第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习一
一、选择题专项训练1：
1．如果是一元二次方程-6x-2=0 的两个实数根, =( ).
A． -6 B． -2 C． 6 D． 2
2．关于x的方程的两根互为相反数，则k的值是（ ）
A． 2 B． ±2 C． -2 D． -3
3．已知实数a，b分别满足，，且a≠b则的值是（ ）
A．7 B．－7 C．11 D．－11
4．设x1，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则 =（ ）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 12
5．已知k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知是一元二次方程（）的一个实数根，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2．若+=4m，则m的值是（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． 不存在
8．已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别是2+和2﹣，则b、c的值为（ ）
A．4、1 B．﹣4、1 C．﹣4、﹣1 D．4、﹣1
9．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2-7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x-12=0 D．x2-7x-12=0
10．已知关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． 且 D． 且
11．若、为方程的两个实数根，则的值为
A． B． 12 C． 14 D． 15
12．以3和为两根的一元二次方程是 （ ）；
A． B． C． D．
13．设是方程的两个实数根，则的值是( )
A． -6 B． -5 C． -6或-5 D． 6或5
14．关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）
A． m=0，n=0 B． m≠0，n≠0 C． m≠0，n=0 D． m=0，n≠0
15．已知x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，则m的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣5 C．5 D．4
16．如果三角形的两边长分别是方程x2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）
A． 5.5 B． 5 C． 4.5 D． 4
17．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0
18．判断一元二次方程式x2-8x-a=0中的a为下列哪一个数时，可使得此方程式的两根均为整数？（ ）
A． 12 B． 16 C． 20 D． 24
19．已知一元二次方程a+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（ ）
A． 0 B． 1 C． -1 D． 2
20．已知a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，则（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
21．定义运算：a?b=2ab．若a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，则(a+1)?a -(b+1)?b的值为（ ）
A． 0 B． 2 C． 4m D． -4m
22．设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A． 2014 B． 2013 C． 2012 D． 2011
23．方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是
A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2
24．关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
25．方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于（ ）
A． ﹣18 B． 18 C． ﹣3 D． 3
26．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A． x1≠x2 B． x1+x2＞0 C． x1?x2＞0 D． x1＜0，x2＜0
27．若是方程的两个实数根，则的值为
A． 2017 B． 0 C． 2015 D． 2016
28．设是方程的两个根，则的值为
A． 2009 B． 2010 C． 2011 D． 2012
29．已知等腰△ABC的的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的 两根，则△ABC的周长为（ ）
A． 6.5 B． 7 C． 6.5或7 D． 8
30．已知是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A．-1 B．9 C．23 D．27
答案：
1．C
解析：一元二次方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，则=6，故选C.
2．C
分析：若方程的两根互为相反数，则两根的和为0；可用含k的代数式表示出两根的和，即可列出关于k的方程，解方程求出k的值，再把所求的k的值代入判别式△进行检验，使△<0的值应舍去．
详解：设原方程的两根为 ,则
由题意,得
∴
又∵
∴当k1=2时，△=?4<0，原方程无实根；
当k2=?2时，△=12>0，原方程有实根。
∴k=?2.
故选C.
3．A．
试题分析：已知实数a，b分别满足，，可得a、b为方程得两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，ab=4，所以，故答案选A．
4．C
解析：∵、x2是一元二次方程的两根,
∴x1+x2=2,x1x2=-3
∴=(x1+x2)2-2x1x2=4+6=10.
故选C.
点拨：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单．要求掌握根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=－ ，，x1x2= ，再将变形成含x1+x2和x1x2的形式，再将值代入即可.
5．B
试题分析：因为（2x+1）（3x﹣1）=0，所以x=，x=，因为k、b是一元二次方程（2x+1）（3x﹣1）=0的两个根，且k＞b，所以k=＞0，b=＜0，所以函数y=kx+b的图象经过第一三四象限，故选：B．
6．C．
试题分析：因为方程有实数解，故≥0．由题意有：或，设u=，则有或，（a≠0）
因为以上关于u的两个一元二次方程有实数解，所以两个方程的判别式都大于或等于0，即得到1﹣8ab≥0，所以．故选C．
7．A
分析：先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=，结合=4m，即可求出m的值．
详解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x+=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=，
∵=4m，
∴=4m，
∴m=2或﹣1，
∵m＞﹣1，
∴m=2，
故选A．
点睛：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等式组；（2）牢记两根之和等于﹣、两根之积等于．
8．B
试题分析：由于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为2+和2﹣，利用根与系数的关系，即可求得b与c的值．
解：∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为2+和2﹣，
∴x1+x2=﹣b=2++2﹣=4，x1?x2=c=（2+）（2﹣）=1，
∴b=﹣4，c=1．
故选B．
9．A．
试题解析：以x1，x2为根的一元二次方程x2-7x+12=0，
故选A．
10．C
试题分析：当根的判别式大于零时，则方程有两个不相等的实数根，本题还需要注意的就是二次项的系数不为零.
11．B
分析：根据一元二次方程解的定义得到2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=-，然后利用整体代入的方法计算．
详解：∵α为2x2-5x-1=0的实数根，
∴2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴α+β=，αβ=-，
∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（-）+1=12．
故选B．
点拨：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程解的定义．
12．C
解析：设这样的方程为x2+bx+c=0，则根据根与系数的关系可得b=-（3-1）=-2，c=3×（-1）=-3；所以方程是x2-2x-3=0．故选C.
13．A
试题解析：∵x1，x2是方程x2-2x-1=0的两个实数根，
∴x1+x2=2，x1?x2=-1
∴=.
故选A.
14．D
解析：因为关于x的一元二次方程x2+nx+m=0的两根中只有一个等于0，所以x1+x2=﹣n≠0，x1x2=m=0，所以m=0，n≠0，故选D．
15．A
试题分析：由一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解：∵x=﹣1是一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个解，
∴x=﹣1满足一元二次方程x2+mx﹣5=0，
∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，即﹣m﹣4=0，
解得，m=﹣4；
故选A．
点拨：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16．A
试题分析：解方程x2﹣8x+15=0得：x1=3，x2=5，则第三边c的范围是：2＜c＜8．则三角形的周长l的范围是：10＜l＜16，∴连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长m的范围是：5＜m＜8．故满足条件的只有A．故选A．
17．A
试题分析：将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a=±1．注意，二次项系数a﹣1≠0．解得a=﹣1.
故选A．
18．C
试题分析：
A、当a＝12时，△＝64＋4×12＝112，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对；
B、当a＝16时，△＝64＋4×16＝128，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对；
C、当a＝20时，△＝64＋4×20＝144，所以方程的解为：x＝＝，x1＝10，x2＝－2，两个解都为整数，此选项正确；
D、当a＝24时，△＝64＋4×24＝160，所以方程的解为：x＝＝，解不为整数，故此选项不对．
故选：C．
19．B
试题分析：根据题意可得：当x=1时，则a+b+c=0.
20．D
解析：因为a，b是方程x2+2013x+1=0的两个根，所以ab=1，-a2-2013a=1，-b2-2013b=1，所以（1+2015a+a2）（1+2015b+b2）=（-a2-2013a+2015a+a2）（-b2-2013b+2015b+b2）=4ab=4.故选D.
点拨：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系和方程的根，解题时要注意通过把方程的解代回到原方程中，然后整体代入将所要求的代数式化简是关键，再结合根与系数的关系求解，本题不能考虑求出a，b的值，再代入到所要求值的式子.
21．A
分析：由根与系数的关系可得a+b=-1然后根据所给的新定义运算a?b=2ab对式子(a+1)?a -(b+1)?b用新定义运算展开整理后代入进行求解即可.
详解：∵a，b是方程x2+x-m=0(m＞0)的两个根，
∴a+b=-1，
∵定义运算：a?b=2ab，
∴(a+1)?a -(b+1)?b
=2a(a+1)-2b(b+1)
=2a2+2a-2b2-2b
=2(a+b)(a-b)+2(a-b)
=-2(a-b)+2(a-b)=0，
故选A.
