一元二次方程的解法1
1．一元二次方程5x2﹣2x=0，最适当的解法是（ ）
A． 因式分解法 B． 配方法 C． 公式法 D． 直接开平方法
2．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（ ）
A． （x+2）2=1 B． （x﹣2）2=1 C． （x+2）2=9 D． （x﹣2）2=9
3．用配方法解一元二次方程x2＋3＝4x，下列配方正确的是
A． (x＋2)2＝2 B． (x－2)2＝7 C． (x＋2)2＝1 D． (x－2)2＝1
4．写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
5．已知三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2－16x＋60＝0的一个根.请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积.
6．用配方法解一元二次方程x2－4x－5=0时，此方程可变形的形式为：___________．
7．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是__．
8．一元二次方程x2=﹣3x的解是______．
9．一元二次方程x2=x的解为_____．
10．一元二次方程：3x2+8x-3=0的解是：________________
11．一元二次方程3x2－x＝0的解是_____________________．
12．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是_____．
13．一元二次方程9（x﹣1）2﹣4=0的解是_____．
14．一元二次方程(2x－1)2＝(3－x)2的解是_______________________．
15．一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 ．
16．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是 ．
17．一元二次方程x（x﹣1）=x﹣1的解是 ．
18．请写出一个无解的一元二次方程
19．已知关于x的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ．
20．写出一个以﹣3和2为根且二次项系数为1的一元二次方程________．
21．（1）解方程x2 －4x－1=0(配方法)；
（2）解方程 x+3－x(x+3) =0 ；
（3）请运用解一元二次方程的思想方法解方程x3－4x＝0．
答案详解：
1．A
解析：∵在方程5x2-2x=0中，常数项为0，
∴解该方程最适当的方法是“因式分解法”.
故选A.
2．D 解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．
3．D 由x2＋3＝4x可得，故选D
4．答案不唯一， 试题分析：根据既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程的特征即可得到结果.
答案不唯一，如
5．首先解方程x2-16x+60=0得，
原方程可化为：（x-6）（x-10）=0，
解得x1=6或x2=10；（5分）
如图（1）根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，
S△ABC=×6×8=24；
如图（2）AD==2，（12分）
S△ABC=×8×2=8．（15分）
解析：首先从方程中，确定第三边的边长，其次考查三边长能否构成三角形，依据三角形三边关系，不难判定两组数均能构成三角形，从而求出三角形的面积．
6． 解析：∵x2﹣4x﹣5=0，∴x2﹣4x=5，则x2﹣4x+4=5+4，即（x﹣2）2=9，故答案为：（x﹣2）2=9．
点拨：本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解方程的步骤．
7．x1=0，x2=2试题解析： ,或, 故答案为：
8．0或-3 试题解析：
9．x1=0，x2=1
试题分析：首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
试题解析：移项得：x2-x=0，
∴x（x-1）=0，
x=0或x-1=0，
∴x1=0，x2=1．
10．x1=, x2=-3
解析：方程可化为： ，
∴或，解得： .
11．x1＝0，x2＝
分析：利用因式分解法解方程即可.
详解：
3x2－x＝0，
x（3x-1）=0，
x=0或3x-1=0，
∴x1＝0，x2＝.
故答案为：x1＝0，x2＝.
点拨：本题主要考查了一元二次方程的解法—因式分解法，用因式分解法解一元二次方程的步骤为：①将方程右边化为0，左边因式分解；②根据“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程；这两个一元一次方程的根就是原方程的根.
12．2或﹣1
分析：根据因式分解法解一元二次方程.
