第一章一元二次方程单元测试题一
1．方程x2=4x的解是（ ）
A．0 B．4 C．0或﹣4 D．0或4
2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且k≠1 C． D． k≥且k≠0
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）。A． B． C． D．
4．把一块长80mm、宽60mm的铁皮的4个角分别剪去一个边长相等的小正方形，做成一个底面积是1500mm2的无盖铁盒。若设小正方形的边长为xmm，下面所列的方程中，正确的是（ ）
A．（80－x）（60－x）=1500 B．（80－2x）（60－2x）=1500
C．（80－2x）（60－x）=1500 D．（80－x）（60－2x）=1500
5．一元二次方程x2-1=0的根是（ ）．
A、x=1 B、x=-1 C、x1=1，x2=0 D、x1=1，x2=-1
6．若关于x的方程是一元二次方程，则a满足的条件是（ ）。
A． ＞0 B． C． D．
7．如果x=1是方程x2+ax+1=0的一个根，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．﹣2
8．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的是 （ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
9．如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为( )
A． 3或－3 B． 4或－2 C． 1或3 D． 27
10．若，代数式的值是( )
A． B． C． -3 D． 3
11．已知如下一元二次方程:
第1个方程:3x2+2x-1=0;
第2个方程:5x2+4x-1=0;
第3个方程:7x2+6x-1=0;
…;?
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律,则第8个方程为___.
12．如果一元二方程有一个根为0，则m= ___________;
13．某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增长率是，则可列方程为______________________________．
14．某商品原价是400元，连续两次降价后的价格为289元，则平均每次降价的百分率为 ．
15．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对（x，-2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=___________．
16．若(m＋1)x|m－1|＋5x－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．
17．把方程(1-2x)(1＋2x)＝2x2-1化为一元二次方程的一般形式为____.
18．实数是关于的方程的两根，则点关于原点对称的点的坐标为____________。
19．已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则 等于_____．
20．已知x1、x2为方程x2+4x+2=0的两实根，则x13+14x2+5=_______.
21．解方程：
（1）（用公式法） （2）．
（3） （4）
22．某商场礼品柜台新年期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0．3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0．1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
23．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围； （2）当时，求m的值．
24．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．
①求、的值；
②若关于的方程T有实数解，求实数的值；
（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则、应满足怎样的关系式？
25．已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个解与方程的解相同．
（1）求k的值；
（2）求方程x2+kx-2=0的另一个解．
26．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，
得（）2 +﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案：
1．D
试题分析：先移项，然后利用“提取公因式法”将方程的左边转化为两个因式的积的形式．
解：由原方程，得
x2﹣4x=0，
提取公因式，得
x（x﹣4）=0，
所以x=0或x﹣4=0，
解得，x=0或x=4．
故选D．
2．B
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）?k=8k+1＞0，
即8k+1＞0，解得k＞﹣；
又∵k﹣1≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．
故选：B．
3．B.
试题分析：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即(-2)2-4×1×m＞0，解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1．
故选B.
4．B
试题分析：根据题意可得：底边的长为(80-2x)mm，宽为(60-2x)mm，根据底面积的计算方法列出方程.
5．D
试题分析：先移项，再根据平方根的定义即可求得结果。
x2-1=0
x2=1
解得x1=1，x2=-1
故选D.
6．B
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a b c都是常数，且a≠0）．根据一元二次方程的定义得出a≠0即可．
故选B.
7．D
试题分析：根据一元二次方程的解的定义把x=1代入x2+ax+1=0中得到关于a的方程，然后解关于a的一次方程即可．
解：把x=1代入x2+ax+1=0得1+a+1=0，解得a=﹣2．
故选D．
8．B
试题分析：3x2-2x+1=0
a=3，b=-2，c=1
∵b2-4ac=（-2）2-4×3×1=-8<0，∴方程无是实数解；
故选B
9．B
首先根据题意列出方程：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣27，解方程即可求得答案．
根据题意得：
简单的数值运算程序为：（x﹣1）2×（﹣3）=﹣27，
化简得：（x﹣1）2=9，∴x﹣1=±3，
解得：x=4或x=﹣2．
故选B．
10．B
解：先解一元二次方程变为a2-2a=3代入代数式求值即可.
解：∵a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，
原式=.
故选B.
11．17x2+16x-1=0
观察一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项得到二次项系数为序号的两倍加1，一次项系数为序号的两倍，常数项不变为-1，从而得解.
详解：
∵二次项系数为序号的两倍加1，一次项系数为序号的两倍，常数项不变为-1， ∴第8个方程为17x2+16x-1=0.
12．-2
解：把x=0代入一元二次方程（m-2）x2+3x+m2-4=0，得m2-4=0，即m=±2．又m-2≠0，m≠2，取m=-2．
13．．
试题分析：设增长率是，根据题意得．
14．15%
试题分析：设降价率为x，则400=289，解得：1－x=±0．85，则x=0．15或x=1．85（舍去），即平均每次降价的百分率为15%．
15．-5或1
解：根据题意得x2﹣2（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为：﹣5或1．
点拨：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
16．3
分析：
根据“一元二次方程的定义”进行分析解答即可.
详解：
∵(m＋1)x|m－1|＋5x－3＝0是关于x的一元二次方程，
∴ ，
解得：m=3.
故答案为：3.
的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式为：”是解答本题的关键.
17．6x2-2＝0
一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0,特别要注意a≠0的条件.
(1-2x)(1＋2x)＝2x2-1,
原方程可化为:1-4x2=2x2-1,
整理得6x2-2=0.故答案为：6x2-2=0.
18． 或（，1）
解∵2x2＋3x＋1＝（2x＋1）（x＋1）＝0，
∴或，
∴点P的坐标为（?1，?）或（?，?1）．
∵点P（a，b）关于原点对称的点Q，
∴点Q的坐标为（1， ）或（，1）．
故答案为：（1， ）或（，1）．
19．-2
试题分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到x1+x2=2，x1·x2=1，然后变形=，再把x1+x2=2，x1·x2=﹣1整体代入计算==-2．
20．－43
试题解析：∵x1、x2为方程x2+4x+2=0的两实根
∴x1+x2=-4，x12+4x1=-2
∴x13+14x2+5=x1?x12+14x2+5=x1?（-4x1-2）+14x2+5 =-4x12-2x1+14x2+5 =-4（-4x1-2）-2x1+14x2+5 =14（x1+x2）+13 =-56+13
=-43.
21．(1); (2) ; (3); (4);
试题分析:本题考查一元二次方程的解法,(1)利用公式法求解,先计算出的值,判定方程是否有实数根,再代入求根公式即可求解,(2)(3)先把方程化成一般形式,根据方程的特征选择适当方法求解即可,(4)可以选择公式法或配方法进行求解.
试题解析:(1) ,
因为
所以根据求根公式得, ,
所以, .
(2) ,
所以, .
（3）,
所以,
（4）,
因为,
根据求根公式可得: ,
所以, ,.
22．每张贺年卡应降价0．1元 ．
试题分析：设每张贺年卡应降价元，根据题目中的等量关系（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，列出方程解方程即可．
试题解析：解：设每张贺年卡应降价元．
则根据题意得：（0．3－）（500+）=120，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
∴．
答：每张贺年卡应降价0．1元 ．
23．（1）；（2）
试题分析： 方程有两个实数根， 即可求出实数的取值范围.
，分两种情况讨论.
试题解析：
关于的一元二次方程有两个实数根x1和x2．
解得：
，可以分两种情况进行讨论.
当时， 解得：
当时， 解得：
而不合题意，舍去.
时，
24．（1）①；②；（2）
试题分析：（1）①已知两对值代入T中计算求出a与b的值；
②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出p的范围即可；
（2）由T（x，y）=T（y，x）列出关系式，整理后即可确定出a与b的关系式．
试题解析：解：（1）①由题意得： 解得
②由题意得：
化简得：
解得：
（2）由题意得：
化简得：
考点：二元一次方程组，一元二次方程
25．（1）-1；（2）-1．
试题分析：（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值；
（2）根据两根之积=，即可求得另一根．
试题解析：（1）由解得x=2，
经检验x=2是方程的解．
把x=2代入方程x2+kx-2=0，
得：22+2k-2=0，
解得：k=-1；
（2）由（1）知方程x2+kx-2=0化为：x2-x-2=0，
方程的一个根为2，则设它的另一根为x2，
则有：2x2=-2
∴x2=-1．
26．（1）y2﹣2y﹣1=0；（2）所求方程为a+by+cy2=0（ c≠0）．
试题分析：(1)、互为相反数的两个数的和为原两数和的相反数，积不变，从而得出方程；(2)、设所求方程的根为y，则y=(x≠0),于是x=(y≠0)，然后将x=代入方程，从而得出所求的方程.
试题解析：(1)、 y2-2y-1=0
(2)、设所求方程的根为y，则y=(x≠0),于是x=(y≠0)
把x=带入方程ax2+bx+c=0, 得a ()2+b（）+c=0
去分母，得 a+by+cy2=0
若c=0，有ax2+bx="0" ,于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意
∴ c≠0，故所求方程为：a+by+cy2=0 ( c≠0) .
第一章一元二次方程单元测试题三
1．下列关于的一元二次方程有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．设是方程的两根，则代数式的值是( )
A． l B． -1 C． 3 D． -3
3．如果一元二次方程3x2-2x=0的两个根是x1和x2，那么x1?x2等于（ ）
A．2 B．0 C． D．-
4．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )
A． x1＝－1，x2＝3 B． x1＝1，x2＝－3
C． x1＝－1，x2＝－3 D． x1＝1，x2＝3
5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )
A． B． C． D．
6．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．x1=x2=1
B．x1=1+ ，x2=﹣1﹣
C．x1=1+ ，x2=1﹣
D．x 1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣
7．已知x=2是一元二次方程的一个根，则m的值为 （ ）
A． 2 B． 0或2 C． 0或4 D． 0
8．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A． 1000（1+x）2=1000+440 B． 1000（1+x）2=440
C． 440（1+x）2=1000 D． 1000（1+2x）=1000+440
9．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程2-8x+7=0的两根，则此三角形的斜边长为（ ）A、3 B、6 C、9 D、12
10．若x=﹣3是方程x2+mx+3=0的一个根，那么m= ，另一根是 ．
11．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，则m取值范围是_____．
12．关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为________.