22．B
试题分析：先根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，代入可得a2+a﹣2014=0，求得a2+a=2014，整体代入得原式=2014+a+b，然后根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，求得a+b=﹣1，代入原式=2014﹣1=2013．
故选：B．
23．C
试题分析：根据根与系数的关系有：
∴，
解得m=3或m=﹣2，
∵方程有两个相等的实数根，
∴
解得m=6或m=﹣2
∴m=﹣2．
故选：C
考点：根与系数的关系
点拨：本题考查了一元二次方程根的判别式当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则
24．B．
试题分析：
且故选B．
25．A
试题分析：由根与系数的关系可得：方程x2+3x-6=0的两根的乘积是-6，x2-6x+3=0的两根的乘积是3，所以方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积=-6×3=-18，故选：A．
26．A
分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；
B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；
C、根据根与系数的关系可得出x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、由x1?x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．
综上即可得出结论．
详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，
∴x1≠x2，结论A正确；
B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1+x2=a，
∵a的值不确定，
∴B结论不一定正确；
C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，
∴x1?x2=﹣2，结论C错误；
D、∵x1?x2=﹣2，
∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．
故选：A．
27．C
解析：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴.
故选C.
28．C
解析：∵是方程的两个根，
∴，
∴，
∴.
故选C.
29．B
试题解析：∵关于x的一元二次方程的
∴
解得： k=3
当k=3时，原方程为
解得：x=2
∴△ABC的周长为3+2+2=7
故选B
30．D.
试题分析：根据题意得α+β=5，αβ=-2
又.
故选D.
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习七
七、根与系数关系综合题3：
1．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
（1）求实数m的取值范围；
（2）若两个实数根的平方和等于15，求实数m的值．
2．已知一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时的值．
3．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1﹣x2=2，求实数m的值．
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
5．已知a、b是实数，且，
解关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x．
6．已知关于x的方程有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）若n＜3，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．
7．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；
（2）若，求m的值．
8．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设方程的两实数根分别为x1，x2，当（x1+1）（x2+1）=8时，求m的值．
9．已知关于x的一元二次方程 ．
（1）证明：不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，设方程的两个实数根分别为，（其中>），若y是关于m的函数，且，求y与m的函数解析式．
10．已知关于x的方程
（1）若方程有实数根, 求k的取值范围；
（2）若方程有两个相等的实数根，求k的值,并求此时方程的根。
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为、，且满足+=10，求实数m的值．
12．已知：关于的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出这时的根．
（2）问：是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．
13．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
14．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．
(1)求实数m的最大整数值；
(2)在(1)的条件下，方程的实数根是x1，x2（x1>x2），求代数式x1＋2x2的值．
15．已知，是一元二次方程的两个实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）如果，满足不等式，且为整数，求的值．
16．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别是x1、x2．那么x1+x2=﹣，x1x2=．
例如：已知方程2x2+3x﹣5=0的两根分别为x1、x2
则：x1+x2=﹣=﹣，x1、x2===﹣
请同学阅读后完成以下问题：
（1）已知方程3x2﹣4x﹣6=0的两根分别为x1、x2，求x1+x2和x1x2的值．
（2）已知方程3x2﹣4x﹣6=0的两根分别为x1、x2，求+的值．
（3）若一元二次方程2x2+mx﹣3=0的一根大于1，另一根小于1，求m的取值范围．
17．已知m是方程的一个根,求的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．
19．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为正整数的实数a的整数值．
答案：
1．（1）m＞；（2）m=﹣3，m=1．
试题分析：（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可；（2）设此方程的两个实数根为x1，x2，根据根与系数的关系可得x1+x2=2m+1，x1?x2=m2﹣4，根据“方程的两个实数根的平方和为15”可得x12+x22=15，整理后可即可解出k的值．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣4）＞0，
∴m＞ ；
（2）设此方程的两个实数根为x1，x2
则x1+x2=2m+1，x1?x2=m2﹣4，
∵两个实数根的平方和等于15，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2m+1）2﹣2（m2﹣4）=15，
解得：m=﹣3，m=1．
2．(1) k<4且k≠2;(2) m=0或m=-
试题分析：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可求出k的值； （2）结合（1）找出k的值，利用分解因式法求出方程x2-4x+k=0的根，再将x的值代入x2+mx-1=0中即可求出m的值．
试题解析：
（1）∵一元二次方程（k-2）x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
k?2≠0且△＝（－4）2－4（k-2）2>0
解得：k＜4且k≠2． （2）∵k＜4且k≠2
∴k=3， ∴方程x2-4x+k=x2-4x+3=（x-1）（x-3）=0， 解得：x1=1，x2=3． 当x=1时，有1+m-1=0，解得：m=0； 当x=3时，有9+3m-1=0，解得：m=-
3．（1）m＜1；（2）0.
分析：（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=2，和已知组成方程组，求出方程组的解，再根据根与系数的关系求出m即可．
详解：（1）由题意得：△=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0，
解得：m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
（2）由根与系数的关系得：x1+x2=2，
即，
解得：x1=2，x2=0，
由根与系数的关系得：m=2×0=0．
4．（1）m的值为6;（2）17.
试题分析：
（1）由题意和根与系数的关系可得：x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5；由(x1－1)(x2－1)＝28，可得：x1x2－(x1＋x2)＝27；从而得到：m2＋5－2(m＋1)＝27，解方程求得m的值，再由“一元二次方程根的判别式”进行检验即可得到m的值；
（2）①当7为腰长时，则方程的两根中有一根为7，代入方程可解得m的值（此时m的取值需满足根的判别式△ ），将m的值代入原方程，可求得两根（此时两根和7需满足三角形三边之间的关系），从而可求得等腰三角形的周长；
②当7为底边时，则方程的两根相等，由此可得“根的判别式△=0”，从而可得关于m的方程，解方程求得m的值，代入原方程可求得方程的两根，再由三角形三边之间的关系检验即可.
试题解析：
(1)(x1－1)(x2－1)＝28，即x1x2－(x1＋x2)＝27，而x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2＋5，
∴m2＋5－2(m＋1)＝27，
解得m1＝6，m2＝－4，
又Δ＝[－2(m＋1)]2－4×1×(m2＋5)≥0时，m≥2，
∴m的值为6;
(2) 若7为腰长，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的一根为7，
即72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，方程x2－22x＋105＝0，根为x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．
当m＝4时，方程为x2－10x＋21＝0，根为x1＝3，x2＝7，此时周长为7＋7＋3＝17
若7为底边，则方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两等根，
∴Δ＝0，解得m＝2，此时方程为x2－6x＋9＝0，根为x1＝3，x2＝3，3＋3<7，不成立，
综上所述，三角形周长为17
点拨：（1）一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件是方程要有实数根，即“根的判别式△ ”；（2）涉及三角形边长的问题中，解得的结果都需要用“三角形三边之间的关系”检验，看三条线段能否围成三角形.
5．x1=2+，x2=2﹣．
试题分析：利用非负数的性质求得a、b的值，然后将其代入关于x的方程，并利用配方法来解方程．
试题解析：依题意得：2a+6=0且b﹣=0，
解得a=﹣3，b=，
则由关于x的方程：（a+2）x2+b2=（a﹣1）x，得
﹣x2+2=﹣4x，
整理，得
（x﹣2）2=6，
解得x1=2+，x2=2﹣．
6．（1）n＞；（2）n=0或n=1.5．
试题分析：（1）关于x的方程有两个不相等的实数根，即判别式△=＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；
（2）利用配方法解方程，然后由n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值．
试题解析：解：（1）∵关于x的方程的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△==4+8n＞0，解得n＞；
（2）由原方程，得：，解得；
∵方程的两个实数根都是整数，且＜n＜3，不是负数，∴0＜2n+1＜7，且2n+1是完全平方形式，∴2n+1=1，2n+1=4，解得n=0，n=1.5．
7．（1）；（2）
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式==0，可解得m的值；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入可求得m的值．
试题解析：解：（1）∵方程有两个相等的实数根
∴
∴
（2）∵方程的两个实数根分别为、
∴
∵
∴
∴
8．（1）当m＞﹣2时，方程有两个不相等的实数根；（2）m=2．
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=4（m+1）2﹣4（m2﹣3）＞0，再解不等式即可；
（2）先根据根与系数的关系计算x1+x2，x1?x2的值，而（x1+1）（x2+1）=8，可把x1+x2，x1?x2的值代入，进而可求出m的值．
试题解析：（1）根据题意可知：
△=4（m+1）2﹣4（m2﹣3）＞0，
8m+16＞0，
解得m＞﹣2，
当m＞﹣2时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0，
∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，
∵（x1+1）（x2+1）=8，
∴x1x2+（x1+x2）+1=8，
∴m2+2m﹣8=0，
∴m=﹣4或m=2，
∵m＞﹣2，
∴m=2．
9．（1）详见解析；（2）．
试题分析：（1）证明方程总有两个不相等的实数根，也就是证明判别式大于0；（2）解关于x的一元二次方程可得，，把，的值代入即可求得y与m的函数解析式．
试题解析：解：（1）由题意有＞0．
∴ 不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）方程的两个实数根分别为，（其中>），
解关于x的一元二次方程可得，
，．
∴．
10．（1）；（2）
解析：（1）有两种情况，当k≠0时，根的判别式△=b2-4ac≥0有实数根，当k＝0时，一元一次方程有实数根，即可求得k的取值即可； （2）只要让根的判别式△=b2-4ac=0，求得k的值，进而求得方程的解即可．
解：(1) 有两种情况，当k≠0时， 36?36k≥0
解得:k≤1且k≠0；
当k＝0时，一元一次方程有实数根，
综上所述，当k≤1时，关于x的方程有实数根.