详解：
∵x2﹣x﹣2=0
∴（x﹣2）（x+1）=0
∴x1=2，x2=﹣1．
点拨：考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程的公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法．
13．x1=，x2= ．
试题分析：移项可得： ，两边同时除以9可得： ，直接开方可得： ，解得： ．
14．，
解析：用因式分解法解二元一次方程，则或，所以，
15．a1=2+，a2=2﹣
分析：用公式法直接求解即可．
解：a=
=
=2±，
∴a1=2+，a2=2-，
故答案为a1=2+，a2=2-．
16．没有实数解．
试题分析：先计算△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3＜0，根据△的意义得到原方程没有实数根．
解：∵△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，
∴原方程没有实数根．
故答案为：没有实数解．
17．x1=x2=1．
试题分析：方程右边整体移项到左边，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
方程变形得：（x﹣1）﹣x（x﹣1）=0， 因式分解得：（x﹣1）（1﹣x）=0， 解得：x1=x2=1．
18．答案不唯一，如；
19．
试题分析：∵关于x的一元二次方程有一个根为0，∴符合条件的一元二次方程为.
∴符合条件的一元二次方程可以为，即.
20．x2+x-6=0.
试题分析：根据根与系数关系，当二次项系数为1时，两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项，据此可写出满足条件的方程：x2+x-6=0.
考点：一元二次方程根与系数关系.
21．（1）x1=2+ x2=2-；（2）x1=-3，x2=1； （3）x1=0，x2=-2，x3=2．
试题分析：（1）先移项，再方程两边同加上一次项系数一半的平方，再直接开平方即可；
（2）先提公因式，得出两个一元一次方程，求解即可；
（3）先提公因式，再用因式分解（平方差公式），转化成三个一元一次方程，求解即可．
试题解析：（1）x2-4x=1
x2-4x+4=5
（x-2）2=5，x-2=±，
x1=2+ x2=2-；
（2）原方程可变形为 （ x+3）-x（x+3）=0，
（ x+3））（1-x）=0，
x+3=0，或1x=0．
∴x1=-3，x2=1；
（3）解：原方程可变形为x（x2-4）=0，
x（x+2）（x-2）=0，
x=0，或x+2=0，或x-2=0，
∴x1=0，x2=-2，x3=2．
一元二次方程的解法3：
1．选择适当的方法解一元二次方程：
（1）x2+2x﹣15=0 （2）4x﹣6=（3﹣2x）x．
2．、按要求解一元二次方程：
(1) x2－10x＋9＝0(配方法) (2)x(x－2)＋x－2＝0(因式分解法)
3．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=，把x=，代入已知方程，
得（）2 +﹣1=0．
化简，得y2+2y﹣4=0，
故所求方程为y2+2y﹣4=0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择合适的方法解下列方程．
(1)x2－3x＋1＝0； (2)(x－1)2＝3；
(3)x2－3x＝0； (4)x2－2x＝4.
5．解一元二次方程x2-6x+3=0. 6．解一元二次方程：x2＋3x－1＝0
7．按要求解一元二次方程
（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）
（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0．
8．请写出一个你喜欢的，仅含有二次项、一次项得一元二次方程，并求出它的解．
9．解下列一元二次方程．
（1）x2+6x+5=0； （2）x2+x﹣1=0．（用配方法解）
10．一元二次方程有一个根为2，写出这样的一个一元二次方程
11．解一元二次方程：2x2+4x+1=0．
12．解下列一元二次方程．
（1）x2+6x+5=0； （2）x2+x﹣1=0．（用配方法解）
13．解一元二次方程：（x-2）2=x-2． 14．解一元二次方程：x2﹣4x﹣1=0．
15．解一元二次方程：3x2+2x﹣5=0．
16．阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0
解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0
∵a=4，b=﹣8，c=3
∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0
∴y==
∴y1=，
∴y2=
∴当y1=时，x2=
∴x1=，x2=﹣；当y1=时，x2=
∴x3=，x4=﹣
小试牛刀：请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确答案）
①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；
②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；
③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；
④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．
17．用适当的方法解一元二次方程
（1）x2+3x+1=0 （2）x2﹣10x+9=0
