江苏省常州市武进区九年级数学上册2.2圆的对称性课堂基础达标检测题（含答案）

第二章 第二节 圆的对称性
1．如图，已知⊙O的半径为10cm，弦AB的长为12cm，则弦AB的弦心距OE的长为（ ）
A． 5cm B． 6cm C． 7cm D． 8cm
2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、 C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为( )
A． 3 B． 4 C． 5 D． 8
3．3．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是（ ）
A． 25° B． 30° C． 40° D． 50
4．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（ ）
A． B． C．3 D．2
5．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC=40°，则∠CDB的度数为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
6．下列判断中正确的是( )
A．平分弦的直径垂直于弦
B．平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧
C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧
D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦
7．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（ ）
A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸
8．一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为 （ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
9．如图，点是半圆上的一个三等分点，点为弧的中点， 是直径上一动点，⊙O的半径是2，则的最小值为（ ）
A． 2 B． C． D．
10．如图，已知⊙O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，M、N为弧AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=（ ）
A、 B、 C、 D、33
11．⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 ．
12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝5，AD＝4，则AE的长为 ．
13．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm．求：⊙O的半径．
14．如图AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF=10，AD=1，则⊙O半径的长是_ __.
15．△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=cm，则∠A的度数为 .
16．如图，⊙O的弦AB＝8，直径CD⊥AB于M，OM:MD＝3:2，则⊙O的半径为 ．
17．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22.5°，则⊙O的半径为_____cm．
18．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝____米．
19．⊙的半径为5，弦的长为8， 是弦上的动点，则线段长的最小值为______.
20．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB=________°．
21．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于点E、F，如果AE＝BF，那么AC与BD相等吗？请说明理由．
22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF
（2）若CD=6，CA=8，求AE的长
23．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．
（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；
（2）求AB的长。
（3）求的正切值；
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
25．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO＝120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．
26．如图所示，是圆O的一条弦，，垂足为，交圆O于点，点在圆O上．
（1）若，求的度数；
（2）若AC=，CD=1，求圆O的半径．
27．如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE，EC．
（1）若∠AEC=28°，求∠AOB的度数；
（2）若∠BEA=∠B，BC=6，求⊙O的半径．
28．如图，⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程的两根．
（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C是劣弧的中点，连结MC交OA轴于点E．
①判断MC与OA的位置关系，并说明理由；
②求点C的坐标．
答案详解：
1．D
试题分析：连接OA，根据垂径定理求出AE的长，根据勾股定理计算即可得到答案．
解：连接OA，
∵OE⊥AB，
∴AE=AB=6cm，
∴OE==8cm．
故选：D．
2．C
试题分析：过点A作AD⊥OC，AE⊥OB，根据垂径定理可得：OD=3， BE=4 即AE=OD=3，根据Rt△ABE的勾股定理可得AB=5，即圆A的半径为5.
3．D
试题分析：根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．根据直径CD⊥AB，可得弧AD=弧BD，则∠DOB=2∠C=50°．
4．B
试题分析：当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
解：∵OA、OP是定值，
∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值；
在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，
∴PA==．
故选B．
点拨：本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．
5．B．
试题分析：连接AD，根据圆周角定理求出∠ADC=∠AOC=20°．∵CD⊥AB，
∴，∴∠CDB=∠ADC=20°．故选B．
6．C．
试题解析：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；
B、平分弦的直径也必平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，符合垂径定理，故本选项正确；
D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故本选项错误．
故选C．
7．D．
试题分析：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC=x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=×10=5寸，连接OA，则OA=x寸，根据勾股定理得x2=52+（x﹣1）2，解得x=13，CD=2x=2×13=26（寸）．故选D．
8．D
试题分析：根据垂径定理可得：OA=10，AC=8，根据直角△AOC的勾股定理可得：OC=6，则CD=10－6=4.
9．D
解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OB，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=2，∴A′B=，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．故选D．
10．C．
试题解析：如图，过点O作直线CD⊥EM，分别交EM，NF的延长线于点C、点D；
连接OM、ON；
∵OA=OB，AE=BF，
∴OE=OF；
又∵圆O的直径AB=12，E、F为AB的三等分点，
∴OE=OF=2，OM=6；
∵∠MEB=∠NFB=60°，
∴CO=DO=2sin60°=，EC=DF=2cos60°=1；
又∵OC⊥EM，OD⊥DN，
∴CM=DN；
∴EM+FN=CM+1+DN-1=2CM；
由勾股定理得：
CM2=OM2-OC2=36-3=33，
∴CM=，2CM=2
故选C．
11．4≤OP≤5
试题分析：因为⊙O的直径为10，所以半径为5，则OP的最大值为5，OP的最小值就是弦AB的弦心距的长，所以，过点O作弦AB的弦心距OM，利用勾股定理，求出OM=4，即OP的最小值为4，所以4≤OP≤5．
解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM=BM，
∵AB=6，
∴AM=3，
在Rt△AOM中，OM==4，
OM的长即为OP的最小值，
∴4≤OP≤5．
故答案为：4≤OP≤5．
12．．
试题分析：试题分析：如图1，连接BD、CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD===3，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD=3，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，∴△ABD∽△BED，∴，即，解得DE=，∴AE=AB﹣DE==．故选．
13．5 cm．
连接OB，构造直角三角形BOC，根据垂径定理和弦心距得到直角三角形直角边长，利用勾股定理直接求圆的半径即可．
解：连接OB，则
AC=BC=AB，∵AB=8cm，OC=3cm ∴BC=4cm
在Rt△BOC中，OB==5cm 即⊙O的半径是5cm．
故答案为5。
14．13．
试题分析：连接OE，如下图所示，则：OE=OA=R，
∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，∴ED=DF=5，
∵OD=OA﹣AD，∴OD=R﹣1，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：，∴，∴．故答案为：13．
15．60°或120°．
试题分析：由外接圆公式：2R=，
且已知R=2，BC=，所以sin∠A=，
因为∠A为三角形内角，所以∠A的度数为60°或120°．
16．5
试题分析：连接OB，设OM=3x，则MD=2x，0B=5x，BM=4，根据Rt△BOM的勾股定理可得：x=1，则BO=5x=5，即圆的半径为5．
17．2
试题分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
解：连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，
∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）．
故答案为：2．
18．25
试题分析：根据垂径定理，得AD=AB=20米．设圆的半径是R，根据勾股定理，得R2=202+（R﹣10）2，
解得R=25米．
19．3
试题分析：根据题意可知，点O到AB的距离中垂线段最短，因此OM的最小值为O到AB的玄心距的长，根据垂径定理和勾股定理可求得OM=3.