(2)由题意得:36?36k=0，
解得:k=1，
∴原方程化为:x2?6x+9=0，
解得:x1=x2=3.
11．（1）m≥；(2) m=1
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2=0有实数根，
∴△≥0，即（2m+2）2﹣4（m2+2）≥0，
∴m≥；
（2） ∵+=2m+2， =m2+2， +=（+） 2﹣2 =10，
∴（2m+2）2﹣2（m2+2）=10，
解得，m=1或﹣5（舍去）．
12．（1）=1， ；（2）不存在．
试题分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22=136，即（x1+x2）2﹣2x1x2=136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．
试题解析：解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有△=b2﹣4ac=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2+4x+4=0，∴x1=x2=﹣2；
（2）不存在．
假设存在，则有x12+x22=136．
∵x1+x2=4m﹣8，x1x2=4m2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=136．
即（4m﹣8）2﹣2×4m2=136，∴m2﹣8m﹣9=0，（m﹣9）（m+1）=0，∴m1=9，m2=﹣1．
∵△=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1=9，m2=﹣1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．
点拨：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
13．（1）7或-1；（2）4.
整体分析：
(1)根据判别式为0，列出关于m的一元二次方程求解；（2）由根与系数的关系列方程求解.
解：（1）因为方程有两个相等的实数根，
所以（m-1）2-4×1×（m+2）=0，
即m2-6m-7=0，
解得m1=7，m2=-1.
(2)根据题意得m2-9m+2=m+2，
解得m1=0，m2=10.
当m=0时，原方程为x2+x+2=0，没有实数根，所以m=0舍去；
当m=10时， ==；
所以的值为4.
14．(1)、m=1；(2)、3－1.
试题分析：(1)、根据方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，然后求出m的值；(2)、将m的值代入方程求出方程的解，然后进行计算.
试题解析：(1)、由题意得：△＞0，即＞0 ∴m＜2
∴m的最大整数为m=1.
(2)、把m=1代入 ∵＞ ∴解得：=1+ =－1+
∴+2=(1+)+2×(－1+)=1+－2+2=3－1.
15．（1）；（2）﹣2，﹣1．
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，再变形已知条件得到，于是有，解得，所以m的取值范围为，然后找出此范围内的整数即可．
试题解析：（1）根据题意得△=，解得；
（2）根据题意得，，
∵，∴，即，
∴，解得，∴，
∴整数m的值为﹣2，﹣1．
16．（1）x1+x2=，x1x2=﹣2；（2）﹣；（3）m＜1．
试题分析：（1）分别利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
（2）先把所求的代数式变形为含有x1+x2和x1x2的形式，然后利用根与系数的关系进行解答．
（3）依据题意可得△＞0及把x=1代入方程求解即可．
解：（1）x1+x2=﹣（）=，x1x2==﹣2；
（2）+===﹣；
（3）由题意得：，解得m＜1．
17．2
试题分析：先根据m是一元二次方程的根，可得含m的式子，然后化简代数式，再整体代入在求值．
试题解析：∵m是的一个根
∴
∴ =﹣m+m+4=-（m-m ）+4=2
18．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）m=﹣1或m=3
分析：根据根与系数的关系即可求出答案．
解：（1）由题意可知：△=（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）=4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2=2m﹣2，x1x2=m2﹣2m，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）=10，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m=﹣1或m=3
19．（1）24；（2）a=0 ，3，4，5．
试题分析： 根据根与系数的关系求得将已知等式变形为即通过解该关于的方程即可求得的值； （2）根据限制性条件“为正整数”求得的取值范围，然后在取值范围内取的整数值．
试题解析：∵是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知,
∵一元二次方程有两个实数根，
∴且a?6≠0，
解得， ，且a≠6；
(1)∵
∴
即
解得，a=24>0；
∴存在实数a,使成立，a的值是24；
(2)∵
∴当为正整数时， 且a?6是6的约数，
∴
∴使为正整数的实数a的整数值有
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习三
三、填空题专项训练1：
1．阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，．根据该材料填空：
已知，是方程的两实数根，则的值为__ ．
2．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn= ．
3．如果是一元二次方程的两个根，那么 ；的值是___________．
4．已知2＋是关于x的方程x2－4x＋C=0的根，则另一根为______，C为____．
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
6．已知一元二次方程x2+3x+m=0的一个根为-1，则另一个根为__________．
7．若，，则方程必有一个根是_______.
8．设x1，x2是方程x2－x－2013＝0的两实数根，则x13＋2014x2－2013＝ ．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0的两实数根，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，实数m的值为________．
10．（关于x的一元二次方程x2+2x+a=0的一个根为2，则它的另一个根为 ．
11．已知m，n是关于x的一元二次方程的两实根，那么m+n的最大值是__________.
12．如果关于x的方程m2x2﹣（m﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，那么m=______.
13．已知a是方程+3x﹣6=0的一个根，则代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值为 ．
14．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为______．
15．若关于x的方程（k-1）x2-4x+5=0 有实数根, 则k 的取值范围是_______.
16．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2=0有实数根，则m满足_____．
17．阅读材料：设一元二次方程 (≠0)的两根为， ，则两根与方程的系数之间有如下关系：
+＝－， ·＝.根据该材料完成下列填空：
已知， 是方程的两根，则（1）+ ＝_________, __________；（2）（）（）＝__________.
18．关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－1＝0的两实数根为x1、x2，且＝3，则m＝_______.
19．设一元二次方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2(－3x2)＝______.
20．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则(α-3)(β-3)＝________．
21．已知x1，x2是关于x的方程（x﹣2）（x﹣3）=（n﹣2）（n﹣3）的两个实数根．则：
（1）两实数根x1，x2的和是______；
（2）若x1，x2恰是一个直角三角形的两直角边的边长，那么这个直角三角形面积的最大值是______．
22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且＝10，则a＝__________
23．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
24．设x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，且2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，则a=______．
25．如果m、n是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式 ______ ．
26．己知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是________.
答案：
1．6．
试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．
解：根据题意得 + =-4，?=2，
=
=-2
=8-2
=6．
故答案为6．
2．7
试题分析：根据根与系数的关系得到m+n=5，mn=﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：根据题意得m+n=5，mn=﹣2，
所以m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．
故答案为7．
3．（1）-3；（2）-2
试题分析：因为是一元二次方程的两个根，所以，，所以，所以．
4．2-．1．
试题解析：∵关于x的方程x2-4x+C=0的一个根是2+，
设方程的另一根为t，则2++t=4，
解得，t=2-．
根据根与系数的关系得：C=（2+）（2-）=4-3=1．
5．k＜且k≠0．
试题分析：本题主要考查了一元二次方程的根的判别式．解题时，注意一元二次方程的“二次项系数不为0”这一条件．根据一元二次方程kx2-4x+3=0有两个不相等的实数根，知△=b2-4ac＞0，然后据此列出关于k的方程，解方程即可．
解：∵kx2-4x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△=16-12k＞0，且k≠0，
解得，k＜且k≠0；
故答案是：k＜且k≠0．
考点：根的判别式．
6．-2
试题分析：设另一个根是x，由根与系数的关系可得：x+（-1）=-3，所以x=-2．
7．
试题分析：观察所给条件和原方程，试根可得有一根必为.
8．2014．
解析：关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值．此题中待求的式子不是两根的对称式，因此需转化．根据根的定义得到等式①，这个等式①是解题的关键，利用它既可以把x1的3次降为x1的1次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子．
依题意可知x1＋x2＝1，x1x2＝－2013，且x12－x1－2013＝0．∴x12＝x1＋2013①．将①式两边同时乘以x1，得x13＝x12＋2013x1②．将①代入②，得x13＝2014x1＋2013．∴x13＋2014x2－2013＝2014x1＋2013＋2014x2－2013＝2014(x1＋x2)＝2014．
9．1
解：由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，整理得8m+8≥0，解得m≥﹣1，由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2
（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1．∵m≥﹣1，∴m=1．
10．﹣4
试题分析：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t=﹣2，然后解一次方程即可．
解：设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣2，
所以t=﹣4．
故答案为：﹣4．
11．4
分析：根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系进行分析解答即可.