13．某小区今年2月份绿化面积为6400m2，到了今年4月份增长到8100m2 ，假设绿化面积月平均增长率都相同，则增长率为___________．
14．方程化为一元二次方程的一般形式是________
15．某公司2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，若设平均每月的增长率x，则根据题意可得方程为____________．
16．方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根的情况是_______.
17．对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2=-4×2=8．若、是一元二次方程-5x+6=0的两个根，则的值是 ．
18．关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是
19．若实数x满足，则的值是（ ）
20．已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．
21．解方程
（1） （2）
（3） （4）
22．已知关于x的方程
（1）若方程有实数根, 求k的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值,并求此时方程的根。
23．关于的方程有两个不相等的实数根.
（1）求实数的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 ，是否存在实数k，使得？若存在，试求出的值；若不存在，说明理由.
24．阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4＋bx2＋c＝0(a≠0)，一般通过换元法解之，具体解法是设 x2＝y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2＋by＋c＝0，解出y之后代入x2＝y，从而求出x的值．
例如解：4x4－8x2＋3＝0
解：设x2＝y，则原方程可化为：4y2－8y＋3＝0
∵a＝4，b＝－8，c＝3
∴b2－4ac＝(－8)2－4×4×3＝16＞0
∴y＝＝
∴y1＝， y2＝
∴当y1＝时，x2＝． ∴x1＝，x2＝－；
当y1＝时，x2＝． ∴x3＝，x4＝－．
小试牛刀：请你解双二次方程：x4－2x2－8＝0
归纳提高：
思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是____________(选出所有的正确答案)
①当b2－4ac≥0时，原方程一定有实数根；
②当b2－4ac＜0时，原方程一定没有实数根；
③当b2－4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；
④原方程无实数根时，一定有b2－4ac＜0．
25．在实数范围内定义运算“”，其法则为： ，求方程（43） 的解．
26．某服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要想平均每天销售这种服装盈利l200元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么每件服装应降价多少元?
答案
1．D.
试题分析：分别求出各个方程的根的判别式的值可知：选项D的值大于0.
故选D.
2．A
根据韦达定理，得： ，则=2-1=1.故选A.
3．B．
试题解析：这里a=3，c=0，则x1?x2==0．
故选B．
4．A
试题分析：利用因式分解可得：(x-3)(x+1)=0，则x-3=0或x+1=0，解得：
5．B
试题分析：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：．故选B．
6．C．
试题分析：方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．故答案选C．
7．C
把x=2代入得，
，
解之得
m=0或m=4.
故选C.
8．A
试题解析：本题属于增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是第一个月投放1000辆单车，b就是1000+440．
由题意可得：1000（1+x）2=1000+440，
故选A．
9．A
试题分析：∵方程2-8x+7=0的两根分别是x1、x2，
∴由根与系数的关系得：x1+x2=4，x1?x2=3.5，
∴=16-7=9．
故此三角形的斜边长为．
故选A
10．4，-1.
试题解析：方程x2+mx+3=0的一个根为x1=﹣3，设另一根为x2，
∴x1?x2=﹣3x2=3，
解得：x2=﹣1，
又x1+x2=﹣m，
∴﹣3﹣1=﹣m，
解得m=4．
11．m≤2且m≠1
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+（m+2）=0有实数根，
∴，
解得m≤2且m≠1．
故答案为：m≤2且m≠1．
12．－4
试题分析：把代入方程即可求出m的值.
解：∵是一元二次方程x2+mx+3=0的一个根，
∴
解得
故答案为：－4.
13．12.5%．
试题分析：设增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
试题解析：设增长率为x，
根据题意得：6400（1+x）2=8100，即（1+x）2=，
开方得：1+x=，
解得：x1==12.5%，x2=（舍去），
则增长率为12.5%．
14．.
试题分析：去括号，得，移项，合并同类项，得.
15．160(1＋x)2＝250
根据2月份的利润为160万元，4月份的利润250万元，每月的平均增加率相等，可以列出相应的方程．
由题意可得， 160（1+x）2=250， 故答案为：160（1+x）2=250．
16．有两个不相等的实数根
试题分析：整理得：，即，∴，解得：，．故答案为：﹣8或．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
17．±3
试题分析：解方程可得：x=2或x=3，当=2，=3时，*=2×3－=－3；当=3，=2时，*=－2×3=3，综上所述，*=±3．
18．k<-1
试题分析：∵一元二次方程x2-2x-k=0没有实数根，
∴△=（-2）2-4×1×（-k）=4+4k＜0，
∴k的取值范围是k＜-1；
故答案为：k＜-1．
19．1
由，得，
则=1或-3.当=-3时，判别式小于零，方程无解，故=1.
20．（1）证明见试题解析；（2），或．
试题分析：（1）△=9＞0，故原方程总有两个不相等的实数根；
（2）把代入原方程中，解得或．再分别代入原方程，即可求出方程另一很．
试题解析：（1）Δ＝＝＝9>0，∴ 原方程总有两个不相等的实数根．
（2）把代入方程中，得：，解得，或．
当时，原方程化为，解得 ，；
当时，原方程化为，解得 ，．
综上，原方程的另一个根，或．
21．（1）x1=,x2= (2) x1= -3，x2=-6 （3）x1=1，x2= （4）x1= ，x2=
试题分析：（1）根据配方法求解一元二次方程即可；
（2）通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；
（3）通过移项变形，然后再根据因式分解法求解即可；
（4）根据公式法直接可求解一元二次方程.
试题解析：（1）移项，得
配方，得
开平方，得
所以 x1=,x2=
(2)原方程变形为
即
x+3=0或x+6=0
所以x1= -3，x2=-6
（3）原方程变形为
x-1=0 或 3x+2=0
所以x1=1，x2=
（4）a=2,b=-4,c=-1
∴
代入公式为：
所以x1= ，x2=
22．（1）；（2）
1）有两种情况，当k≠0时，根的判别式△=b2-4ac≥0有实数根，当k＝0时，一元一次方程有实数根，即可求得k的取值即可； （2）只要让根的判别式△=b2-4ac=0，求得k的值，进而求得方程的解即可．
解：(1) 有两种情况，当k≠0时， 36?36k≥0
解得:k≤1且k≠0；
当k＝0时，一元一次方程有实数根，
综上所述，当k≤1时，关于x的方程有实数根.
(2)由题意得:36?36k=0，
解得:k=1，
∴原方程化为:x2?6x+9=0，
解得:x1=x2=3.
23．（1），(2) 存在,理由见解析.
试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列出关于k的不等式求解可得；
（2）利用求根公式求出方程的两个根，根据（1）中k的范围判断出x1＞0，由韦达定理知x1x2＝k2－2k＋3＝（k－1）2＋2＞0，进而得出x2＞0，然后把x1、x2的值代入计算即可得出k的值．
试题解析：
解：（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
得：
；
（2）由一元二次方程的求根公式得：
，
，
又 ，
当时，有，
即
存在实数，使得.
24．x1＝－2，x2＝2；②③
试题分析：先设y=x2，则原方程变形为y2-2y-8=0，运用因式分解法解得y1=-2，y2=4，再把y=-2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．
试题解析：x4-2x2-8=0
设y=x2，则原方程变为：y2-2y-8=0．
分解因式，得（y+2）（y-4）=0，
解得，y1=-2，y2=4，
当y=-2时，x2=-2，x2+2=0，△=0-4×2＜0，此方程无实数解；
当y=4时，x2=4，解得x1=-2，x2=2，
所以原方程的解为x1=-2，x2=2．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断②③；
如：x4+4x2+3=0，虽然△=b2-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）=0，明显，此方程无解；
所以，①④错误，
故答案为②③．
25．
解： ，
，
，
，
．
试题分析：根据题目中给出的新定义运算法则，严格按照题中给出的计算法则进行运算，要先算小括号里面的，把式子化简成一元二次方程后，解方程即可．
试题解析：
，
，
，
，
．
26．20．
试题分析：设每件童装应降价x元，根据题意列出方程，即每件童装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去．
试题解析：设每件童装应降价x元，
由题意，得，解得，，为使顾客得到较多的实惠，应取x=20．故每件童装应降价20元．
第一章一元二次方程单元测试题二
1．使得代数式3x2-6的值等于21的x的值是（ ）
A． 3 B． -3 C． ±3 D． ±
2．设x1，x2是一元二次方程x2－2x－5＝0的两根，则 的值为（ ）
A． 6 B． 8 C． 14 D． 16
3．某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个，则该机械厂二、三月份生产零件数量的月平均增长率为（ ）
A．2% B．5% C．10% D．20%
4．如果方程（k-2）-3kx-1=0是一元二次方程，那么k的值不可能是（ ）
A． 0 B． 2 C． -2 D． 1
5．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣1
6．a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）A． 6 B． 9 C． 6或9 D． 以上都不正确
8．下列一元二次方程中，两实根之和为1的是 （ ）
A． x2—x＋1＝0 B． x2＋x—3＝0 C． 2 x2－x－1＝0 D． x2－x－5＝0
9．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论： ①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程；
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；
④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程．
上述结论中正确的有（?? ）
A． ①② B． ③④ C． ②③ D． ②④
10．已知实数a，b分别满足，，且a≠b则的值是（ ） A．7 B．－7 C．11 D．－11
11．关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0，则m的值为__________.
12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是__________.
13．若，则= ．
14．若实数a、b满足=0，则＝ ．
15．如果关于的方程没有实数根，则的取值范围为_____________.
16．若m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，则2m2﹣3m+n的值是______．
17．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围____．
18．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．
19．方程x2-2x=0的根是_______．
20．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的实数a2＋2b－3.例如把(2，－5)放入其中就会得到22＋2×(－5)－3＝－9.现将实数对(m，－3m)放入其中，得到实数4，则m＝__________.
21．解下列方程
（1） （2）
（3）（配方法）
22．已知关于x的分式方程①和一元二次方程②中，m为常数，方程①的根为非负数．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程②有两个整数根x1、x2，且m为整数，求方程②的整数根.
23．某中学规划在校园内一块长36米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，（如图所示），若使每一块草坪的面积都为96平方米，则人行道的宽为多少米？
24．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数.
（1）求的取值范围；
（2）请选择一个的负整数值，并求出方程的根.