（3）（2x﹣1）2=（3x+2）2 （4）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）
18．用适当的方法解下列关于x的一元二次方程：
（1）x2-6x+8=0 ； （2）x2-4ax-12a2=0；
(3) (x－3)2+2x(x－3)＝0 ；(4)(2x+3)2=x2
19．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：
（1）请解上述一元二次方程;
（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点,写出一条即可
答案详解：
1．（1）x1=﹣5，x2=3；（2）x1=，x2=﹣2．
试题分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程变形得到2（2x﹣3）+x（2x﹣3）=0，然后利用因式分解法解方程．
试题解析：（1）（x+5）（x﹣3）=0，
x+5=0或x﹣3=0，
所以x1=﹣5，x2=3；
（2）2（2x﹣3）+x（2x﹣3）=0，
（2x﹣3）（2+x）=0，
2x﹣3=0或2+x=0，
所以x1=，x2=﹣2．
2．（1）x1＝9 或x2＝1；（2）x1＝2或x2＝－1．
试题分析：1）首先将常数项移到等号的右侧，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
试题解析：(1) x2－10x＋9＝0(配方法)
(x－5)2＝16
x－5＝4 或x－5＝－4
x1＝9 或x2＝1．
(2)x(x－2)＋x－2＝0(因式分解法)
(x－2)(x＋1)＝0
x－2＝0或x＋1＝0
x1＝2或x2＝－1．
3．（1）y2﹣2y﹣1=0；（2）所求方程为a+by+cy2=0（ c≠0）．
试题分析：(1)、互为相反数的两个数的和为原两数和的相反数，积不变，从而得出方程；(2)、设所求方程的根为y，则y=(x≠0),于是x=(y≠0)，然后将x=代入方程，从而得出所求的方程.
试题解析：(1)、 y2-2y-1=0
(2)、设所求方程的根为y，则y=(x≠0),于是x=(y≠0)
把x=带入方程ax2+bx+c=0, 得a ()2+b（）+c=0
去分母，得 a+by+cy2=0
若c=0，有ax2+bx="0" ,于是，方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不合题意
∴ c≠0，故所求方程为：a+by+cy2=0 ( c≠0) .
4．方程(1)用公式法解：x1＝，x2＝.
方程(2)用直接开平方法解：x1＝－＋1，x2＝＋1.
方程(3)用因式分解法解：x1＝0，x2＝3.
方程(4)用配方法解：x1＝－＋1，x2＝＋1.
试题分析：（1）利用公式法即可解决问题；
（2）直接开方法即可解决问题；
（3）利用因式分解法即可解决问题；
（4）利用配方法即可解决问题；
试题解析：（1）x2-3x+1=0，
∴a=1，b=-3，c=1，
∵△=9-4=5，
∴x1=，x2=．
（2）（x-1）2=3，
∴x-1=±，
∴x1=1+，x2=1-．
（3）∵x2-3x=0，
∴x（x-3）=0，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=，0，x2=3．
（4）∵x2-2x=4，
∴x2-2x+1=4+1，
∴（x-1）2=5，
∴∴x1=1+，x2=1-．
5．试题分析：移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
试题解析：x2?6x=?3，
x2?6x+9=?3+9，
(x?3)2=6，
x?3=±，
x1=3+x2=3?.
6． 试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．试题解析：这里a=1，b=3，c=-1，
∵△=9+4=13，
∴
则，.
7．(1) x1=1+，x2=1﹣．(2) x1=﹣，x2=；(3) x1=，x2=；(4) x1=﹣4，x2=2．
试题分析：（1）利用配方法解方程.(2)利用因式分解法（提取公因式）解方程.(3)利用公式法解方程.
(4)利用因式分解法（十字相乘）解方程.
试题解析：
解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）
移项得，x2﹣2x=，
配方得，x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=，
∴x﹣1=±
∴x1=1+，x2=1﹣．
（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）
7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，
（5x+2）（7x﹣6）=0，
∴5x+2=0，7x﹣6=0，
∴x1=﹣，x2=；
（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）
整理得，3x2+10x+5=0
∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40，
∴x==，
∴x1=，x2 =.
（4）x2﹣2x﹣8=0．
（x+4）（x﹣2）=0，
∴x+4=0，x﹣2=0，
∴x1=﹣4，x2=2．
点拨：一元二次方程的解法（1）直接开平方法，没有一次项的方程适用（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，公式法需要先求判别式，根据判别式的正负，求方程的解（4）因式分解法，可因式分解的方程适用,其中因式分解的方法有提取公因式，公式法（平方差公式，完全平方公式），十字相乘法.
