第二章 第八节 圆锥的面积
1．已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则圆锥的侧面积是( )
A． 6 cm2 B． 3π cm2 C． 6π cm2 D． cm2
2．如图，圆锥的底面半径r 为6cm，高h 为8cm,则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个圆锥的主视图，则这个圆锥的全面积是( )
A． B． C． D．
4．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（ ）m．
A． B． 5 C． D．
5．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为6，则侧面积为
A． B． C． D．
6．已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为 ( )
A． 15π cm2 B． 30π cm2
C． 60π cm2 D． 3cm2
7．若圆锥的母线长为4cm，底面半径为3cm，则圆锥的侧面展开图的面积是_______cm2．
8．已知圆锥的底面直径是8cm，母线长是5cm，其侧面积是_____cm2（结果保留π）.
9．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为________ cm，高为________ cm，侧面积为________ cm2.
10．若圆锥的底面圆的半径为2 cm，母线长为8 cm，则这个圆锥侧面展开图的面积为_____cm2．
11．用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是_______。
12．如图，粮仓的顶部是锥形，这个圆锥底面周长为32m，母线长7m，为防雨，需要在粮仓顶部铺上油毡，则共需油毡______m2．
13．已知：如图，观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
14．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
(1)AB的长为多少米？
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面半径为多少米？
15．如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形．
(1)求这个扇形的面积(结果保留π)；
(2)用此扇形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径．
16．如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D。
（1）求证： ；
（2）由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即，如T(60°)=1.
①理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是 ；
②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）。
（参考数据：T(160°)≈1.97，T(80°)≈1.29，T(40°)≈0.68）
17．如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
答案：
1．B
解：∵圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，∴圆锥的侧面积=2π×1×3÷2=3π（cm2）．故选B．
点拨：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
2．C
试题解析：圆锥的母线：
圆锥的侧面积为:
故选C.
3．D
解析： ，故选D.
4．C
解析：连接AO，∵AB=AC，点O是AB的中点，∴AO⊥BC，
又∵∠BAC=90°，∴∠ABO=∠ACO=45°，∴AB=OB=（m），
∴的长= （m），
∴将剪下的扇形围成圆锥的半径是： （m），
∴圆锥的高是： （m），
故选C.
点拨：本题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5．D
分析：利用圆锥的底面半径为3，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
详解：依题意知母线长=6，底面半径r=3， 则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×3×6=18π． 故选：D．
6．B
试题分析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可．
解：这个圆锥的侧面积=π×3×10=30πcm2，
故选B．
7．12
解析：∵?圆锥母线长为4c?.底面半径为3cm?,
∴圆锥侧面展开图为π×4×3=12πcm2?,
故答案为: 12πcm2?.
8．20π
分析：先计算出圆锥的底面圆的周长=π×8=8πcm，而圆锥的侧面展开图为扇形，然后根据扇形的面积公式进行计算．
解：∵圆锥的底面圆的直径是8cm，
∴圆锥的底面圆的周长=π×8=8πcm，
∴圆锥的侧面积=×5×8π=20πcm2，
故答案为：20π.
点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
9．5；12； 65π.
解析:设底面半径是r,高是h ∵s= ，
25π= ，
r=5.
h=,
底面周长是10， .
10．16π
解析:圆锥的侧面展开图是扇形，设圆锥底面圆的半径为R，圆锥的母线为l，
∵R=2cm，l=8cm，
∴=πRl=16π（cm2）.故答案为：16π.
点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
11．2cm．
试题分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
试题解析：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
，
解得r=2cm．
12．112
试题解析：∵圆锥的底面周长为 母线长为
∴圆锥的侧面积为：S侧
即所需油毡的面积至少是
故答案为：112.
13． （1）圆锥 （2）扇形（3）见解析（4）
试题分析:（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥,（2）圆锥的侧面展开图是扇形,（3）要求蜗牛爬行的最短距离,需将圆锥的侧面展开,进而根据”两点之间线段最短”得出结果,（4）已知圆锥侧面展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边,根据已知确定两直角边的长,即可利用勾股定理求解.