25．文具店以16元/支的价格购进一批钢笔，根据市场调查，如果以20元/支的价格销售，每月可以售出200支；而这种钢笔的售价每上涨1元就少卖10支．现在商店店主希望销售该种钢笔月利润为1350元，则该种钢笔该如何涨价？此时店主该进货多少？
26．已知关于的方程有两个实数根﹣2，．求，的值．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
（1）求实数m的取值范围；
（2）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
28．阅读理解：
为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1=y，则原方程化为y2﹣5y+4=0，解此方程得：y1=1，y2=4．
当y=1时，x2﹣1═1，∴x=±．
当y=4时，x2﹣1═4，∴x=±．
∴原方程的解为：x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
运用上述方法解方程：x4﹣8x2+12=0．
答案：
1．C
试题分析：根据题意可知：，移项可得：，两边同除以3可得：，两边直接开平方可得：，故本题选C．
2．C
分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣5，再利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
详解：根据题意得：x1+x2=2，x1x2=﹣5，所以x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣5）=14．
故选C．
3．D．
试题分析：设平均每月增长的百分率为x，
根据题意，得50（1+x）2=72，
解得x1=0．2=20%，x2=-2．2（不合题意，舍去）
故选D．
4．B
根据一元二次方程的定义，得： ，解得 .故选B.
5．B
试题分析：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．
6．C
先根据判别式的意义得到△=（﹣2c）2﹣4（a2+b2）=0，变形得到a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
解：根据题意得△=（﹣2c）2﹣4（a2+b2）=0，
即a2+b2=c2，
所以原三角形为直角三角形．
故选C．
7．B
解方程得： ，
（1）若等腰三角形的腰长为1，底边为4，∵1+1<4，∴此时围不成三角形，此种情况不成立；
（2）若等腰三角形的腰长为4，底边为1，∵1+4>4，∴此时能围成三角形，三角形的周长为9；
故选B.
8．D
试题分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1，先检验即两根之和是否为1．又因为此方程有两实数根，所以△必须大于等于0，然后检验方程中的△与0的关系．
解：A选项中，虽然直接计算两根之和等于1，其实该方程中△=（-1）2-4×1×1＜0，因此此方程无解，所以此选项不正确；
B选项中，假设此方程有两实数根，两根之和等于-1，所以此选项不正确；
C选项中，假设此方程有两实数根，两根之和等于，所以此选项不正确；
D选项中，直接计算两根之和等于1，并且该方程中△=（-1）2-4×1×（-5）＞0，所以此选项正确．
故选D．
9．C
分析：①通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行判断；②设=2，得到?=2=2，得到当=1时，=2，当=－1时，=－2，于是得到结论；③根据“倍根方程”的定义即可得到结论；④若点（m，n）在反比例函数y=的图象上，得到mn=4，然后解方程m+5x+n=0即可得到正确的结论；
详解：①由-2x-8=0，得：（x-4）（x+2）=0， 解得=4，=－2， ∵≠2，或≠2，
∴方程-2x-8=0不是倍根方程；故①错误；
②关于x的方程+ax+2=0是倍根方程， ∴设=2， ∴?=2=2， ∴=±1，
当=1时，=2， 当=－1时，=－2， ∴+=－a=±3， ∴a=±3，故②正确；
③关于x的方程a-6ax+c=0（a≠0）是倍根方程， ∴=2，
∵抛物线y=a-6ax+c的对称轴是直线x=3， ∴抛物线y=a-6ax+c与x轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0）， 故③正确；
④∵点（m，n）在反比例函数y=的图象上， ∴mn=4， 解m+5x+n=0得
=，=， ∴=4， ∴关于x的方程m+5x+n=0不是倍根方程；
故选C．
10．A．
试题分析：已知实数a，b分别满足，，可得a、b为方程得两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，ab=4，所以，故答案选A．
11．-1或3
试题分析：把x=0代入关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0，即可得到关于m的方程，解出即可。
由题意得m2-2m-3=0，解得m=-1或3.
12．，且
分析：根据方程有两个实数根，得出△≥0且k﹣1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
详解：由题意知，k≠1，△=b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）=20﹣4k≥0，解得：k≤5，则k的取值范围是k≤5且k≠1；
故答案为：k≤5且k≠1．
13．3．
试题解析：∵，，∴，∴P=2，Q=﹣3，=，故答案为：3．
14．4．
试题分析：先分解因式，即可得出a2+b2-4=0，求出即可．
试题解析：（a2+b2）2-2（a2+b2）-8=0，
（a2+b2-4）（a2+b2+2）=0，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2-4=0，
a2+b2=4
15．
解：∵，∴ ．
16．4
解∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的解，
∴m+n=﹣=2，mn==﹣1．
∵2m2﹣3m+n=2m2﹣4m+（m+n）=2m（m﹣2）+（m+n）=﹣2mn+（m+n），
∴2m2﹣3m+n=﹣2×（﹣1）+2=4，
故答案为：4．
17．
试题分析：由于方程没有实数根，故，解得．
18． 2 -24
试题分析：由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得，﹣3+4=，（﹣3）×4=，解得：m=2，n=﹣24，
故答案为：2，﹣24．
19．．
试题分析：方程可化为x（x-2）=0，即可得．
20．7或－1
根据题意得，m2+2×（-3m）-3=4，解得m1=7，m2=-1，所以m的值为7或-1．
21．（1）=6，=－1；（2）=3，=；（3）
试题分析：(1)、第一个利用十字相乘法；(2)、第二个利用提取公因式法；(3)、第三个利用配方法进行求解.
试题解析：(1)、(x－6)(x+1)=0 解得：=6，=－1
(2)、2(x－3)－3x(x－3)=0 (x－3)(2－3x)=0 解得：=3，=
(3)、－2x=5－2x+1=6=6 解得：
22．（1）且，；（2）当m=1时，方程的整数根为0和3.
分析：（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出的取值； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=3，，根据方程的两个根都是整数可得m=1或.结合的结论可知m1.解方程即可.
详解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴且.
又∵，且，
∴解得且.
又∵方程为一元二次方程，
∴.
综上可得：且，.
（2）∵一元二次方程有两个整数根x1、x2，m为整数，
∴x1+x2=3，，
∴为整数，∴m=1或.
又∵且，，
∴m1.
当m=1时，原方程可化为.
解得：，.
∴当m=1时，方程的整数根为0和3.
23．2米
试题分析：首先设人行道的宽为x米，根据题意列出关于x的方程，从而得出答案.
试题解析：设人行道的宽为x米，根据题意得：
（36-2x）（20-x）=96×6； 解得：x1 =2 x2 =36（舍去）
答：人行道路的宽为2米。
24．略
试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，所以9+4k＞0，解不等式即可；（2）取k=－2，则方程为x2－3x+2=0，用因式分解法解方程即可.
试题解析：
∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，
∴9+4k＞0，解得k＞－；
（2）当k=－2时，方程为x2－3x+2=0，
（x－1）（x－2）=0，解得x1=1，x2=2.
25．当店主对该种钢笔上涨5元时，每月进货量为150支；当店主对该种钢笔上涨11元时，每月进货量为90支．
试题分析：设上涨x元，根据利润=销售量×（定价-进价），列出方程，求解即可．
试题解析：解：设每支钢笔应该上涨x元钱，根据题意得：
（20+x﹣16）（200﹣10x）=1350
解得：x1=5，x2=11
∴每支钢笔应该上涨5元或11元钱，月销售利润为1350元；
∴当店主对该种钢笔上涨5元时，每月进货量为200﹣10×5=150支．
当店主对该种钢笔上涨11元时，每月进货量为200﹣10×11=90支．
26．m=1，n=-2
思路点拨：利用根与系数的关系知-2+m=-1，-2m=n，据此易求m、n的值．
试题分析：由题意，可得-2+m=-1，-2m=n，解得m=1，n=-2
27．（1）m＞；（2）m=﹣3，m=1．
试题分析：（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；（2）设此方程的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m+1，x1?x2=m2﹣4，根据“方程的两个实数根的平方和为15”可得x12+x22=15，整理后可即可解出k的值．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣4）＞0，
∴m＞ ；
（2）设此方程的两个实数根为x1，x2
则x1+x2=2m+1，x1?x2=m2﹣4，
∵两个实数根的平方和等于15，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2（m2﹣4）=15，
解得：m=﹣3，m=1．
28．x1=，x2=﹣， x3=，x4=﹣
试题分析：设y=x2，在原方程转化为y2﹣8y+12=0，利用因式分解法解方程求得y的值，然后利用直接开平方法求得x的值．
试题解析：解：设y=x2，在原方程转化为y2﹣8y+12=0，得：（y﹣2）（y﹣6）=0，解得：y=2或y=6，则x2=2或x2=6，故x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．
点拨：本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
第一章一元二次方程单元测试题五
1．已知m，n是一元二次方程x 2 -4x-3=0的两个实数根，则 为（ ?）．
A． -1 B． -3 C． -5 D． -7
2．已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足+=-1,则m的值是( )
A．3 B．1 C．3或-1 D．-3或1
3．设方程+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（ ）.
A．﹣4 B．0 C．4 D．2
4．若等腰三角形的两边的长是方程的两个根，则此三角形周长为（ ） ．
A．27 B．33 C．27和33 D．21
5．输入一组数据，按下列程序进行计算（x+8）2﹣826，输出结果如表：
x
20.5
20.6
20.7
20.8
20.9
输出
﹣13.75
﹣8.04
﹣2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（ ）
A． 20.5＜x＜20.6 B． 20.6＜x＜20.7 C． 20.7＜x＜20.8 D． 20.8＜x＜20.9
6．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①b=a+c时，方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
②若a、c异号，则方程ax2+bx+c=0一定有实数根；
③b2﹣5ac＞0时方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根；
④若方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根．
其中正确的是（ ）
A． ①②③④ B． 只有①②③ C． 只有①②④ D． 只有②④
7．已知x=2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 8或10
8．关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是( )
A． a＞0 B． a≥0 C． a=1 D． a≠0
9．已知α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则（α﹣2）（β﹣2）的值是（ ）
A． B． C． 3 D．
10．对于任意实数a、b，定义f（a，b）=a2+5a-b，如：f（2，3）=22+5×2-3，若f（x，2）=4，则实数x的值是（ ）
A．1或-6 B．-1或6 C．-5或1 D．5或-1
11．我省2015年的快递业务量为1．4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2016年增速位居全国第一．若2017年的快递业务量达到4．5亿件，设2016年与2015年这两年的平均增长率为x，则根据题意所列方程为_________________________．
12．中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义，有一首《牧童王小良》的民歌还包含着一个数学问题：
牧童王小良，放牧一群羊．问他羊几只，请你仔细想．头数加只数，只数减头数．只数乘头数，只数除头数．四数连加起，正好一百数．
如果设羊的只数为x，则根据民歌的大意，你能列出的方程是 ________? ．
13．不解方程，求下列方程两根之和与两根之积：
(1) 3x2－1＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______ ；
(2) x2－6x＝0，x1＋x2＝ _______ ，x1·x2＝ _______
14．方程x（x－3）=10的解是 ．
15．关于x的方程x2﹣4x+3=0与=有一个解相同，则a=_________.
