第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测试题A卷（含解析）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测试题A卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一 、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列长度的线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，7 B．3，3，6 C．2，5，8 D．6，7，8
如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（　　）
A． 60° B． 70° C． 80° D． 90°
在△ABC中，能说明△ABC是直角三角形的是(　　)
A． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶2 B． ∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
C． ∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D． ∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4
如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（　　）
A．15° B．55° C．65° D．75°
如图△ABC中，D为BC边上一点，且△ABD与△ADC面积相等，则线段AD一定是（　　）
A．△ABC的高 B．△ABC的中线 C．△ABC的角平分线 D．以上选项都不对
如图，已知点D是△ABC中AC边上的一点，线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条( )
A． 角平分线 B． 中线 C． 高线 D． 边的垂直平分线
三角形的三边长分别为5，8，x，则最长边x的取值范围是（　　）
A．3＜x＜8 B．5＜x＜13 C．3＜x＜13 D．8＜x＜13
如图，直线l1∥l2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是(　　)
A． 60° B． 65° C． 70° D． 80°
如图，在△ABC中，∠CAB＝52°，∠ABC＝74°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE交于F，则∠AFB的度数是(　　)
A． 126° B． 120° C． 116° D． 110°
如图，在△ABC中，∠C=80°，D为AC上可移动的点，则x可能是（　　）
A． 5 B． 10 C． 20 D． 25
已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
如图，∠BAD=90°，∠ADC=30°，∠BCD=142°，则∠B=（　　）
A．12° B．20° C．22° D．42°
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是_____________ ．
如图，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的高，∠BAC＝40°，则∠AFE的度数为____．
已知如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC=　　．
将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1+∠2=　　　　　　度．
如图,在△ABC中,BD和CE是△ABC的两条高线,若∠A=65°，则∠1+∠2的度数为____.
如图，直线a∥b，∠1=110°，∠2=55°，则∠3的度数为 .
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE=3cm，S△ABC=12cm2，求DC的长.
如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E，求证：∠CFE=∠CEF．
如图,△ABC中,∠A=90°,∠C的平分线交AB于D,已知∠DCB=2∠B．求∠ADC的度数.
如图，已知△ABC的周长为24cm，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=5cm，△ABD的周长是18cm，求AC的长．
如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．
如图，点P在AC上，点Q在AB上，BE平分∠ABP，交AC于E，CF平分∠ACQ，交AB于F，BE、CF相交于G，CQ、BP相交于D，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
 (1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,图中有与∠A相等的角吗?为什么?
(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?
(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗?为什么?
答案解析
一 、选择题
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断．
解：A、4+3=7，不能构成三角形，故此选项错误；
B、3+3=6，不能构成三角形，故此选项错误；
C、2+5＜8，不能构成三角形，故此选项错误；
D、6+7＞8，能构成三角形，故此选项正确．
故选D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【考点】 三角形的外角性质．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数．
解：∵∠ACD=∠A+∠B，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
【考点】三角形内角和定理
【分析】根据三角形的内角和公式分别求得各角的度数，从而判断其形状.
解：、设三个角分别为、、，根据三角形内角和定理得三个角分别为：、、，不是直角三角形；
、设三个角分别为、、，根据三角形内角和定理得三个角分别为：、、，不是直角三角形；
、设三个角分别为、、，根据三角形内角和定理得三个角分别为：、、，是直角三角形；
、设三个角分别为、、，根据三角形内角和定理得三个角分别为：、、，不是直角三角形；
故选：.
【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是.
【考点】平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】利用平角的定义可得∠ADE=15°，再根据平行线的性质知∠A=∠ADE=15°，再由内角和定理可得答案．
解：∵∠CDE=165°，
∴∠ADE=15°，
∵DE∥AB，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠B=180°﹣∠C﹣∠A=180°﹣90°﹣15°=75°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】中线的作用是将三角形的面积进行等分，根据这一性质即可求解．
解：∵，
∴BD=CD，
∴点D为BC的中点，
∴AD为中线，故选B．
【点睛】本题主要考查的是三角形的中线的性质，属于基础题型．理解中线的性质是解决这个问题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”可判断.
解：由题意知，当线段BD将△ABC分为面积相等的两部分，则线段BD是△ABC的一条中线．
故选：B.
【点睛】本题考核知识点：本题利用了三角形的中线的性质． 解题关键点：结合图形，利用三角形中线性质，推出所求.
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的取值范围，再根据x是最长边求解．
解：∵5+8=13，8﹣5=3，
∴3＜x＜13，
又∵x是三角形中最长的边，
∴8＜x＜13．
故选D．
【考点】三角形内角和定理，平行线的性质
【分析】首先根据平行线的性质得出，进而得出度数，再利用三角形内角和定理以及对顶角性质得出的度数.
解：直线，，
，
，
，
，
，
的度数是.
故选：.
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，根据已知得出的度数是解题关键.
【考点】垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质
【分析】根据垂直得出，求出，求出，根据三角形外角性质求出即可.
解： ，，
，
，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力.
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角与三角形的内角和定理求出x的取值范围，然后即可选取答案.
解：根据题意，80°，
∴x＞°，
在△ABD中，9x＜180°，
∴x＜20°，
∴°＜x＜20°，
所以B为正确选项.
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，求出x的取值范围是解题的关键.
