第二章 第四节 圆周角
1．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O的半径为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．如图， AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC =130°，则∠D等于 （ ）
A． 20° B． 25° C． 35° D． 50°
3．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOC=100°，则∠ABC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
4．如图，AB是半圆O直径，半径OC⊥AB，连接AC，∠CAB的平分线AD分别交OC于点E，交于点D，连接CD、OD，以下三个结论：
①AC∥OD；②AC＝2CD；③CD2=CE·CO，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，在⊙O中，∠A＝35°，∠E＝40°，则∠BOD的度数（ ）
A． 75° B． 80° C． 135° D． 150°
6．6．如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点，丙助攻到C点．有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门；第三种是甲将球传给丙，由丙射门．仅从射门角度考虑，应选择的射门方式是( )
A． 第一种 B． 第二种 C． 第三种 D． 无法确定
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（ ）
A． 130° B． 100° C． 65° D． 50°
8．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是( )
A． 平分弦的直径垂直于弦
B． 三角形的外心到这个三角形的三边距离相等
C． 相等的圆心角所对的弧相等
D． 等弧所对的圆心角相等
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACO=30°，则∠B的度数是（ ）
A． 30° B． 45° C． 60° D． 75°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠C＝110°，点E在上，则∠E＝ °．
12．如图，是的直径，，若，则的度数为 ．
13．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=52°，则∠ADC的度数为 ．
14．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．
请回答：该尺规作图的依据是_____________________________________________．
15．如图，圆的两条弦、相交于点， 、的度数分别为、， 的度数为，则、和之间的数量关系为__________．
16．如图所示，△ABC内接于⊙O,AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD= ______.
17．如图，在⊙O中，AC是弦，AD是切线，CB⊥AD于B，CB与⊙O相交于点E，连接AE，若AE平分∠BAC，BE=1，则CE=________．
18．如图，A．B．C．D四点在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=40°，则∠BDC的度数是______
19．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BOC＝150°，则∠A＝________°．
20．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=46°.则∠EBC的度数等于_________度.
21．如图，四边形中的三个顶点在⊙上，是优弧上的一个动点(不与点、重合).
(1)当圆心在内部，时，________.
(2)当圆心在内部，四边形为平行四边形时，求的度数;
(3)当圆心在外部，四边形为平行四边形时，请直接写出与的数量关系.
22．如图，一个圆与正方形的四边都相切，切点分别为、、、．仅用无刻度的直尺分别在图①，图②中画出， 的圆周角并标明角的度数．
23．已知，如图， AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AB=4，求AD的长．
24．如图，AB是圆的直径，弦CD∥AB，AD，BC相交于点E，若AB=6，CD=2，∠AEC=α，求cosα的值．
25．在平面直角坐标系中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M ，使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与x轴、y轴的另一交点分别为点D，A（如图），连接AM点P是弧AB上的动点.
（1）写出∠AMB的度数；
（2）点Q在射线OP上，且OP·OQ=20，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交x轴于点E.
①当动点P与点B重合时，求点E的坐标；
②连接QD，设点Q的纵坐标为t，△QOD的面积为S，求S与t的函数关系式及S的取值范围.
26．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．
（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °
（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．
27．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．
28．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.
（1）求证：∠DAC＝∠DCE；
（2）若AE＝ED=2,求⊙O的半径.
答案：
1．C
试题分析：根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．
解：由相交弦定理得：AP×BP=CP×DP，
∵PA=4，PB=6，PD=2，
∴CP=12，
∴DC=12+2=14，
∵CD是⊙O直径，
∴⊙O半径是7．
故选C．
2．C
试题分析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°，
∴∠D=∠BOC=×50°=25°．
故选：C
3．C
试题分析：根据同弧所对圆心角是圆周角2倍可求，∠ABC=∠AOC=50°．
解：∵∠AOC=100°，
∴∠ABC=∠AOC=50°．
故选C．
4．B．
试题分析：①因为AD平分∠CAB，所以∠CAD=∠BAD，因为OA=OD，所以∠OAD=∠ADO，所以∠CAD=∠ADO，所以AC∥OD，故①正确；②由题意得，，所以AC＜2CD，故②错误；③∠CDA=∠AOC=45°，∠COD=∠BOC=45°，所以∠CDA=∠COD，又∠OCD=∠OCD，所以△CDE∽△COD，所以，所以，故③正确，所以其中正确结论的序号是①③．
故选：B．
5．D
如图，连接OC，已知∠A=35°，∠E=40°，由圆周角定理可得∠BOC=70°，∠DOC=80°，所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=70°+80°=150°．故选D．
6．C
解：连接CQ，根据三角形外角的性质可得∠PCQ＞∠A；由圆周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠PCQ=∠B＞∠A；又因点C到球门的距离比点B到球门的距离近，所以选择第三种射门方式更好，故选C.
7．C
解：∵∠CBE=50°，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC=∠CBE=50°（圆内接四边形的一个外角等于内对角），
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=.
故选C.
8．B
分析：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
详解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故选B．
点拨：本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.
9．D
试题分析：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点距离相等；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、等弧所对的圆心角相等.
10．C
解：连接OA，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO=30°，∴∠AOC=180°-∠OAC-∠ACO=120°，
∴∠B=∠AOC=60°，
故选C.
11．125
试题分析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD=180°-∠C=180°-110°=70°，∵AB=AD，∴∠ABD=（180°-∠BAD）÷2=55°，∴∠E=180°-∠ABD=125°．
12．25°
试题分析：在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数相等，等于圆心角度数的一半.
∵是的直径，，
∴
13．26°．
试题分析：已知OA⊥BC，根据垂径定理得出，再由圆周角定理即可得出∠ADC=∠AOB=26°．
14．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .
解：连接OD,CD,因为OC=OC=CD,所以OCD是等边三角形，∠A=
三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；
AC是直径， OCD是等边三角形，∠DCA=60°，所以∠A=30°，
直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；
sinA=,所以为锐角， .
直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .
故答案为：三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角， ， 为锐角， .
15．
解：连接CB,因为弧AB,弧CD所对的圆心角的度数分别是, ,所以∠ACB= ,
∠CBD= ,根据三角形外角定理可得: ∠ACB+∠CBD,即.