16．某超市1月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共为1200万元．如果平均每月的增长率为x，根据题意，可列出方程 ．
17．若n（n≠0）是关于x的一元二次方程x2－mx+n=0的根，则m－n的值为 ．
18．如图，在中，，，为边上的高，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动．设的面积为，矩形的面积为，运动时间为秒（），则___________秒时，．
19．（m+2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
20．若关于x的一元二次方程的两个根x1，x2满足，，则这个方程是________．（写出一个符合要求的方程）
21．某服装店平均每天售出“贝贝”牌童装20件,每件获利30元,为了迎接“六一”儿童节,商场决定适当降价,经过市场调查发现：如果每件童装每降价1元,那么平均每天就可多售出2件,要想平均每天获利800元,每件童装应降价多少元?
22．用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣x﹣1=0； （2）（y﹣2）2﹣12=0；
（3）（1+m）2=m+1； （4）t2﹣4t=5．
23．关于x的方程，
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根；
（2）设 是该方程的两个根，记,S的值能为2吗？若能求出此时k的值.
24．已知方程；则①当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？②当取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当取什么值时，方程没有实数根？
25．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上建造一个花园，要求花轩占地面积为荒地面积的一半，下面分别是小强和小颖的设计方案．
（1）你认为小强的结果对吗？请说明理由．
（2）请你帮助小颖求出图中的x．
（3）你还有其他的设计方案吗？请在图（3）中画出一个与图（1）（2）有共同特点的设计草图，并加以说明．
26．已知关于x的方程3x2–(a–3)x–a=0(a>0)．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
27．某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加 20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？
28．阅读材料,理解应用:
已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=．把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0．
化简，得：y2+2y﹣4=0．这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；
（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
29．读题后回答问题：
解方程x(x＋5)＝3(x＋5)，甲同学的解法如下：
解：方程两边同除以(x＋5)，得x＝3.
请回答：
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？
(2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的解法．
30．某市人杰地灵、山青水秀，拥有丰富的旅游资源，楚龙旅行社为吸引市民组团去大别山某风景区旅游，推出了如下收费标准：
一单位组织员工去该风景区旅游，共支付给楚龙旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去旅游？
答案：
1．D
∵m，n是一元二次方程x2?4x?3=0的两个实数根，
∴m+n=4，mn=?3，
∴(m?2)(n?2)=mn?2(m+n)+4=?3?8+4=?7，
故选D.
2．A
试题分析：由题意得α+β=-（2m+3），αβ=m2，∵+=-1，∴=-1，即=-1，解得m=3或m=-1,当m=-1时，△=1-4=-3<0，故舍去，所以m=3;
故选A.
3．C.
试题分析：根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1，α?β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．∵方程+x﹣2=0的两个根为α，β，∴α+β=﹣1，α?β=﹣2，∴（α﹣2）（β﹣2）=α?β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4．
故选：C．
4．C．
试题分析：先解这个方程，两个根是13和7，又因为此三角形是等腰三角形，且满足三边关系，所以三边为13,7,7．或13,13,7．都符合要求，所以周长是33或27，故选C．
5．C
∵当x=20.7时，（x+8）2﹣826=-2.31；
当x=20.8时，（x+8）2﹣826=3044；
∴（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为20.7＜x＜20.8 .
故选C.
6．B
根据根的判别式逐条分析即可，当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当?<0时，一元二次方程没有实数根.
①∵b=a+c，
∴?=b2﹣4ac=(a-c)2≥0,
∴方程ax2+bx+c=0一定有实数根，故①正确；
②∵a、c异号，
∴ac<0,
∴?=b2﹣4ac>0,
∴方程ax2+bx+c=0一定有实数根，故②正确；
③当a、c异号,方程有两个不相等的实数根;当a、c同号,若b2﹣5ac＞0,则?=b2﹣4ac>ac>0,所以方程ax2+bx+c=一定有两个不相等的实数根,故③正确;
④若a≠0,b≠0,c=0,方程ax2+bx+c=有两个不相等的实数根，但方程cx2+bx+a=0没有两个不相等实数根,故④错误.
故选B.
7．C
把x=2代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
把x=2代入方程得4-2（m+4）+4m=0， 解得m=2， 则原方程为x2-6x+8=0， 解得x1=2，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为2时，则△ABC的周长为4+4+2=10； ②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形． 综上所述，该△ABC的周长为10．
故选：C
8．D
因为一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠0），所以要使ax2?3x+3=0是一元二次方程，必须保证a≠0.
故选：D.
9．A
试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由α、β是方程2x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，可得α+β=，αβ=﹣，再由式子求得（α﹣2）（β﹣2）=αβ﹣2（α+β）+4=﹣﹣2×+4=．
故选：A
10．A．
试题分析：根据题意得x2+5x-2=4，
整理得x2+5x-6=0，
（x+6）（x-1）=0，
x+6=0或x-1=0，
所以x1=-6，x2=1．
故选A．
11．．
试题分析：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则根据题意所列方程为
故答案为：．
12．x2+2x+1=100
分析：等量关系为：头数加只数+只数减头数+只数乘头数+只数除头数=100，把相关数值代入化简即可．
详解：∵羊的只数为x，∴头数加只数为2x，只数减头数为0．只数乘头数为x2，只数除头数为1，∴可列方程为：x2+2x+1=100．
故答案为：x2+2x+1=100．
13． 0 － 6 0
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.
（1）根据根与系数的关系得：x1+x2=0，x1?x2=-－． （2）根据根与系数的关系得：x1+x2=6，x1?x2=0．
故答案为：(1). 0 (2). － (3). 6 (4). 0
14．x1=-2，x2=5
试题分析：先把原方程变形为一元一般形式，再利用因式分解法即可求出方程的解.
试题解析：方程变形为：x2-3x-10=0
∴（x+2）（x-5）=0
解得：x1=-2，x2=5
15．1．
试题分析：由关于x的方程x2﹣4x+3=0，得（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0，或x﹣3=0，解得x1=1，x2=3；当x1=1时，分式方程=无意义；当x2=3时， =，解得a=1，经检验a=1是原方程的解．故答案为：1．
16．.
试题分析：根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1200，把相关数值代入即可求解．设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为300×（1+x），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，为300×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：．
故答案为：．
17．1．
试题分析：已知n（n≠0）是关于x的方程x2-mx+n=0的根，可得n2-mn+n=0，所以n（n-m+1）=0，即可得n=0或n-m+1=0，所以n-m=-1，即m-n=1．
18．6
∵中，
，
，为边上的高，
∴．
又∵，
则，
．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴，
解得．
故答案为．
19．2
试题分析：根据一元二次方程的定义得出m+2≠0，|m|=2，
解得：m=2，
故答案为：2．
20．答案不唯一，如
分析：根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为x2-3x+2=0．
详解：∵x1+x2=3，x1x2=2， ∴以x1，x2为根的一元二次方程x2-3x+2=0． 故选答案不唯一，如．
21．10元
试题分析：获利=单件利润×数量.设降价x元，则每件获利(30－x)元，数量为(20+2x)件，根据题意列出方程进行求解.
试题解析：设应降价x元，根据题意得：(30－x)(20+2x)=800 解得：=10
答：每件童装应降价10元.
22，x2= ； （2）y1=，y2=；
（3）m1=﹣1，m2=0；（4）t1=5，t2=﹣1．
试题分析：（1）利用公式法解方程；
（2）先移项得到（y-2）2=12，然后利用直接开平方法解方程；
（3）先移项得到（m+1）2-（m+1）=0，然后利用因式分解法求解；
（4）先移项得到t2-4t-5=0，然后利用因式分解法求解．
试题解析：解：（1）△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5，x=，∴x1= ，x2= ；
（2）（y﹣2）2=12，y﹣2=±，∴y1=，y2=；
（3）（m+1）2﹣（m+1）=0，∴（m+1）（m+1﹣1）=0，∴m+1=0或m+1﹣1=0，∴m1=﹣1，m2=0；
（4）t2﹣4t﹣5=0，∴（t﹣5）（t+1）=0，∴t﹣5=0或t+1=0，∴t1=5，t2=﹣1．
23．（1）证明见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2 .
试题分析：（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=-，x1x2=，代入到=2中，可求得k的值．
试题解析：（1）证明：当，
即时，方程为，
即方程有一个解；
当，
即时，
方程有两不等实数根.
综上所述：无论为何值，方程总有实数根
（2）.
即：
解得：
又
24．（1）a＞-4,且a≠0；（2）a＜-4（3）a＜-4
试题分析：可以根据一元二次方程中根的判别式△=来进行解答,
试题解析：解：（1）△=16+4a＞0，解得a＞-4,且a≠0；
（2）△=16+4a=0,，解得a=-4；
（3）△=16+4a＜0，
解得a＜-4
所以a＞-4,且a≠0方程有两个不相等的实数根；
a=-4方程有两个相等的实数根；a＜-4方程没有实数根
25．（1）小强的结果不对，理由见解析；（2）5．5；（3）详见解析．
试题分析：（1）小强的结果不对．设小路宽x米，由此得到内面的矩形的长、宽分别为（16-2x）、（12-2x），再根据矩形的面积公式即可列出方程求解；（2）从图中知道，四个扇形的半径为x，根据扇形的面积公式可以用x表示它们的面积，然后根据题意即可列出方程求解；（3）有其他的方案．答案比较多，例如可以以每边中点为圆心画半圆，然后根据题意计算它们的半径即可．
试题解析：（1）小强的结果不对
设小路宽米，则
解得：
∵荒地的宽为12cm，若小路宽为12m，不合实际，故（舍去）
（2）依题意得：
（3）
第一个图，A、B、C、D为各边中点；第二个图圆心与矩形的中心重合，半径为m
26．（1）证明见解析（2）a>6
试题分析：（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值．
试题解析：
（1）证明：Δ＝（a－3）2－4×3×（－a）＝（a＋3）2.