8．见解析
试题分析：按要求写出符合条件的方程，然后进行求解即可.
试题解析：如：x2-3x=0，
x(x-3)=0，
x=0或x-3=0，
x1=0或x2=3.
9．（1）x=﹣1或x=﹣5；（2）x1=，x2=．
试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．
（1）(x+1)(x+5)=0，
∴x+1=0或x+5=0，
解得：x=?1或x=?5；
（2）x2+x=1，
x2+x+=1+
(x+)2=
x+= ,
x1=，x2=
10．答案不唯一
试题分析：答案不唯一，如; , 等等．
11．试题分析：找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
试题解析：这里a=2，b=4，c=1，
∵△=16﹣8=8，
∴．
12．（1）x=﹣1或x=﹣5；（2）x1=，x2=．
试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）配方法求解可得．
（1）(x+1)(x+5)=0，
∴x+1=0或x+5=0，
解得：x=?1或x=?5；
（2）x2+x=1，
x2+x+=1+
(x+)2=
x+= ,
x1=，x2=
13．x1=2，x2=3．
试题分析：首先移项后提取公因式（x-2）得到（x-2）（x-3）=0，然后解两个一元一次方程即可．
试题解析：（x-2）2-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x-2=0或x-3=0，
解得x1=2，x2=3．
14．x1=2+，x2=2﹣．
试题分析：根据配方法解一元二次方程的步骤：移项、配方、开平方，即可得出方程的解．
解：x2﹣4x﹣1=0．
移项得：x2﹣4x=1．
配方得：x2﹣4x+4=1+4．
即（x﹣2）2=5，
开平方得：x﹣2=±，
解得x1=2+，x2=2﹣．
15．x1=﹣，x2=1
试题分析：先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
试题解析：解：3x2+2x﹣5=0，
（3x+5）（x﹣1）=0，
3x+5=0，x﹣1=0，
x1=﹣，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法
16．①②③④
试题分析：先设y=x2，则原方程变形为y2﹣2y﹣8=0，运用因式分解法解得y1=﹣2，y2=4，再把y=﹣2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．
解：x4﹣2x2﹣8=0
设y=x2，则原方程变为：y2﹣2y﹣8=0．
分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0，
解得，y1=﹣2，y2=4，
当y=﹣2时，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；
当y=4时，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，
所以原方程的解为x1=﹣2，x2=2．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④；
故答案为①②③④．
17．（1）（2）x1=1 x2=9（3）x1=-3 x2=-（4）x1=-2 x2=3
试题分析：
（1）找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解；
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（3）利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解；
（4）方程移项后，左边分解因式化为积的形式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
试题解析：
（1）x2+3x+1=0，
这里a=1，b=3，c=1，
∵b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=；
（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣9）=0，
可得x﹣1=0或x﹣9=0，
解得：x1=1 x2=9；
（3）开方得：2x﹣1=±（3x+2），
即2x﹣1=3x+2或2x﹣1=﹣（3x+2），
∴x1=﹣3，x2=﹣；
（4）分解因式得：（x+2）（x﹣1﹣2）=0，
可得x+2=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
18．解：（1）x=2或x=4 （2）x=2a或x=6a (3)x=1或x=3 (4)x=-1或x=-3
试题分析：（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程；
（3）利用因式分解法解方程；
（4）利用因式分解法解方程；．
解：（1）x2-6x+8=0
（x-2）(x-4)=0
x-2=0，x-4=0
∴x=2或x=4
（2）x2-4ax-12a2=0
(x+2a)(x-6a)=0
x+2a=0，x-6a=0
∴x=2a或x=6a
