第二章 第六节 正多边形与圆
1．如图，半径为2的正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点A、D在x轴上，则点C坐标为（ ）
A、 B、 C、 D、
2．如图，正六边形ABCDEF中，阴影部分面积为，则此正六边形的边长为
A． 2cm B． 4cm C． 6cm D． 8cm
3．3．以下说法：
①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；
②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
④反比例函数y=﹣，当＞0时y随x的增大而增大，
正确的有（ ）
A． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④
4．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A． R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A的切线与CB的延长线相交于点F，则∠F=（ ）
A． 18° B． 36° C． 54° D． 72°
6．半径为的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，AB=2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． π B． 2π C． D． 4π
8．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2，正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A11B11C11D11E11F11的边长为（ ）
A． B． C． D．
9．圆内接四边形ABCD的四个内角的度数之比∠A：∠B：∠C：∠D可以是（ ）
A．3：2：4：1 B．1：3：4：2 C．3：3：1：4 D．4：1：2：3
10．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（ ）个五边形．
A．6 B．7 C．8 D．9
11．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm．
12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．圆内接正六边形的边心距为，则这个正六边形的面积为__________．
B．用科学计算器计算： __________．（结果精确到）
13．13．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为 ．
14．正六边形的边长为4cm，它的边心距等于__________cm；
15．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____
16．如图，在⊙O中，∠D=70°，∠ACB=50°，则∠BAC= .
17．有底面为正方形的直四棱柱容器A和圆柱形容器B，容器材质相同，厚度忽略不计.如果它们的主视图是完全相同的矩形，那么将B容器盛满水，全部倒入A容器，问：结果会 （“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）
18．正六边形的每个中心角为_________度．
19．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_____。
20．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM=BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是_____度．
21．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
22．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．
（1）求△ABC的边AB上的高h．
（2）设DN=x，且，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
23．如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．
24．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，有如下探讨：
甲同学：我发现这种多边形不一定是正多边形．如圆内接矩形不一定是正方形．
乙同学：我知道边数为3时，它是正三角形；我想，边数为5时，它可能也是正五边形…
丙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正六边形．如图2，△ABC是正三角形，弧AD、弧BE、弧CF均相等，这样构造的六边形ADBECF不是正六边形．
（1）如图1，若圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，则∠ABC= °，并简要说明圆内接五边形ABCDE为正五边形的理由；
（2）如图2，请证明丙同学构造的六边形各内角相等；
（3）根据以上探索过程，就问题“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”的结论与“边数n（n≥3，n为整数）”的关系，提出你的猜想（不需证明）．
25．如图①有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE（如图②），点O为中心．（下列各题结果精确到0.1m） （1）求地基的中心到边缘的距离； （2）己知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
26．（1）数学爱好者小森偶然阅读到这样一道竞赛题：
一个圆内接六边形ABCDEF，各边长度依次为 3，3，3，5，5，5，求六边形ABCDEF的面积．
小森利用“同圆中相等的弦所对的圆心角相等”这一数学原理，将六边形进行分割重组，得到图③．可以求出六边形ABCDEF的面积等于 ．
（2）类比探究：一个圆内接八边形，各边长度依次为2，2，2，2，3，3，3，3．求这个八边形的面积．请你仿照小森的思考方式，求出这个八边形的面积．
27．（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．
（2）如图2，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA．求：劣弧BC的长．（结果保留π）
答案：
试题分析：因为正六边形的半径等于边长，所以CD=2，连接OC，可知△OCD是等边三角形，∠ODC=60°，作CM垂直OD于M，根据直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半，所以DM=1，所以OM=2-1=1，由勾股定理得：CM=，因为C点在第四象限，所以C点坐标为（1，-），故选C．
2．B
试题解析：由正六边形可分成六个全等的等边三角形，则阴影部分的面积与中间的正三角形的面积相等，即阴影部分的面积为正六边形的面积的一半． 设边长为R， 所以有6××R2×sin60°=2×2， ∴R=4cm． 故选B．
3．C
试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断：
①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5或，故错误；
②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故错误；
④反比例函数y=﹣，当＞0时y随x的增大而增大，正确，
故选C．
4．A
试题分析：本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
故选A．
5．D
试题分析：连接OA、OB，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠OAF＝90°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠AOB＝＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝54°，
∴∠BAF＝90°－54°＝36°，
∵∠ABF＝＝72°，
∴∠F＝180°－36°－72°＝72°，
故选D．
点拨：本题考查了切线的性质、三角形的内角和定理、正五边形的中心角和外角的求法，明确多边形的外角和为360°，正n边形的外接圆的中心角＝．
6．D．
试题分析：如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC==120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD=×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD=，BD=OB?cos30°=，
∴BC=2BD=2×=，
∴S△BOC=×BC×OD=×=，
∴S△ABC=3×．
故选D．
7．B
分析：连接BO，FO，OA．易证OA∥OF，由两平行线的间的距离相等可知△OAB的面积=△ABF的面积，从而图中阴影部分的面积等于扇形OAF的面积×3.