∵a>0，
∴（a＋3）2>0，即Δ>0.
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（a＋3）2＞0，由求根公式得x＝，
∴x1＝－1，x2＝.
∵方程有一个根大于2，
∴>2.
∴a>6.
27．（1）每千克核桃应降价4元或6元．（2）该店应按原售价的九折出售．
试题分析：（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
试题解析：：（1）解：设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得 （60-x-40）（100+×20）=2240．
化简，得 x2-10x+24=0 解得x1=4，x2=6．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60-6=54（元），
×100%=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
28．(1)见解析；（2）cy2+by+c=0（c≠0）
试题分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
试题解析：解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y．
把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b?+c=0
去分母，得a+by+cy2=0．
若c=0，有ax2+bx=0，即x（ax+b）=0，可得有一个解为x=0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c=0有两个不为0的根．
故c≠0，故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．
29．(1)不正确，理由见解析;(2) x1＝3，x2＝－5
试题分析：（1）错误.因为丢了解.
(2)正确应该因式分解.
试题解析：
解(1)因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而当x＋5＝0时，方程两边仍相等．
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x－3)(x＋5)＝0，
∴x1＝3，x2＝－5.
点拨：解方程易错点如下
例如：(1)，
x(x-1)=0,
.
切不可直接两边约分.
(2)x (x-1)=12，
，
(x-4)(x+3)=0，
x=4,x=-3.
需要化成一元二次方程的一般形式，再选择适合的方法计算,很多学生会错误的直接计算，而漏掉根.
30．该单位这次共有30名员工去旅游
试题分析: 设该单位这次共有名员工去旅游,先计算出25人时,总费用为25000,与题意不符合,故＞25,然后根据题意可列方程即可求解.
试题解析:设该单位这次共有名员工去旅游,
∵ 25×1000=25000＜27000,
∴＞25,
根据题意可得: ,
整理得,
,
又≥700,
故.
答:该单位这次共有30名员工去旅游.
第一章一元二次方程单元测试题六
1．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x2-3x+4=0 B．x2=2x C．2x2+3x-1=0 D．x2+2x+1=0
2．把化成一般形式后，a、b、c的值分别是（ ）
A． 0，-3，-3 B． 1，-3, 3 C． 1, 3，-3 D． 1，-3，-3
3．若关于x的一元二次方程(x－2)（x－3）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞－；③二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的图像与x轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)．其中，正确结论的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若2m2﹣3m﹣7=0，7n2+3n﹣2=0，其中m，n为实数，且mn≠1，则m+=（ ）
A． B． C． D．
5．若的值为（ ）
A．0 B．-6 C．6 D．以上都不对
6．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．x2﹣4x+4=0 B．x2+3x﹣1=0
C．x2+x+1=0 D．x2﹣2x+3=0
7．关于x的方程（m+1）x2+2mx－3=0是一元二次方程，则m的取值是（ ）
A．任意实数 B．m≠1 C．m≠－1 D．m>－1
8．已知关于x的一元二次方程的两根分别为则b与c的值分别为( )
A． B． C． D．
9．一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（ )
A． B．
C． D．
10．某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 ．
11．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
12．12．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是______
13．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感．假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为_____．
14．一元二次方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为_ __.
15．已知a，b是方程x2－x－3＝0的两个根，则代数式5a2＋b2－5a－b＋5的值为________．
16．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值为________．
17．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=__．
18．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是______．
19．某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出汽车的进价每辆均降低0.1万元，月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
(1)如果该公司当月售出7辆汽车，那么每辆汽车的进价为多少万元？
(2)如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
20．解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
21．小明遇到下面的问题：求代数式的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：
，所以，当x=1 时，代数式有最小值是-4.
（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题.
① 的最小值是_______；②求的最小值．
（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下:
问题：当x为实数时，求的最小值.
解：，∴原式有最小值是5.
请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由.
判断：__________，理由：____________________________________________________．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，问出发多少秒钟时△DPQ的面积等于31cm2?
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．
24．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k=0的两个实数根，且x12x22﹣x1﹣x2=115．
（1）求k的值；
（2）求x12+x22+8的值．
25．一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为，且，求m．
答案：
1．A．
试题解析：A、方程x2-3x+4=0中，△=（-3）2-4×1×4=-7＜0，故此方程无实数根；
B、由x2=2x得x2-2x=0，△=（-2）2-4×1×0=4＞0，故此方程有两个不相等实数根；
C、方程2x2+3x-1=0中，△=32-4×2×（-1）=17＞0，故此方程有两个不相等实数根；
D、方程x2+2x+1=0中，△=22-4×1×1=0，故此方程有两个相等实数根；
故选A．
2．C
将x2－3=－3x化成一般形式为x2+3x－3=0，所以a=1，b=3，c=－3.
故选C.
3．C
试题分析：当m=0时，则方程的根为x=2或x=3，但是本题没有说明m=0，则①错误；将方程化成一般式之后，然后根据根的判别式得出m的取值范围，则②正确；根据二次函数与一元二次方程的关系可以得出③是正确的.
4．C
试题分析：由7n2+3n﹣2=0两边同除以﹣n2得，2（）2﹣3?﹣7=0，又因为mn≠1，则m≠，所以m和可以看作是方程2x2﹣3x﹣7=0的两个根，再根据根与系数的关系可得．
解：由7n2+3n﹣2=0两边同除以﹣n2得，2（）2﹣3?﹣7=0，
又因为mn≠1，则m≠，
所以m和可以看作是方程2x2﹣3x﹣7=0的两个根，
根据根与系数的关系，得m+=，
故选：C．
5．B
∵ ，∴，∴ 且，∴ ，，∴ ，故选B.
6．B
利用一元二次方程的根的判别式计算分别求出判别式的值，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根．
解：A、x2﹣4x+4=0，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，方程有两相等实数根．
B、x2+3x﹣1=0，△=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，方程有两个不相等的实数根．
C、x2+x+1=0，△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根．
D、x2﹣2x+3=0，△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程没有实数根．
故选B．
7．C
由题有m+1≠0, m≠－1.
试题分析：一元二次方程有意义的条件是二次项的系数不为零,由题有m+1≠0, m≠－1.
考点：一元二次方程有意义的条件.
8．D
试题分析：根据韦达定理可得：+=b，·=c，则b=－1，c=－2.
9．C．
试题分析：解这个方程得，所以选项A、B错误，根据一元二次方程根与系数的关系可以知道，所以C正确，，所以D错误．故此题选C．
10．10%．
试题分析：设每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=售价，据此列方程求解．
解：设每次降价的百分率为x，
由题意得，100×（1﹣x）2=81，
解得：x=0.1=10%．
故答案为：10%．
11．k＞﹣且k≠0．
试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且△=（2k+1）2﹣4k2＞0，然后求出两个不等式解的公共部分即可．
解：根据题意得k2≠0且△=（2k+1）2﹣4k2＞0，
解得k＞﹣且k≠0．
故答案为k＞﹣且k≠0．
12．a(a+2)(a-2)
试题分析：利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵x2+3x+2
=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b
=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），
∴a﹣2=3，
∴a=5，
∵b﹣a+1=2，
∴b﹣5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
13．（1+x）+x（1+x）=100．
由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有100人患了流感即可列出方程（1+x）+x（1+x）=100．
故答案为：（1+x）+x（1+x）=100．
14．13或14．
试题分析：，，所以或，
当4为腰，5为底时，周长=4+4+5=13，
当5为腰，4为底时，周长=5+5+4=14，
故答案为：13或14．
15．23
由题意得，a2-a-3=0，b2-b-3=0，∴a2-a=3，b2-b=3，
∴5a2+b2-5a-b+5=5(a2-a)+(b2-b)+5=5×3+3+5=23，
故答案为：23.
16．24．
试题解析：∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，
∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，
∴2a3+b2+3a2-11a-b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+6
=2a2-2a+18
=2（a+3）-2a+18
=2a+6-2a+18
=24．
17．-1
∵方程(m?1)x|m|+1?3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m?1≠0，
解得：m=?1.
故答案为：?1.
18．2，，-1.
试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
试题解析：把方程变形为，故二次项是2x2、一次项是，常数项是-1，所以二次项系数是2，一次项系数是，常数项是-1.
19．（1）29.4万元；（2）需要售出6辆汽车
试题分析：（1）根据“当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆”即可求得结果；（2）设需要售出x辆汽车，根据盈利＝销售利润＋返利列出方程，解方程即可.
试题解析：
(1)(万元)
(2)设需要售出x辆汽车，
则进价为30—0.1(x－1)万元，即(30.1—0.1x)万元
由题意得，[31－(30.1—0.1x)]x＋0.5x＝12
整理得： 解得：，(舍去)
答：需要售出6辆汽车
20．（1） ；（2）；（3）；（4）.
试题分析：(1) 去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得;
(2)因式分解法解；
(3) 因式分解法解；
(4) 因式分解法解.
试题解析：
（1）
3-2x+2=9
-2x=4
x=-2
（2）
x(2x+3)=0
x1＝0，x2=
（3）
（x-5）(x-5)=0
（4）
(x-10)(x+3)=0
21．（1）①-9②4（2）小明的结论错误
分析：1）①根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题；②根据题意可以将式子化为题目中例子中的形式，从而可以解答本题；
（2）根据题目中的式子可以得到小明的做法是否正确．
详解：（1）①x2-6x=x2-6x+9-9=(x-3)2-9，
∴当x=1时，代数式x2-6x有最小值是-9；
②x2-4x+y2+2y+9=x2-4x+4+y2+2y+1+4=(x-2)2+(y+1)2+4，
∴当x=2，y=-1时，代数式x2-4x+y2+2y+5有最小值是4，
（2）小明的结论错误，
理由：∵x2+1=0时，x无解，
∴(x2+1)2+5最小值不是5，
∵x2≥0，∴当x2=0时，(x2+1)2+5最小值是6．
22．解:设出发秒时△DPQ的面积等于31cm2..
