第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测试题B卷（含解析）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元检测试题B卷
姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．9
如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD（不包括∠FCD）相等的角有( )
A． 5个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的度数之比为2：3：4，则∠B的度数为（　　）
A．120° B．80° C．60° D．40°
下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分。
A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④
如图，直线l1 ∥ l2 ，CD⊥AB于点D ，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
A． 40° B． 45° C． 50° D． 30°
小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则等于　　
A． B． C． D．
如图，直线∥，∠1=50°，∠2=23°20′，则∠3的度数为( )
A．26°40′ B．27°20′ C．27°40′ D．73°20′

如图，在△ABC中，∠A=60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（　　）度.
A． 140 B． 190 C． 320 D． 240
如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=120°，∠BGC=102°，则∠A的度数为（　　）
A． 34° B． 40° C． 42° D． 46°
如图有四条互相不平行的直线l1、l2、l3、l4所截出的七个角，关于这七个角的度数关系，下列结论正确的是（　　）
A．∠2=∠4+∠7 B．∠3=∠1+∠7
C．∠1+∠4+∠6=180° D．∠2+∠3+∠5=360°
△ABC 中，已知点 D，E，F 分别是 BC，AD，CE 边上的中点，且 S△ABC=4cm2 则 S△BEF 的值为（ ）
A． 2cm2 B． 1cm2 C． 0.5cm2 D． 0.25cm2
如图，已知直线AB∥CD，∠C=135°，∠A=45°，则△AEF的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
若要与长为4、7的两根木条组成三角形，那么第三条木棍x取值范围应为________。
已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c=　 　．
若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．
一副分别含有30°和45°的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°．则∠BFD的度数是_____________
如图,△ABC中,点E是BC上的一点,EC=2BE,BD是边AC上的中线,若S△ABC=18,则S△ADF-S△BEF=_______．
如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…．已知∠A=α，则∠An的度数为_________（用含n、α的代数式表示）．
三、解答题（本大题共8小题，共78分）
（题文）已知a，b，c是三角形的三边长．
（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；
（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．
如图，在中，∠A=30°, ∠B=70°,CE⊥AB，垂足为平分∠ACE，求∠FCE 的度数．
如图，AD是△ABC的角平分线，∠B=50°，∠ADC=70°，求∠BAC、∠C的度数．
如图 ，在△ABC中，∠BAC=75°，AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD=BD，求∠C和
∠AFB的度数.

已知：如图， 是内一点．
求证： ．
在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．
（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；
（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．
在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；
（1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由．
如图（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE
（2）如图（b），AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延长线于F，判断∠ABC与∠F的数量关系，并证明；
（3）如图（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延长线于M，①的值不变，②的值不变；其中只有一个结论正确，请择一证明．
答案解析
一 、选择题
【考点】三角形三边关系．
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故选：C．
【考点】三角形内角和定理，垂直的定义
【分析】如下图，根据“三角形内角和为180°”结合“垂直的定义”和已知条件进行分析解答即可.
解：如下图，∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE=∠ABF=∠CDF=90°，
∵∠1=∠F=45°，
∴∠FCD=180°-90°-45°=45°，∠A=180°-90°-45°=45°，∠2=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠F=∠1=∠A=∠2=45°，即和∠FCD相等的角有4个.
故选D.
【点睛】“根据三角形内角和为180°结合垂直的定义及已知条件证得∠FCD=∠A=∠2=45°”是解答本题的关键.
【考点】三角形内角和定理．
【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，
∴设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2x+3x+4x=180°，
解得：x=20°，
∴∠B的度数为：60°．
故选C．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；
③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
【考点】直角三角形的性质，平行线的性质，垂线的定义
【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
解：∵l1∥l2，
∴∠ABC=∠1=50°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°，
∴∠BCD=40°，
故选A．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质、垂线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，掌握相关知识是解题的关键．
【考点】三角形内角和定理，三角形外角的性质
【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可．
解：如图：
，，
，，
∴
=
=，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.