详解：
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴△=，解得：，
∵m、n是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴当时，m+n的值最大，最大值为4.
故答案为：4.
点拨：解答本题有以下两个要点：（1）一元二次方程有实数根的条件是“根的判别式△”；（2）若一元二次方程有两个实数根m、n，则.
12．-1
解析：设关于的方程的两根是： ，
则，
又∵原方程的两根互为倒数，
∴，解得： .
∵当时，原方程为： ，此时方程没有实数根；
当时，原方程为： ，此时方程有实数根；
∴.
13．7.
试题分析：首先把代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）去括号合并同类项得到+3a+1，然后把a代入方程+3x﹣6=0得到+3a=6，所以+3a+1=6+1=7.即代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值为7.
故答案为：7．
14．0
试题解析：是方程的两个实数根.
15．k≤且k≠1．
试题分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k-1≠0，即k≠1，且△≥0，然后求出这两个不等式解的公共部分即为k的取值范围．
试题解析：∵关于x的方程（k-1）x2-4x+5=0有两个实数根，
∴k-1≠0，即k≠1，且△≥0，即42-4（k-1）×5≥0，解得k≤，
∴k的取值范围为k≤且k≠1．
16．m≥且m≠1
解析：∵一元二次方程有实数根，
∴①m－1≠0，即m≠1；
②b2－4ac=22－4×（m－1）×（－2）=8m－4≥0，即m≥；
∴m≥且m≠1.
故答案为m≥且m≠1.
点拨：（1）一元二次方程二次项系数不能为0；
（2）若一元二次方程有两个不相等的实数根，那么b2－4ac＞0；
若一元二次方程有两个相等的实数根，那么b2－4ac=0；
若一元二次方程没有实数根，那么b2－4ac＜0.
17． 2015 2016 2
解：（1）根据题意得m+n=2015，mn=2016；
（2）∵m，n是方程x2﹣2015x+2016=0的两根，∴m2﹣2015m+2016=0，n2﹣2015n+2016=0，∴m2=2015m﹣2016，n2=2015n﹣2016，∴（m2﹣2016m+2017）（n2﹣2016n+2017）=（2015m﹣2016-2016m+2017）（2015n﹣2016-2016n+2017）
=（﹣m+1）（﹣n+1）
=mn﹣（m+n）+1
=2016﹣2015+1
=2．
故答案为：2015，2016，2．
点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解，注意通过降次代入简化计算．
18．0
分析：根据方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据x12+x22=3，即可求出m的值．
详解：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1， ∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3， 解得：m1=0，m2=2（不合题意，舍去）， ∴m=0； 故答案为：0．
点拨：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-，x1·x2=，求出两根之和与两根之积，再根据完全平方式变形代入即可求解，是中档题.
19．3
解析：一元二次方程x2－3x－1＝0的一个根是x2，即可得－3x2－1＝0，所以－3x2＝1，再由根与系数的关系可得x1＋x2＝3，所以x1＋x2(－3x2)＝3×1=3.
20．-6
试题解析： 是方程的两个实数根.
故答案为：
21． 5
试题分析：（1）化简此方程为，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知， ；
（2）同（1）可知三角形的面积为： ，根据二次函数的性质可知面积的最大值为： = .
22．
分析：由两根关系，得x1+x2=5，x1?x2=a，解方程得到x1﹣x2=2，即可得到结论．
详解：由两根关系，得x1+x2=5，x1?x2=a，由x12﹣x22=10得：（x1+x2）（x1﹣x2）=10，若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1?x2=25﹣4a=4，∴a=．
故答案为：．
23．5
试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
24．10
试题分析：根据一元二次方程的解，由x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的根，代入可得x22+5x2﹣3=0，即x22+5x2=3，然后根据题意2x1（x22+6x2﹣3）+a=4，可得2x1?x2+a=4，再根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，由x1，x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两根，求得x1x2=﹣3，即2×（﹣3）+a=4，解方程得a=10．
25．2008??
分析：根据题意知m、n是关于x的方程x2-2x-1=0的两不等的实数根；然后利用根与系数的关系求得m+n=2；最后将m+n、m2、n2的值代入所求的代数式并求值即可．
详解：
∵m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，
∴m、n是关于x的方程x2-2x-1=0的两不等的实数根，
∴m+n=2；
又m2-2m=1，n2-2n=1，
∴m2=2m+1，n2=2n+1，
∴2m2+4n2-4n+1994
=2（2m+1）+4（2n+1）-4n+1994
=4m+2+8n+4-4n+1994
=4（m+n）+2000
=4×2+2000
=2008；
故答案是：2008．
点拨：本题考查了代数式求值、根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
26．
试题解析：∵a，b是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根， ∴a+b=6，ab=5， ∴．
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习二
二、选择题专项训练2：
1．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． 且k≠1 C． D． k≥且k≠0
2．若α、β是方程x2－4x－5＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为（ ）
A． 30 B． 26 C． 10 D． 6
3．方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1
4．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． a≤2 B． a＞2 C． a≤2且a≠1 D． a＜﹣2
6．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（ ）
A． ﹣2 B． 2 C． ±2 D． 4
7．如果关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边长，那么△ABC的形状是（ ）
A． 直角三角形 B． 等腰三角形 C． 等边三角形 D． 等腰直角三角形
8．若一元二次方程ax2﹣c=0（ac＞0）的两个根分别是n+1与2n﹣4，则=（ ）
A． ﹣2 B． 1 C． 2 D． 4
9．已知mn≠1，且5m2+2010m+9=0，9n2+2010n+5=0，则 的值为（ ）
A． ﹣402 B． C． D．
10．一元二次方程x2－3x－1＝0的两实数根是x1，x2，则x1＋x2－x1·x2的值是( )
A． 4 B． 2 C． －2 D． －4
11．定义新运算，，若a、b是方程的两根，则的值为 （ ）
A、0 B、1 C、2 D、与m有关
12．已知关于的方程的一个根是1，则代数式的值等于（ ）
A．1 B． C．2 D．
13．已知实数a，b分别满足a2－6a+4=0，b2－6b+4=0，且a≠b，则的值是（ ）
A． 7 B． －7 C． 11 D． －11
14．设x1 、x2是方程x2+x﹣4=0的两个实数根，则x13﹣5x22+10=（ ）
A． ﹣29 B． ﹣19 C． ﹣15 D． ﹣9
15．已知、是方程的两根，且，则的值等于
A． B． C． D．
16．若x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，则2015﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2015 B．2011 C．2018 D．2013
17．若关于x的方程4x2﹣（2k2+k﹣6）x+4k﹣1=0的两根互为相反数，则k的值为（ ）
A． B． ﹣2 C． ﹣2或 D． 2或
18．已知一元二次方程的两个根分别是、，则的值（ ）
A． B． C． D．
19．若、为方程的两个实数根，则的值为
A． B． 12 C． 14 D． 15
20．已知，m、n是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根，则2m2-4mn-6m的值为（ ）
A． -12 B． 10 C． -8 D． -10
21．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2018－a－b的值是( )
A． 2022 B． 2023 C． 2017 D． 2018
22．如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两根分别为α，β，则α2+4α+β=（ ）
A． 4 B． 10 C． ﹣4 D． ﹣10
23．若关于x的一元二次方程kx2?? 6x?? 9?? 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． k＜1 B． k＜1且k≠0 C． k≠0 D． k＞1
24．若关于的方程有两个相等的实根，则 的值是（ ）
A．－4 B．4 C．4或－4 D．2
25．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥0 B．m≤0 C．m≠1 D．m≤0且m≠﹣1
答案：
1．B
解析：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k+1）x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4（k﹣1）?k=8k+1＞0，
即8k+1＞0，解得k＞﹣；
又∵k﹣1≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣且k≠1．
故选：B．
点拨:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当?<0时，一元二次方程没有实数根.
2．B
试题分析：根据题意可得α+β=4，α·β=－5，则原式=（α+β）2－2αβ=16+10=26.
3．D.
试题解析：当k=1时，原方程不成立，故k≠1，
∴方程为一元二次方程，
又此方程有两个实数根，
∴b2-4ac=（-）2-4×（k-1）×=1-k-（k-1）=2-2k≥0，
解得：k≤1，1-k＞0，
综上k的取值范围是k＜1．
故选D．
4．D.