∵S矩形ABCD-S△APD-S△BPQ-S△CDQ＝S△DPQ
∴
化简整理得
解这得
均符合题意
答: 出发1秒或5秒钟时△DPQ的面积等于31cm2．
设出发秒x时△DPQ的面积等于31平方厘米，根据三角形的面积公式列出方程可求出解．
23．（1）m≥4 （2）m=4
试题分析：（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；（2）直接利用根与系数的关系解答．
试题解析：（1）由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≥4；（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，解得m=4．
24．（1）k的值为﹣11；（2）x12+x22+8=66．
试题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x12x22-x1-x2=115．即x12x22-（x1+x2）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值．
（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22+8=（x1+x2）2-2x1x2+8即可求得式子的值．
试题解析：（1）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k=0的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=k，
∵x12x22﹣x1﹣x2=115，
∴k2﹣6=115，
解得k1=11，k2=﹣11，
当k1=11时，△=36﹣4k=36﹣44＜0，
∴k1=11不合题意
当k2=﹣11时，△=36﹣4k=36+44＞0，
∴k2=﹣11符合题意，
∴k的值为﹣11；
（2）∵x1+x2=6，x1x2=﹣11
∴x12+x22+8=（x1+x2）2﹣2x1x2+8=36+2×11+8=66．
25．（1）；（2）．
试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出且，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为，求出和的值，再根据，得出，再把和的值代入计算即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且△≥0，即，解得，
∴m的取值范围为．
（2）∵方程两实根为，∴，，
∵，∴，∴，∴，
解得：；经检验是原方程的解．
第一章一元二次方程单元测试题四
1．随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的 64 元，求年平均下降率．设年平均下降率为 x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（ ）
A． 年平均下降率为80%，符合题意 B． 年平均下降率为18%，符合题意
C． 年平均下降率为1.8%，不符合题意 D． 年平均下降率为180%，不符合题意
2．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． 80（1+x）2=100 B． 100（1﹣x）2=80 C． 80（1+2x）=100 D． 80（1+x2）=100
3．用配方法解方程x2+10x+9=0，下列变形正确的是（ ）
A． （x+5）2=16 B． （x+10）2=91
C． （x﹣5）2=34 D． （x+10）2=109
4．方程x（x﹣2）+x﹣2=0的两个根为（ ）
A． x=﹣1 B． x=﹣2 C． x1=1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2
5．方程（x+1）2-3=0的根是（ ）
A． x1=1+，x2=1- B． x1=1+，x2=-1+
C． x1=-1+，x2=-1- D． x1=-1-，x2=1+
6．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣5m+4=0，常数项为0，则m值等于（ ）
A． 1 B． 4 C． 1或4 D． 0
7．设一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别是x1,x2,则x1+x2的值( )
A． 3 B． -2 C． -1 D． 2
8．若关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．若是方程的一个根，则c的值为
A． B． C． D．
10．若关于x的方程x2﹣2x+n=0无实数根，则一次函数y=（n﹣1）x﹣n的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．若一元二次方程x2－(a＋2)x＋2a＝0的两个实数根分别是3，b，则a＋b＝____．
12．已知方程的两根是，,则_______，________．
13．如果关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．
14．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______.
15．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是_____．
16．如图所示,邻边不等的矩形花圃ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边所围的栅栏的总长度是8?m.若矩形的面积为6m2,则AB的长度是 (可利用的围墙长度超过8m).
?
17．一元二次方程2x2－3x－1＝0中，a＝____，b＝____，c＝____，b2－4ac＝____，方程的解为x1＝___________，x2＝____________．
18．若关于x的一元二次方程x2 －4x +m = 0有两个相等的实数根，则m =______．
19．若2（x2+3）的值与3（1- x2）的值互为相反数，则x值为_________
20．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，那么平均每次降价的百分率是________________．
21．如图，矩形ABCD的长BC=5，宽AB=3．
（1）若矩形的长与宽同时增加2，则矩形的面积增加 ．
（2）若矩形的长与宽同时增加x，此时矩形增加的面积为48，求x的值．
22．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．
23．解下列方程：
（1）（x﹣1）2=4； （2）4x（2x﹣1）=3（2x﹣1）； （3）x2﹣4x﹣2=0．
24．最简二次根式与是同类二次根式，且x为整数，求关于m的方程xm+2m-2=0的根.
25.（本题满分6分）已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．
(1)求a2－4a＋2012的值： (2)化简求值．
26．已知关于x的两个一元二次方程，
方程①： ＝0，
方程②： ＝0.
(1)若这两个方程中只有一个有实数根，请说明哪个方程没有实数根；
(2)如果这两个方程有一个公共根a，求代数式的值.
27．根据要求，解答下列问题：
（1）①方程x2﹣x﹣2=0的解为 ；
②方程x2﹣2x﹣3=0的解为 ；
③方程x2﹣3x﹣4=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 ；
②请用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．
（3）应用：关于x的方程 的解为x1=﹣1，x2=n+1．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
答案：
1．D
根据：平均年下降率是大于0且小于1的数.
由已知可得，平均年下降率是大于0且小于1的数，故选项D说法正确.
故选：D
2．A
利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
3．A
x2+10x+9=0，
（x+5）2+25=-9+25，
（x+5）2=16.故选A.
4．D
分析：根据因式分解法，可得答案．
详解：因式分解，得：（x﹣2）（x+1）=0，
∴x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
故选D．
5．C
解：（x+1）2=3，∴x+1=，∴x=．故选C．
6．B
由题意，得m2﹣5m+4=0，且m﹣1≠0，解得m=4，
故选B．
7．A
根据一元二次方程根与系数的关系求则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=．
依题意得a=1，b=-3， ∴x1+x2==3．
故选：A
8．A
∵关于x的一元二次方程（k+1）x2+2（k+1）x+k﹣2=0有实数根，
∴，解得：k>-1.
故选A.
9．A
∵是方程的一个根，
∴，解得： .
故选A.
10．B
先根据关于x的方程x2﹣2x+n=0无实数根求出n的取值范围，再判断出一次函数y=（n﹣1）x﹣n的图象经过的象限即可．
解：∵关于x的方程x2﹣2x+n=0无实数根，
∴△=4﹣4n＜0，解得n＞1，
∴n﹣1＞0，﹣n＜0，
∴一次函数y=（n﹣1）x﹣n的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故选B．
11．5
把3代入方程求得a=3.利用根与系数关系有3+ b=5,所以b=2.
a＋b＝5.
12． 1 －3
∵方程的两根是x1、x2，
∴x1＋x2＝ ， x1x2＝．
故答案为：（1）1；（2）-3.
13．a＜﹣1
∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0没有实数根，
∴△＜0，即22+4a＜0，
解得a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
14．a>－且a≠0
分析: 根据一元二次方程的定义及判别式的意义可得a≠0且△=b2-4ac=32-4×a×（-1）=9+4a＞0，解不等式组即可求出a的取值范围.
详解:∵关于x的一元二次方程ax2+3x-1=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且△=b2-4ac=32-4×a×（-1）=9+4a＞0，
解得：a＞-且a≠0．
故答案为：a＞-且a≠0.
15．5
分析: 根据根与系数的关系可得出
将其代入中即可求出结论．
详解: ∵是一元二次方程的两实数根，
∴
∴
故答案为：5.
16．1?m或3?m
设矩形花圃AB的长度是xm、则BC的长度为(8-2x)m，根据矩形的面积为6m2列方程求解，再结合实际进行验证，问题即可得解．
设矩形花圃AB的长度是xm、则BC的长度为(8-2x)m，由题意得，
x (8-2x)=6，
解之得，
x1=1,x2=3，
∴AB的长度是1m或3m.
故答案为: 1m或3m.
17． 2 －3 －1 17
根据一元二次方程的一般形式，判别式的值和用公式法解一元二次方程即可.
∵2x2－3x－1＝0
∴a=2，b=-3，c=-1，
∴b2－4ac＝；
∴，
即：x1＝，x2＝.
故答案为： 2；－3；－1；17；；.
18．4
∵一元二次方程x2 －4x +m = 0有两个相等的实数根，
∴△=(-4)2-4m=0,
∴4m=16,
∴m=4.
19．±3
解：由题意得：2（x2+3）+3（1- x2）=0，整理得：－x2+9=0，∴ ，∴x=±3．故答案为：±3．
20．10%
试题解析：设平均每次降价的百分率为x，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至48.6元，可列方程：60（1-x）2=48.6．
故答案为：60（1-x）2=48.6．
21．（1）20（2）x的在值为4
分析：（1）增加后的长为长为7，宽为5，根据长方形的面积=长×宽计算即可；
（2）矩形的长与宽同时增加x，则长变为5+x，宽变为3+x，根据长×宽=48，列方程求解.
详解：（1）（5+2）×（3+2）﹣5×3=20．
故答案为：20．
（2）若矩形的长与宽同时增加x，则此时矩形的长为5+x，宽为3+x，
根据题意得：（5+x）（3+x）﹣5×3=48，
整理，得：x2+8x﹣48=0，
解得：x1=4，x2=﹣12（不合题意，舍去）．
答：x的在值为4．
点睛：本题考查了矩形的面积和一元二次方程的应用，根据长方形的面积=长×宽列出方程是解答本题的关键.
22．（1）k>；（2）2.
试题分析：（1）根据根与系数的关系得出△＞0，代入求出即可； （2）根据根与系数的关系得出x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1，根据x1+x2=-x1?x2得出-（2k+1）=-（k2+1），求出方程的解，再根据（1）的范围确定即可．
试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0， 解得：k＞， 即实数k的取值范围是k＞； （2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1?x2=k2+1， 又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1?x2， ∴-（2k+1）=-（k2+1）， 解得：k1=0，k2=2， ∵k＞， ∴k只能是2．
23．(1) x1=3，x2=﹣1；(2) x1=，x2=;(3) x1=2+，x2=2-；
试题分析：第小题用直接开方法，第小题用因式分解法，第小题用配方法.
试题解析：
解得
或
解得
移项得:
两边都加上4得：
开方得： 或
24．
试题分析：根据同类二次根式的定义，列出关于x的一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程，求出x的整数值；将x的值代入xm2＋2m－2＝0中，得到关于m的一元二次方程；最后利用直接开平方法解一元二次方程，求出m的值.
试题解析：∵最简根式与是同类二次根式，
∴2x2－x＝4x－2，
2x2－5x＋2＝0，
(2x－1)(x－2)＝0，
x1＝，x2＝2.
∵x为整数，
∴x＝2，代入xm2＋2m－2＝0中，则有2m2＋2m－2＝0，
m2＋m＝1，
(m＋)2＝
m＋＝±
m1＝－，m2＝－－.