详解：如图，连接BO，FO，OA．
∵六边形ABCDEF是圆的内接正六边形，
∴∠AOB=∠AOF=360°÷6=60°.
∵OA=OB=OF，
∴△OAF，△AOB都是等边三角形，
∴∠AOF=∠OAB=60°，
∴OA∥OF，
∴△OAB的面积=△ABF的面积，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB，
∴图中阴影部分的面积等于扇形OAF的面积×3=，
故选：B．
点拨：本题考查了不规则图形面积的求法，用到的知识点有：圆内接多边形的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，扇形面积的计算，解题的关键是把阴影部分的面积转化为求扇形的面积.
8．A
分析：连接OE1，OD1，OD2，如图，根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°，则△E1OD1为等边三角形，再根据切线的性质得OD2⊥E1D1，于是可得OD2=E1D1=×2，利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，依此规律可得正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2，然后化简即可．
详解：连接OE1，OD1，OD2，如图，
∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形，
∴∠E1OD1=60°，
∴△E1OD1为等边三角形，
∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，
∴OD2⊥E1D1，
∴OD2=E1D1=×2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2，
同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2，
则正六边形A11B11C11D11E11F11的边长=（）10×2=．
故选A．
点拨：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．
9．B
试题分析：由四边形ABCD是圆的内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，易得∠A+∠C=∠B+∠D，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，
∴∠A+∠C=∠B+∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可以是1：3：4：2．
故选B．
10．B.
试题解析：五边形的内角和为（5-2）?180°=540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5=108°，
如图，
延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°，
360°÷36°=10，
∵已经有3个五边形，
∴10-3=7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选B．
11．.
试题分析：作ON⊥BC于N，根据正三角形和正六边形的性质求出正六边形DFHKGE的面积，根据三角形的面积公式计算即可．∵六边形DFHKGE是正六边形，∴AD=DE=DF=BF=4，∴OH=4，由勾股定理得，ON==，则正六边形DFHKGE的面积=×4××6=，设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为h，则×4×h=，解得，h=.
故答案为：．
12．
解析：A．正六边形边长为： ．
∴正六边形面积为： ．
B． ．
13． cm2
试题解析：
∵等边三角形的边长为4厘米，OD⊥AB，
∴AD=2厘米，
又
平方厘米.
故答案为： cm2.
14．
解析：如图所示，AB=4cm，过O作OG⊥AB于G，
∵此多边形是正六边形，
∴∠AOB==60°，∠AOG==30°，
∴OG=AGtan∠AOG == ，
故答案为： ．
15．
试题解析：连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
，
∴⊙O的内接六边形的面积为：6×= ．
故答案为： .
16．20°
试题分析：连结BD，如图，∵∠ADB=∠ACB=50°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=70°-50°=20°，∴∠BAC=∠BDC=20°．故答案为20°．
17．未装满
解析：试题分析：当圆的直径等于正方形的边长，则正方形的面积大于圆的面积.
考点：面积的计算
18．60
解析：正六边形的圆心角等于一个周角，即为360° ，正六边形有6个中心角，
所以每个中心角=360°÷6=60°，
故答案为：60.
19．
解析：由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°=；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝，
则该三角形的三边分别为：, ,，
∵12+()2=()2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是：×1×=.
故答案为：.
点拨：本题考查了正多边形与圆、勾股定理及其逆定理等知识. 构造直角三角形是解题的关键.