解：(1)圆锥 (2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，
∴AC＝＝.
故蜗牛爬行的最短路程为.
14．（1）1米（2）米
分析：
（1）如下图，连接BC，则由已知易得△ABC是等腰直角三角形，且BC=，∠A=90°，由此可得AB=1；
（2）由AB=1，∠A=90°可得的长度，而由的长度是所围圆锥的底面圆的周长即可计算出底面圆的半径.
详解：
（1）如下图，连接BC，
∵在☉O中，∠A=90°，
∴BC是☉O的直径，
∴BC=，
又∵AB=AC，
∴AB=1（米）；
（2）∵AB=1，∠A=90°，
∴，
设扇形ABC围成的圆锥的底面圆的半径为r，则：
，解得：（米）.
点拨：（1）由已知条件证明得BC是☉O的直径，从而得到BC=解得第1小题的关键；（2）“熟记弧长的计算公式，且知道扇形的弧长是用扇形围成的圆锥的底面圆的周长”是解答第2小题的关键.
15．（1）；（2）
分析：（1）连接BC,则BC为⊙O的直径,根据扇形面积公式可求得答案；
（2）根据圆锥侧面展开图扇形圆心角公式θ＝·360°，解得r即可.
详解：(1)连结BC，
∵∠BAC＝90°，点A，B，C均在圆上，
∴BC为此圆的直径，
∴BC＝2.
由勾股定理求得AB＝AC＝，
∴S＝＝＝π.
即这个扇形的面积为π.
(2)根据圆锥侧面展开图扇形圆心角公式θ＝·360°，
解得r＝＝.
即该圆锥的底面半径为.
点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
16．（1）证明见解析；（2）? 0试题分析：（1）证明△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；
②根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，得到扇形的圆心角，根据T（A）的定义解答即可．
试题解析：（1）∵AB=AC，DE=DF，
∴，
又∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，
∴；
（2）①如图1，∠A=90°，AB=AC，
则，
∴T（90°）=，
如图2，∠A=120°，AB=AC，
作AD⊥BC于D，
则∠B=30°，
∴BD=AB，
∴BC= AB，
∴T（120°）=
∵AB-AC＜BC＜AB+AC，
∴0＜T（α）＜2，
②∵圆锥的底面直径PQ=8，
∴圆锥的底面周长为8π，即侧面展开图扇形的弧长为8π，
设扇形的圆心角为n°，
则=8π，
解得，n=160，
∵T（80°）≈1.29，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×9≈11.6．
点拨：本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及T（A）的定义，正确理解T（A）的定义、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
17．（1）S阴= 4π﹣8；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
试题分析：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，求出n即可解决问题；
（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
试题解析：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π?1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴ S△SAF= ×4×4=8
又 S扇形S﹣AF=，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF=﹣8=4π﹣8．
在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
第二章 第八节 圆锥的面积
1．圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面积是（ ）
A． 360πcm2 B． 720πcm2 C． 1800πcm2 D． 3600πcm2
2．圆锥的侧面展开后是一个（ ）。
A． 圆 B． 扇形 C． 三角形 D． 梯形
3．在中，∠C=900，AC=12，BC=5，以AC为轴将旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的侧面积为 （ ） .