(3) (x－3)2+2x(x－3)＝0
(x-3)(3x-3)=0
x-3=0，3x-3=0
∴x=1或x=3
(4) (2x+3)2=x2
(2x+3)2-x2=0
(3x+3)(x+3)=0
3x+3=0，x+3=0
∴x=-1或x=-3
19．答案见解析．
试题分析：利用因式分解法分别解方程,求出结果,分析方程的解与因式之间的关系,总结出共同特点．
试题解析：（1）①（x+1）（x﹣1）=0,所以x1=﹣1,x2=1
②（x+2）（x﹣1）=0,所以x1=﹣2,x2=1;
③（x+3）（x﹣1）=0,所以x1=﹣3,x2=1;
（n）（x+n）（x﹣1）=0,所以x1=﹣n,x2=1
（2）共同特点是：
都有一个根为1;都有一个根为负整数;两个根都是整数根等．
一元二次方程的解法2：
1．用配方法解一元二次方程：x2-2x-2=0．
2．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣3=0，
（1）求证：不论k为任何实数，方程总有实数根；
（2）若k=﹣1时，用公式法解这个一元二次方程．
3．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
4．解方程：
5．按要求解一元二次方程：
（1）2x2﹣3x+1=0（配方法） （2）x（x﹣2）+x﹣2=0（因式分解法）
6．公式法求一元二次方程x2-3x-2=0的解
7．按要求解一元二次方程：
（1）x（x+4）=8x+12（适当方法） （2）3x2﹣6x+2=0（配方法）
8．按要求解下列一元二次方程：
（1）x2+12x+27=0（配方法）； （2）(2x-1)(x+3)=4 （公式法）．
9．解下列一元二次方程：
（1）2x2﹣5x﹣1=0（用配方法解）； （2）（2x﹣5）2=9（x+4）2．
10．（1）解方程4x2－(x＋1)2＝0；
（2）请运用解一元二次方程的思想方法解方程x3－x＝0．
11．选用适当的方法解一元二次方程：
(1)x2－6x－1＝0； (2)2x2－5x－1＝0
12．按照要求的方法解一元二次方程
（1）3x2＋4x＋1＝0（配方法）； （2）x2－1＝3x－3（因式分解法）．
13．用适当的方法解一元二次方程:
（1）x2+3x+1=0 （2）（x﹣1）（x+2）=2（x+2）
14．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0； （2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
15．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
解一元二次方程
3x2﹣8x（x﹣2）=0…第一步
3x﹣8x﹣2=0…第二步
﹣5x﹣2=0…第三步
﹣5x=2…第四步
x=﹣…第五步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；此题的正确结果是 ．
（2）用因式分解法解方程：x（2x﹣1）=3（2x﹣1）．
答案详解：
1．x1=1+，x2=1﹣．
试题分析：把常数项﹣2移项后，在左右两边同时加上1配方求解．
试题解析：x2﹣2x+1=3
（x﹣1）2=3
∴x﹣1=或x﹣1=﹣
∴x1=1+，x2=1﹣．
2．（1）见解析； （2）x1=，x2=．
（1）结合方程的各项系数以及根的判别式即可得出△=k2+12>0，由此证出不论k为何实数，方程总有实数根；（2）将x=-1代入原方程，利用公式法解一元二次方程即可得出结论.
（1）证明：∵在方程x2+kx-3=0中，△=k2-4×1×（-3）=k2+12≥12，
∴不论k为任何实数，方程总有实数根.
（2）当k=-1时，原方程为x2-x-3=0，
∴△=12+12=13，
∴x1=，x2=．
3．当b2﹣4ac＞0时，x1=，x2=，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．
试题分析：
先把原方程的两边都除以二次项的系数a，化为二次项系数是1的一元二次方程，常数项移到方程的右边，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，再用直接开平方法求解，注意讨论b2-4ac的符号.
试题解析：
解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．
∴由原方程，得x2+x=﹣，
等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，
配方，得（x+）2=﹣，
当b2﹣4ac＞0时，
开方，得：x+=±，
解得x1=，x2=，
当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；
当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．
点拨：本题主要考查了用配方法解一元二次方程的方法，用配方法解一元二次方程的一般方法是，①如果原方程的二次项系数不是1，则把原方程的两边都除以二次项的系数a，化为二次项系数是1的一元二次方程；②常数项移到方程的右边；③方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式，再用直接开平方法求解.