【考点】平行线的性质；度分秒的换算；三角形的外角性质
【分析】由两直线平行内错角相等得到∠4=∠1，再利用三角形外角性质即可确定出所求角的度数．
解：∵l1∥l2，∠1=50°，
∴∠4=∠1=50°，
∵∠4=∠2+∠3，∠2=23°20′，
∴∠3=26°40′，
故选A
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解.
解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+(∠ADE+∠A+∠AED)
=60°+180°
=240°
故选D.
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
【考点】三角形内角和定理，三等分线的定义
【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y．在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求得∠A的度数．
解：设∠GBC=x，∠DCB=y．
在△BFC中，2x+y=180°﹣120°=60°①．
在△BGC中，x+2y=180°﹣102°=78°②，
解得：①+②：3x+3y=138°，
∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣138°=42°．
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便．
【考点】三角形的外角性质；同位角、内错角、同旁内角．
【分析】根据三角形的外角性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、由图可知，∠2=∠7+∠8，
∠4≠∠8，
所以，∠2=∠4+∠7不成立，故本选项错误；
B、根据三角形的外角性质，∠3等于∠1、∠7的对顶角的和，
所以，∠3=∠1+∠7，故本选项正确；
C、∠4=∠1+∠6，
由图可知，∠4是钝角，
所以，∠1+∠4+∠6=180°不成立，故本选项错误；
D、根据多边形的外角和定理，∠2+∠4+∠5=360°，
∵l3、l4不平行，
∴∠3≠∠4，
∴∠2+∠3+∠5=360°不成立，故本选项错误．
故选B．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形求出S△BCE=S△ABC，S△BEF=S△BCE，然后代入数据进行计算即可得解．
解：∵点D、 E分别是边BC、AD上的中点，
∴S△ABD=S△ABC,S△ACD=S△ABC，
S△BDE=S△ABD,S△CDE=S△ACD，
∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABD+S△ACD=S△ABC，
∵点F是边CE的中点，
∴S△BEF=S△BCE=×S△ABC=S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△BFF=×4=1.
故选：B.
【点睛】此题考查了面积与等积变换及三角形的面积，解答本题的关键是根据三角形中位线将三角形的面积分成相等的两边部分解答，有一定难度.
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCF=45°，再根据对顶角相等求出∠AFE，从而得到∠A=∠AFE，再求出∠E=90°，然后判断△AEF是等腰直角三角形．
解：∵AB∥CD，∠C=135°，
∴∠BFC=180°﹣∠C=180°﹣135°=45°，
∴∠AFE=∠BFC=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠AFE=45°，
∴∠E=180°﹣45°×2=90°
∴△AEF是等腰直角三角形．
故选D．
二 、填空题
【考点】三角形三条边的关系
【分析】根据三角形的三边关系解答即可.
解：∵要与长为4、7的两根木条组成三角形，
∴7-4故答案为：3【点睛】本题考查三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握三角形三边的关系是解题关键.
【考点】非负数的性质，三角形三边的关系
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案是：7．
【点评】本题考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确配方法和三角形三边的关系．
【考点】三角形三条边的关系
解:根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为：2b﹣2a
【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数；据此解答即可.
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠CDF=60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B=45°，
∴∠BFD=∠CDF﹣∠B=60°﹣45°=15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【分析】本题需先分别求出S△ABD，S△ABE再根据S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE即可求出结果．
解：∵点D是AC的中点，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
即
故答案为：3.
【点睛】考查三角形的面积，关键是知道当高相等时，面积等于底边的比，就可求出三角形的面积，然后求出差.
【考点】三角形内角和定理，三角形外角的性质
【分析】由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而
即 同理可得， 依此类推即可．
解：△ABC中,∵∠A=∠ACD?∠ABC,A1是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴
同理可得,
…
依此类推, 即∠An=
故答案为：
【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键.
