第三章 二次函数 第5课时（练习）

第三章 二次函数
5 确定二次函数的表达式
课前预习
1.用待定系数法求二次函数表达式的一般步骤
(1)先建立适当的平面直角坐标系。
(2)根据条件设出____________________。
(3)写出相关点的坐标。
(4)列__________________，求出待定系数。
(5)写出___________________________。
2.根据条件确定二次函数表达式的三种形式
(1)如果给出二次函数图象上的三个点的坐标或三组x,y的对应值,可设二次函数的一般式,即设__________________________。
(2)若给出的条件是最值、对称轴或顶点坐标,可设二次函数的顶点式,即设__________________。
(3)若给出的条件涉及二次函数的图象与x轴的两个交点,可设二次函数的交点式,即________________________。其中,x1,x2是该图象与x轴交点的横坐标。
课内探究
知识点 用待定系数法求二次函数的表达式
【典例】已知抛物线过(-1,0),3,0),(0,)，求此抛物线的表达式。
思路分析:根据本题中已知三点的坐标,可用三种方法求得该抛物线的表达式。
【自主解答】

交流分享
求二次画数表达式的关键是根据已知条件恰当地选择表达式的形式,以简单为原则,用待定系数法求出各项的系数,注意对称轴和抛物线与x轴两交点(x1,0),(x2,0)之间的关系:。
巩固练习
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点 (1,0),(1,-2),则b=___________，c=__________。
二次函数图象以A(-1,4)为顶点,且过点(2,-5),则其函数表达式为____________________，该函数图象与y轴的交点坐标为_____________。
基础训练
一、选择题
1.二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时y=-4;当x=2时,y=5,则这个二次函数的表达式是( )
A. B.y=2x2+x+5
C. D.
2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是( )
A.y=(x-2)2+1 B.(x+2)2+1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3
3.形状和开口方向与抛物线y=-x2相同,对称轴是直线x=2,且经过点(0,3)的抛物线的表达式是( )
A.y=x2+4x+3 B.y=-x2-4x+3 C.y=-x2+4x+3 D.无法确定
4.已知抛物线过A(-1,0)和B(3,0)两点,与y轴交于点C,且BC=,则抛物线的函数表达式为( ) A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x-3或y =-x2+2x+3
C.y=x2-2x-3 D.y=-x2+2x+3或y=x2-2x-3
5.学习了用待定系数法求二次函数的表达式后,程老师在黑板上出了一道题(如图所示).明明说:过点(3,0);亮亮说:过点(4,3);真真说:a=1.你认为他们三人的说法中,正确的有( )


A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
二、填空题
6.二次函数图象过点(-3,0),(1,0),且顶点的纵坐标为4,此函数表达式为___________________。
7.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
X
…
?
2
3
-1
?
1
2
0
1
2
1
3
2
…
y
…
?
5
4
-2
?
9
4
-2
?
5
4
0
7
4
…
则该二次函数的表达式为________________________。
8.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则它关于y轴对称的抛物线的表达式是____________________。
三、解答题
9.(1)已知二次函数图象的顶点是(-1,2)且过点(0,)求二次函数的表达式。
(2)已知抛物线与x轴两交点的横坐标分别为1,3,且图象过点(0,-3),求抛物线的表达式。

四、拓展探究题
10.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-2x2+(m+9)x-6的对称轴是x=2。
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标。
(2)将该抛物线向右平移1个单位,平移后的抛物线与原抛物线相交于点A,求点A的坐标。
(3)抛物线y=-2x2+(m+9)x-6与y轴交于点C,点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B,两条抛物线在点A,C和点A,B之间的部分(包含点A,B,C)记为图象M.将直线y=2x-2向下平移b(b>0)个单位,在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点,求b的取值范围。
/

课后提高
1.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2),则y关于x的函数表达式为( )
A.y=x2+2 B.y=(x-2)2+2 C.y=(x-2)2-2 D.y=(x+2)2-2
/
2.抛物线图象如图所示,根据图象,抛物线的表达式可能是( )
A.y=x2-2x+3 B. y=-x2-2x+3 C. y==-x2+2x+3 D. y=x2+2x+3
3.如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2),它与反比例函数的图象交于点A(m,4).则这个二次函数的表达式为( )
A.y=x2-x-2 B.y=x2-x+2
C.y=x2+x-2 D.y=x2+x+2
/
4.已知抛物线过点A(-2,0),B(3,0),C(0,-6),则此抛物线的表达式是___________________。
5.已知抛物线的顶点坐标为(-2,-3),且它与y轴的交点为(0,5),则此抛物线的表达式为_________________________。
6.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,则抛物线的表达式为_______________________。
参考答案及解析
课前预习
1.(2)函数表达式 (4)方程(或方程组)( 5)函数表达式
2.(1)y=ax2+bx+c (2)y=a(x-h)2+k (3)y=a(x-x1)(x-x2)
课内探究
【典例1】
解法一(一般式)：
设所求抛物线的表达式为y=ax2+bx+c。
∵抛物线经过点(-1,0),(3,0)和(0,) ∴ 解得
∴所求抛物线的表达式为。
解法二(交点式)
抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0)两点,∴x抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)。
又∵抛物线过点(0,
3
2
)，∴a(0+1)(0-3)=
3
2
，即a=-
1
2
。∴为所求抛物线的表达式。
解法三（顶点式）：
∵抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=1，设所求抛物线的表达式为y=a(x-1)2+k。
∵抛物线过（-1，0）和（0，
3
2
），∴ 解得
∴为所求抛物线的表达式。
巩固练习
1.-1 -2 2. （0，3）
基础训练
1.D
2.C 解析：A，C选项中对称轴为直线x=2，又因为抛物线经过点（0，1），故选C
3.C 4.D 5.C
6.
7.
8.
9.解：（1）∵（-1，2）为顶点坐标，∴ 设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2.
将x=0，y=
3
2
代入表达式，得a+2=
3
2
，解得x=-.
∴二次函数的表达式为。
（2）由抛物线与x轴交点的横坐标为1，3，可设抛物线的表达式为
把（0，-3）代入，得a(0-1)(0-3)=-3,∴a=-1
∴y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x-3。
10.解：（1）∵抛物线y=-2x2+(m+9)x-6的对称轴是x=2，
∴。∴m=-1.
∴抛物线的表达式为y=-2x2+8x-6。∴y=-2(x-2)2+2。∴顶点坐标为（2，2）
（2）由题意得，平移后抛物线的表达式为y=-2(x-3)2+2。
∵-2（x-2）2+2=-2(x-3)2+2。∴x=。
∴点A的坐标为。
（3）由（2）知，点A的坐标为，则点B的坐标为。
设直线y=2x-2向下平移b(b>0)个单位经过点B，
则y=2x-2-b，故，解得b=，
平移过程中直线与图像M始终有两个公共点，则0课后提高
1.D 2.C 3.A
4.y=x2-x-6 5.y=2x2+8x+5
6.或
解析：把A（0，2），B（4，3）两点的坐标代入y=ax2+bx+c(a≠0)，解得c=2，16a+4b=1，由点C到抛物线对称轴的距离等于1，可知抛物线的对称轴是直线x=1或x=3，即或。
由 得 由 得 故所求抛物线的表达式为或。
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