20．72
分析：连接OA、OB、OC，根据正多边形的中心角的计算公式求出∠AOB，证明△AOM≌△BON，根据全等三角形的性质得到∠BON=∠AOM，得到答案．
详解：如图，连接OA、OB、OC，
∠AOB==72°，
∵∠AOB=∠BOC，OA=OB，OB=OC，
∴∠OAB=∠OBC，
在△AOM和△BON中，
，
∴△AOM≌△BON，
∴∠BON=∠AOM，
∴∠MON=∠AOB=72°，
故答案为：72．
21．（1）等边三角形；（2）（2）PA+PB=PC．（3）
试题分析：（1）根据圆周角的定义可得圆周角相等，他们所对的弦也相等得出AC=BC，同弧所对的圆周角相等可得∠BAC=∠BPC=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可得三角形ABC为等边三角形．（2）在PC上截取PD=PA，连接AD，得出△PAD为等边三角形，再根据已知条件得出△PAB≌△DAC，得出PC=DC，PD+DC=PC，等量代换得出结论．（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由，如图过点P作PE⊥AB，CF⊥AB垂足分别为点E，点F，四边形APBC的面积为△APB与△ACB的和，底相同，当PE+CF最大时，四边形的面积最大，因为直径是圆中最大的弦，即PE+CP=直径，即P为的中点时，面积最大．
试题解析：（1）等边三角形；
（2）PA+PB=PC．
证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．
∵∠APC=60°．
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD， ∠PAD=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC．
∴△PAB≌△DAC．
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．
（3）当点P为的中点时，四边形APBC面积最大．
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△PAB=AB·PE．S△ABC=AB·CF．
∴S四边形APBC=AB（PE+CF）．
当点P为的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．
∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=．
∴S四边形APBC=×2×=．
22．（1）4.8 （2）2.4（3）见解析
试题分析：首先利用勾股定理求得的长．再利用三角形面积的两种求法解得高的值． （2）根据相似形对应边成比例列出矩形面积关于的关系式S矩形DEFN
利用二次函数的性质求关系式的最大值． （3）根据（2）知，知道的取值，此时S矩形DEFN最大，求得的值．再利用勾股定理求得的值，并与1.85比较大小．
试题解析：(1)过C作CG⊥AB于G，则CG=h，
在Rt△ABC中,
根据三角形面积公式得：
(2)∵如图,NF∥AB，
∴△CNF∽△CAB
∴
∴S矩形DEFN
则当x=2.4时,S矩形DEFN最大；
(3)当S矩形DEFN最大，x=2.4，
过点C作CG⊥AB于点G，
∵△ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵
∴F为BC中点，
在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3
∵BM=1.85
∴BM>EB
故文物必位于欲修建的建筑物边上，应重新设计方案
∵x=2.4时，NF=5
∴AD=3.2
由圆的对称性知：满足题设条件的设计方案是：
将最大面积的建筑物建在使AC=6，BC=8，且C点在半圆周上的△ABC中.
23．cm2
试题分析：把内接正六边形问题转化成正三角形问题，利特殊三角形求边的长度，再求面积.
试题解析：
设正六边形边长为a，则圆O半径为a，
由题意得：2a=6，∴a=3．
如右图，设AB为正六边形的一边，O为它的中心，
过O作OD⊥AB，垂足为D，
则OD=r6，则∠DOA==30°，AD=AB=，
在Rt△ABC中，OD=r6=cm，
∴S=6·ar6=×3××6= cm2．
点拨：正六边形问题，可以转化为正三角形问题，正三角形问题，可以转化为30°-60°-90°特殊三角形，三边比例是1： ：2，利用特殊三角函数值或者勾股定理，可以快速计算各边关系.