16．60°．
试题分析：根据圆周角定理可得出两个条件：①∠ACD=90°；②∠D=∠B=30°；在Rt△ACD中，已知了∠D的度数，即可求出∠CAD的度数．
试题解析：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°；
∵∠CDA=∠ABC=30°，
∴∠CAD=90°-∠CDA=60°．
17．2
解：∵AD是切线， ∠EAB=∠C,
∵AE是角平分线，
∠CAE=∠EAB,
∠CAE=∠EAB=∠C,
∵CB
∠C+∠CAB=90°，
3∠C=90°，
∠C=30°.
故答案为30°.
18．20°
解：连接OB，OA=OB，
∵OC⊥AB，∴∠BOC=∠AOC=40°，
∴∠D=∠BOC=20°.
故答案为20°.
19．105
解：∵∠BOC=150°，∴∠A所对的弧的度数为360°-150°=210°，
∴∠A=×210°=105°.故答案为：105.
20．23
试题解析：∵AB是O的直径，
又
又∵AB=AC，
故答案为：23.
21．120
试题分析：（1）连接OA，如图1，根据等腰三角形的性质得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根据圆周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；
（2）根据平行四边形的性质得∠BOD=∠BCD，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠A，则∠BCD=2∠A，然后根据圆内接四边形的性质由∠BCD+∠A=180°，易计算出∠A的度数；
（3）讨论：当∠OAB比∠ODA小时，如图2，与（1）一样∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，则∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，
所以∠ADO-∠ABO=60°；当∠OAB比∠ODA大时，用样方法得到∠ABO-∠ADO=60°．
解： (1)连接OA,如图1,
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°,即∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°；
故答案为120°；
(2)∵四边形OBCD为平行四边形，
∴∠BOD=∠BCD，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BCD=2∠A，
∵∠BCD+∠A=180°,即3∠A=180°，
∴∠A=60°；
(3)当∠OAB比∠ODA小时，如图2，
∵OA=OB,OA=OD,
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD?∠OAB=∠ADO?∠ABO=∠BAD，
由(2)得∠BAD=60°，
∴∠ADO?∠ABO=60°；
当∠OAB比∠ODA大时，
同理可得∠ABO?∠ADO=60°，
综上所述,.
22．见解析.
作135°先作出270°即可．
试题解析：解：（1）连接AC，BD相交于点O，连接正方形的对角线，则∠EOC=45°，连接EA，则∠EAC=∠EOC=22.5°；
（2）连接AC，BD．在弧AB上任意取一点E，连接BE、AE，则∠AEB=135°．
23．（1）证明见解析（2）
分析：(1)、要证明AD是⊙O的切线只要证明∠OAD=90°即可；(2)、根据勾股定理及圆周角定理即可求得AD的长．
详解：(1)、连接AO并延长交于H，连接HB. ∵，
∴. ∵AH是直径， ∴. ∴，
∴， 即：，
∵经过OA的外端， ∴AD是的切线.
(2)、∵AH为的直径， ∴. ∵， ∴.
∵，， ∴.
∴， ∴， ∴.
24．cosα==
试题分析：如图，连接AC．在Rt△AEC中，求出的值即可，根据= =可以得出结论．
试题解析：如图，连接AC．
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，，
∴= ，∠BCD=∠ADC，
∴EC=ED，AB=6，CD=2，
∴====，
∵AB是直径，
∴∠ACE=90°，
∴cosα==．
25．（1）90°；（2）①（，0）；②S=，5≤S≤10．
试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°，又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，继而可求得∠AMB的度数；
（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，又由动点P与点B重合时，OP?OQ=20，可求得OQ的长，继而求得答案；
②由OD=，Q的纵坐标为t，即可得S==，然后分别从当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，与当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，去分析求解即可求得答案．
试题解析：（1）过点M作MH⊥OD于点H，∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°，∵OM=AM，∴∠OAM=∠AOM=45°，∴∠AMO=90°，∴∠AMB=90°；
（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=，∴OB=4，∵动点P与点B重合时，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90°，∠POE=45°，∴OE=，∴E点坐标为（，0）；
②∵OD=，Q的纵坐标为t，∴S==，如图2，当动点P与B点重合时，过点Q作QF⊥x轴，垂足为F点，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90°，∠QOD=45°，∴t=QF=，此时S==5；
如图3，当动点P与A点重合时，Q点在y轴上，∴OP=，∵OP?OQ=20，∴t=OQ=，此时S==10；∴S的取值范围为5≤S≤10．
26．（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．
试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．
试题解析：（1）连接FE，
∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，
∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．
∵，即．
∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．
（2）作图如下：
P（7，7），PH是分割线．
27．（1）△CDE为等腰三角形；（2）证明见解析.
试题分析：（1）由∠ABC=30°可得∠BAC=60°，结合DE⊥AB，可得∠AED的度数；根据弦切角定理可得∠DCB=60°，再结合∠ACB=90°，从而可得∠DCE的度数；
（2）由（1）的证明过程可得∠ABC=∠OCB=∠DCE=∠CED=30°，要证明△BOC≌△EDC，只要证明BC=CE，接下来由圆半径为1可得AB的长，结合含30度角直角三角形的性质以及勾股定理可得AC、BC的长，在Rt△AEF中，先求得AF的长，再利用含30度角直角三角形的性质可得AE的长，继而得到CE的长，从而可证△CDE≌△COB．.
（1）解：∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°﹣60°﹣90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°﹣∠BAC=30°．
故△CDE为等腰三角形．
（2）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BAC=60°，AO=CO，
∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．
∴A，C，E三点同线
在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC==．
∵OF=，
∴AF=AO+OF=．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF=+1，
∴CE=AE﹣AC==BC，
而∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=90°﹣60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．
点拨：此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，含30°直角三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，利用了转化及数形结合的思想，是一道综合性较强的题．
28．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为
分析：（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；
（2）先证明△DCE∽△DAC，求出CD的长，设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，在Rt△OAD中，由勾股定理列方程即可求出半径的长.
详解：证明：（1）AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠B，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，
又∵∠DCE＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCE；
解：（2） ∵∠DAC=∠DCE, ∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
∴即，
∴DC= .
