第二章 第五节 直线与圆的位置关系
1．若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为（ ）
A．16cm B．cm C．cm D．cm
2．已知在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
3．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A． 2.3 B． 2.4 C． 2.5 D． 2.6
4．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为点B，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC.已知∠ACB=32°，则∠A= ( )
A． 13o B． 26o C． 30o D． 32o
5．如图，两个半圆，大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．64π B．32π C．16π D．128π
6．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC=140°，则∠BIC的度数为
A． 110° B． 125° C． 130° D． 140°
7．⊙O的周长是24π，则长为5π的弧所对的圆心角为 度。
8．如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
9．如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，则PA= ．
10．如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的负半轴相切于点A，双曲线y=经过圆心H，则k= ．
11．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．
12．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的内切圆的半径长为_________．
13．如图，△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．
求证：DE是⊙O切线．
14．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
15．实践操作如图，∠△ABC是直角三角形，∠ACB=90，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠BAC的平分线，交BC于点0
②以点0为圆心，OC为半径作圆.综合运用在你所作的图中，
(1)直线AB与⊙0的位置关系是
(2)证明:BA·BD=BC·BO;
(3)若AC=5,BC=12，求⊙0的半径
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB=，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射线PD交射线BC于点E，设PA=x．
（1）当⊙P与BC相切时，求x的值；
（2）设CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
17．（如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG?HB的值．
答案：
1．B．
试题分析：根据题意得：AC=12cm，则AB=12﹣4﹣4=4cm，∵AD是圆的切线，∴AD2=AB?AC=4×12=48，∴AD=cm．故选B．
2．C
试题分析：根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可．
解：如图所示：
∵OE⊥AB，∴AE=AB=4．
在直角△AOE中，AE=4，OE=3，
根据勾股定理得到OA==5，
则⊙O的半径是5．
故选：C．
3．B
试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===，
∴⊙C的半径为，故选B．
4．B
分析：连接OB，根据切线的性质得∠OBA=90°，又∠ACB=32°，可得∠AOB=64°，再用直角三角形的两锐角互余可以求出∠A的度数．
详解：
如图：连接OB，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBA=90°，
∵OB=OC，∠ACB=32°，
∴∠ACB=∠OBC=32°，
∴∠AOB=2∠ACB =64°，
∴∠A=90°-∠AOB =26°．
故选B.．
5．B
试题分析：设两个半圆的半径分别是R，r，因为大半圆中长为16cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相
切，所以大圆圆心到弦AB的距离是r，由垂径定理和勾股定理得：,图中阴影部分的
面积=大半圆的面积-小半圆的面积= ，故选：B.
6．B 试题解析：∵点O为△ABC的外心，∠BOC=140°，
∴∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠IBC+∠ICB=55°，
∴∠BIC=125°．
故选B.
7.75°.
试题解析：解：.
考点：关于弧长的计算
8．．
试题分析：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
∵一次函数，当x=0时，y=，∴A（0，），当y=0时，x=，∴B（，0），∴OA=OB=，∴AB==6，∴OP=AB=3，∴PQ==．故答案为：．
9．4
试题分析：根据PA是圆的切线，可知OA⊥PA，然后根据勾股定理可得PA=4．
10．﹣8．
试题分析：本题主要考查切线的性质和垂径定理，由条件求得圆的半径从而求得H点的坐标是解题的关键．
过H作HE⊥BC于点E，可求得E点坐标和圆的半径，连接BH，在Rt△BEH中，可求得HE的长，可求得H点坐标，代入双曲线解析式可求得k．
解：过H作HE⊥BC于点E，连接BH，AH，如图，
∵B（2，0），C（6，0），
∴BC=4，
∴BE=BC=2，
∴OE=OB+BE=2+2=4，
又⊙H与y轴切于点A，
∴AH⊥y轴，
∴AH=OE=4，
∴BH=4，
在Rt△BEH中，BE=2，BH=4，
∴HE=2，
∴H点坐标为（4，﹣2），
∵y=经过圆心H，
∴k=﹣8，
故答案为：﹣8．
11．1
解：∵PA,PB是⊙O的两条切线,∴∠APO=∠BPO=∠APB,∠PAO=90°,
∵∠APB=60°,∴∠APO=30°,∵PO=2,∴AO=1,故答案为:1.
12．3
解：AB=10,BC=12,由勾股定理知，AE=,
圆内切三角形，所以,BD= BE, AD=10-6=4.
设圆的半径是x,在直角三角形ADO中，
+,
+,
解得x=3.
13．证明见解析．
试题分析：要证明切线，根据切线的判定定理，只需连接，证明 即可，由于已知，只需证明
试题解析：证明：连接
∵OB=OD，AB=AC，
∴∠B=∠ODB，∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
又∵OD是半径，
∴DE是的切线.
14．CE=2．
试题分析：由条件可得AD=CD，再由切线长定理可得：CD=CE，所以AD=CE，问题得解.
