3的图象如图所示,则m的值是______________。

7.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第_______象限。
8.若A(-,y1),B(-1,y2),C(,y3)为二次函数y=-x2-4x+5的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是__________________。
9.如图所示是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≤1成立的x的取值范围是___________。


10.如图所示,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一象限,有下列三个结论:①a<0; ②a+b+c>0;③>0.把正确结论的序号填在横线上_____________。
11.已知二次函数y=-2x2+8x-6.
(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴。
(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围。
参考答案及解析
课前预习
（1）平面直角坐标系 （2）二次函数表达式 方程（组） 二次函数表达式
课内探究
【典例1】由题意可知，抛物线的顶点为（0，0），A（-6，-4），B（6，-4），
设抛物线的表达式为y=ax2，将A.（-6，-4）代入y=ax2得-4=a×（-6）2，∴a=-，∴。
∵卡车宽为4m，∴当x=2时，，∴EF=（m），
∴CE=EF-CF=（m）。∵，∴该车能顺利通过。
巩固练习
解：相似。理由如下：
令x=0，则y=1，∴OP=1.
设点A的横坐标为m，则AD=-m2+1.
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，∴AF=OD=m，OF=-m2+1,PF =1-(-m2+1)=m2。
在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=（m2）2+m2=m4+m2，
在Rt△FOD中，PD=
由AB∥x轴，得△PEF∽△POD
课内探究
巩固练习
1.
2.A 解析:①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当a<0时,情况相反,正确.②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点,正确.③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条拋物线的形状就相同,正确、故选A
基础训练
1.C
2.A 解析:根据图象的对称性知,图象的对称轴是直线x=-1。
∵开口向下,∴y1>y2
3.C 解析:①∵图象开口向下,∴a<0.
∵对称轴则 b<0
∵图象与x轴交与y轴正半轴,∴ c>0
∴abc>0,故①错误;⑤正确
②由图象可得出:当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,故②正确
③当x=-1时,y=a-b+c>0, ∴b-b+c>0
∴b+2c>0,故③正确
④a-2b+4c=2b-2b+4c=4c->0,故④正确
故正确的有4个。故选C
4.25
5.解:(1)∵a=4,b=-8,c=4,∴==1，==0。
对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,0)
(2)∵y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6,∴a=2,b=-4，c=-6。
∴，。
∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-8)。
6.解:将y=x2-2x-1右边配方,得y=(x-1)2-2,
∴其顶点坐标为(1,-2).∴先将y=x2向右平移1个单位,再向下平移2个单位即可.
7.解:答案不唯一,如:(1)顶点在第四象限;(2)与x轴有两个交点;
(3)与y轴交于负半轴;(4)-1(6)当x> 时,y随x的增大而增大
8.解:h=-5(t-2)(t+1)=-5(t2-t-2)=
∵a=-5<0
∴抛物线开口向下,当t=1时,h最大=
即当该运动员跳起0.5s后达到最大高度,最大高度为m.
课后提高
1.C 2.D
3.D 解析:y=2x2+4x-5的对称轴是x=-1。
当x=-1时,y最小=-7； 当x=-3时,y=2×(-3)2+4×(-3)-5=1。 当x=2时,y=2×22+2×4-5=11。
当-3≤x<2时,y的取值范围是-7≤y<11。
故选D
4.B 解析:∵二次函数图象开口向上,∴a>0
∵对称轴为直线，∴b=-a<0。
当x=-1时,a-b+c>0 ∴-b-b+c>0,解得c-2b>0。∴抛物线与x轴有两个交点。
∴b2-4ac>0
∴一次函数图象经过第一、二、四象限,反比例函数图象经过第一、三象限。故选B
5. 解析:∵y=2x2-6x+10=2(x-)2+,∴顶点坐标为(,).
故答案为
6.4 7.四 8.y311.解:(1)y=-2x2+8x-6=-2(x2-4x)-6=-2(x-2)2+2.
这个二次函数图象的顶点坐标为(2,2),对称轴为直线x=2.
(2)图象如下:

函数值不小于0时,1≤x≤3