25．∵a是一元二次方程的根，
∴
∴
∴
（1）．原方程的解是：
∵a是一元二次方程的两个实数根中较小的根，
∴
（2）∴原式,
,
,
.
分析：根据一元二次方程解的定义，将代入原方程，即可求得的值；然后将整体代入所求的代数式并求值即可； 先利用公式法求得原方程的解，根据已知条件可知值；然后将其代入化简后的代数式求值即可．
详解：∵a是一元二次方程的根，
∴
∴
∴
原方程的解是：
∵a是一元二次方程的两个实数根中较小的根，
∴
∴原式
点睛：考查一元二次方程的解，公式法解一元二次方程,知识点比较简单.
26．（1）方程①没有实数根；（2）-4
试题分析：（1）分别计算这两个方程的根的判别式的值，比较即可；（2）把a分别代入这两个方程，用所得的方程相减即可求得代数式ak-a-2k的值.
试题解析：
(1)∵△1＝(k＋2)2－4＝k2＋4k
△2＝(2k＋1)2－4(－2k－3)＝4k2＋12k＋13＝(2k＋3)2＋4＞0
而方程①②只有一个有实数根
∴方程①没有实数根
(2)∵方程①②有一个公共根a，则有：
＝0，①
＝0. ②
②－①后有： ＝0，即： ＝－4
27．①x1=﹣1，x2=2；②x1=﹣1，x2=3；③x1=﹣1，x2=4；（2）①方x1=﹣1，x2=10；②
x1=﹣1，x2=10；（3）x2﹣nx﹣（n+1）=0
分析：（1）①、②、③均用因式分解法求解即可；
（2）根据（1）的规律写出方程的解，然后用配方法求出方程的解进行验证；
（3）根据（1）可知，二次项系数是根-1的相反数，常数项是另一个根的相反数，一次项系数比出常数项大1，照此规律写出方程即可.
详解：①∵x2﹣x﹣2=0，
∴(x+1)(x-2)=0,
∴x1=﹣1，x2=2；
②∵x2﹣2x﹣3=0，
∴(x+1)(x-3)=0,
∴x1=﹣1，x2=3；
③∵x2﹣3x﹣4=0，
∴(x+1)(x-4)=0,
∴x1=﹣1，x2=4；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x﹣10=0的解为 x1=﹣1，x2=10；
②x2﹣9x﹣10=0，
移项，得
x2﹣9x=10，
配方，得
x2﹣9x+=10+，
即（x﹣）2=，
开方，得
x﹣=
x1=﹣1，x2=10；
（3）应用：关于x的方程x2﹣nx﹣（n+1）=0的解为x1=﹣1，x2=n+1．
故答案为：x1=﹣1，x2=2；x1=﹣1，x2=3；x1=﹣1，x2=4；x1=﹣1，x2=10；x2﹣nx﹣（n+1）=0．
28．（1）k≤；（2）k=﹣1．
（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
第一章一元二次方程7
1．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值是
A．1 B． C．0 D．4
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）。
A． B． C． D．
3．下列方程为一元二次方程的是 ( )
A． ax2+bx+c=0 B． x2－2x－3 C． 2x2＝0 D． xy＋1＝0
4．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为108元，下列所列方程正确的是（ ）
A．200（1+a%）2=108
B．200（1﹣a2%）=108
C．200（1﹣2a%）=108
D．200（1﹣a%）2=108
5．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
6．一元二次方程x（x-1）=0的解是（ ）
A． B．x=1 C． D．
7．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． 2x﹣3y+1 B． 3x+y=z C． x2﹣5x=1 D． x+2y=1
8．下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A． B． C． D．
9．方程的根的情况是 （ ）
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
10．关于x的方程有实数根，则满足（ ）
A． B．且 C．且 D．
11．已知关于x的方程，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是 ．（填上你认为正确结论的所有序号）
12．已知方程的两个相等实根，那么 ；
13．已知：关于x的方程x2+3x+m2=0的有两个相等实数根，m= ．
14．方程x（x﹣1）=0的解是： ．
15．已知x1，x2是方程3x2-2x+1=0两根，则 x1·x2=________．=
16．若，则____.
17．已知一元二次方程x2＋x＋m＝0的一个根为2，则它的另一个根为________．
18．如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0的一根为3，则另一根为__________．
19．已知方程有两个相等的实数根，则=
20．n是方程x2﹣2x﹣1=0的一个根，则代数式2n﹣n2的值是________
21．解下列方程.
（1）5x（x-3）=6-2x; （2）3y2 +7y-3=0
22．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）（2x+5）=30 （2）x2+4x+1=0．
23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，每件衬衫应降价多少元？
24．已知关于x的方程3x2–(a–3)x–a=0(a>0)．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
25．阅读下列材料：
（1）关于x的方程x2-3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，
（2）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2-4x+1=0（x≠0），则= ______ ，= ______ ，= ______ ；
（2）2x2-7x+2=0（x≠0），求的值．
26．如图（1）在Rt中, 且是方程的根．
（1）求和的值；
（2）如图（2），有一个边长为的等边三角形从出发，以1厘米每秒的速度沿方向移动，至全部进入与为止，设移动时间为xs， 与重叠部分面积为y，试求出y与x的函数关系式并注明x的取值范围；
（3）试求出发后多久，点在线段上？
答案：
1．A．
试题分析：：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4a=0，
解得a=1．
故选A．
2．B.
试题分析：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即(-2)2-4×1×m＞0，解得m＜1，
∴m的取值范围为m＜1．
故选B.
3．C
解析：A. ax2+bx+c=0，当a≠0时是一元二次方程，条件中没有强调，因此不一定是一元二次方程，故不符合要求；B. x2－2x－3，不是方程，故不符合要求；C. 2x2＝0，满足定义，故符合要求； D. xy＋1＝0，是二元二次方程，故不符合要求，故选C.
点拨：本题主要考查一元二次方程的概念，解答本题的关键是要判断所给的是否为方程，然后看是否是整式方程，最后要看是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
4．D
试题分析：由题意可得：200（1﹣a%）2=108．
故选：D．
5．B
解：∵x2+px+q=0，∴x2+px=﹣q，∴x2+px+=﹣q+，∴（x+）2=．故选B．
6．C.
试题解析：x（x-1）=0，
x=0或 x-1=0，
x1=0或 x2=1．
故选C.
7．C
试题分析：根据一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的方程叫一元二次方程，因此可知C为一元二次方程.
故选：C.
8．B
试题解析：A、x+2y=1是二元一次方程，故A选项错误；
B、x2-5=0是一元二次方程，故B选项正确；
C、2x+=8是分式方程，故C选项错误；
D、3x+8=6x+2是一元一次方程，故D选项错误．
故选B．
9．D．
试题分析：原方程化为一般形式为，a=1，b=-2，c=3，△=所以方程没有实数根．
10．A.
试题分析：（1）当即时，方程变为，此时方程一定有实数根；
（2）当即时，∵关于x的方程有实数根，∴，∴．所以的取值范围为．故选A．
11．①②。
①∵方程中，△=（a+b）2﹣4（ab﹣2）=（a﹣b）2+4＞0，
∴x1≠x2。故①正确。
②∵x1x2=ab﹣1＜ab。故②正确。
③∵x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2。
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（a+b）2﹣2ab+2=a2+b2+2＞a2+b2，即x12+x22＞a2+b2。故③错误。；
综上所述，正确的结论序号是：①②。
12．±2
解析：本题主要考查了根的判别式. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
由于已知方程有两个相等的实数根，则其判别式△=0，由此可以建立关于m的方程，解方程即可求出m的值．
解：由题意知△=m2-12=0，
∴m=±2．
13．．
试题分析：若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．
解：依题意得：△=32﹣4×1×m2=0，
解得m=．
故答案是：．
14．x=0或x=1．
试题分析：本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”来解题．
解：依题意得：
x=0或x﹣1=0
∴x=0或x=1
故本题的答案是x=0或x=1．
15．
试题解析： 是方程两根，
故答案为：
16．4
试题解析：（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣8=0，（a2+b2﹣4）（a2+b2+2）=0，所以a2+b2﹣4=0，所以a2+b2=4．
17．-3
分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，x1+x2=-，可直接求解出另一个根.
详解：因为a=1，b=1
所以x1+x2=-1
又因为x1=2，
所依x2=-3.
故答案为：-3.
点拨：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确利用根与系数的关系x1+x2=-解题是关键.
18．-1
解析：设另一根为n，由根与系数的关系则有：3+n=-=2，所以n=-1，即另一根为-1，
故答案为：-1.
19．．
试题分析： ∵有两个相等的实数根，∴△=0，∴，∴．故答案为．
20．-1
试题分析：∵n是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴n2﹣2n﹣1＝0，
∴n2﹣2n＝1，
∴2n ﹣n2＝－1．
故答案为：－1．
21．（1）x1=3,x2=-；（2），；试题分析：（1）先移项，再提取公因式（x-3）把方程变形为两个一元一次方程求解即可.
（2）运用求根公式求解即可；
试题解析：（1）移项得：5x（x-3）+2x-6=0
5x（x-3）+2（x-3）=0
（x-3）（5x+2）=0
∴x-3=0，5x+2=0
解得：x1=3,x2=-
（2）∵a=3，b=7，c=-3
△=b2-4ac=49+36=85
∴x=
即，
22．（1）x1=﹣ ，x2=5；
（2）x1=2+，x2=2﹣ ．
试题分析：（1）先整理到一般形式，然后利用因式分解法求解即可；
（2）通过配方法进行求解即可.
试题解析：（1）（x﹣3）（2x+5）=30
2x2﹣x﹣45=0
（2x+9）（x﹣5）=0
2x+9=0，x﹣5=0
解得：x1=﹣ ，x2=5；
（2）x2﹣4x+1=0
x2﹣4x=﹣1
x2﹣4x+4=﹣1+4
（x﹣2）2=3
x﹣2=±
解得：x1=2+，x2=2﹣ ．
23．每件衬衫应降价30元
试题分析：商场平均每天盈利数=每件的盈利×售出件数；每件的盈利=原来每件的盈利﹣降价数．设每件衬衫应降价x元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
试题解析：设每件衬衫应降价x元，可使商场每天盈利2100元．
根据题意得（45﹣x）（20+4x）=2100，
解得x1=10，x2=30．
因尽快减少库存，故x=30．
答：每件衬衫应降价30元．
24．（1）证明见解析（2）a>6
试题分析：（1）先计算根的判别式得到△=（a＋3）2，然后根据a>0得到△＞0，则可根据判别式的意义得到结论；
（2）利用公式法求得方程的两个解为x1＝－1，x2＝，再由方程有一个根大于2，列出不等式，解不等式即可求得a的取值．
试题解析：
（1）证明：Δ＝（a－3）2－4×3×（－a）＝（a＋3）2.