三 、解答题
【考点】三角形三条边的关系
【分析】（1）三角形的两边之和大于第三边，故a-b-c=a-(b+c)＜0，同理b-c-a＜0，c-a-b＜0；根据绝对值的性质去绝对值符号，然后合并同类项，（2）将a，b，c的值代入（1）中化简的结果求值即可.
解：（1）∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b
=a+b+c；
（2）当a=5，b=4，c=3时，
原式=5+4+3=12．
【点睛】本题结合绝对值的性质考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用.
【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义
【分析】根据三角形的内角和等于，求出，然后根据角平分线的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据计算即可得解.
解： ，，
，
平分，
，
，，
，
.
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和等于，角平分线的定义，是基础题，熟记定理是解题的关键.
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠BAD，再根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠BAD，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可求出∠C．
解：∵∠B=50°，∠ADC=70°，
∴∠BAD=∠ADC﹣∠B=70°﹣50°=20°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠BAD=2×20°=40°，
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠B=180°﹣50°﹣40°=90°．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，是基础题，准确识图是解题的关键．
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，多边形的内角与外角
【分析】先计算出∠ABD=∠BAD=45°再根据三角形内角和定理求∠C，最后利用多边形的内角与外角性质求∠DFE
解：在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴ ∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°.
∵ AD=BD，
∴ ∠ABD=∠BAD=45°.
在△ABC中，∠BAC=75°，
∴ ∠C=180°-（∠ABD+∠BAC）
=180°-(45°+75°)=60°.
在四边形DCEF中，
∠DFE=360°-(∠ADC+∠BEC+∠C)=360°-(90°+90°+60°)=120°.
∴ ∠AFB =∠DFE=120°.
【考点】三角形三条边的关系
【分析】首先延长BP交AC于点D，再在△ABD中可得PB+PD＜AB+AD，在△PCD中，PC＜PD+CD然后把两个不等式相加整理后可得结论．
证明：延长BP交AC于点D，
在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①
在△PCD中，PC＜PD+CD②
①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，
即PB+PC＜AB+AC，
即：AB+AC＞PB+PC．
【考点】三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的外角性质【分析】（1）由角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；
（2）由角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．
解：
证明：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．
（2）∠ADE+2∠DEB=180°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBE．
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，
∴∠ABC=2∠DEB，
∴∠ADE+2∠DEB=180°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．
【考点】直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义
【分析】（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数；
（2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数；
（3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：（1）∵∠C=50°，∠B=30°，
∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=50°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°，
在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°；
（2）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B），
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C），
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）；
（3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下：
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=（180°-∠B-∠C），
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE=90°，
∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD=（∠C﹣∠B）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键.
【考点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质．
【分析】（1）先过B作BF∥AD，则∠DAB+∠ABF=180°，根据∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，即可得出AD∥CE；
（2）先过点G作GH∥AD，则GH∥AD∥CE，根据AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，以及∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，求得∠AGC+∠ABC=180°，再根据AG∥BF，求得∠F+∠AGC=180°，即可得到∠ABC=2∠F；
（3）先根据AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT，得到∠QBP=∠MCB，再根据∠QBC是△BCM的外角，得到∠QBC=∠M+∠MCB，进而得到∠M=∠ABC，即的值为．
【解答】解：（1）过B作BF∥AD，则∠DAB+∠ABF=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，
∴BF∥CE，
∴AD∥CE；
（2）∠ABC=2∠F
证明：过点G作GH∥AD，则GH∥AD∥CE，
∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，
∵AG、CG分别平分∠BAD、∠BCE，
∴∠AGC=（∠DAB+∠BCE），
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，
∴（∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，
即∠AGC+∠ABC=180°，
∵AG∥BF，
∴∠F+∠AGC=180°，
∴∠ABC=2∠F；
（3）②的值不变．
证明：由上面结论可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，
又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，
∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，
∵BQ∥AN，
∴∠NAB=∠ABQ，
∴∠QBP=∠ABP=∠CBP=∠BCT=∠MCB，
∵∠QBC是△BCM的外角，
∴∠QBC=∠M+∠MCB，
∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC=∠ABC，
即的值为．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形外角的性质的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．