试题解析：
∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴AD=CE，
∵AD=2，
∴CE=2．
故答案为：2．
15．实践操作，作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）证明见解析；（3）
实践操作：根据题意画出图形即可；
综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）证明ΔBOD∽ΔBAC即可；
（3）首先根据勾股定理计算出AB的长，再设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）再次利用勾股定理可得方程x2+82=（12-x）2，再解方程即可．
试题解析：实践操作，如图所示：
综合运用：
综合运用：
（1）AB与⊙O的位置关系是相切．
∵AO是∠BAC的平分线，
∴DO=CO，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AB与⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AB、AC是切线
∴∠BDO=∠BCA=90°
又∠DBC=∠CBA
∴ΔBDO∽ΔCBA
∴
即：
（3）因为AC=5，BC=12，
所以AD=5，AB=13，
所以DB=13﹣5=7，
设半径为x ，则OC=OD=x ，BO=（12﹣x），
x2+82=（12﹣x）2，
解得：x=．
答：⊙O的半径为．
16．（1）；（2）y=6﹣x（0≤x≤5）．
试题分析：（1）首先利用∠ACB=90°，AC=8，tanB=得到BC=6，AB=10，然后利用⊙P与BC相切于点M时得到PM⊥BC，设PA=x．则PB=10-x，PM=PA=x,然后利用平行线分线段成比例定理得到，从而求得答案；（2）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，利用已知条件以及勾股定理可分别得到PH，AH，AD，CD的长，再由PH∥BE，可得，所以，进而可求出y关于x的函数关系式；
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，tanB=，∴BC=6，AB=10，当⊙P与BC相切于点M时，PM⊥BC，因为PA=x，所以PM=PA=x,∵PM∥AC，∴，∴，∴x=；（2）如图：过点P作PH⊥AD，垂足为点H，
∵∠ACB=90°，tanB=，∴sinA=，∵PA=x，∴PH=x，∵∠PHA=90°，∴PH2+AH2=PA2，∴HA=x，∵在⊙P中，PH⊥AD，∴DH=AH=x，∴AD=x，又∵AC=8，∴CD=8﹣x，∵∠PHA=∠BCA=90°，∴PH∥BE，∴，∴，整理得：y=6﹣x,由题意可得0≤x≤5．所以y=6﹣x（0≤x≤5）．
17．（1）证明见试题解析；（2）相切，理由见试题解析；（3）．
试题分析：（1）由∠ABC=90°和FD⊥AC，得到∠ABF=∠EBF，由∠DEC=∠BEF，得到∠DCE=∠EFB，从而得到△ABC≌△EBF（ASA）；
（2）BD与⊙O相切．连接OB，只需证明∠DBE+∠OBE=90°，即可得到OB⊥BD，从而有BD与⊙O相切；
（3）连接EA，EH，由DF为线段AC的垂直平分线，得到AE=CE，由△ABC≌△EBF，得到AB=BE=1，进而得到CE=AE=，故，即可得出结论，
又因为BH为角平分线，易证△EHF为等腰直角三角形，故，得到，再由△GHF∽△FHB，得到．
试题解析：（1）∵∠ABC=90°，∴∠CBF=90°，∵FD⊥AC，∴∠CDE=90°，∴∠ABF=∠EBF，∵∠DEC=∠BEF，∴∠DCE=∠EFB，∵BC=BF，∴△ABC≌△EBF（ASA）；
（2）BD与⊙O相切．理由：连接OB，∵DF是AC的垂直平分线，∴AD=DC，∴BD=CD，∴∠DCE=∠DBE，∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠DCE=∠EFB，∴∠DBE=∠OBF，∵∠OBF+∠OBE=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∴OB⊥BD，∴BD与⊙O相切；
（3）连接EA，EH，∵DF为线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∵△ABC≌△EBF，∴AB=BE=1，∴CE=AE=，∴，∴，又∵BH为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=45°，∴∠HEF=∠HBF=45°，∠HFG=∠EBG=45°，∴△EHF为等腰直角三角形，∴，∴，∵∠HFG=∠FBG=45°，∠GHF=∠GHF，∴△GHF∽△FHB，∴，∴，∴．
第二章 第五节 直线与圆的位置关系
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（ ）
A．2．5 B．1．6 C．1．5 D．1
2．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A． 10 B． 8 C． 4 D． 4
3．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
4．如图，将一块等腰Rt△ABC的直角顶点C放在⊙O上，绕点C旋转三角形，使边AC经过圆心O，某一时刻，斜边AB在⊙O上截得的线段DE=2cm，且BC=7cm，则OC的长为( ）
A． 3cm B． cm C． cm D． cm
5．在平面内，已知⊙O的半径为2，OP＝1, 则点P与⊙O的位置关系是( )．
A． 在圆外 B． 在圆上 C． 在圆内 D． 无法确定
6．如图，AB与⊙O相切于点B,AC的延长线交⊙O于点C连结BC若∠A=36°，则∠C等于（ ）
A． 36° B． 54° C． 60° D． 27°
7．如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P点在Q点的下方，若P点的坐标是（2，1），则圆心M的坐标是（ ）
A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
8．直线l与圆心O的距离为6，半径r=5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
9．是⊙的直径， 切⊙于点， 交⊙于点;连接,若,则等于（ ）
A． 20° B． 25° C． 30° D． 40°
10．若点B(a，0)在以点A(-1，0)为圆心，2为半径的圆外， 则a的取值范围为（ ）
A． -3＜a＜1 B． a＜-3 C． a＞1 D． a＜-3或a＞1
11．⊙O的半径r=5cm，圆心到直线l的距离OM=4cm，在直线l上有一点P，且PM=4cm，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．
12．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ．
13．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACO=_______°．
14．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，点C为⊙O上任一动点，则∠C的大小为 °．
15．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________.