设⊙O的半径为x,则OA=OC=x，
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
，
解得x = ，
答：⊙O的半径为。
第二章 第四节 圆周角
1．如图，在半圆O中，AB为直径，半径OC⊥OB，弦AD平分∠CAB，连结CD、OD，以下四个结论：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（ ）
A．100° B．80° C．50° D．40°
3．已知半径为5的⊙O中，弦AB=，弦AC=5，则∠BAC的度数是（ ）
A． 15° B． 210° C． 105°或15° D． 210°或30°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠ABC=65°，则∠D的度数为（ ）
A． 130° B． 65° C． 35° D． 25°
5．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．12
6．如图，在⊙O中，已知∠OAB=25°，则∠C的度数为（ ）
A． 50° B． 100° C． 115° D． 125°
7．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A． 1： B． 1： C． 1：2 D． 2：3
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CA=CB，D是弧AmB上一动点（与A、B点不重合），则∠D的度数是( )
A． 30° B． 40° C． 45° D． 一个变量
9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC的长是（ ）
A． B． C．2 D．8
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′与两坐标分别交于A，B，C，D四点，已知：A（6，0），B（0，﹣3），C（﹣2，0），则点D的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，5）
11．如图所示，A、B、C三点均在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠ACB＝ ．
12．如图，点A、B、C在半径为1的⊙O上，的长为π，则∠ACB的大小是_____．
13．如图，AD和AC分别是半圆O的直径和弦，且∠CAD=30°，点B是AC上的点，BH⊥AD交AC于点B，垂足为点H，且AH:HD=5：7.若HB=5，则BC=_______．
14．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BCD=140°．若点E在弦AB所对的劣弧上，则∠E=__________°．
15．如图，⊙O的直径过弦的中点，，则 ．
16．如图，AB是半圆的直径，点C、D是半圆上两点，∠ADC = 128°，则∠ABC =___
17．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于 度．
18．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B=130°，OA=1，则的长为_____．
19．如图，AB是⊙O的直径，C、D为圆O上的两点，若∠CDB=35°，则∠ABC的度数为_____度．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．
（1）若ED＝BE，求∠F的度数：
（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，C为的中点，若∠CBD＝30°，⊙O的半径为12.
（1）求∠BAD的度数；
（2）求扇形OCD的面积.
22．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AP⊥BC于P，AM为⊙O的直径．
求证：∠BAM＝∠CAP．
23．如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足为P．
（1）请作出Rt△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点D在⊙O上吗？说明理由；
（3）试说明：AC平分∠BAD．
24．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点.①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF，以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③②；②③①.
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题.
25．已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；
小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．
请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=，，（其中），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).
26．问题探究：
（一）新知学习：
圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．
（二）问题解决：
已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．
（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；
（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；
（3）若直径AB与CD相交成120°角．
①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；
②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．
（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．
27．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
(1)如图①，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证：AC⊥BD；
(2)如图②，若AC⊥BD，垂足为F，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径．
答案：
1．B．
试题分析：∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，故①正确．
由题意得，OD=R，AC=R，
∵OE：CE=OD：AC=，
∴OE≠CE，故②错误；
∵∠OED=∠AOE+∠OAE=90°+22．5°=112．5°，∠AOD=90°+45°=135°，
∴∠OED≠∠AOD，
∴△ODE与△ADO不相似，故③错误；
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=×45°=22．5°，
∴∠COD=45°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67．5°
∵∠CAD=∠ADO=22．5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67．5°-22．5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴，
∴CD2=CO?CE=AB?CE，
∴2CD2=CE?AB，故④正确．
综上可得①④正确．
故选B．
2．D
试题分析：在同圆中，同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，则∠ACB=∠AOB=40°．
3．C
试题解析：
如图所示：点的位置有两种情况:
连接
是等边三角形. , 是等腰直角三角形. 如图, 不在弧上时: 如图, 在弧上时: 故选C.
4．D
试题分析：先根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠A=∠D，再由∠ABC=65°可得出∠A的度数，进而可得出结论．
解：∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=65°，
∴∠D=∠A=90°?65°=25°.
故选D.
5．C
试题分析：连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6．
解：连结OC交BD于E，如图，
设∠BOC=n°，
根据题意得2π=，得n=60，即∠BOC=60°，
而OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，
∵BC∥OD，
∴∠2=∠C=60°，
∵∠1=∠2（圆周角定理），
∴∠1=30°，
∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，
∴BE=DE，
在Rt△CBE中，CE=BC=3，
∴BE=CE=3，
∴BD=2BE=6．
故选：C．
点拨：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．
6．C
分析：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得∠AOB=135°，则根据圆周角定理得到∠P=∠AOB=67.5°，然后根据圆周角定理可计算出∠ACB的度数．
详解：作AB弧所对的圆周角∠APB，如图，
∵OA=OB， ∴∠OBA=∠OAB=25°， ∴∠AOB=180°-2×25°=130°， ∴∠P=∠AOB=65°， ∴∠ACB=180°-65°=115°． 故选：C．
点拨：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．D
试题分析：由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到，求出AD=AB，BD=AB，过C作CE⊥AB于E，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CE=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴，∴AD=AB，BD=AB，
过C作CE⊥AB于E，连接OE，∵CE平分∠ACB交⊙O于E，∴=，
∴OE⊥AB，∴OE=AB，CE=AB，
∴S△ADE：S△CDB=（AD`OE）：（BD`CE）=（×AB·AB）：（×AB·AB）=2：3．
8．C
试题解析：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠D=∠A=45°，
故选C．
9．A
试题分析：连接CD，则∠ADC=90°，∠ADC=∠ABC，又∠ABC=∠DAC，所以∠ADC=∠DAC=45°，因为直径AD=4，所以由勾股定理可得：AC=CD=，故选：A．
10．C
试题分析：利用相交弦定理可得：OA×OC=OB×OD，可得OD=4，所以点D的坐标为（0，4）．
解：∵AC⊥BD
∴OA×OC=OB×OD
∵OA=6，OC=2，OB=3
∴OD=4
∵D在y轴的上半轴
∴点D的坐标为（0，4）．
故选C．
11．40°．
试题分析：直接根据圆周角定理可得∠ACB=∠AOB=×80°=40°．
12．36°
试题解析：连结OA、OB．设∠AOB=n°．
∵的长为2π，
∴=2π，
∴n=40，
∴∠AOB=40°，
∴∠ACB=∠AOB=20°．
13．8
解：连接CD.