试题分析：A、x2+2x-4=0，
∵a=1，b=2，c=-4，
∴b2-4ac=4+16=20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-=-2，本选项不合题意；
B、x2-4x+4=0，
∵a=1，b=-4，c=4，
∴b2-4ac=16-16=0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-=4，本选项不合题意；
C、x2+4x+10=0，
∵a=1，b=4，c=10，
∴b2-4ac=16-40=-24＜0，
即原方程无解，本选项不合题意；
D、x2+4x-5=0，
∵a=1，b=4，c=-5，
∴b2-4ac=16+20=36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=-=-4，本选项符合题意，
故选D.
5．A
解析:当a?1=0，即a=1时，原方程为?2x+1=0，
解得：x=，
∴a=1符合题意；
当a?1≠0,即a≠1时,∵关于x的方程(a?1)x2?2x+1=0有实数根，
∴△=(?2)2?4(a?1)=8?4a?0，
解得：a?2且a≠1.
综上所述：a的取值范围为a?2.
故选A.
6．A
解析:设方程的两根为x1，x2， 根据题意得x1+x2=m2-4=0， 解得m1=2，m2=-2， 当m=2时，原方程变形为x2+2=0，△=0-2×4＜0，此方程无实数解； 当m=-2时，原方程变形为x2-2=0，△=0+2×4＞0，此方程有两个不等的实数解， 所以m=-2． 故选A。
7．A
解析:∵关于x的一元二次方程（a-c）x2-2bx+（a+c）=0有两个相等的实数根，
，即 ，
解得：a2=b2+c2且a≠c． 又∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴△ABC为直角三角形．
故选A。
8．D
试题解析：∵一元二次方程ax2﹣c=0（ac＞0）的两个根分别是n+1与2n﹣4，∴n+1与2n﹣4互为相反数，即n+1+2n﹣4=0，解得：n=1，∴方程的两根为2和﹣2，则=4，故选D
9．C
解析:将9n2+2010n+5=0方程两边同除以n2，变形得：5×（）2+2010×+9=0，,又5m2+2010m+9=0，
∴m与为方程5x2+2010x+9=0的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得m?==．
故选：C
10．A
解析:∵一元二次方程x2－3x－1＝0的两实数根是x1，x2，
∴x1+x2=3，x1·x2=-1，
∴x1＋x2－x1·x2=3-(-1)=3+1=4.
故选A.
11．A.
试题分析：根据题意可得,又因a,b为方程的两根，所以,化简得,同理,代入上式可得，故答案选A.
12．B．
试题解析：∵关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根是1，
∴a+b+c=0，∴b+c=-a，将b+c=-a代入代数式，
故选B．
13．A
试题解析：∵a2-6a+4=0，b2-6b+4=0，且a≠b，
∴a、b是一元二次方程x2-6x+4=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=6，ab=4，
∴．
故选A.
14．B
解析:∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴
=
=
=
=
=
=.
故选B.
15．C
试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根
∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1
∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3
∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8
∴（7+a）×（﹣4）=8
∴a=﹣9．
故选C．
16．B
试题分析：把x=﹣1代入方程即可求得a﹣b的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
解：∵x=﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2=0（a≠0）的一个根，
∴a﹣b﹣2=0，
∴a﹣b=2，
∴2015﹣2a+2b=2015﹣2（a﹣b）=2014﹣2×2=2011．
故选B．
17．B
解析:根据题意得2k2+k?6=0，
解得k=?2或，
当k=时,原方程变形为4x2+5=0，△=0?4×4×5<0，此方程没有实数解，
所以k的值为?2.
故选B.
18．B．
试题分析：根据题意得，，，
所以．
故选B．
19．B
分析：根据一元二次方程解的定义得到2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5（α+β）+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=，αβ=-，然后利用整体代入的方法计算．
详解：∵α为2x2-5x-1=0的实数根，
∴2α2-5α-1=0，即2α2=5α+1，
∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5（α+β）+3αβ+1，
∵α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，
∴α+β=，αβ=-，
∴2α2+3αβ+5β=5×+3×（-）+1=12．
故选B．
20．A
试题解析：根据根与系数的关系得到：mn=2，
∵m是一元二次方程x2-3x+2=0的根，
∴m2-3m+2=0,
∴m2-3m=-2,
∴2m2-4mn-6m=2m2-6m-4mn=2(m2-3m)-4mn=2×(-2)-4×2=-12.
故选A.
21．B
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入ax2＋bx＋5＝0（a≠0）得a＋b＝?5，然后利用整体代入的方法计算2018?a?b的值．
详解：把x＝1代入ax2＋bx＋5＝0（a≠0）得a＋b＋5＝0，
所以a＋b＝?5，
所以2018?a?b＝2018?（a＋b）＝2018?（?5）＝2023．
故选：B．
22．A
分析:根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个实数根分别为α、β，由一元二次方程根的定义可得α2+3α=7，由根与系数的关系可得α+β=﹣3，再把要求的式子变形为（α2+3α）+（α+β），最后把相应的数值代入进行计算即可得．
详解:∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣7=0的两根分别为α、β，
∴α2+3α=7，α+β=﹣3，
∴α2+4α+β=（α2+3α）+（α+β）=7﹣3=4，
故选A．
23．B
试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0，且△=b2-4ac=36-36k＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选B.
点拨：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
24．B．
试题分析：有两个相等的实根，
则，解得故选B．
25．D
试题分析：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1=0有实数根，，
解得m≤0且m≠﹣1．故选D．
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习五
五、根与系数关系综合题1：
1．a、b是一元二次方程2x2－5x－3＝0的两根，求下列代数式的值
(1) a2＋b2；
(2) 2a2－4a＋b
2．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：这个一元二次方程总有两个实数根；
（2）若，是关于的一元二次方程的两根，且，求的值．
3．已知关于的方程，
（1）当为何值时，此方程有实数根；（3分）
（2）若此方程的两实数根，满足：，求的值（4分）
4．关于的一元二次方程的实数解是和．
(1)求的取值范围；
(2)如果且为整数，求的值.
5．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根.
（1）试推导x1+x2=-，x1·x2=；
（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
6．已知方程的两根为、，且 >,求下列各式的值:
（１）+ ；（2）；
（3）；（4）.
7．已知关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若a，b是此方程的两个根，且满足，求m的值．
8．若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1，x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.
9．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣m（2m﹣3）=0
（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．
10．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选一个适当的k值使得此一元二次方程的根都是整数．
11．已知关于的一元二次方程．
（）对于任意的实数，判断方程的根的情况，并说明理由．
（）若方程的一个根为，求出的值及方程的另一个根．
12．已知关于的方程
（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足,求实数k的值.
13．已知关于x的方程x2+4x+3-a=0．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取满足条件的最小整数，求此时方程的解．
14．已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．
15．已知、、是△ABC的三条边，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，方程的根为x=0。
（1）试判断△ABC的形状。
（2）若、为关于x的一元二次方程x2 ＋mx－3m=0的两个根,求m的值。
答案：
1．(1) (2)
试题分析：首先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和两根之积，然后把所给式子变形，代入求解即可.
试题解析：∵a、b是方程2x2－5x－3＝0的两根
∴a＋b＝，ab＝
(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝
(2) 将x＝a代入方程中，得
2a2－5a＝3
∴2a2－4a＋b＝5a＋3－4a＋b＝a＋b＋3＝
2．（1）证明见解析；（2）或
试题分析：（1）根据根的判别式进行证明；
（2）根据根与系数的关系求出两根之和和两根知己，代入求解即可．
试题解析：（1）由题意得，即故这个一元二次方程总有连个实数根；
整理得，解得或
3．（1）；（2）0．
试题分析：（1）由于方程有实数根，所以利用其判别式是非负数即可求解；
（2）由于方程的两实数根，首先把等式两边同时平方，然后利用根与系数的关系即可求解．
试题解析：（1）若方程有实数根，则△=，∴，∴当，时，此方程有实数根；
（2）∵此方程的两实数根，满足：，
∴，∴，∴，
而，，∴，
∴2k﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；∴k=0．
4．（1）k?0.（2）k的值为?1或0.
试题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2-4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=-2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2-x1x2<-1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
试题解析：(1)∵方程有实数根，
∴△=22?4(k+1)?0，
解得k?0.
故K的取值范围是k?0.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得=?2,=k+1，
?=?2?(k+1).
由已知,得?2?(k+1)?2.
又由(1)k?0，
∴?2∵k为整数，
∴k的值为?1或0.