16．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：
①CE=CF；
②线段EF的最小值为；
③当AD=2时，EF与半圆相切；
④若点F恰好落在B C上，则AD=；
⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是．
其中正确结论的序号是 ．
17．如图，已知直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是 ???? ．
18．已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是 ．
19．如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A、B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA?PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD= ．
20．如图，AC是以AB为直径的⊙O的弦，点D是⊙O上的一点，过点D作⊙O的切线交直线AC于点E，AD平分∠BAE，若AB＝10，DE＝3，则AE的长为____________．
21．如图，AB是⊙Ｏ的直径，C、G是⊙Ｏ上两点，且,过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.
（1）求证：CD是⊙Ｏ的切线.
（2）若,求E的度数.
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长.
22．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是的中点，过点D作EF垂直于直线AC，垂足为F，交AB的延长线于点E．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若tanA=，AF=6，求⊙O的半径．
23．在同一平面直角坐标系中有6个点A（1，1），B（-3，-1），C（-3，1），D（-2，-2），，．
（1）画出的外接圆⊙P，并指出点与⊙P的位置关系；
（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点时，设此时的直线为．
①判断直线与⊙P的位置关系，并说明理由；
②再将直线绕点按顺时针方向旋转，当它经过点时，设此时的直线为．求直线与⊙P的劣弧围成的图形的面积S（结果保留）
24．如图， AB 是半圆O的直径， AD 和 BC 是它的两条切线，切点分别为 A 、B ，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若AD=2 ， CD=5 ，求 BC 的长．
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
26．如图，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于C，CD⊥OB于E，交⊙O于点D，连接OD．若AB=12，AC=8．
（1）求OD的长；
（2）求CD的长．
27．如图，已知△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的切线与半径OB的延长线交于点D，∠A=30°，求∠BCD的度数．
28．如图，⊙M与x轴相切于点C，与y轴的一个交点为A。
（1）求证：AC平分∠OAM；
（2）如果⊙M的半径等于4，∠ACO=300，求AM所在直线的解析式．
答案：
1．B．
试题分析：连接OD、OE，
设AD=x，
∵半圆分别与AC、BC相切，
∴∠CDO=∠CEO=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴OD=CE，OE=CD，
又∵OD=OE，
∴CD=CE=4-x，BE=6-（4-x）=x+2，
∵∠AOD+∠A=90°，∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠A=∠BOE，
∴△AOD∽OBE，
∴，
∴，
解得x=1．6，
故选B．
2．D
分析：由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE==3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC=，
故选D．
3．A
试题分析：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=5，r=6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
4．A
试题分析：过O点作OM⊥AB，
∴ME=DM=1cm，
设MO=h，CO=DO=x，
∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠MAO=45°，
∴AO=h
∵AO=7-x，
∴，
在Rt△DMO中，
h2=x2-1，
∴2x2-2=49-14x+x2，解得：x=-17（舍去）或x=3，
故选A．
5．C
试题解析：
点在圆内.
故选C.
点拨：点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点到圆心的距离小于半径，点在圆内.
点到圆心的距离等于半径，点在圆上.
点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
6．D
试题分析：根据题目条件易求∠BOA，根据圆周角定理求出∠C=∠BOA，即可求出答案．
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=36°，
∴∠BOA=54°，
∴由圆周角定理得：∠C=∠BOA=27°，
故选D．
7．B
试题分析：过M作MN⊥PQ，交PQ于N，连接PM，由此可得N为PQ的中点，又P的坐标为（2，1），过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，所以MN=PB=2，PA=1，设圆心M的坐标为（0，m），由圆M与x轴相切于原点，则圆的半径MP=m（m＞0），NP=NA-PA=OM-PA=m-1，在直角三角形MNP中，根据勾股定理得：
m2=（m-1）2+22，即2m=5，解得m=2.5，则圆心M的坐标为（0，2.5）．
故选B
8．A．
试题分析：∵⊙O的半径为5，∴r=5，∵d=6，∴d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离．
故选A．
9.解析：本题主要是利用圆的的性质把问题转化到直角三角形和等腰三角形中，来使问题得以解决.
∵切⊙于点，∴ ∴ ∴; 又 ∴;∵,∴ ;∵ ∴. 故应选B.
10．D
解析：∵点B(a，0)在以点A(-1，0)为圆心，2为半径的圆外，
∴，
∴a＜-3或a＞1.
故选D.
点拨:本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外.
11．外.