24．（1）108．见解析；（2）见解析；（3）见解析
试题分析：（1）运用n边形的内角和定理就可求出∠ABC的度数；已知圆内接五边形ABCDE的各内角均相等，要证该五边形为正五边形，只需证该五边形的各边均相等，只需利用弧与圆周角之间的等量关系就可解决问题．
（2）由△ABC是正三角形可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质可得∠AFC、∠ADB、∠BEC均为120°，由=可得∠ABD=∠CAF，即可求出∠DAF=120°，同理可得∠DBE=∠ECF=120°，问题得以解决．
（3）依据对（1）、（2）的探索积累的经验就可提出合理的猜想．
解：（1）∵五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，
∴∠ABC==108°．
故答案为：108．
理由：如图1，
∵∠A=∠B
∴=，
∴﹣=﹣，
∴=，
∴BC=AE．
同理可得：BC=DE，DE=AB，AB=CD，CD=AE，
∴BC=DE=AB=CD=AE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）证明：如图2，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∵四边形ABCF是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠AFC=120°．
同理可得：∠ADB=120°，∠BEC=120°．
∵∠ADB=120°，
∴∠DAB+∠ABD=60°．
∵=，
∴∠ABD=∠CAF，
∴∠DAB+∠CAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB+∠CAF+∠BAC=120°．
同理可得：∠DBE=120°，∠ECF=120°，
∴∠AFC=∠ADB=∠BEC=∠DAF=∠DBE=∠ECF=120°，
故图2中六边形各角相等；
（3）由（1）、（2）可提出以下猜想：
当n（n≥3，n为整数）是奇数时，各内角都相等的圆内接多边形是正多边形；
当n（n≥3，n为整数）时偶数时，各内角都相等的圆内接多边形不一定为正多边形．
25．（1）3.6m；（2）1m.
试题分析：（1）构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是=36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10=2.6，最后由该角的正切值进行求解； （2）根据（1）中的结论、塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．
试题解析：（1）作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．
由正五边形性质得∠AOB=360°÷5=72°．
又AB=×26=5.2，
∴AM=2.6，∠AOM=36°，
在Rt△AMO中，边心距OM=
（2）3.6-1-1.6=1（m）．
答：地基的中心到边缘的距离约为3.6m，塑像底座的半径最大约为1m．
26．(1)；(2).
试题分析：（1）如图③，利用六边形ABCDEF每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合可判断△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，然后根据等边三角形的面积公式求解；
（2）先画出分割重组的图形，如图⑤，利用八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，可判断四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，根据根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解．
试题解析：（1）如图③，∵六边形ABCDEF为轴对称图形，每次绕圆心O旋转120°都和原来的图形重合，∴△MNQ为等边三角形，△MAF、△NBC和△QDE都是等边三角形，
∴NQ=3+5+3=11，
∴六边形ABCDEF的面积=S△MNQ﹣3S△AMN
=×112﹣3××32
=；
故答案为．
（2）如图⑤，∵八边形ABCDEFGH为轴对称图形，每次绕圆心O旋转90°都和原来的图形重合，
∴四边形PQMN为正方形，△PAB、△GCD、△MEF、△NHG都是等腰直角三角形，
∴PA=AB=，PN=+3+=3+2，
∴这个八边形的面积=（3+2）2﹣4×××=9+12+8﹣4=13+12．
27．（1）证明见解析；（2）．
试题分析：（1）由矩形的性质得DC∥AB，DC=AB，由于DF=BE，则CF=AE，于是可判断四边形AFCE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得AF=CE；
（2）连接OC，OB，如图，根据切线的性质得∠ABO=90°，在Rt△ABO中利用含30度的直角三角形
三边的关系得到OB=OA=1，且∠AOB=60°，再利用BC∥OA得到∠OBC=∠AOB=60°，则可判断△BOC为等边三角形，所以∠BOC=60°，然后利用弧长公式计算劣弧BC的长．
试题解析：（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∴CF∥AE，
∵DF=BE，
∴CF=AE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）解：连接OC，OB，如图，
∵AB为圆O的切线，
∴∠ABO=90°，
在Rt△ABO中，∵OA=2，∠OAB=30°，
∴OB=OA=1，∠AOB=60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB=60°，
而OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴劣弧BC的长=．
第二章 第六节 正多边形与圆
1．如果一个圆的内接正六边形的周长为30cm，那么圆的半径为（ ）．
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
2．如图，有一个边长为4cm的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，则这个圆形纸片的最小直径是（ ）
A．4cm B．8cm C．2cm D．4cm
3．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，E是弧AB上的一动点(不与A，B重合)，F是弧BC上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①＝；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△OGH周长的最小值为4＋.其中正确的是( )
A． ①③④ B． ①②③ C． ①② D． ③④
4．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
5．使用同一种规格的下列地砖，不能进行平面镶嵌的是（?? ）