5．（1）见解析；（2）0.
试题分析：（1）利用求根公式表示出x1，x2，代入所求式子可直接推导得出结论；
（2）把式子拆开重新整理成一元二次方程的形式，然后把x1，x2代入原方程，整体代入即可求出代数式的值．
解：（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1=，x2=
∴x1+x2==-，
x1·x2=·=
（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
6．(1)13;(2) ;(3)17;(4)2
试题分析：根据根与系数的关系得到x1?x2=-2；x1+x2=3，（1）、（3）利用完全平方公式来变形，（2）先通分，（4）根据多项式乘多项式的乘法乘开，然后利用整体代入得思想进行计算；
解：∵x1、x2是方程x2-3x-2=0的两个实数根，
∴x1?x2=-2；x1+x2=3，
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2×(-2)=9+4=13.
(2) .
(3)(x1-x2)2= (x1+x2)2-4 x1?x2=32-4×（-2）=17.
(4)(x1+1)(x2+1)=x1?x2+ (x1+x2)+1=(-2)+ 3+1=2.
点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则 ， .将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
7．（1）m≥－1.（2）m=1
试题分析：（1）由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围； （2）由a与b为方程的两根，代入方程得到a2-2a=m，b2-2b=m，将已知等式变形后代入得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
试题解析：（1）∵x2-2x-m=0有实数根， ∴△=4+4m≥0， 解得：m≥-1； （2）将a，b代入一元二次方程可得：a2-2a-m=0，b2-2b-m=0， ∴a2-2a=m，b2-2b=m， 又（a2-a+1）（2b2-4b-1）=， ∴（m+1）（2m-1）=，即（2m+5）（m-1）=0， 可得2m+5=0或m-1=0， 解得：m=1或m=-（舍去）．
8．方程两根为x1=3，x2=1；k=6.
试题分析：根据根与系数的关系（x1+x2=- ，x1?x2= ）列出等式，再由已知条件“x1=3x2”联立组成方程组，然后解方程组即可．
试题解析：关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0有两个实数根，
由根与系数的关系，得 ，
又∵x1=3x2 ③，
联立①、②、③，解方程组得x1＝3，x2＝1，∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6.
9．（1）见解析；（2）
试题分析：（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m的方程，求得m的值．
试题解析：（1）证明：∵关于x的方程x2+（m﹣3）x﹣m（2m﹣3）=0的判别式△=（m﹣3）2+4m（2m﹣3）=9（m﹣1）2≥0，∴无论m为何值方程都有两个实数根；
（2）解：设方程的两个实数根为x1、x2，则x1+x2=﹣（m﹣3），x1×x2=﹣m（2m﹣3），令x12+x22=26，得：（x1+x2）2﹣2x1x2=（m﹣3）2+2m（2m﹣3）=26，整理得：5m2﹣12m﹣17=0，解这个方程得：m= 或m=﹣1，所以存在正数m= ，使得方程的两个实数根的平方和等于26．
10．（1）k＜．（2）当k=4时，此一元二次方程的根都是整数．
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=17-4k＞0，解之即可得出k的取值范围； （2）由△=17-4k可得出，当k=4时，△=1是完全平方数，将k=4代入原方程，求出方程的两个实数根，此题得解．
试题解析：
（1）∵方程x2﹣3x+k﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（﹣3）2﹣4×1×（k﹣2）=17﹣4k＞0，
解得：k＜．
（2）当k=4时，△=17﹣4k=1是完全平方数，
此时原方程为x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：x1=1，x2=2．
∴当k=4时，此一元二次方程的根都是整数．
11．(1)证明见解析；（2）m的值为-1，方程的另一个根为-2．
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=m2+8≥8，由此即可得出结论；
（2）将x=1代入原方程可求出m的值，再将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的另一个根．
试题解析：解：（1）∵在方程x2﹣mx﹣2=0中，△=（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）=m2+8≥8，∴不论m为任意实数，原方程总有两个不相等的实数根．
（2）将x=1代入原方程，得：1﹣m﹣2=0，解得：m=﹣1，∴原方程为x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=1，x2=﹣2．
答：m的值为﹣1，方程的另一个根为﹣2．
12．（1）k≤5；（2）4.
试题分析：（1）根据方程有实根可得△≥0，进而可得[-2（k-3）]2-4×1×（k2-4k-1）≥0，再解即可； （2）根据根与系数的关系可得x1+x2=2（k-3），x1?x2=k2-4k-1，再由完全平方公式可得x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，代入x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4k-1可计算出m的值．
试题解析：（1）∵x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0有实数根， ∴△=4（k-3）2-4（k2-4k-1）=4k2-24k+36-4k2+16k+4=40-8k≥0， 解得：k≤5；
（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2=2（k-3），x1?x2= k2-4k-1． ∵x12+x22=x1x2+7， ∴(x1+x2)2-3x1x2-7=0， ∴k2-12k+32=0， 解得：k1=4，k2=8． 又∵k≤5， ∴k=4．
13．（1）a＞-1;(2) x1=-3,x2=-1.
试题分析：（1）方程有两个不相等的实数根，可得△>0，代入后解不等式即可得a的取值范围；（2）把a代入后解方程即可.
试题解析：
（1）∵方程有两个不相等的实数根
∴16-4（3-a）＞0,
∴a＞-1 .
（2）由题意得：a=0 ,
方程为x2+4x+3=0 ,
解得 .
点拨：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
14．（1）m≥﹣1；（2）1.
试题分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，建立关于m的方程，据此即可求得m的值．
试题解析：（1）由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得8m+8≥0，
解得m≥﹣1，
∴实数m的取值范围是m≥﹣1；
（2）由两根关系，得x1+x2=﹣2（m+1），x1?x2=m2﹣1，
（x1﹣x2）2=16﹣x1x2
（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，
∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，
∴m2+8m﹣9=0，
解得m=﹣9或m=1
∵m≥﹣1
∴m=1．
15．（1）△ABC为等边三角形 ； （2）m=－12
试题分析：（1）把x=0代入方程可得：a=b，根据方程有两个相等的实数根，得出a+b-2c=0，然后可得出a=b=c；（2）由（1）可知一元二次方程x2 ＋mx－3m=0有两个相等的实数根，利用根的判别式=0可求出m的值．
试题解析：（1）把x=0代入方程可得：2b=2a，所以a=b，又因为方程有两个相等的实数根，所以，所以a+b-2c=0，所以2a-2c=0，所以a=c，所以a=b=c，即△ABC为等边三角形；（2）由（1）可知一元二次方程x2 ＋mx－3m=0有两个相等的实数根，所以，所以m=-12，m=0（不合题意舍去），所以m=-12．
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习六
六、根与系数关系综合题2：
1．已知关于x的一元二次方程k－（4k+1）x+3k+3=0．
（1）试说明：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
2．已知：关于x的一元二次方程 x2－（m2＋2）x＋m2＋1=0（m≠0）
（1）证明：方程有两个不相等的实数根
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，（其中x13．已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根满足，求的值．
4．关于的方程为+(m+2)x+2m－1=0．
(1)、证明：方程有两个不相等的实数根．
(2)、是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．
5．关于的方程有两个不相等的实数根．
（）求的取值范围．
（）是否存在实数使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
6．如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，那么有x1+x2=-，x1x2=.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值.
解法可以这样：
因为x1+x2=-6，x1x2=-3，
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-6)2-2×(-3)=42.
请你根据以上解法解答下题：
设x1，x2是方程2x2-x-15=0的两根，求：
(1)+的值；
(2)(x1-x2)2的值.
7．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.
(1)求实数的取值范围;
(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长.
8．如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1、x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q.请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求的值；
（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．
9．已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0.
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)已知方程的一个根为x=0,求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值(要求先化简再求值).
10．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
11．已知关于x的一元二次方程x2 + mx +n+1=0的一根为2．
（1）用m的代数式表示n；（4分）
（2）求证：关于y的一元二次方程y2 +my+n=0总有两个不相等的实数根。（5分）
12．已知关于x的一元二次方程（a﹣c）x2﹣2bx+（a+c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+(m﹣1)2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=28时，求m的值．
14.已知关于的方程，有两个不相等的实数根：
（1）求的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为2，求的值.