试题分析：由条件计算出OP的长度与半径比较大小即可. 由题意可知△OPM为直角三角形，且PM=4cm，OM=4cm，由勾股定理可求得OP=cm＞5cm，故点P在⊙O外.
故答案为：外．
12．∠ABC=90°．
试题分析：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，BC与圆相切，∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线．故答案为：∠ABC=90°．
考点：切线的判定．
13．22.5°，
试题解析：如图，∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC=CD，
∴∠COD=45°，
∵AO=CO，
∴∠ACO=22.5°，
14．55°或125°．
试题分析：连接OA，OB，
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
∴∠C=∠AOB=55°．
同理可得：当点C在上时，∠C=180°﹣55°=125°．
故答案为：55°或125．
15．相交
试题分析：先根据勾股定理求得AB的长，再求得点C与直线AB的距离，再根据直线与圆的位置关系即可得到结果.
∵∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm
∴
∴点C与直线AB的距离为
∴点C为圆心,6cm的长为半径的圆与直线AB的位置关系是相交.
16．①③⑤．
试题分析：①连接CD，如图1所示，∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，∴∠F=∠CDF，∴CD=CF，∴CE=CD=CF，∴结论“CE=CF”正确；
②当CD⊥AB时，如图2所示，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=．∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=BC=．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴线段EF的最小值为．∴结论“线段EF的最小值为”错误；
③当AD=2时，连接OC，如图3所示，∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形，∴CA=CO，∠ACO=60°，∵AO=4，AD=2，∴DO=2，∴AD=DO，∴∠ACD=∠OCD=30°，∵点E与点D关于AC对称，∴∠ECA=∠DCA，∴∠ECA=30°，∴∠ECO=90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切，∴结论“EF与半圆相切”正确；
④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示，∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC，∴∠AGD=90°，∴∠AGD=∠ACB，∴ED∥BC，∴△FHC∽△FDE，∴FH：FD=FC：FE，∵FC=EF，∴FH=FD，∴FH=DH，∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°，∴BF=BD，∴∠FBH=∠DBH=30°，∴∠FBD=60°，∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴∠FAB=30°，∴FB=AB=4，∴DB=4，∴AD=AB﹣DB=4，∴结论“AD=”错误；
⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称，∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分，∴S阴影=2S△ABC=2×AC?BC=AC?BC=4×=，∴EF扫过的面积为，∴结论“EF扫过的面积为”正确．
故答案为：①③⑤．
17．8﹣2和8+2
解析：首先由一次函数解析式求出OA、OB的长，而△ABE中，BE边上的高是OA，且OA为定值，所以求△ABE面积的最小值和最大值，转化为求BE的最小值和最大值。过点A作⊙C的两条切线AD、AD′，当动点运动到D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当动点运动到D′点时，BE最大，即△ABE面积最大。最后根据比例求出BE 、BE′的值，进而求出△ABE面积的最小值和最大值．
解：由y=x+4得：
当x=0时，y=4，当y=0时，x=﹣4，
∴OA=4，OB=4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，
当动点运动到D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当动点运动到D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′=E′D′，
设E′O=E′D′=x，
∵AC=4+2=6，CD′=2，AD′是切线，
∴∠AD′C=90°，由勾股定理得：AD′=4，
∴sin∠CAD′==，
∴=，
解得：x=，
∴BE′=4+，BE=4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4=8﹣2，
最大值是：×（4+）×4=8+2，
故答案为：8﹣2和8+2．
18．5
试题分析：因为直线与⊙O相切，所以d=r，又圆心O到直线的距离是5，所以⊙O的半径是5.
19．.
试题分析：如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．切割线定理可得PT2=PA?PB=PC?PD，已知PA=2，PB=7，PC=3，即可得2×7=3×PD，所以PD=，即CD=PD﹣PC=﹣3=．
20．1或9
解析：(1)点E在AC的延长线上时，过点O作OFAC交AC于点F，如图所示
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAE，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DAC，
∴OD//AE,
∵DE是圆的切线，
∴DE⊥OD,
∴∠ODE=∠E=90o,
∴四边形ODEF是矩形，
∴OF＝DE，EF＝OD＝5，
又∵OF⊥AC，
∴AF＝，
∴AE＝AF+EF＝5+4＝9.
（2）当点E在CA的线上时，过点O作OFAC交AC于点F，如图所示
同（1）可得：EF＝OD＝5，OF＝DE＝3，
在直角三角形AOF中，AF＝，
∴AE＝EF－AF＝5－4＝1.
21．（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.
试题分析：（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．
试题解析：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，∴，
∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，
∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，
∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，
∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，
在Rt△DAH中，AD===．
故答案为：（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.
22．(1)见解析;(2).
分析：连接OD，由D是的中点得∠1=∠2，又∠A=∠BOC，故∠A=∠1，从而OD∥AF.易证∠EDO=∠F=90°.故可得结论；
（2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r.通过解直角三角形可得解.
详解：（1）如图1，连接OD.
∵EF⊥AF,∴∠F=90°.
∵D是的中点,
∴
∴∠1=∠2=∠BOC.
∵∠A=∠BOC, ∴∠A=∠1 .
∴OD∥AF.