∵∠CAD=30°，HB=5，
∴AB=2BH=10,
∴.
∵AH:HD=5：7,
∴,
∴AD=AH+HD=.
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°,
∴∠ACD=∠AHB.
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽AHB,
∴ ,
∴,
∴BC=AC-AB=18-10=8.
14．110
试题分析：连接AC，∵AB=AD，∠BCD=140°，∴∠ACB=∠ACD=70°，∵∠AEB+∠ACB=180°，∴∠E=180°﹣70°=110°.
15．20°
试题分析：先根据⊙O的直径过弦的中点可得弧ED=弧DF，再根据圆周角定理即可求得结果.
∵⊙O的直径过弦的中点
∴弧ED=弧DF
∵
∴20°.
点拨：垂径定理是圆中极为重要的知识点，一般与勾股定理结合使用，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.
16．52
试题分析：因为圆内接四边形对角互补，所以∠ABC +∠ADC=180o.所以∠ABC=180o-128°=52o.
考点：圆内接四边形性质.
17．130
试题分析：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠E的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可得到∠ACB的度数．
解：设点E是优弧AB上的一点，连接EA，EB
∵∠AOB=100°
∴∠E=∠AOB=50°
∴∠ACB=180°﹣∠E=130°．
18．
解：∠B=130°,所以∠D=50°，∠AOC=100°，
弧AC==.
故答案为.
19．55
解：由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A+∠ABC=90°，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB=35°，由此得∠ABC=90°-∠A=55°．
故答案为：55.
20．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．
试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；
（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．
试题解析：（1）如图1，连接EO，
∵
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
∴，
∴EF=；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，
③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴，
∴，
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去），
综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．
21．（1）60° （2）24π
解：（1）∵C是为的中点，∴ =2，∴∠BAD=∠COD，∵ =，∴∠COD=2∠CBD，∴∠BAD=2∠CBD，∵∠CBD=30°，∴∠BAD=60°；
（2）∵=，∴∠COD=2∠CBD，∵∠CBD=30°，∴∠COD=60°，则S扇形OCD==24π．
点拨：此题主要考查了圆周角定理，以及扇形的面积计算，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
22．证明：连接BM，
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ABM=90°，
∴∠M+∠BAM=90°，
∵AP⊥BC，
∴∠APC=90°，
∴∠C+∠CAP=90°，
∵∠C=∠M，
∴∠BAM=∠CAP．
试题分析：首先连接BM，根据同弧所对圆周角相等，即可得∠C=∠M，由AM为⊙O的直径，根据
圆周角定理，即可得∠ABM=90°，又由AP⊥BC，利用等角的余角相等，即可证得∠BAM=∠CAP．
23．（1）作图见解析；（2）在，理由见解析；（3）说明见解析．
试题分析：（1）作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，以OB为半径作⊙O即可；
（2）连结OD，先判断AC是⊙O的直径，而∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得OD=AC，即OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点D在⊙O上；
（3）由于AC是⊙O的直径，BD⊥AC，根据垂径定理得BC=CD，则，然后根据圆周角定理可得∠BAC=∠DAC．
试题解析：（1）如图，⊙O为所作；
（2）点D在⊙O上．理由如下：
连结OD，
∵∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠ADB=90°，
∴OD=AC，即OD=OA，
∴点D在⊙O上；
（3）∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，
∴BC=CD，
∴
∴∠BAC=∠DAC，
∴AC平分∠BAD．
24．（1）①②③是真命题；①③②是假命题；②③①是真命题；（2）证明见解析.
分析：（1）①②?③，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到命题是真命题；根据①③只能得到DE=DF，得不到DE⊥AB，DF⊥AC，从而得①③?②是假命题；②③?①，通过证明四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径，再根据垂径定理可得是真命题.
（2）对真命题按（1）中的分析进行证明即可.
解：（1）①②?③，正确；②③?①，正确；
①③?②，错误，分析如下：
根据①AD平分∠BAC，③AD⊥EF，可以证明△ADE≌△ADF，可得DE=DF，但没有条件可以证明DE⊥AB，DF⊥AC，故命题为假命题；
（2）先证①②?③，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF，
设AD与EF交于P ，则△DEP≌△DFP，
∴∠DPE=∠DPF，
∴∠DPE=∠DPF=90°，
∴AD⊥EF；
再证②③?①，如图，
设AD的中点为O，连接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分别是Rt△ADE，Rt△ADF斜边上的中线，
∴OE=AD，OF=AD，
即点O到A、E、D、F的距离相等，
∴四点A、E、D、F在以O为圆心，AD为半径的圆上，AD是直径，
∴EF是⊙O的弦，
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC．
点拨：本题考查了三角形全等的判定定理和性质，同时考查了垂径定理等知识的综合运用，结合图形正确地选择相关性质以及准确添加辅助线是解题的关键.
25．（1）解：延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠ACM，
在△AEB和△AMC中，∴△AEB≌△AMC，
∴∠AEB=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEB=∠ABC，
∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠AEB=∠AME=60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM=ME=MB+BE，
∵BE=MC，
∴MB+MC=MA=1+2=3．
即AM的长是3．
（2）解：分为两种情况：①如图，AM==(a+b)
由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，
由（1）知：∠ABE=∠ACM，
在△ABE和△ACM中
∴△ABE≌△ACM，
∴AM=AE，∠E=∠AMC，
∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠E=∠AMB=45°，
∴∠EAM=90°，
在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，
由勾股定理得：AM==(a+b)
即AM=(a+b)
②如图，
在CM上截取CN=BM，连接AN，
∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，
∴∠ABM=∠ACN，
在△ABM和△ACN中
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，
∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，
∴∠BAN+∠BAM=90°，
∴∠MAN=90°，
则△MAN是等腰直角三角形，
∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，
由勾股定理得：AM=AN==(b-a)
即AM=(b-a)．
即AM的长是(a+b)或(b-a)．
试题分析：（1）延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接
四边形的性质推出∠ABE=∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，证等边三角形AEM，推出AE=AM=ME，
即可推出答案；
（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推
出AB=AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是
等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．
点拨：本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，圆周角定理，圆内接四边形性质等知识点的运用，关键是正确作辅助线推出AM=BM+CM，两小题证明过程类似，都是通过作辅助线把AM、BM、CM放在一个三角形中，求出三者之间的关系，题目比较好，有一点难度．
26．（1）证明见解析，直径OP=2；
（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；
（3）①MN=；②证明见解析；
（4）MN取得最大值2．
试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；
（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN?sin∠MQN，从而可得MN=OP?sin∠MQN，由此即可解决问题；
（4）由（3）②中已得结论MN=OP?sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．
试题解析：（1）如图一，
∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；
（2）如图一，
∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，
∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；
（3）①如图二，
∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．
∵P1M=OP1?sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；
②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，
交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，
则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，
在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN?sin∠MQN，∴MN=OP?sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．
（4）由（3）②得MN=OP?sin∠MQN=2sin∠MQN．
当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．
27．(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为.