4．原方程化解为…………3分∴……5分
5．（1）x1=1，x2=；（2）x1=2，x2=﹣1．
试题分析：（1）首先将常数项移到等号的右侧，把二次项系数化为1，再将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
（2）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：（1）2x2﹣3x+1=0，
x2﹣x=﹣，
x2﹣x+=﹣+，
（x﹣）2=，
x﹣=±，
∴x1=1，x2=；
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0，
分解因式得：（x﹣2）（x+1）=0，
可得x﹣2=0或x+1=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
6．试题分析：找出a、b、c的值，代入求根公式即可．
试题解析：解：∵a=1，b=-3，c=-2；∴b2-4ac =（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17，∴x=．
7．(1)x=﹣2或x=6；(2)x1=，x2=．
试题分析：（1）整理成一般式后利用因式分解法求解可得；
（2）配方法求解即可．
试题解析：（1）原方程整理可得：x2﹣4x﹣12=0，
因式分解可得（x+2）（x﹣6）=0，
∴x+2=0或x﹣6=0，
解得：x=﹣2或x=6；
（2）3x2﹣6x+2=0，
3x2﹣6x=﹣2，
x2﹣2x=﹣，
x2﹣2x+1=1﹣，即（x﹣1）2=
∴x﹣1=±，
∴x=1±，
∴x1=，x2=．
8．（1）x1=-3，x2=-9；（2）x1=1，x2=-
分析：（1）先利用配方法得到（x＋6）2＝9，然后根据直接开平方法求解；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式求解．
详解：（1）x2＋12x＝?27，
x2＋12x＋36＝9，
（x＋6）2＝9，
x＋6＝±3，
所以x1＝?3，x2＝?9；
（2）方程化为2x2＋5x?7＝0，
△＝52?4×2×（?7）＝81，
x＝，
所以x1＝1，x2＝?．
点拨：本题考查了解一元二次方程?配方法：将一元二次方程配成（x＋m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了公式法解一元二次方程．
9．（1）x1=，x2=；（2）x1=﹣，x2=﹣17．
分析：（1）移项得出2x2﹣5x=1，系数化成1得到x2﹣x=，配方得到（x﹣）2=，推出x﹣=±，求出即可；
（2）移项分解因式得到[（2x﹣5+3（x+4）][（2x﹣5﹣3（x+4）]=0，推出方程（5x+7）（x+17）=0，求出方程的解即可．
详解：（1）2x2﹣5x﹣1=0，2x2﹣5x=1，x2﹣x=，
（x﹣）2=，x﹣=±，
解得：x1=，x2=；
（2）（2x﹣5）2=9（x+4）2，
[（2x﹣5+3（x+4）][（2x﹣5﹣3（x+4）]=0，
（5x+7）（x+17）=0，
解得：x1=﹣，x2=﹣17．
点拨：本题主要考查解一元二次方程﹣因式分解、配方，等式的性质等知识点的理解和掌握，能正确因式分解和配方是解答此题的关键．
10．（1），x2＝1；（2）x1＝0，x2＝－1，x3＝1．
（1）解：原方程可变形为
[2x＋(x＋1)] [2x－(x＋1)]＝0，……………………………2分
即 (3x＋1)(x－1)＝0．
3x＋1＝0，或x－1＝0．……………………………3分
∴x1＝－，x2＝1．……………………………4分
（2）原方程可变形为x(x2－1)＝0，………………………………5分
x(x＋1)(x－1)＝0．………………………………6分
x＝0，或x＋1＝0，或x－1＝0．………………………………7分
∴x1＝0，x2＝－1，x3＝1．………………………………8分
11．(1) x1＝3＋，x2＝3－；(2) x1＝，x2＝
分析:（1）用配方法解方程即可；（2）用公式法解方程即可.