∴∠EDO=∠F=90°.
∴OD⊥EF.
∴EF是⊙O的切线.
（2）设⊙O半径为r,则OA=OD=OB=r.
在Rt△AFE中，tanA=，AF=6,
∴EF=AF·tanA=8.
∴.
∴OE=10-r.
∵cosA= ,
∴cos∠1= cos A=
∴r =， 即⊙O的半径为.
23．（1）详见解析；（2）①相切；②直线l2与劣弧CD围成的图形的面积为
试题分析：（1）所画⊙P如图所示，
由图可知⊙P的半径为，而PD=．
∴点D在⊙P上．
（2）①∵直线EF向上平移1个单位经过点D，且经过点G（0，﹣3），
∴PG2=12+32=10，PD2=5，DG2=5．
∴PG2=PD2+DG2．
则∠PDG=90°，
∴PD⊥l1．
∴直线l1与⊙P相切．
②∵PC=PD=，CD=，
∴PC2+PD2=CD2．
∴∠CPD=90度．
∴S扇形=，．
∴直线l2与劣弧CD围成的图形的面积为．
24．（1）证明见解析；（2）3．
试题分析：（1）过点O作OE⊥DC，垂足为E．先证明ECO≌△BCO，于是得到OE=OB，从而可知DC是半圆O的切线；
（2）由切线长定理可知：DE=DA，EC=CB，从而可求得BC的长．
试题解析：（1）如图所示：过点O作OE⊥DC，垂足为E．
∵BC是圆0的切线，
∴OB⊥BC．
∴∠CEC=∠OBC=90°．
∵CO平分∠ECB，
∴∠ECO=∠BCO．
在△ECO和△BCO中，
，
∴ECO≌△BCO．
∴OE=OB．
∵OE⊥DC，OE=OB，
∴DC是圆O的切线．
（2）∵AD、DC、CB是圆的切线，
∴DE=DA，EC=CB．
∴BC=DC-AD=5-2=3．
25．（1）∠ABC=60°；
（2）证明见解析；
（3）π.
试题分析：（1）∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，可得∠ABC=∠D=60°；
由AB是直径，可得∠ACB=90°，从而可得∠BAC=30°，由∠EAC=60°，可得∠EABC=90°，即AE是切线；
连接BC，由已知条件可知△BOC是等边三角形，从而可得弧AC所对圆心角的度数，利用弧长公式即可得劣弧AC的长.
试题解析：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∴OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，∵OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为=π．
26．（1）5；（2）．
试题分析：（1）设⊙O的半径为R，根据切线定理得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R2+122=（R+8）2，解得R=5，即OD的长为5；
（2）根据垂径定理由CD⊥OB得DE=CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相似比可计算出CE=，所以CD=2CE=．
解：（1）设⊙O的半径为R，
∵AB切⊙O于点B，
∴OB⊥AB，
在Rt△ABO中，OB=R，AO=OC+AC=R+8，AB=12，
∵OB2+AB2=OA2，
∴R2+122=（R+8）2，
解得R=5，
∴OD的长为5；
（2）∵CD⊥OB，
∴DE=CE，
而OB⊥AB，
∴CE∥AB，
∴△OEC∽△OBA，
∴=，
即=，
∴CE=，
∴CD=2CE=．
27．30°．
试题分析：如图，连接OC． 构建直角△OCD和等边△OBC，结合图形，可以得到∠BCD=90°﹣∠OCB=30°．
试题解析：如图，连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
∵∠A=30°，
∴∴∠COB=2∠=60°．
∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠OCB=30°．
28．（1）详见解析；
（2）AM所在直线的解析式为
试题分析：(1)利用切线、平行线的性质、等腰三角形的性质可证出第一问.
（2）根据勾股定理求出OA、OC长继而求出A、C点坐标，也可求出M点坐标，利用两点坐标求出直线AM的解析式.
试题解析：（1）证明：∵ 圆M与x轴相切于点C
连结MC，则MC⊥x轴
∴ MC∥y轴
∴ ∠MCA=∠OAC
又∵ MA= MC
∴ ∠MCA=∠MAC
∴ ∠OAC =∠MAC
即AC平分∠OAM；
（2）∵ ∠ACO=300,∴ ∠MCA= 600,
∴ △MAC是等边三角形
∴ AC= MC=4 ∴ 在Rt△AOC中，OA=2
即A点的坐标是（0,2）
又
∴ M点的坐标是（,4）
设AM所在直线的解析式为则 解得，b=2
∴ AM所在直线的解析式为
第二章 第五节 直线与圆的位置关系
1．若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5，12），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（ ）.