试题分析：（1）根据题意不难证明四边形ABCD是正方形，结论可以得到证明； （2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，则BF∥AC，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧AB，则CF=AB．根据勾股定理即可求解．
试题解析：
：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°， ∴AC、BD是⊙O的直径， ∴∠DAB=∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD=CD， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD； （2）连结DO，延长交圆O于F，连结CF、BF． ∵DF是直径， ∴∠DCF=∠DBF=90°， ∴FB⊥DB， 又∵AC⊥BD， ∴BF∥AC，∠BDC+∠ACD=90°， ∵∠FCA+∠ACD=90° ∴∠BDC=∠FCA=∠BAC ∴等腰梯形ACFB ∴CF=AB． 根据勾股定理，得 CF2+DC2=AB2+DC2=DF2=20， ∴DF=2，
∴OD=，即⊙O的半径为.
第二章 第四节 圆周角
1．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P的坐标是（-4，3），则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O外或⊙O上
3．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，点D为⊙O上一点，若∠ACD=50°，则∠BAD的大小为
A． 40° B． 41°
C． 42° D． 45°
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为
A． 6 B． C． D．3
7．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm
8．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数为( )
A．35° B．45°
C．55° D．75°
9．⊙是△的外接圆， ,则的度数是（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 100°
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，则BC的长为（ ）
A． B． 2 C． 4 D． 4
11．如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是 ．
12．△ABC中，∠ACB=120°，AC=BC=3，点D为平面内一点，满足∠ADB=60°，若CD的长度为整数，则所有满足题意的CD的长度的可能值为 ．
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DE是AD的延长线，若∠CDE=60°，则∠AOC= ．
14．如图，在⊙O中，B，P，A，C是圆上的点，， PD⊥CD，CD交⊙O于A，若AC=AD，PD = ，sin∠PAD = ，则△PAB的面积为_______．
15．如图，在直径为AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为______．
16．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点P是上任意一点（不与A、B重合，点C在AP的延长线上），则∠BPC= .
17、.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，AC=8，则⊙O的直径AD的长度为 ．
18．如图，是⊙O的内接三角形，如果，那么_______度．
19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为 ⊙O的直径，BD＝4，则BC＝ ．
20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=45°，则∠B的度数为_____.
21．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b (b为常数)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B；半径为5的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（1）若F为上异于C、D的点，线段AB经过点F．
①直接写出∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FA·FB；
（2）设，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°?若存在请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，在半径为6cm的圆中，弦AB长6cm，试求弦AB所对的圆周角的度数．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E、交射线CD于点F．
（1）若ED＝BE，求∠F的度数：
（2）设线段OC＝a，求线段BE和EF的长（用含a的代数式表示）；
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．
24．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AB=CD，求证：CE=BE．
25．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。
（1）求证： ACO=BCD。
（2）若EB=，CD=，求⊙O的直径。
26．如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长
27．如图，AB是半圆的直径，过圆心O作AB的垂线，与弦AC的延长线交于点D，点E在OD上．
（1）求证：CE是半圆的切线；
（2）若CD=10，，求半圆的半径．
28．如图，已知⊙的半径为， 为直径， 为弦． 与交于点，将 沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，链接．
（）求的长．
（）求证： 是⊙的切线．
（）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点（与、不重合）．则为一定值．请说明理由，并求出该定值．
答案：
1．D
试题分析：可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB，CD相交于P，因此AP?PB=CP?PD，代入已知数值计算即可．
解：由相交弦定理得AP?PB=CP?PD，
∵AP=6，BP=2，CP=4，
∴PD=AP?PB÷CP=6×2÷4=3．
故选D．
2．C．
试题分析：OP==5，则OP等于圆的半径，则点P在⊙O上．故选C．
3．C．
试题分析：连接OA，∵OA=OB，∴∠OAB=∠B=30°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠D=20°，∴∠BAD=∠OAB+∠OAD=50°，故选：C．
4．B
分析：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，OD==1，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，CF==2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3，
故选B．
5．A
试题解析：∵AB为圆O的直径，
故选A.
点拨：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
6．D
试题分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD，，所以在Rt△AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3，故选：D.
7．C
试题分析：先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
8．A
解：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝55°，
∴∠A＝90°－∠ABD＝35°，
∴∠BCD＝∠A＝35°.
9．B
解：∵, ∴ ；由圆周角定理可求： .故选B.
10．B
解：延长BO交圆于D，连接CD．
则∠BCD=90°，∠BDC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半径为2，
∴BD=4，
∴BC=2，
故选B．
11．55°．
试题分析：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，
∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故答案是：55°．
12．3、4、5、6
试题分析：分类讨论：由于∠ACB=120°，∠ADB=60°，当点D在△ABC的外接圆上，且点D在优弧AB上，可计算出圆的直径得到3＜CD长度≤6；当点D在以C为圆心、CA为半径的圆上，则CD=3．
解：∵∠AOB=120°，∠ACB=60°，
当点D在△ABC的外接圆上，且点D在优弧AB上，
∴3＜OC长度≤6；
当点D′在以O为圆心、CA为半径的圆上，则CD′=3，
∴CD长度的可能值为3、4、5、6．
故答案为：3、4、5、6．
13．120°．
试题分析：利用补角的定义、圆内接四边形的性质求得圆周角∠B=60°；然后根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”即可求得∠AOC的度数．
解：∵∠CDE=60°，∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ADC=120°；
又∵∠B+∠ADC=180°（圆的内接四边形中对角互补），
∴∠B=60°；
∴∠AOC=2∠B=120°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
故答案是：120°．
14．2
分析：在Rt△PAD中，计算得出AD＝1，连接PC、PB、PA，过P作BA垂线于H点，由得到PB=PC，再由全等三角形的判定定理可得出△PBH≌△PCD，Rt△PHA≌Rt△PDA，再得出AC=AD=1，PH=PD＝，再由计算得出结论．
详解：
∵PD⊥CD，PD = ，sin∠PAD = ，sin∠PAD＝，
∴AP＝，
∴AD＝，
连接PC、PB、PA，过P作BA垂线于H点，如图所示：
∵ ，
∴PB=PC
∴∠B=∠C，∠PHB=∠PDA， ∴∠BPH=∠DPC， 在△PBH与△PCD中，
∴△PBH≌△PCD（ASA）， ∴BH=CD=2，PH=PD， 在Rt△PHA与Rt△PDA中，
∴Rt△PHA≌Rt△PDA（HL）， ∴HA=AD=1 ∴AB=BH+HA=3．
∴△PAB的面积为.