∵a>0，
∴（a＋3）2>0，即Δ>0.
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵Δ＝（a＋3）2＞0，由求根公式得x＝，
∴x1＝－1，x2＝.
∵方程有一个根大于2，
∴>2.
∴a>6.
点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
25．（1）4；14；194；（2）．
试题分析：参照阅读材料的方法利用完全平方公式即可解决.
试题解析：
即：
故答案为：
26．（1）a=4， ；
（2）
（3）出发后s时，点D在线段AB上
解：
（1）根据勾股定理可得，BC=4cm，即a=4．
是方程的根
，
．
(2)由（1）得，则等边三角形DEF的边长为（cm）
如图（1），当时，易知，而，
，
如图（2），当时，
，
综上，
（3）如图（3），若点D在线段AB上，过点D作DM⊥BC于点M，此时DM∥AC，
即，
又等边三角形DEF的边长2，
即出发后 s时，点D在线段AB上．
点拨：（1）根据勾股定理即可得到a的值． 把a的值代入方程即可得到m的值；
(2)由（1）得到等边三角形DEF的边长．
分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求出y的解析式即可
（3）若点D在线段AB上，过点D作DM⊥BC于点M，此时DM∥AC， △BDM∽△BAC，得到DM，再由等边三角形DEF的边长2，得到DM，建立方程，解方程即可．
第一章一元二次方程8
1．关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，则（ ）
A． a＞0 B． a≥0 C． a≠0 D． a=1
2．若关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0的两个实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B． C．且k≠0 D．且k≠0
3．方程解是（ ）.
A．＝1 B．＝0， ＝－3
C．＝1，＝3 D．＝1，＝－3
4．已知α，β是方程x2+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（ ）．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5．在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．要使关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则下列k的取值正确的是（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
7．一个三角形的两边长分别为5和6，第三边的长是方程（x﹣1）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A． 15 B． 12 C． 15或12 D． 以上选项都不正确
8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A．1185（1-x）2=580 B．580（1+x）2=1185
C．1185（1+x）2=580 D．580（1-x）2=1185
9．某商品原售价元,经过连续两次降价后售价为元,设平均每次降价的百分率为,则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x2+1=0 D．
11．已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个根，则x1x2=_________．
12．已知是关于方程的一个根，则的值为______．
13．若实数x满足，则的值是（ ）
14．已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个实数根，则m的值是 .
15．一元二次方程x(x + 2) = x + 2的根是____________.
16．若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为_______ ．
17．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______．
18．已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根则此三角形的周长为_______.
19．已知是方程的一个根，则的值为______.
20．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
21．选择合适的方法
（1）2 （2）
（3） （4）
（5） （6）
22．某商场销售一种学生用计算器，进价为每台20元，售价为每台30元时，每周可卖160台，如果每台售价每上涨2元，每周就会少卖20台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元，当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？
23．如图，矩形ABCD的边BC与x轴重合，连接对角线BD交y轴于点E，过点A作AG⊥BD于点G，直线GF交AD于点F，AB、OC的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两根（AB＞OC），且tan∠ADB=.
（1）求点E、点G的坐标；
（2）直线GF分△AGD为△AGF与△DGF两个三角形，且S△AGF：S△DGF =3:1，求直线GF的解析式；
（3）点P在y轴上，在坐标平面内是否存在一点Q，使以点B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
24．利民商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？
答案：
1．C
解析：由关于x的方程ax2?3x+2=0是一元二次方程，得a≠0.
故选；C.
2．D
试题分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有两个实数根下必须满足△=b2﹣4ac≥0．
解：根据题意列出方程组，
解得k≥﹣且k≠0．
故选：D．
3．D.
试题分析：根据此方程特点，先移项得：x(x+3)-(x+3)=0，左边因式分解：（x-1）(x+3)=0，于是有x-1=0,x+3=0，解得：x1=1， x2=-3，故选D.
4．D
解析：∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴α2+2006α+1=0，β2+2006β+1=0，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=2α?2β=4αβ，
∵α、β是方程x2+2006x+1=0的两个根，
∴αβ=1，
∴（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）=4×1=4．
故选C．
5．D
解析：每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，所以等量关系为：学生数×（学生数-1）=总握手次数×2，设参加此会的学生为x名，每个学生都要握手（x-1）次，可列方程为x（x-1）=253×2.
故选：D．
6．D 试题解析：∵a=1，b=-2，c=3k，
∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×3k=4-12k＞0，
解得：k＜．
故选D．
点拨：此题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
7．A
解析：∵（x-1）（x-4）=0，
∴x1=1，x2=4，
当x=1时，1+5=6（不合题意，舍去），
∴x=4，
∴这个三角形的周长=5+6+4=15，故选A.
8．A
试题分析：本题可先解出第一次降价的手机价格，再根据第一次的售价解出第二次的售价，令它等于580即可．第一次降价的手机售价为：1185（1-x）元，则第二次降价的手机售价为：
1185（1-x）（1-x）=1185（1-x）2=580；
故本题选B．
9．B.
试题分析：第一次降价后的价格为289×（1-x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为289×（1-x）×（1-x），则列出的方程是289×（1-x）2=256．
故选B.
10．C．
试题解析：A、2x+1=0未知数的最高次数是1，故错误；
B、y2+x=1含有两个未知数，故错误；
C、x2+1=0是一元二次方程，正确；
D、是分式方程，故错误．
故选C．
11．1
试题分析：直接根据根与系数的关系求解．
解：根据题意得x1x2=1．
故答案为1．
12．16
分析：先利用一元二次方程解的定义得到2-2=8，然后把变形为2（2-2），再利用整体代入的方法计算．
详解：∵是关于方程的一个根，，
∴2-2-8=0，
∴2-2=8，
∴=2(2-2)=2×8=16.
故答案为：16.
点拨：此题考查了一元二次方程的解，利用方程的解可以求方程中字母系数的值或与一元二次方程根有关的代数式的值，或将根代入方程，得到关于字母的代数式，充分利用含有这个字母的等量关系，将所求代数式变形或化简，求出其嗲数是的值，注意可利用整体代入思想.
13．1
解析：由，得，
则=1或-3.当=-3时，判别式小于零，方程无解，故=1.
14．2.
试题分析：将x=1代入方程即可求出m的值.
试题解析：把x=1代入方程得：
1+m-3=0
∴m=2
故答案为：m=2.
15．
试题解析：一元二次方程 经过整理得 ，应用分解因式法，可以解得 .故本题答案为.
16．3或0
解析：设这个数是x, =3x
=3x
17．4．
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，解得：a=4．故答案为：4．
18．17
解方程x2-17x+66=0，得x1=6，x2=11，①当x=6时，因3+6＞8，所以可以构成三角形；
②当x=11时，因3+8=11，所以不能构成三角形．所以三角形的周长为3+8+6=17．
点拨：本题主要考查一元二次方程的应用，通过解一元二次方程可以确定三角形的第三边的长，根据三角形的三边关系确定能否构成三角形，再求三角形的周长即可．
19．0
解析：把代入方程可得，，即，
∴ ．
20．m＜1
解：∵a=1，b=﹣2，c=m，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
21．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．（6）x1=3，x2=-1
试题分析：（1）用直接开平方法解即可；（2）用公式法解即可；（3）用因式分解法解即可；（4）用因式分解法解即可；（5）用公式法解即可．第（6）小题用因式分解法.
试题解析：解：（1）2
2
∴
（2）
a=1，b=-1，c=-1
=1+4=5＞0
x=
∴
（3）
（x-6）（x+3）=0
x-6=0或x+3=0
∴
（4）
（x+1-4）（x+1+1）=0
（x-3）（x+2）=0
x-3=0或x+2=0
∴
（5）
a=1，b=-8，c=9
=64-36=28＞0
x=
∴
（6）
或
22．32
试题分析：设每台计算器涨价为x元．根据题意可以列出相应的方程，从而可以得到当计算器定价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元，注意厂家规定最高每台售价不能超过33元．
试题解析：解：设每台计算器涨价为x元．根据题意得：
（30+x﹣20）（160﹣×20）=1680
解得，x1=2，x2=4．
∵x≤33﹣30=3，∴x=2符合题意，∴此时计算器的售价为30+2=32（元）．
答：当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元．
23．（1）E（0， ），G（， ）；（2）；（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）.
解析：（1）根据一元二次方程x2-5x+6=0的解、tan∠ADB=，可求出点E的坐标；由△BGH∽△BDC，利用相似三角形的性质可求出点G的坐标；
（2）根据G、F的坐标，利用待定系数法可求出直线GF的解析式；
（3）对BD是矩形的边还是矩形的对角线进行分类讨论即可.
解：（1）x2-5x+6=0，解得x1=2；x2=3
∵AB＞OC，
∴AB=3；OC=2
∵tan∠ADB=，
∴AD=BC=4；BD=5
∴OE=，∴E（0， ）
∵AG⊥BD，则△ABG∽△ABD，
，即，BG=，
做GH⊥x轴，由△BGH∽△BDC，
∴G（， ）
（2）∵S△AGF：S△DGF =3:1，
∴AF：DF=3:1，
∴DF=1 F（1,3）
设直线GF： ，
代入G（， ），F（1,3）
∴直线GF的解析式为：
（3）存在Q1（-4， ）；Q2（4， ）；Q3（0,4）；Q4（0，-1）
24．(1) 甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；(2) 当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元
分析：（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+×100）件，（300+×100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可．
详解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，根据题意得： ，解得： ．
答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；
（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件，∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，甲乙每天分别卖出：（500+×100）件，（300+×100）件．
∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2=1元，5﹣3=2元，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；
w=（1﹣m）×（500+×100）+（2﹣m）×（300+×100）=﹣2000m2+2200m+1100，∴1700=﹣2000m2+2200m+1100，解：m=0.6或0.5，
∴当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元．
点拨：本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