A．在⊙P内 B．在⊙P上 C．在⊙P外 D．无法确定
2．如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（ ）
A．2π B． C．4 D．6
3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
4．如果一个直角三角形的两条直角边AB＝8 cm，BC＝6 cm，若以点B为圆心，以某一直角边长为半径画圆，则 ( )
A． 若点A在⊙B上，则点C在⊙B外 B． 若点C在⊙B上，则点A在⊙B外
C． 若点A在⊙B上，则点C在⊙B上 D． 以上都不正确
5．同圆的内接正三角形与正六边形的边长之比为（ ）
A．1：2 B．1：1 C．：1 D．2：1
6．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，∠O=140°，则∠I为（ ）
A．140° B．125° C．130° D．110°
7．如图，在Rt△AOB中，OA=OB= ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（ ）
A．-1 B．2+ C． D．
8．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2016?海南）如图，AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P=40°，则∠ABC的度数为（ ）
A． 20° B． 25° C． 40° D． 50°
9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠P的度数是（ ）
A． 55° B． 30° C． 35° D． 40°
10．若⊙O的半径等于10cm，圆心O到直线的距离是6cm，则直线与⊙O位置关系是( )
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D．相切或相交
11．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（－1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是____．
12．如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点，过 点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周从点D逆时针方向运动到点C的过程中，当∠QCN度数取最大值时，线段CQ的长为 ．
13．如图，中，在边上取点画圆使⊙经过、两点，下列结论中：①；②；③以为圆心，以为半径的圆与相切；④延长交⊙与，则、、是⊙的三等分点．正确的是 ．
14．如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为 ．
15．如图，⊙I为的内切圆，点分别为边上的点，且为⊙I的切线，若的周长为21，边的长为6,的周长为 ．
16．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为________?．
17．如图，AB为⊙O的弦，△ABC的两边BC、AC分别交⊙O于D、E两点，其中∠B=60°，∠EDC=70°，则∠C= 度．
18．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的内切圆的半径长为_________．
19．⊙O的半径为6，若点A、B、C到圆心O的距离分别为5、6、7，则在⊙O外的点是_______.
20．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为______．
21．如图，点为⊙上一点，点在直径的延长线上，且．
（1）判断直线和⊙的位置关系，并说明理由．
（2）过点作⊙的切线交直线于点，若，⊙的半径是，求的长．
22．A为⊙C上一点，过点A作弦AB，取弦AB上一点P，若满足≤<1，则称P为点A关于⊙C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点A的坐标为（1，0）．
(1)当点C的坐标为（4，0）时，
①在点D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，点A关于⊙C的黄金点是 ；
②直线上存在点A关于⊙C的黄金点P，求点P的横坐标的取值范围；
(2)若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围．
23．（1）设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=______，其中P=（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=_________
24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°．
（1）求作⊙O，使：圆心O在AB上，且⊙O经过点A和点C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm．矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝cm，AD＝4cm．若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm/s，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t(s)．
(1)如图①，连接OA，AC，则∠OAC的度数为 °；
(2)如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长）；
(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)．当d<2时，求t的取值范围．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）
26．如图，在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，∠CAB=45°，AC=2，∠ACB=60°，点B在x轴正半轴，点C在第一象限，动点D在边AB上运动，以CD为直径作⊙O与AC，AB分别交于E，F，连接EF．
（1）当△CEF成为等边三角形时，AE：EC= ；
（2）当EF=时，点D的坐标为 ．
27．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．要求：仅用无刻度的直尺，在图中画出∠BAC的平分线，并说明理由．
答案：
1．B．
试题分析：根据P点坐标和勾股定理可计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断它们的关系．∵圆心P的坐标为（5，12 ），∴OP==13，∴OP=r，∴原点O在⊙P上．
故选：B．
2．A．
试题分析：如图，
点P运动的路径是以G为圆心的弧 ，在⊙G上取一点H，连接EH、FH．
∵四边形AOCB是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠AFP=∠AOC=45°，
∵EF是⊙O直径，
∴∠EAF=90°，
∴∠APF=∠AFP=45°，
∴∠H=∠APF=45°，
∴∠EGF=2∠H=90°，
∵EF=4，GE=GF，
∴EG=GF=4 ，
∴的长= =2π．
故选A．
3．D
解：如图，当AP与⊙O相切时，∠OAP有最大值，连结OP，
则OP⊥AP，
∵OB=AB，
∴OA=2OP，
∴∠PAO=30°．
故选D．
4．B
试题解析：∵AB＝8 cm，BC＝6 cm，
∴A.若点A在⊙B上，则点C在⊙B内，故A错误；
B.若点C在⊙B上，则点A在⊙B外，故B正确；
C.若点A在⊙B上，则点C在⊙B内，故C错误.
故选B.
5．C．
试题分析：设圆的半径为R，如图（一）， 连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB?cos30°=R，
故BC=2BD=R；
如图（二），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA?cos60°=R，AB=2AG=R，
∴圆内接正三角形、正六边形的边长之比为R：R=：1．
故选C．
6．B
试题分析：因点O为△ABC的外心，则∠BOC、∠A分别是所对的圆心角、圆周角，所以∠O＝2∠A，
故∠A＝×140°＝70°．又因为I为△ABC的内心，所以∠I＝90°＋∠A＝90°＋×70°＝125°．故选：B．
7．C．
试题分析：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，
∴AB=OA=6，
∴OP=，
∴PQ=．
故选C．
8．B
试题分析：如图，∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，∴∠PAO=90°．
又∵∠P=40°，∴∠POA=50°，∴∠ABC=∠POA=25°．故选：B．
9．D
试题解析：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，
∵∠ACB=110°，
∴∠D=180°-∠ACB=70°，
∴∠AOB=2∠D=140°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴∠A=360°-∠OAP-∠AOB-∠OBP=40°．
故选D．
10．A
试题分析：当圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；当圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；当圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离.