故答案是：2.
点拨：考查的是圆周角定理及全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
15．61°．
解：∵∠AOD=58°，∴∠ACD=∠AOD=29°．∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD=29°．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°﹣29°=61°．故答案为：61°．
16．50°.
试题分析：在优弧上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB=∠AOB=50°，根据圆内接四边形的性质可得∠BPC=∠ADB=50°.
故答案为：50°．
17、．试题分析：连接CO，过O作OE⊥AC，根据垂径定理可得AE=4，根据圆周角定理可得∠AOC=120°，进而可得∠1=30°，再根据直角三角形的性质可得AO=2EO，再利用勾股定理计算出AO长，进而可得AD长．
解：连接CO，过O作OE⊥AC，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2=30°，
∵OE⊥AC，
∴EO=AO，
设AO=x，则EO=x，
∵AC=8，
∴AE=4，
∵AO2=AE2+EO2，
∴x2=42+（x）2，
解得：x=，
∴AD=．
18．50．
试题分析：∵弧AC所对的圆心角是∠AOC，圆周角是∠B，
∴∠B=∠AOC=×100°=50°．
19．.
试题分析：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ADB=∠ABC=∠ACB=30°，
∵BD为直径，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，由勾股定理可得AB=BD=2，过A作AE⊥BC于点E，Rt△ABE中，可求得BE=，∴BC=，故答案为：．
20．45°
解：如图，连接OA，因OA=OC，可得∠ACO=∠OAC=45°，根据三角形的内角和公式可得∠AOC=90°，再由圆周角定理可得∠B=45°.
21．（1）①45°，②；（2）
试题分析：（1）①连接CD，利用同一条弦所对的圆周角相等求出∠CFE=45°，
②易证∽，根据相似三角形的性质可得；
（2）设,由得，，可得方程，然后根据b的范围即可求解．
试题解析：（1）①
②根据“一线三等角”易证∽
∴即
∴
（2）如图：同（1）②得，设,由得，，有
，
当b＞时，△＜0，
∴不存在
当b=时，△＜0，存在
∴
22．弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.
试题分析：本题需分情况讨论，设弦AB所对的圆周角为∠P，点P可能位于优弧上，也可能位于劣弧上，分别对这两种情况计算求解即可.
试题解析：
如图，
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P，劣弧上所对的圆周角为∠P′，
连接OA，OB，过O点作OC⊥AB，垂足为C，
由垂径定理，得AC=AB=3，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC===，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根据圆周角定理，得∠P=∠AOB=60°，
又APBP′为圆内接四边形，
所以，∠P′=180°－∠P=120°.
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°.
23．（1）30°；（2）EF=；（3）CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．
试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；
（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．
试题解析：（1）如图1，连接EO，
∵
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
∴，
∴EF=；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB为等腰三角形，设CO=x，∴OP=OC=x，则PE=EO-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当BE=EP，2x=4-x，解得：x=，
③当BE=BP，作BM⊥EO，垂足为M，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴，
∴，
整理得：x2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去），
综上所述：当CO的长为或时，△PEB为等腰三角形．
24．证明：如图，连接BC，∵AB=CD，∴∠ACB=∠DBC，又∵∠A=∠D，BC=BC，∴，∴AC=BD，∵∠AEC=∠DEB，∴，∴CE=BE．
试题分析：欲证明CE=BE，只需推知△ACE≌△DBE即可．
证明：∵如图，AB=CD，
∴=，
∴=，
∴AC=BD．
又∵∠ACD=∠ABD，即∠ACE=∠DBE，
在△ACE与△DBE中，
，
∴△ACE≌△DBE（AAS），
∴CE=BE．
25．（1）详见解析；（2）⊙O的直径为26cm.
试题分析：（1）根据垂径定理可得CE=ED， ,由等弧所对的圆周角相等可得∠BCD=∠BAC，又因为△AOC是等腰三角形，即可得OAC=OCA，结论得证；（2）根据垂径定理可得CE=ED，设⊙O的半径为Rcm，则OE= R8，在RtCEO中，根据勾股定理列出以R为未知数的方程，解方程即可求得圆的半径长，从而求得圆的直径的长.
试题解析：
证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于E，
∴CE=ED， ,
∴BCD=BAC,
∵OA=OC .
∴OAC=OCA .
∴ACO=BCD .
(2)设⊙O的半径为Rcm，则OE=OBEB=R8，
CE=CD= 24=12，
在RtCEO中，由勾股定理可得,
OC=OE+CE ,
即R= (R8) +12,
解得 R=13.
∴2R=213=26 .
答：⊙O的直径为26cm.
26．（1）证明见解析；（2）BE=24．
分析：（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；
（2）先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长.
详解:证明：（1）连接OC，交AE于H，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠PCA=∠ABC；
（2）∵AE∥PC，
∴∠CAF=∠PCA，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF=∠ABC，
∵∠ABC=∠PCA，
∴∠CAF=∠ACF，
∴AF=CF=10，
∵AE∥PC，
∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD=，
在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，
∴AD=8，
∴FD==6，
∴CD=CF+FD=16，
在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，
r2=（r﹣8）2+162，
r=20，
∴AB=2r=40，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，
∴AE=32，
∴BE==24．
27．（1）见解析；(2)
分析: （1）连接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出结论； （2）设AC=2x，由根据题目条件用x分别表示出OA、AD、AB，通过证明△AOD∽△ACB，列出等式即可.