A． 正三角形地砖 B． 正四边形地砖 C． 正五边形地砖 D． 正六边形地砖
6．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A．6， B．，3 C．6，3 D．，
7．⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
8．如图，用若干个全等的正五边形可以拼成一个环状，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，要完全拼成一个圆环共需要的正五边形个数是（ ）
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
9．如果一边长为20cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，那么铁圈直径的最小值为 cm（铁丝粗细忽略不计）．
10．有一个边长为3的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个圆形，则这个圆形纸片的半径最小是 ．
11．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A．一个半径为的正六边形，其边心距是__________．
B．用科学计算器计算： __________．（结果精确到）
12．如图所示的正六边形 ABCDEF，连结 FD，则∠FDC 的大小为_________．
13．如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为4的⊙O，则阴影部分的面积为____________．
14．同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为_____．
15．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为_____．（用锐角α的三角比表示）
16．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB．BC上的点，BP=CQ，则∠POQ=______．
17．已知一个圆的半径为5cm，则它的内接正六边形的边长为 cm．
18．18．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为__ __．
19．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行如下讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形．
乙同学：我发现边数是6时，它也不一定是正多边形，如图1，△ABC是正三角形， ，证明六边形ADBECF的各内角相等，但它未必是正六边形．
丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形，我想…，边数是7时，它可能也是正多边形．
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图2）是正七边形；（不必写已知，求证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想．（不必证明）
20．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在上．
(1)求∠AED的度数；
(2)若⊙O的半径为2，则的长为多少？
(3)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE恰好是⊙O内接正n边形的一边，求n的值．
21．（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，求∠MON的度数。
（2）图②、③、…… ④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、……正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是__________，图③中∠MON的度数是__________；……由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是_______
22．如图，菱形ABCD中，
（1）若半径为1的⊙O经过点A、B、D，且∠A＝60°，求此时菱形的边长；
（2）若点P为AB上一点，把菱形ABCD沿过点P的直线a折叠，使点D落在BC边上，利用无刻度的直尺和圆规作出直线a．（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）
23．如图，正方形EFGH的外接圆⊙O是正方形ABCD的内切圆，试求AB：EF的值．
24．如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．
求⊙O的半径．
25．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．
（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径．
答案：
1．B
解析：如图，根据圆内接正六边形和圆的关系，可知正六边形的边长即为圆的半径，可知30÷6=5.
故选：B.
2．B．
试题分析：∵正六边形的边长是4cm，
∴正六边形的半径是4cm，
∴这个圆形纸片的最小直径是8cm．
故选B．
3．C
分析：①连接OA，OB，根据正方形的性质，知∠AOB=90°=∠EOF，又∠BOE共用，故可得∠AOE=∠BOF，再根据圆心角定理可得①＝；故①正确；
?②连接OB，OC，证明△OGB≌△OHC，可得OG=OH，即可得出△OGH是等腰直角三角形；故②正确；
③过点O作OM⊥BC，ON⊥AB，易证得△OGN≌△OHM，因此可得出S△OGN=S△OHM，故不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变；故③错误；
④过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在⊙O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在⊙O上），连接QG，则QG=BG；连接PQ，易证明PQ过圆心O，则PQ==4≠４＋，故④错误.
解：①如图所示， ∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°， ∴∠BOE=∠COF， 在△BOE与△COF中，
∴△BOE≌△COF， ∴BE=CF， ∴ ，①正确； ②∵BE=CF， ∴△BOG≌△COH； ∵∠BOG=∠COH，∠COH+∠OBF=90°， ∴∠GOH=90°，OG=OH， ∴△OGH是等腰直角三角形，②正确． ③如图所示， ∵△HOM≌△GON， ∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误； ④过点B作B关于OF的对称点P（易知点P在⊙O上），连接PH，则PH=BH；过点B作B关于OE的对称点Q（易知点Q在⊙O上），连接QG，则QG=BG；
连接PQ，易证明PQ过圆心O，
∴PQ==4≠４＋，
故④错误.
综上，①②正确，③④错误.