11．．
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ=．
故答案为：.
12．
试题分析：连接OQ，
∵MN=OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为2，
∴OQ=MN=OP=1，
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，则tan∠QCN的最大值，
此时，在直角三角形CQ′O中，
∠CQ′O=90°，OQ′=1，CO=2，
∴CQ′==，即线段CQ的长为．
故答案为：．
13．①③④．
试题分析：连接OB，可得∠ABO=30°，则∠OBC=30°，根据直角三角形的性质得OC=OB=OA，再根据三角函数cos∠OBC=，则BC=OB，因为点O在∠ABC的角平分线上，所以点O到直线AB的距离等于OC的长，根据垂径定理得直线AC是弦BD的垂直平分线，则点A、B、D将⊙O的三等分．
试题解析：连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=OA，
即OA=2OC，
故①正确；
∵cos∠OBC=，
∴BC=OB，
即BC=OA，
故②错误；
∵∠ABO=∠OBC=30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
故③正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴ ，
∴点A、B、D将⊙O的三等分．
故④正确．
故答案为①③④．
14．
试题分析：要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．连接OD，如图所示，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BOtan30°=6×=2，∵∠COE=90°，OC=3，
∴OE=OCtan60°=3×=3，∴AE=OE﹣OA=3-2=，
15．9
试题分析：如图：设⊙I与△ABC的三边AB、BC、AC的切点为M、N、Q，切DE为P，
∵△ABC的周长为21，BC=6，
∴AC+AB=21-6=15，
又∵DM=DP，BN=BM，CN=CQ，EQ=EP，
∴BM+CQ=BN+CN=BC=6，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+AE+DP+PE
=AD+DM+AE+EQ
=AB-BM+AC-CQ
=AC+AB-（BM+CQ）
=15-6=9．
16．
试题分析：如图，连接OP、OQ，由PQ是⊙O的切线，可得OQ⊥PQ．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，因此
当PO⊥AB时，线段PQ最短．此时，在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6．所以OP=AB=3．
因此．
17．50°
试题分析：∵四边形ABDE是圆内接四边形，∴∠CED=∠B=60°，∴∠C=180°-70°-60°=50°
故答案为：50°
18．3
解：AB=10,BC=12,由勾股定理知，AE=,
圆内切三角形，所以,BD= BE, AD=10-6=4.
设圆的半径是x,在直角三角形ADO中，
+,
+,
解得x=3.
19．C.
试题分析：根据点与圆的位置关系可以判定出点C在⊙O外.
试题解析：∵点A到圆心的距离为5，小于圆的半径6，因此点A在圆内；点B到圆心的距离为6，等于圆的半径，因此点B在圆上；点C到圆心的距离为7，大于圆的半径，因此点C在圆外.
20．80o
解：∵CD为切线，∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°.
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=40°.
∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠AOC=80°.
点拨：本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质以及三角形外角的性质；首先根据OC是切线结合∠BCD的度数可求出∠OCB的度数，然后根据等腰三角形的性质可求得∠OBC的度数；
21．（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）6.
试题分析：（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
试题解析：（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
即OD⊥CE，
已知D为⊙O的一点，
∴直线CD是⊙O的切线，
即直线CD和⊙O的位置关系是相切；
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2+3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，
则（4+x）2=x2+（5+3）2，
解得：x=6，
即BE=6．
22．（1）①D（3,0），E（4, 1）；②≤x＜；（2）-2≤x＜3.
分析：
（1）①如图1，根据题意画出图形，由图结合已知条件分析即可得出结论；
②根据题意画出符合要求的图形如图2所示，设直线与以（2,0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 .则易得，，由此可知，求出点P1和P2的横坐标即可得到所求答案了；
（2）由⊙C的半径为3可知点C在以点A为圆心，3为半径的圆上，由y轴上存在点A关于⊙C的黄金点可知，点C到y轴的距离不能超过3，由此画出符合题意的图3，根据图3即可求得点C的横坐标的取值范围了.
详解：
（1）①如图1，过点C作CP⊥AB于点P，
∴AP=AB，
∵AE>AP，AE
∴，
∴点E是点A关于⊙C的黄金点；
∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），点F的坐标为（7，0），
∴可得AF=6，AD=2，
∴，，
∴点D是点A关于⊙C的黄金点，点F不是点A关于⊙C的黄金点；
∴D、E、F三点中点D和点E是点A关于⊙C的黄金点；
②∵在直线中，当x=1时，y=0，
∴直线过A（1,0），且与x轴正方向夹角为30°，
如图时所示：设直线与以（2，0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 ，连接P1N，过P1作P1N⊥x轴于点E，
则∠AP1N=90°，AN=2，∠NAP1=30°，
∴AP1=AN·cos30°=，
∴AE=AP1·cos30°=，
∴OE=OA+AE=，
∴P1=，
同理可得：P2=.