详解：（1）证明：如图，连接CO.
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.
∴∠DCE+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠B.
∵，
∴∠OCB=∠DCE.
∴∠OCE=∠DCB=90°.
∴OC⊥CE.
∵OC是半径，
∴CE是半圆的切线.
（2）解：设AC=2x，
∵在Rt△ACB中，,
∴BC=3x.
∴.
∵OD⊥AB,
∴∠AOD=∠ACB=90°.
∵∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB.
∴.
∵，AD=2x+10,
∴.
解得 x=8.
∴.
则半圆的半径为.
28．（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析.
试题分析：（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据圆的切线的定义证明即可；（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到GE?GF=AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
（）连接，
∵沿翻折后， 与重合，
∴，
∴，
∵，
∴．
（）∵， ，
∵， ，
∴，
∵， ，
∵，
∴，
∴是⊙的切线．
（）， 为定值，
连接， ， ，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵为直径， ，
∴，
∴，
∴．
第二章 第四节圆周角
1．如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知PA和PB的长分别是方程x2﹣12x+24=0的两根，则此圆的直径为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，不正确的是（ ）
A．直径是弦， 弦是直径
B．半圆周是弧
C．圆上的点到圆心的距离都相等
D．在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
3．如图，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=700，则∠AOC为（ ）
（A）1400 （B）1200 （C）900 （D）350
4．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ）
A． 60° B． 45° C． 35° D． 30°
5．已知点A、B、C是直径为6cm的⊙O上的点，且AB=3cm，AC=3cm，则∠BAC的度数为（ ）
A． 15° B． 75°或15° C． 105°或15° D． 75°或105°
6．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是（）
A． 52° B． 38° C． 22° D． 19°
7．如图，A、B、C三点都在⊙O上，∠ABO＝50°，则∠ACB＝（ ）
A． 50° B． 40° C． 30° D． 25°
8．如图所示，点A，B，C是⊙O上三点，∠AOC＝130° ，则∠ABC等于（ ）
A．50° B．60° C．65° D．70°
9．如图，P是直径AB上的一点，且PA=2，PB=6，CD是过点P的弦，那么下列PC的长度，符合题意的是（ ）
A．PC=1；PD=12 B．PC=3；PD=5 C．PC=7；PD= D．PC=；PD=
10．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45度．给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（ ）
A． ①②③ B． ①②④ C． ①②⑤ D． ①②③⑤
28．如图，在⊙O中，∠AOC＝∠BOD，弧AD的度数为50°，求∠BOC的度数．
11．如图，A、B、C为⊙O上三点，且∠OAB=55°，则∠ACB的度数是 度．
12．如图，是⊙O直径， ，则=______
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC+∠BOC=180°，BC=2cm，则⊙O的半径为______cm．
14．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为_____．
15．如图，在半径为的⊙中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是菱形，其中正确结论的序号是__________．
16．如图，⊙C过原点O并与坐标轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，
点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为__________．
17．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A= ．
18．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，），则⊙C半径是__________
19．如图，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为_______。
20．D、C是以AB为直径的半圆弧上两点，若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°，则弧DC所对的圆周角为_____ .
21．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．
22．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=5，求△ABC外接圆的半径．
23．按要求用尺规作图,保留作图痕迹，不写作法
（1）请在图①的正方形内，画出一个点满足；
（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并一句话说明理由．
24．已知：如图，△ABC中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
25．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=，求PD的长．
26．已知：如图， 是半圆的直径，弦，动点、分别在线段、上，且， 的延长线与射线相交于点、与弦相交于点（点与点、不重合），， ．设， 的面积为．
（1）求证： ；
（2）求关于的函数关系式，并写出的取值范围
（3）当是直角三角形时，求线段的长．
答案：
1．A
试题分析：由根与系数的关系和根据相交弦定理求解．
解：由根与系数的关系可得：x1?x2=24
即PA?PB=24
设PC=x，则PA?PB=x?3x
即3x2=24
解得x=2
则圆的直径为4×2=8．故选A．
2．A
试题分析：因为直径是圆中最大的弦，所以A错误；因为圆上任意两点间的部分是弧，所以B正确；因为圆上的点到圆心的距离都等于半径，所以C正确；在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，D正确；故选：A．
3．A
试题分析：在圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=140°，故选A.
4．D
解：已知 ，∠AOB=60°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等并且它所对的圆心角的一半可得 ∠BDC= ∠AOB=30°，故选D.
5．C
解：如图1．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ACD=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABD中，AD=6，AC=3，∠CAD=45°，则∠BAC=105°；
如图2，．∵AD为直径，∴∠ABD=∠ABC=90°．在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，则∠BDA=30°，∠BAD=60°．在Rt△ABC中，AD=6，AC=3，∠CAD=45°，则∠BAC=15°．故选C．
点拨：本题考查的是圆周角定理和锐角三角函数的知识，掌握直径所对的圆周角是直径和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
6．D
解：∵∠AOB=38°，∴∠C=∠AOB=19°，∵AO∥BC，∴∠OAC=∠C=19°．故选D．
7．B
解：∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°-50°-50°=80°，∴∠ACB=40°．故选B．
8．C
试题分析：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.
9．D
试题分析：根据相交弦定理及“直径是圆的最长弦”进行判断．
解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，
∵PA?PB=2×6=12，
∴PC?PD=12，
又AB是直径，且AB=8，也是圆的最长的弦，
即PC+PD＜AB，则只有答案D符合要求．
故选D．
10．B
试题解析：连接AD，AB是直径，
则AD⊥BC， 又∵△ABC是等腰三角形， 故点D是BC的中点，即BD=CD，故②正确； ∵AD是∠BAC的平分线， 由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°-∠EBC-∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE，∴AE≠2CE，③不正确． ∵AE=BE，BE是直角边，BC是斜边，肯定不等，故⑤错误 故选B．
11．35
试题分析：先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠AOB，然后根据圆周角定理求解．
解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=55°，
∴∠AOB=180°﹣55°﹣55°=70°，
∴∠ACB=∠AOB=35°．
故答案为35．
12．25°
解： ，
，
．
13．2．
解：如图作OE⊥BC于E．
∵∠BAC+∠BOC=180°，∠BOC=2∠A，∴∠BOC=120°，∠A=60°．∵OE⊥BC，∴BE=EC=，∠BOE=∠COE=60°，∴∠OBE=30°，∴OB=2OE，设OE=x，OB=2x，∴4x2=x2+（）2，∴x=1，∴OB=2cm．故答案为：2．
点拨：本题考查了三角形的外心与外接圆、圆周角定理．垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．4π
分析：根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴的长=，
故答案为：4π.