详解:
（1）x2－6x－1＝0
x2－6x＝1
x2－6x+9＝10
（x－3）2＝10
x-3=
∴x1＝3＋，x2＝3－
（2）2x2－5x－1＝0
a=2，b=-5，c=-1，
△=25+8=33＞0，
∴，
∴x1＝，x2＝
点拨：本题考查了一元二次方程的解法，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12．（1）（2）x1＝1，x2＝2
试题分析：（1）按照配方法解方程的一般步骤解方程即可；（2）移项可得x2－1－3x＋3＝0，然后将方程左边分解因式后提公因式（x-1），然后可将方程化为两个一次方程，分别解方程即可．
试题解析：（1）将原方程移项，得3x2＋4x＝－1，
方程两边同时除以3，得，
配方，得，
即，
所以，
（2）原方程可化为x2－1－3x＋3＝0，
即（x＋1）（x－1）－3（x－1）＝0，
（x－1）（x＋1－3）＝0，
于是x－1＝0或x－2＝0，
所以x1＝1，x2＝2
13．(1)x1=，x2=;(2) x1=﹣2，x2=3
试题分析:(1)公式法解;(2)因式分解法解.
试题解析:
(1)x2+3x+1=0，
∴a=1，b=3，c=1，
∵b2﹣4ac=9﹣4×1×1=5＞0，
∴x= ，
∴x1=，x2=;
(2)（x+2）（x﹣1﹣2）=0，
可得x+2=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣2，x2=3．
14．（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.
15．(1)、第二步；x1=0，x2=；(2)、x1=，x2=3．
试题分析：(1)、利用提取公因式法分解因式解方程得出即可；(2)、利用提取公因式法分解因式解方程得出即可．
试题解析：(1)、小明的解法从第2步开始出现错误；
3x2﹣8x（x﹣2）=0 x[3x﹣8（x﹣2）]=0， 解得：x1=0，x2=，
故此题的正确结果是：x1=0，x2=，
(2)、x（2x﹣1）=3（2x﹣1） （2x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=，x2=3．
一元二次方程根的判别式
1．如果关于x的方程x2-x+k=0（k为常数）有两个相等的实数根，那么k= ．
2．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
3．如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是___________
4．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值是_____．
5．一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m的取值范围是________．
6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是______ ．
7．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是 ．
8．关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________．
10．关于x的方程有两不等实根，则的取值范围为 ．
11．已知关于x的方程x2+2x﹣m=0有实数解，那么m的取值范围是________．
12．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是( )A． -1 B． 0 C． 1 D． 2
13．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
14．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________________．
15．若关于x的方程(k-1)x2-4x-5=0 有实数根, 则k 的取值范围是______.
16．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果是 ．
17．关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
18．关于x的一元二次方程kx2﹣3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是_____．
19．关于x一元二次方程2x（kx-4）-x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是 。
20．关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是__．
21．请给c的一个值，c= _________ 时，方程x2﹣3x+c=0无实数根．
22．若关于x的方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是 ．
23．如果方程kx2+2x+1=0（k≠0）有两个不等实数根，则实数k的取值范围是 ______
24．关于x的方程有实数解，则m需满足______________.
25．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____．
26．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______．
答案详解：
1．．试题分析：根据判别式的意义得到△=（-1）2-4k=0，然后解一次方程即可．
试题解析：根据题意得△=（-1）2-4k=0，
解得k=．
2．k＞﹣1且k≠0．
试题分析：根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
3．．
试题解析：∵关于x的方程没有实数根，
∴△<0，即△=25?4k<0，
故答案为：
4．3
【解析】先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．
解：∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根；
∴α+β=﹣2m﹣3，α?β=m2；
∴==﹣1；
∴m2﹣2m﹣3=0；
解得m=3或m=﹣1；
∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根；
∴△=（2m+3）2﹣4×1×m2=12m+9＞0；
∴m＞﹣；
∴m=﹣1不合题意舍去；
∴m=3．
故答案为：3.
5．m≤1 解析：根据题意得△=(-2)2?4×m≥0，解得m.
故答案为： .
6．4
解析：根据一元二次方程的根的判别式，由方程有两个相等的实数根，可得△=b2-4ac=（-2）2-4×1×（m-3）=0，解得m=4.