15．已知关于x的一元二次方程+ax+a﹣2=0．
（1）求证：不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程的两个实数根分别为，，且=，求a的值．
答案：
1．（1）见解析 （2）或
试题分析：（1）利用配方的方法将△进行配方，然后说明△≥0；（2）分两种情况进行讨论，即当AB=AC是，△=0，求出k的值和AB和AC的长度，进行判断是否能构成三角形；当BC为腰时，将x=5代入方程求出k的值，然后求出另外两边的长度进行判断是否能构成三角形．
试题解析：（1）△==4－4k+1=≥0
∴无论k取何值，方程总有两个实数根．
（2）若AB=AC，则方程有两个相等的实数根 即=0 解得：k=
当k=时，AB=AC=3，此时AB、AC、BC满足三边关系．
若BC=5为△ABC的一腰，则方程有一根是5，
将x=5代入方程解得：k=
当k=时，解得方程两根为5和3，此时AB、AC、BC满足三边关系．
∴综上所述：当△ABC是等腰三角形时，k的值为或．
2．（1）证明见解析；（2）y=m2-2．
试题分析：（1）先根据判别式的值得到=m4，由于m≠0，根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用因式分解法得到x1=1，x2=m2+1，然后把它们代入y=x2-2x1-1即可．
试题解析：（1）证明：△=（m2+2）2-4（m2+1）=m4，
∵m≠0，
∴m4，＞0，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：x2-（m2+2）x+m2+1=0（m≠0），
（x-m2-1）（x-1）=0，
∴x1=1，x2=m2+1，
∴y=m2+1-2-1
=m2-2．
3．（1）证明见解析；（2）2.
试题分析：（1）方程总有两个不相等的实数根的条件是△＞0，由△＞0可推出m的取值范围．
（2）欲求m的值，先把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值．
试题解析：（1）由题意，得
＝
＝
∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有两个实数根，∴，
由，得
∴，
∵，∴，解方程得（舍去）
∴
4．(1)、见解析；(2)、m=－2，x=±.
试题分析：(1)、根据韦达定理来进行说明；(2)、两根互为相反数则说明两个之和为0，然后求出m的值，将m的值代入方程求出方程的解.
试题解析：(1)证明：△=－4(2m－1)=－4m+8=+4 ∵≥0
∴+4＞0 ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)、存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数. 由题知：=－(m+2)=0
解得：m=-2 将m=-2代入方程可得：－5=0，解得:x=±
∴m的值为-2，方程的根为±.
考点：根的判别式、韦达定理.
5．（1）且；（2）不存在，理由见解析.
试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＞0，还要保证二次项的系数不为0，由此列出不等式，即可求得k的取值范围；（2）设两实数根为， ，由方程的两个实数根的倒数和等于可得，根据根与系数的关系代入求得k值，结合（1）的结果判定即可.
试题解析：
（1）由题意可得，方程有两个不相等的实数根．
∴，即．
∴且．
（）设两实数根为， ．
∴有，
即，
由韦达定理．
．
∴有．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴舍．
∴不存在．
6．(1)；(2)
分析：(1)根据根与系数的关系得出 和的值,再把要求的式子进行通分,然后代值计算即可;(2)把要求从的式子变形为,再把=,代入进行计算即可. 详解：x1+x2=，x1x2=-.
(1)===- ；
(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=（）2-4×（-）=.
7．（1）m>2; (2)17
试题分析：（1）由根的判别式即可得；
（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．
试题解析：解：（1）由题意得△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=8m－16＞0，解得：m＞2；
（2）由题意，∵x1≠x2时，∴只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10．
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
8．（1）nx2＋mx＋1＝0；（2）－47或2；（3）c的最小值为4.
试题分析：(1) 设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1、x2，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－m，x1·x2＝n，将以上两式变形可得 和，即可求出答案．(2)根据a、b满足a2－15a－5=0，b2－15b－5=0，得出a，b是x2－15x－5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求结果；(3)根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=，a、b是方程x2+cx+?=0的解，再根据c2-4×≥0，即可求出c的最小值.
解：(1)设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1、x2.∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n.∴＋＝＝－，·＝.∴所求一元二次方程为x2＋x＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0.
(2)①当a≠b时，由题意知a、b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，∴a＋b＝15，ab＝－5.∴＋＝＝＝＝－47.②当a＝b时，＋＝1＋1＝2.综上，＋＝－47或2.
(3)∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝.∴a、b是方程x2＋cx＋＝0的两根，∴Δ＝c2－≥0.∵c＞0，∴c3≥64，∴c≥4，∴c的最小值为4.
点拨：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．本题的运算过程有点复杂，难度也较大，灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键.
9．（1）证明见解析；（2）5.
试题分析:（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．
（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后化简代数式再将m的值代入所求的代数式并求值即可．
试题解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=-1，
∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5，
把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；
把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
10．(1) k≤;(2)-2.
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
试题解析：（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．∴实数k的值为﹣2．
11．（1）n=-2m-5；（2）有两个不相等的实数根，理由略
试题分析：（1）把x=2代入方程，然后化简得到的等式即可；（2）根据条件证明方程判别式大于0即可．
试题解析：（1）把x=2代入方程得：4+2m+n+1=0,∴2m+n+5=0,∴n=-2m-5,
（2）∵+44>0,
∴方程y2 +my+n=0总有两个不相等的实数根
12．△ABC为直角三角形．
试题分析：由方程有两个相等的实数根，可得4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，然后整理可得到b2+c2=a2，从而△ABC为直角三角形．
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac=0，即4b2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴b2+c2=a2，∴△ABC为直角三角形．
点拨:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当?>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当?=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当?<0时，一元二次方程没有实数根.
13．（1）m≥；（2）符合条件的m的值为3．
试题分析：（1）若一元二次方程有两个等实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，即可求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系，可得x1+x2=2m，x1·x2=(m﹣1)2，再根据x12+x22=（x1+x2）2-2x1·x2即可求得m的值，结合（1）即可确定出m的具体值.
试题解析：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）2≥0，
整理得：2m-1≥0，
解得：m≥；
（2）∵x12+x22=28，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2=28，
∵x1+x2=2m，x1·x2=（m﹣1）2，
∴（2m）2﹣2（m﹣1）2=28，
∴m=3或m=-5，
∵原方程有两个实数根，m≥，
∴m=-5舍掉，
符合条件的m的值为3．
14．（1）k＜5；（2）k=3
试题分析：（1）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）将x=2代入方程，得到关于k的方程，求出即可，
试题解析：（1）由题意得△=[﹣2（k﹣3）]2﹣4×（k2﹣4k﹣1）>0
化简得﹣2k+10>0，解得k<5．
（2）将2代入方程，整理得k2﹣8k+15=0，解这个方程得k1=3，k2=5．
又∵k<5
∴k=3
15．(1)证明详见解析；(2)5或-1.
试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＞0，此题得证；
（2）根据根与系数的关系即可得出+=﹣a，×=a﹣2，结合=即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a的值．
试题解析：（1）在方程+ax+a﹣2=0中，△=﹣4（a﹣2）=+4，
∵≥0，
∴△＞0，
故不论a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程+ax+a﹣2=0的两个实数根分别为，，
∴+=﹣a，×=a﹣2，
∵=，
∴=13，
∴，即﹣4（a﹣2）=13，
整理得：=9，
解得：=5，=﹣1，
所以a的值为5或-1.
第一章 第3节一元二次方程根与系数的关系专项练习四
四、填空题专项训练2：
1．若关于x的方程2x2﹣mx+n=0的两根为﹣3和4，则m=______，n=______．
2．方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于 ．
3．已知3-是方程x2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.
4．等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+10=0的两根，则这个三角形的周长是 ．
5．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2= ．
6．若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是 ．
7．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-4，x2=3（a、b、m均为常数，a≠0），则方程
a（x+m-2）2+b=0的解是 ．
8．甲、乙两人同时解一个x 2 项系数为1的一元二次方程式，甲将x项的系数看错，求得两根为3与-6；乙将常数项看错，求得两根为3与4，若除此之外无其他计算错误，试求
(1)正确的方程为____________________________________________________；
(2)正确的两根为___________________________________________________.
9．等腰△ABC的一边BC的长为6，另外两边AB，AC的长分别是方程x2－8x＋m＝0的两个根，则
m的值为________．
10．设是一元二次方程的两个根，则 ．
11．设α,β是一元二次方程x2+2x-4=0的两实根，则α3+4α+12β-5=
12．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是、，那么=，=，则若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为_____________________
13．已知是方程的两个实数根，则的值为__________．
14．已知一元二次方程x2+7x﹣1=0的两个实数根为α，β，则(α-1)(β-1)的值为____．
15．已知α，β是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为_____．
16．已知是的一个根，则的值是 ．
17．如果一元二次方程的两根互为相反数，那么m=______；如果两根互为倒数，那么n=______.