15．①③④
∵点是劣弧的中点，
∴，①正确．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．②错误．
同理可得为等边三角形，
∴，③正确．
∵，
∴四边形为菱形，④正确．
故答案为①③④．
16．（－1， ）．
试题分析：连接AC，OC，作CE⊥OD于E，CF⊥AO于F，因为OD=2，由垂径定理得：OE=，即CF=，因为∠OBA=30°，由圆周角定理得：∠ACO=2∠OBA=60°，所以∠OCF=30°，OF=CF=×=1，因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1，）．
17．72°．
试题分析：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠BCO=∠OBC=18°，∴∠BOC=180°﹣2∠OBC=180°﹣2×18°=144°，∴∠A=∠BOC=×144°=72°．故答案为： 72°．
18．4
分析：连接AD，根据圆周角定理得出AD为直径，根据圆周角定理得出∠ADO=30°，然后根据直角三角形的性质求出AD的长度，从而得出半径．
详解：连接AD，∵∠AOD=90°， ∴AD为直径， ∵∠OBA=30°， ∴∠ADO=30°，
∵OD=， ∴AD=8， ∴⊙C半径是4．
点拨：本题主要考查的是圆周角定理，属于基础题型．根据直角所对的弦为直径得出AD为直径是解决这个问题的关键．
19．40°．
试题分析：连接OA，OB，根据圆内接四边形的内对角互补，可得出∠AOB=80°，再根据圆周角定理可求得∠ACB的度数．
试题解析：如图：连接OA，OB，
∵四边形AOBD是圆内接四边形，
∴∠AOB+∠D=180°，
∵∠ADB=100°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=40°．
20．30°或80°
解：C,D同侧，弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°,所以∠BOC=50°，
∠AOD=70°，所以∠DOC=60°，所以，DC所对的圆周角是30°.
C，D’异侧，∠DOB=110°，所以∠D’OC=160°，所以D’C圆周角是80°.
21．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为；（3）AE=．
试题分析：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，应用等腰三角形的三线合一证得点D为BC的中点；
（2）应用等腰三角形的性质和判定证得BD=DE=3，进而求得BD=3，AD=1，应用勾股定理求得AB的长，即可得到半径的长；
（3）解法一：通过证明△CAB∽△CDE，应用相似三角形的性质解得CE的长，再求AE的长；
解法二：连接BE，通过证明△ADC∽△BEC，解得CE的长，再求AE的长．
试题解析：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴D是BC的中点．
（2）解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠C=∠E，则DC=DE，
∴BD=DE=3，
又BD-AD=2，
∴AD=1，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=1，
∴AB=，
则⊙O的半径为．
（3）解法一：在△CAB和△CDE中，
∠B=∠E，∠C=∠C（公共角），
∴△CAB∽△CDE，
∴，
∵CA=AB=，
∴，
∴AE=CE-AC==．
解法二：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEC=，
在△ADC和△BEC中，
∠ADC=∠BEC=，∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴，
∴，
∴AE=CE-AC==．
22．（1）证明见解析（2）
试题分析：
（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；
（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC的值，即可得出△ABC外接圆的半径．
（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，
∴，
∴∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DE=DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD=BD=5，
∵∠BAC=90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴BC==5，
∴△ABC外接圆的半径=×5=．
23．(1)作图见解析；（2）作图见解析；理由：同圆中同弧所对的圆周角相等
试题分析：（1）正方形对角线的交点符合点P的要求，作对角线即可；
（2）①以AB为边在正方形内作等边△ABP；
②作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F，由于在⊙O中，弦AB所对的上的圆周角均为60°，所以上的所有点均为所求的点P．
试题解析：（1）如图①，
连接AC、BD交于点P，则∠APB=90°．
∴点P为所求．
（2）如图②，画法给分如下：
作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD、BC交于点E、F，弧EF上所有的点均可．
理由：同圆中同弧所对的圆周角相等
24．（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．
如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以?AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积。
（2）连接OA，OB． ∵AC=3，∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴圆的半径是3， ∴圆的面积是S=πr2=9π．
25．（1）见解析；（2）4.
试题分析：（1）由圆周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，从而可证得△ABC是等边三角形；
（2）由△ABC是等边三角形可得出“AC=BC=AB=，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC和DAC通过特殊角的正、余切值即可求出线段AP、AD的长度，二者作差即可得出结论．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，AB=，∴AC=BC=AB=，∠ACB=60°．在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=，∴AP=AC?cot∠APC=2．在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=，∠ACD=60°，∴AD=AC?tan∠ACD=6，∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4．
26．（1）证明见解析；（2）（（3）线段OP的长为8．
试题分析：（1）连接OD，通过证明△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；
（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到S△AOP=AO?PH=3x，利用三角形相似得当对应
边的比相等即可得到函数解析式；
（3）分类讨论：当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时、当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论.
试题解析：（1）连接OD，在△AOP和△ODQ中，∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵,∴∠OCD=∠COA,∠POA=∠QDO.在△AOP和△ODQ中，
，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；
（2）作PH⊥OA交OA于H，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，PH=x，
∴S△AOP=AO?PH=3x，∵,∴△PFC∽△PAO,，
∴,当点F与点D 重合时，∵CD="2OC" cos∠OCD=2×10×=16，
解得x=,∴（（3）当∠POE=90°时，CQ=，∴PO=DQ=CD﹣CQ=,∵当∠OPE=90°时，∠OPA=90°,∴PO=AO?cos∠COA=8；
当∠OEP=90°时，∵,∴∠AOQ=∠DQO=∠APO，∴∠AOP=∠AEO=90°,此时弦CD不存在，此种情况不符合题意，舍；
综上，线段OP的长为8．