故答案为：4.
7．9
解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+a=0有两个相等的实数根，∴△=62﹣4a=36﹣4a=0，解得：a=9．故答案为：9．
8．m≤1且m≠0．
试题分析：∵关于x的一元一二次方程mx2﹣2x+l=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m＞0，∴m＜1．又∵mx2﹣2x+l=0是一元二次方程，∴m≠0，故m的取值范围是m≤1且m≠0．故答案为：m≤1且m≠0．
9．k＞1.
试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1.
10． k≥1
试题分析：一元二次方程两个不等实根，即△＞0，从而得出关于k的不等式，通过解不等式求得k的取值范围k＞0，再利用二次根式的性质求出k的取值范围k-1≥0，进而得出k的取值k≥1.
11．m≥﹣1 分析：有实数解，即△≥0，把a、b、c的值代入计算即可．
详解：根据题意得
△=b2-4ac=4+4m≥0，
解得m≥-1，
故答案是m≥-1．
点拨：本题考查了根的判别式，解题的关键是注意：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
12．D
试题解析：关于x的方程有两个不相等的实数根，
则
解得：
满足条件的最小整数的值为2.
故选D.
13．m≤3且m≠2．
试题分析：由题意得△≥0且m-2≠0，即22-4（m-2）×1≥0且m≠2，所以m≤3且m≠2．
14．
试题解析：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=2（k-1）2-4(k2-1)＞0，
解得k<1．
15．
解析：当k?1=0，即k=1时，原方程为?4x?5=0，
解得：x=?，
∴k=1符合题意；
当k?1≠0，即k≠1时，有，
解得：k?且k≠1.
综上可得：k的取值范围为k?.
16．1
试题分析：根据方程有两个不相等的实数根可得：4－4×1×（－m）＞0，解得：m＞－1，则原式=－=m+2－（m+1）=m+2－m－1=1．
17．a＜2且a≠1．
试题解析：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+l=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即4-4×（a-2）×1＞0，
解这个不等式得，a＜2，
又∵二次项系数是（a-1），
∴a≠1．
故a的取值范围是a＜2且a≠1．
18．k≥﹣且k≠0
解析：由题意得 ，解得：k≥﹣且k≠0．
故答案为：k≥﹣且k≠0．
19． 2
试题分析：先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0没有实数根，所以2k﹣1≠0且△＜0，即解得k＞，即可得到k的最小整数值．
把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，
∵原方程为一元二次方程且没有实数根，
∴2k﹣1≠0且△＜0，即△=（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6=88﹣48k＜0，解得k＞．
所以k的取值范围为：k＞．
则满足条件的k的最小整数值是2．
故答案为2．
20．m=4． 分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
详解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，
∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，
解得m≤5.5，且m≠5，
则m的最大整数解是m=4．
故答案为：m=4．
点拨：考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
21．答案不唯一，如c=3．
试题分析：要使方程﹣3x+c=0无实数根，则△=<0，解得，只要满足的值都可以，答案不唯一，如c=3．
考点：一元二次方程根的判别式．
22．k≥4
试题分析：当k=0时，原方程为﹣4x+1=0，
解得：x=，
∴k=0符合题意；
当k≠0时，
∵方程kx2﹣4x﹣1=0有实数根，
∴△=（﹣4）2+4k≥0，
解得：k≥﹣4且k≠0．
综上可知：k的取值范围是k≥4．
23．k＜1且k≠0
试题解析：∵方程kx2+2x+1=0有两个不等实数根，
∴k≠0且△＞0，即22-4×k×1＞0，解得k＜1，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0．
24．
解析：∵方程mx2?2x+1=0有实数解，∴△=(?2)2?4m=4?4m?0，解得：m?1.故答案为：m?1.
25．
分析：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则，进行计算即可.
详解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
解得：
故答案为：
26．4．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=16﹣4c=0，解得c=4．故答案为：4．
点拨：本题考查了根的判别式．一元二次方程 （a≠0）的根与△=有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