点拨：此题主要考查了垂径定理，解题关键是构造直角三角形，然后根据勾股定理求解既能得到结果.解题时注意最小值为点到直线距离---垂线段的长.
20．60
试题解析：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB=×360°=60°，故答案为：60．
点拨：圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
21．证明见解析．
试题分析：先根据OA=OB得出∠OAB=∠OBA，再由SAS定理得出△OAE≌△OBF，故可得出∠AOC=∠BOD，由此可得出结论．
解：AC与BD相等．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
在△OAE和△OBF中， ，∴△OAE≌△OBF（SAS）．
∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．
22．（1）见解析（2）
试题分析：（1）利用互余的性质得出，利用圆周角定理得出，然后得出，即可证明结论；（2）利用勾股定理得出AB的长，然后根据直角三角形的面积得出CE的长，然后利用勾股定理可求出AE的长．
试题解析：（1） AB是⊙O的直径，
，
，
，
，
C是的中点
，，
，
，
，
（2） C是的中点
BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
，
在Rt△ACE中 ，AE=
23．（1）相似 （2） （3）
试题分析：（1）根据条件证明∠ABC=∠D．，又有公共角∠BAE=∠EAB，然后可证明△ABE∽△ADB；（2）利用△ABE∽△ADB得到对应边成比例，代入数值计算即可得出AB的值；（3）根据∠C=∠D，在Rt△ADB求出tanD的值即可．
试题解析：（1）∵AB=AC，∴，∴∠ABC=∠D．又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB;
（2）∵△ABE∽△ADB，∴，∴ AB2=AD·AE =（AE+ ED）·AE=（2+4）×2 = 12，∴ AB =;
（3）∵BD为⊙O的直径，∴∠DAB=90°．又∵∠C=∠D，∴tanC=tanD=．
24．（1）BC∥MD；理由见解析；（2）16；（3）30°．
试题分析：（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
试题解析：（1）BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD；
（2）∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10-4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，
∴CD=2CE=16；
（3）如图2，
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=×90°=30°．
25．R＝＝4，圆心C的坐标为（－2，2）。
试题分析：（1）由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．
（2）利用勾股定理可得OB长，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的横坐标的绝对值，同法可得到点C的横坐标．
试题解析：（1）连结AB，易证AB为⊙C的直径。∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°。∴AB＝2AO＝8。∴⊙C的半径为R＝＝4。
（2）圆心C的坐标为（－2，2）。
26．（1）26°；（2）4．
试题分析：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
（1）由AB是圆O的一条弦，OD⊥AB，根据垂径定理的即可求得=，然后由圆周角定理求得∠DEB的度数；
（2）首先设圆O的半径为x，然后由勾股定理得到方程：（x-1）2+（）2=x2，解此方程即可求得答案．
试题解析：（10分）解：（1）∵OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，
∴=，
∵∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠AOD=×52°=26°．
（2）设圆O的半径为x，则OC=OD-CD=x-1，
∵OC2+AC2=OA2，
∴（x-1）2+（7）2=x2，
解得：x=4，
∴圆O的半径为4．
27．(1)56°；(2)．
试题分析：（1）根据垂径定理得到=，根据圆周角定理解答；
（2）根据圆周角定理得到∠C=90°，根据等腰三角形的性质得到∠B=30°，根据余弦的定义求出BE即可．
试题解析：（1）∵OA⊥BC，
∴=，
∴∠AEB=∠AEC=28°，
由圆周角定理得，∠AOB=2∠AEB=56°；
（2）∵BE是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠CEB+∠B=90°，
∵∠BEA=∠B，∠AEB=∠AEC，
∴∠B=30°，
∴BE==，
∴⊙O的半径为．
28．（1）；（2）①MC垂直平分OA；②C（6，－4）
试题分析：（1）利用因式分解法解方程即可得到OA=12，OB=5；
（2）①连接AB、MO，根据C为劣弧的中点，如图，根据等腰三角形的性质“三线合一”可知MC与OA的位置关系；
②根据三角形的中位线可知ME=OB=，根据垂径定理可知OE=6，然后根据勾股定理可求得OM的值，进而求出EC的值，由此求得点C的坐标．
试题解析：解：（1）
∴，
∵OA＞OB
∴
（2）①MC垂直平分OA
（直接答MC⊥OA不扣分）
连结OM，MA
∵点C为劣弧OA的中点
∴
∴ ∠OMC＝∠AMC
∵在⊙M中，OM＝AM
∴ME⊥OA，OE＝AE
即MC垂直平分OA
②∵
∴OE＝6
∵∠AOB＝90°
∴AB为⊙M的直径
∵
∴AB＝13 ∴OM＝
∴
∴
∴点C（6，－4）