【考点】平行线的性质．三角形外角的性质
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠3是△ADG的外角，
∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=55°，
∵∠4+∠EFC=90°，
∴∠EFC=90°﹣55°=35°，
∴∠2=35°．
故选B．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
【考点】三角形的外角性质
【分析】延长BC交AD于点E，首先根据三角形的外角的性质求得∠DEC的度数，然后利用外角的性质求得∠B的度数即可．
解：如图，延长BC交AD于点E，
∵∠ADC=30°，∠BCD=142°，
∴∠DEC=∠BCD﹣∠ADC=142°﹣30°=112°，
∵∠BAD=90°，
∴∠B=∠DEC﹣∠BAD=112°﹣90°=22°，
故选C．
二 、填空题
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解：由题意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，
解得：1＜x＜6．
【点评】 考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式．
【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义
【分析】先根据角平分线的性质得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论.
解： 平分，，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键.
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用内角和定理可列出关于∠2的方程，可求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A．
解：∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2，
∵∠3+∠4+∠DAC=180°，
∴4∠2+100°=180°，
∴∠2=20°，
∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°，
故答案为：120°．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2的方程求出∠2是解题的关键．
【考点】 直角三角形的性质；平行线的性质．
【分析】 如图，连接两交点，根据两直线平行，同旁内角互补和直角三角形两锐角互余的性质解：如图，连接两交点，
根据矩形两边平行，得
∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
又矩形的角等于90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°．
故答案为：90．
【点评】 本题主要考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质．
【考点】直角三角形的性质，三角形内角和定理、高线的定义
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据高线的定义计算即可．
解：∵∠A=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵BD和CE是△ABC的两条高线，
∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90，
∴∠1+∠2+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2=180°-（∠ACB+∠ABC）=65°
故答案为：65°.
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、高线的定义，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
【考点】平行线的性质
【分析】根据平行线的性质，结合三角形的外角有关知识可求
解：如图: ∵∠2=∠5=55°, 又∵a∥b,
∴∠1=∠4=100°.
∵∠4=∠3+∠5,
∴∠3=110°-55°=55°,
故答案为:55
三 、解答题
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=6cm2，进而利用三角形面积得出CD的长.
解：∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=3cm，S△ABC=12cm2，
∴S△ADC=6cm2，
∴×CD×AE =6，
∴×3×CD=6，
解得：CD=4（cm）；
【点睛】本题考查了三角形中线、高线、三角形的面积，熟练掌握三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键.
【考点】直角三角形的性质，角平分线的定义
【分析】根据互余、角平分线及对顶角等相关知识即可得出答案．
证明：如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF.
【点睛】本题主要考查的知识有直角三角形两锐角互余、角平分线的定义、对顶角相等.利用等量代换是解题的关键.
【考点】三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余
【分析】已知CD平分∠ACB，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠DCB=2∠B；根据直角三角形的两锐角互余可得∠B+∠ACB=90°，即可得∠B+2∠B+2∠B=90°，由此求得∠B=18°，根据三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B即可求得∠ADC的度数.
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=2∠B，
又∵∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠B+∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠B+2∠B+2∠B=90°，
∴∠B=18°，
∴∠ADC=∠B+∠DCB=∠B+2∠B=3∠B=3×18°=54°.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余及三角形外角的性质，解决本题还可以利用方程思想解决.
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】由AD=AB、AD=5cm，可求出AB的长度，结合△ABD的周长是18cm，可求出BD的长度，进而可求出BC的长度，再根据△ABC的周长为24cm，即可求出AC的长．
解：∵AD=AB，AD=5cm，
∴AB=8cm．
又∵△ABD的周长是18cm，
∴BD=5cm．
又∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=10cm．
又∵△ABC的周长为24cm，
∴AC=24﹣8﹣10=6cm．
【点睛】本题考查了三角形的中线及三角形的周长的计算，根据三角形各边之间的关系结合三角形的周长分别求出AB、BC、AC是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【分析】根据角平分线的定义及三角形的外角性质可表示出∠A与∠D，从而不难发现两者的数量关系，进一步得出答案即可．
解：∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACE=2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D=∠DCE﹣∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A=∠ACE﹣∠ABC=2∠DCE﹣2∠DBE=2（∠DCE﹣∠DBE），
∴∠A=2∠D．
【考点】 三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】 根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB的度数，从而得出∠A的度数．
解：如图，连接BC．
∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，
又∠BDC=140°，∠BGC=110°，
∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，
∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°，
∴∠ABE+∠ACF=30°，
∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=80°．
【点评】 本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON
∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD
∴∠BAD=20°
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°
∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°
∴∠BAD=80°
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°
∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60
（2）①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
【考点】直角三角形的性质
【分析】（1）在Rt△BCD和Rt△ABC中，根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等即可得出与∠A相等的角；
（2）在Rt△BED和Rt△ABC中，根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等即可得出与∠A相等的角；
（3）在Rt△BED和Rt△ABC中，根据直角三角形的两锐角互余和同角的余角相等即可得出与∠A相等的角．
解：（1）有．
理由：∵CD⊥AB，
∴∠B＋∠BCD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°．
∴∠BCD＝∠A．
（2）有．
理由：
∵ED⊥AB，
∴∠B＋∠BED＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°．
∴∠BED＝∠A．
(3)有．
理由：
∵ED⊥AB，
∴∠B＋∠E＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°．
∴∠E＝∠A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和余角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等是解决此题的关键．