18．关于的方程：的两根中一根比1大，另一根比1小，则的取值范围是______.
19．已知m、n是方程x2+2x﹣2017=0的两个根，则代数式m2+3m+n的值为______．
20．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x﹣1=0有实数根，则m应满足的条件是_____．
21．若关于x的一元二次方程无解，则a的取值范围是____________．
22．已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x12-3x2+20= ．
23．已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+6的值为________．
24．关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+ k2﹣1=0的两根互为倒数，则k的值是________．
25．设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值是__________.
26．设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为 ．
27．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为．
28．已知关于x的一元二次方程的一个根是2，那么这个方程的另一个根是___________。
29．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．
30．关于x的方程有实数解，则m需满足______________.
答案：
1． 2 -24
试题分析：由一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1?x2=，得，﹣3+4=，（﹣3）×4=，解得：m=2，n=﹣24，
故答案为：2，﹣24．
点拨：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题时灵活运用一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2=-，x1?x2=，然后解方程即可.
2．﹣18．
试题分析：直接利用根与系数的关系得出两方程的两根之积，进而得出答案．x2+3x﹣6=0，x1x2==﹣6，x2﹣6x+3=0，两根之积为： =3，故方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于：﹣6×3=﹣18．故答案为：﹣18．
3． -6, 3+
分析：先把3﹣代入方程x2+mx+7=0，求出m的值，再设方程的另一个根为a，由根与系数的关系即可求出a的值．
详解：∵3﹣是方程x2+mx+7=0的一个根，∴（3﹣）2+m（3﹣）+7=0，
解得：m=﹣6，∴原方程可化为x2﹣6x+7=0，设方程的另一根为a，则3﹣+a=6，∴m=6﹣3+=3+．
故答案为：﹣6，3+．
点拨：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据题意求出该一元二次方程解答此题的关键．
4．12．
试题分析：由x2﹣7x+10=0，可得（x﹣5）（x﹣2）=0，解得x1=5，x2=2，再由等腰三角形的底和腰是方程的两根，所以当另一个边x=2时，不合题意舍去，所以另一个边长为5，即可得这个三角形的周长是5+5+2=12.
5．-2．
试题分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=-m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．
试题解析：根据题意得x1+x2=-m=1，x1x2=2m，
所以m=-1，
所以x1x2=-2．
6．1．
试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系求得a+b、ab的值，然后将其代入所求的代数式并求值．∵a，b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，∴由韦达定理，得a+b=﹣2，ab=﹣1，∴=1．故答案为：1．
7．－2或5
试题分析：根据题意可得：x－2=－4或x－2=3，解得：x=－2或x=5.
8． x2 -7x-18=0 9、-2
分析：根据根与系数的方程，由甲把一次项系数看错可得到常数项c，由乙把常数项看错可得到一次项系数b，于是可确定原一元二次方程．
详解：∵甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为3和-6，
∴3×（-6）=c，即c=-18，
∵乙把常数项看错了，解得两根为3和4，
∴3+4=-b，即b=-7，
∴原方程为x2-7x-18=0，
解方程，得，x1=9，x2=-2.
故答案为(1)x2-7x-18=0．(2) 9、-2.
点拨：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=，熟记根与系数的关系是解答此题的关键．
9．12或16
试题分析：当AB=AC时，方程x2－8x＋m＝0有两个相等的实数根，所以，所以m=16,；当BC为腰时，6是方程x2－8x＋m＝0的根，代入方程得36-48+m=0，所以m=12，所以m=12或16．
10．2014．
试题解析：∵是一元二次方程x2+x-2015=0的两个根，
∴=-1，，即x2+x=2015，
则x12+2x1+x2=（x12+ x1）+（x1+ x2）=2015-1=2014．
11．-37.
试题解析：∵α，β是一元二次方程x2+2x-4=0的两实根，
∴α+β=-2，α2+2α-4=0，
∴α3+2α2-4α=0，α2=4-2α，
∴α3=4α-2α2，
∴原式=4α-2α2+4α+12β-5
=-2（4-2α）+8α+12β-5
=12（α+β）-13
=12×（-2）-13
=-37
12．k1=8，k2=-2
试题解析：根据题意得x1+x2=，x1?x2=，∵|x1-x2|=，∴（x1-x2）2=13，∴（x1+x2）2-4x1?x2=13，∴（）2-4?（）=13，整理得k2-6k-16=0，解得k1=8，k2=-2.
13．0
试题解析：根据题意得α+β=3，αβ=-4，
所以原式=a（α+β）-3α
=3α-3α
=0．
14．7
解析：∵一元二次方程x2+7x?1=0的两个实数根为α、β，
∴α+β=?7，α?β=?1，
∵(α?1)(β?1)=α?β?α?β+1=?1+7+1=7，
故答案为：7.
15．0
解析：】根据题意得α+β=3，αβ =﹣4，
所以原式=α（α+β）﹣3α=3α﹣3α=0，
故答案为：0．
16．2014．
试题分析：∵是的一个的根，∴，∴，
∴，∴．故答案为：2014．
17． 0 1
解析：∵一元二次方程的两根互为相反数，
∴，
∴m=0.
∵一元二次方程的两根互为倒数，
∴，
∴n=1
18．；
分析：设一元二次方程x2-（m-1）x+m+2=0的两根为a、b，根据根与系数的性质得a+b= 1-m，ab=m+2，由于a-1＞0，b-1＜0，则（a-1）（b-1）＜0，所以m+2-4（1-m）+1＜0，解得m<，然后利用判别式的意义确定m的范围．
详解：设一元二次方程x2+（m-1）x+m+2=0的两根为a、b，则a+b=1-m，ab=m+2，
设a＞1，b＜1，即a-1＞0，b-1＜0，
∴（a-1）（b-1）＜0，
即ab-4（a+b）+1＜0，
∴m+2-4（1-m）+1＜0，解得m<，，
∵△=（m-1）2-4（m+2）=m2-6m-7=（m-7）（m+1），
∴m<-1时，△＞0
∴m的取值范围为m<-1．
故答案为m<-1．
点拨：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
19．2015．
解：∵m、n是方程x2+2x﹣2017=0的两个根，∴m2+2m﹣2017=0，m+n=﹣2，∴m2=－2m+2017，∴m2+3m+n=－2m+2017+3m+n=2017+m+n=2015．故答案为：2015．
20．m≥﹣且m≠2
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x﹣1=0有实数根，
∴△≥0且m﹣2≠0，
∴9﹣4（m﹣2）（﹣1）≥0且m≠2，
∴m≥且m≠2，
21．a＜-1．
试题分析：由根与系数的关系可知，关于x的一元二次方程无解，即，解得a＜-1．
故答案为：a＜-1．
22．28．
试题解析：∵x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，
∴x12=-3x1-1，x1+x2=-3；
∴x12-3x2+20=（-3x1-1）-3x2+20=-3（x1+x2）+19=9+19=28．
23．24．
试题解析：∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，
∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，
∴2a3+b2+3a2-11a-b+6=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+6
=2a2-2a+18
=2（a+3）-2a+18
=2a+6-2a+18
=24．
24．2
试题解析：设方程的两根为
则有：
∵互为倒数，
解得：
故答案为：
25．2017；
试题解析：∵a，b是方程的根，
∴ 即
∵a,b是方程的两个不相等的实数根，
∴a+b=?1，
故答案为：2017.
26．7.
试题分析：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=-2；
原式=（x1+x2）2+x1x2=9-2=7．
27．8
试题分析：根据韦达定理可得：a+b=－1，将x=a代入可得：+a=2009，则原式=+a+a+b=2009+(－1)=2008.
28．
分析：把2代入方程求得k的值，根据两根之积求得另一个根．
详解：一元二次方程x2+kx+k-2=0的一个根是2， 将x=2代入方程x2+kx+k-2=0可得：k=- ． 根据韦达定理，两根之积是=- ．
可求出另一根是- ． 故本题答案为：-．
点拨：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是-，两根之积是．本题可以用定义求出k的值，然后选择合适的方法求解，对定义理解不透的学生可能会用求根公式，将陷入繁琐的计算之中。
29．
分析：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则，进行计算即可.
详解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：
故答案为：
点拨：本题考查一元二次方程根的判别式，
，方程有两个不相等的实数根.
，方程有两个相等的实数根.
，方程无实数根.
30．
解析：∵方程mx2?2x+1=0有实数解，∴△=(?2)2?4m=4?4m?0，解得：m?1.故答案为：m?1.