故选：C
点拨：本题考查了正方形的性质，圆心角定理，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定，四边形的面积，三角形的周长，动点问题，最值问题．运用圆心角定理是解答①的关键；在②中连接OB，OC，证明三角形全等是解题的关键；在③中，运用证明三角形全等，从而证明面积相等以解决不管点E的位置如何变化，四边形OGBH的面积不变的问题；解答④的关键是运用轴对称解决最小周长问题.?
4．B
试题分析：由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
解：∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO==3，
即外接圆半径为3，内切圆半径为3．
故选：B．
5．C
试题解析：A、正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺，故A不符合题意； B、正四边形每个内角是90°，能整除360°，能密铺，故B不符合题意； C、正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，故C符合题意； D、正六边形每个内角是120°，能整除360°，能密铺，故D不符合题意． 故选C．
6．B
试题分析：由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度．
解：∵正方形的边长为6，
∴AB=3，
又∵∠AOB=45°，
∴OB=3
∴AO==3，
即外接圆半径为3，内切圆半径为3．
故选：B．
7．C
试题分析：根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及AB2+BC2=AC2，进而得出正方形的边长即可．
解：如图所示：⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵AB2+BC2=AC2，AB=BC，
∴AB2+BC2=36，
解得：AB=3，
即⊙O的内接正方形的边长等于3，
故选C．
8．C
分析：延长正五边形的相邻两边交于圆心，求得该圆心角的度数后，用360°除以该圆心角的度数即可得到正五边形的个数，从而得到答案.
解：如图，圆心角为∠1，
∵五边形的内角和为：（5-2）×180°=3×180°=540°，
∴五边形的每一个内角为：540°÷5=108°，
∴∠1=108°×2-180°=216°-180°=36°，
∵360°÷36°=10，
∴要完成这一圆环共需10个全等的五边形，
故选C．
9．
试题分析：由于三角形怎样穿过铁圈不能确定，故应分两种情况进行讨论：①当铁丝围成的圆圈的直径等于等边三角形的高时，在直角△OAC中，OA=20cm，∠A=60°，所以OC=OA?sin60°=20×=cm；②将三角形放倒再穿过，此时铁圈的直径等于三角形的边长20㎝，而20cm＞cm，将三角形放倒再穿过，圆的直径最小．故答案为：．
10．3． 试题分析：如图所示，正六边形的边长为3，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°÷6=60°，∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=30°，∵OG⊥BC，OB=OC，BC=3，∴BG=BC=×3=，∴OB==3，故答案为：3．
11． ；
试题解析： ．解:边长为的正六边形可以分成六个边长为的正三角形，
而正多边形边心距即为每个边长为的正三角形的高，
∴正六多边形的边心距等于，因此，本题正确答案是．
12．90°
分析：首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
详解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，
∵EF=DE，
∴∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FDC=90°，
故答案为：90°
13．12
解析：根据题意可得△AEC为等边三角形，连接OE，过点O作OM⊥EC于点M，因⊙O是等边三角形的外接圆，可得∠OEM=30°，根据题意可得OE=4．在Rt△OEM中，∠OEM=30°，OE=4，可求得OM=2，EM=2．所以△OEM的面积为，所以等边△ABC面积为6=6×2=12．
故答案为：12.
14．
分析：先画出同一个圆的内接正方形和内接正三角形，设⊙O的半径为R，求出正方形的边心距和正三角形的边心距，再求出比值即可．
【详解】设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，
过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，
∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴O为正方形ABCD的中心，
∴∠BOC=90°，
∵OQ⊥BC，OB=CO，
∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，
∴OQ=OC×cos45°=R；
设⊙O的内接正△EFG，如图，
过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，
∵正△EFG是⊙O的外接圆，
∴∠OGF=∠EGF=30°，
∴OH=OG×sin30°=R，
∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，
故答案为：：1．
15． （或）
分析：根据正多边形的边数，确定正多边形的中心角，然后构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和锐角三角函数解直角三角形即可.