∴≤x＜.
（2）如图3所示：
∵点A的坐标为（1，0），⊙C的的半径为3，且点A在⊙C上，
∴点C只能在以点A为圆心，3为半径的圆上，
又∵在y轴上存在点A关于⊙C的的黄金点，
∴⊙C和y轴有公共点，
又∵⊙C的半径为3，
∴点C只能在直线x=3和直线x=-3之间（包括两条直线上），
∴如下图所示，点C的横坐标的取值范围是-2≤x＜3.
23．（1） （2）
试题分析：（1）I为△ABC内心，根据S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC列式整理即可得出结论；
（2）根据切线的性质得出∠IDC＝∠IEC＝90°，OE＝OD，∠C＝90°得出四边形IDCE是正方形，则CE＝CE＝r，然后根据切线长定理用r表示AF、BF，最后根据AF＋BF＝AB列式整理即可得出r．
试题解析：
（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，
则S△ABC＝S△IAB＋S△IBC＋S△IAC，
∴S＝c·r＋a·r＋b·r＝ (a＋b＋c)r＝Pr，
则r＝；
（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，
如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C＝90°，ID＝IE，
∴四边形DIEC为正方形，
∴CE＝CD＝r，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴AD＝AF＝b－r，BE＝BF＝a－r，
∴b－r＋a－r＝c，
∴r＝（a＋b－c）．
24．（1）作图见解析；（2）BC与⊙O相切．理由见解析.
试题分析：（1）作AC的垂直平分线交AB于点O，再以OA为圆心作⊙O即可；
（2）连结OC，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠A=∠B=30°，则∠OCA=∠A=30°，于是可 得到∠OCB=∠ACB-∠OCA=90°，然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切．
试题解析：（1）如图，⊙O为所求作；
（2）BC与⊙O相切．理由如下：
连接BC，如图，
∵AC=BC，∠ACB=120°
∴∠A=∠B=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠OCB=∠ACB-∠OCA=120°-30°=90°，
∴OC⊥BC，
∵OC是半径
∴BC与⊙O相切．
25．（1）105；（2）；（3）＜t＜.
试题分析：（1）⊙O与l1，l2都相切，连接圆心和两个切点，等正方向.OA即为正方形的对角线，得到∠OAD=450，再在Rt△ADC中，由锐角三角函数求∠DAC=600，从而求得∠OAC的度数1050.
（2）连接O1与切点E，则O1E=2，O1E⊥l1，利用△O1EA1∽△D1C1E1,求A1E=，根据2+O1O+A1E=AA1，可求t，进而求得圆心移动的距离3t=.
（3）圆心O到对角线AC的距离d＜2，即d＜r.说明⊙O与AC相交，所以出找两个临界点的t值，即⊙O与AC相切．运动中存在两个相切的位置.分别求两个相切时t的值，即可得出d＜r时，t的取值
试题解析：解：（1）1050.
（2）O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O与AC的切点为E，连接O1E，如答图1，
可得O1E=2，O1E⊥l1，
在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，D1C1=，
∴tan∠C1A1D1=．∴∠C1A1D1=600．
在Rt△A1O1E中, ∠O1A1E=∠C1A1D1=600．∴A1E=,
∵，∴，∴.
∴OO1=3t=.
（3）如答图2，
①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1.如位置一，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置.
设⊙O2与直线l1、A2C2分别相切于点F、G, 连接O2F、O2G、O2A2，
∴O2F⊥l1、O2G⊥A2C2.
又由（2）可得∠C2A2D2=600于，∴∠GA2F=1200．∴∠O2A2F=600.
在Rt△O2A2F中，O2F=2，∴A2F=.
∵OO2=3t1， ，∴，解得.
②当点O1，A1，C1恰好在同一直线上时为位置二，设移动时间为t2.由（2）可得.
③当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t3．如位置3，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等.
∴，即，解得.
综上所述，当d<2时，t的取值范围为＜t＜.
26．1：；（，0）
试题分析：（1）连接ED可知，∠CED=90°，由∠CAB=45°，可得△AED是等腰直角三角形，又因为△CEF是等边三角形，所以∠CEF=60°，由圆周角定理可知∠ACD=30°，由锐角三角函数tan∠DCE=，所以；
（2）过点O作OG⊥EF于点G，由垂径定理可求得OF=，即可以求出直径CD=，然后设AE=x，利用勾股定理可得：ED2+CE2=CD2，即x2+（2﹣x）2=，即可求出DE的长度，而AD=AE=，即可得D的坐标为（D的坐标为（，0）．
27．答案见解析
试题分析：连接PO延长交圆与点D，根据垂径定可得：弧BD=弧CD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAD=∠CAD，即AD就是∠BAC的平分线．
试题解析：连结PO并延长交于点D，连结AD，则AD为所求．
理由：∵l切⊙O于点P，∴PO⊥l， ∵l∥BC ， ∴PO⊥BC，
由垂径定理知，＝，∴∠BAD＝∠DAC．∴AD平分∠BAC