A． 130 B． 60 C． 25 D． 65
4．圆锥体的高h＝2 cm，底面圆半径r＝2 cm，则圆锥体的全面积为( )
A． 4π cm2 B． 8π cm2
C． 12π cm2 D． (4＋4)π cm2
5．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为6，则侧面积为（ ）
A． 8π B． 6π C． 12π D． 18π
6．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为，扇形的半径为，扇形的圆心角等于90°，则与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
7．用半径为6的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ）
A． 3 B． 2.5 C． 2 D． 1.5
8．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（ ）
A． 120πcm2 B． 240πcm2 C． 260πcm2 D． 480πcm2
9．已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（ ）
A． 60 B． 48 C． 60π D． 48π
10．已知一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积为（ ）．
A． 30πcm2 B． 50πcm2 C． 60πcm2 D． 3πcm2
11．如图，用一个半径为30cm扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），经测量圆锥的底面半径r为10cm，则扇形铁皮的面积为________?cm2 ．（结果保留π）
12．如图，圆锥的母线的长为，为圆锥的高，，则这个圆锥的侧面积为__________．
13．用半径为的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径为________．
14．已知圆锥的底面半径是，高为，则其侧面积为__ ．
15．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形卷成一个无底的圆锥形筒，则这个圆锥形筒的底面半径为 cm．
16．若一个圆锥的底面积为9π，锥高为4，则这个圆锥侧面展开的扇形面积为________．
17．用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
18．已知一圆锥的侧面展开图的面积为15πcm2，母线长为5 cm，则圆锥的高为________cm．
19．已知矩形ABCD的一边AB=5cm，另一边AD=3cm，则以直线AB为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____cm2．
20．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
(1)AB的长为多少米？
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面半径为多少米？
21．一个圆锥形小麦堆，底面周长为18.84米，高1.5米。如果每立方米小麦重0.75吨，这堆小麦约重多少吨？（得数保留整数）
22．如图所示，一个几何体是从高为4m，底面半径为3cm的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，求这个几何体的表面积．
23．如图，在四边形ABCD中，BC=CD=2，AB=3，AB⊥BC，CD⊥BC．
（1）求tan∠BAD；
（2）把四边形ABCD绕直线CD旋转一周，求所得几何体的表面积．
答案：
1．D
解析：圆锥的侧面积=×80π×90=3600π(cm2) .
故选：D．
2．B
解析：圆锥的侧面展开图是扇形。故选B.
3．D
分析：根据勾股定理求出AB，根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
详解：∵，AC=12，BC=5，
∴
∴该圆锥的侧面积
故选D.
4．C
分析：先利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据表面积=底面积+侧面积计算即可．
详解：底面圆的半径为2，
∵底面半径为2cm、高为2cm，
∴圆锥的母线长为=4cm，
∴侧面面积=π×2×4=8π；
底面积为=π×22=4π，
全面积为：8π+4π=12πcm2．
故选C．
点拨：本题考查了圆的面积和圆锥的侧面积的计算，牢记圆的面积和圆锥的侧面积公式是解答本题的关键．如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么圆锥的侧面积等于πrl，圆锥的底面积等于πr2.
5．D
分析：把圆锥的底面半径为3，母线长为6，代入圆锥的侧面积公式S=πrl计算即可.
详解：由题意得，
S=π×3×6=18π.
故选D.
点拨：本题考查了圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl是解答本题的关键.
6．C 试题分析：让扇形的弧长等于圆的周长列式可得=2πr，解得R=4r．
故选：B
7．A 分析：由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，由此求得圆锥的底面半径即可．
详解：
由题意知：半圆的弧长=6π，
∴圆锥的底面半径=6π÷2π=3．
故选A．
点拨：本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．
8．B 解析：圆锥的侧面积=×2π×10×24=240π（cm2），
所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．
故选：B．
9．D 解：圆锥的侧面积=?2π?6×8=48π．故选D．
点拨：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10．A
解析：圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可．
解：这个圆锥的侧面积=π×3×10=30πcm2，
故选A．
11．300π
解析：扇形铁皮的面积即为圆锥的侧面积，圆锥的侧面积=π×底面圆半径×母线长，
所以扇形铁皮的面积为：π×10×30=300π（cm2），
故答案为：300π.
12．
解析：∵SA=6cm，∠ASO=30°， ∴AO=，
∴圆锥的底面周长=2πr=2×3π=6π， ∴侧面面积=.
故答案为.
13．3
试题解析：由题意知：底面周长=6πcm， ∴底面半径=6π÷2π=3cm．
点拨：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
14．15π
试题分析：∵圆锥的底面半径为3cm，高为4cm，
由勾股定理得母线长为5cm，
∴圆锥的侧面积为×2π×3×5＝15πcm2．
故答案为15π．
点拨：本题考查圆锥侧面积的求法：圆锥的侧面积＝×底面周长×母线长；注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．
15．10．
试题分析：扇形的弧长是：=20πcm，
设底面半径是r，则2πr=20π，
解得：r=10．
故答案是10．
16．15π
分析：由底面圆的面积求出半径，得到母线长，根据S＝lR求解.
详解：因为圆锥的底面积为9π，所以圆锥的底面圆的半径为3.
根据勾股定理得圆锥的母线长为5，
所以圆锥侧面展开的扇形面积为×5×6π＝15π.
故答案为15π.
点拨：圆锥的展开图是扇形，理解圆锥的底面圆的周长等于它的展开图的弧长，扇形面积有两种计算方式，①S＝；②S＝lR.
17．2
分析：根据圆锥的侧面展开图的圆心角的计算公式即可得出答案．
详解：∵设圆锥的半径为r，母线长为4，∴即，解得：r=2．
18．4
试题分析：圆锥的侧面展开图为扇形，母线就是扇形的半径，由扇形的面积公式S= ，可以得到扇形的弧长 = =6,扇形的弧长也就是圆锥的底面圆的周长，所以由圆的周长公式C=可以求出底面圆的半径r=3cm,因此底面半径和母线和圆锥的高构成了一个直角三角形，其中斜边为母线，所以圆锥的高由勾股定理可以求得h==4cm,故答案为4
点拨：本题主要考查考生空间想象能力，以及对扇形的面积公式S= 的掌握，运用。知道圆锥侧面展开图是扇形，并且扇形的弧长即为圆锥底面周长。由此求得底面半径，底面半径，高及母线构成直角三角形，此为难点及易考点。
19．48π
试题解析：由题意知圆柱的高h=AB=5，底面圆的半径r=AD=3cm.
∴S表=S侧+2S底 故答案为：
20．（1）1米（2）米
分析：
（1）如下图，连接BC，则由已知易得△ABC是等腰直角三角形，且BC=，∠A=90°，由此可得AB=1；
（2）由AB=1，∠A=90°可得的长度，而由的长度是所围圆锥的底面圆的周长即可计算出底面圆的半径.
详解：
（1）如下图，连接BC，
∵在☉O中，∠A=90°，
∴BC是☉O的直径，
∴BC=，
又∵AB=AC，
∴AB=1（米）；
（2）∵AB=1，∠A=90°，
∴，
设扇形ABC围成的圆锥的底面圆的半径为r，则：
，解得：（米）.
点拨：（1）由已知条件证明得BC是☉O的直径，从而得到BC=解得第1小题的关键；（2）“熟记弧长的计算公式，且知道扇形的弧长是用扇形围成的圆锥的底面圆的周长”是解答第2小题的关键.
21．11吨
解析：18.84÷3.14÷2=3（米）
×3×3×3.14×1.5×0.75≈11（吨）
22．48cm2．
试题分析：利用扇形的面积公式即可求得内面的面积，利用圆面积公式求得底面的面积，然后利用矩形的面积公式求得外侧面的面积，三个的和就是表面积．
试题解析：解：底面周长是2×3π=6πcm，则内面的面积是： ×6π×5=15πcm2；
底面面积是：π×32=9πcm2；
侧面积是：6π×4=24πcm2，则这个几何体的表面积是15π+9π+24π=48πcm2．
23．（1）tan∠BAD=2；（2）表面积=（16+2）π．
分析：（1）过点D作根据计算即可.
把四边形ABCD绕直线CD旋转一周，会形成一个圆柱，上面会有一个凹圆锥，分别计算即可.
解：（1）过点D作
则四边形是正方形.
（2）侧面积：4π×3=12π，底面积=4π，凹圆锥侧面积
所以表面积