解：如图所示：
∵正n边形的中心角为2α，边长为5，
∵边心距OD= （或），
故答案为： （或），
16．72°．
解：连接OA、OB、OC，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠AOB=∠BOC=72°，∵OA=OB，OB=OC，∴∠OBA=∠OCB=54°，在△OBP和△OCQ中，∵OB=OC，∠OBP=∠OCP，BP=CQ，∴△OBP≌△OCQ，∴∠BOP=∠COQ，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠BOP=∠QOC，∵∠POQ=∠BOP+∠BOQ，∠BOC=∠BOQ+∠QOC，∴∠POQ=∠BOC=72°．故答案为：72°．
17．5
试题分析：首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长=5cm．
18．9
试题分析：如图：连接OG，∵BD=10，DF=4，∴⊙O的半径r=OD+DF=BD+DF=×10+4=9，∴OG=9，在Rt△GOD与Rt△ADO中，OD=OD，AO=GD，∠AOD=∠GDO=90°，∴△AOD≌△GDO，∴OG=AD=9，故答案为：9．
19．（1）图（1）中六边形各角相等；（2）证明见解析（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），各内角相等的圆内接多边形是正多边形
试题分析：（1）由题图①知∠AFC对，∠DAF对，根据已知可得，从而可以得到∠AFC=∠DAF，即可得证；
（2）根据已知条件，结合图形不难得到=，继而得到，同理可得到其它狐之间的相等关系，进而证明结论；
（3），根据已知条件进行分析，结合上面的结论写出猜想即可.
试题解析：（1）由图知∠AFC对，
∵，而∠DAF对的，
∴∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC，
故图（1）中六边形各角相等；
（2）∵∠A对，∠B对，
又∵∠A=∠B，
∴，
∴，
同理， ．
（3）猜想：当边数是奇数时（或当边数是3，5，7，9，时），
各内角相等的圆内接多边形是正多边形．
20．(1) 120°；（2）；（3）12
试题分析：（1）连接AC,由AB=AD可得到∠ACB=∠ACD=60°,在四边形ACBE中由对角互补可求得∠AEB,(2)因为 ∠AOD=2∠ABD=120°,半斤为2,根据弧长公式即可求解.
（3）连接OA,求出∠AOE的度数即可求出正n边形的边数.
连接BD,∵四边形ABCD是 O的内接四边形,
∴∠BAD+∠C=180°,
∵∠C=120°,
∴∠BAD=60°,
∵AB=AD,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=60°,
∵四边形ABDE是 O的内接四边形,
∴∠AED+∠ABD=180°,
∴∠AED=120°,
(2) ∵∠AOD=2∠ABD=120°,
∴弧AD的长=,
(3)连接OA,
∵∠ABD=60°,
∴∠AOD=2∠ABD=120°,
∵∠DOE=90°,
∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=30°,
∴n=.
21．（1）120°
（2）90°、72°、°
试题分析：（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，
再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；（2）同（1）即可解答；（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．
试题解析：分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OC=OB，O是外接圆的圆心，∴CO平分∠ACB∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠OBM=∠OCN=30°，∵BM=CN，OC=OB，∴△OMB≌△ONC，∴∠BOM=∠NOC，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°；∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；（3）由（1）可知，∠MON==120°；在（2）中，∠MON==90°；在（3）中∠MON=5=72°…，故当n时，∠MON=．
22．（1）菱形的边长为；
（2）作图见解析.
试题分析：（1）连接OB、OD和OC，根据菱形、内接圆的性质可得∠DOB＝120°，OD＝OB＝1， CD＝BC，∠C＝60°，从而得到△COD≌△COB，根据全等三角形的性质，可求得∠COD＝∠COB＝ 、∠DCO＝∠BCO＝，根据三角形内角和可得△COD 是Rt△COD，由tan∠DCO＝可求得CD的长度，即为所求；（2）根据题意先作出D在BC上的对应点；作出直线a；
试题解析：
(1)连接OB、OD和OC，如图所示：
∵半径为1的⊙O经过点A、B、D，且∠A＝60°，
∴∠DOB＝120°，OD＝OB＝1，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴CD＝BC，∠C＝60°，
在△COD和△COB中
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠COD＝∠COB，∠DCO＝∠BCO，
∴∠COD＝∠COB＝ ，
∠DCO＝∠BCO＝
∴∠ODC＝（180－30－60）o=90o,
∴△COD 是Rt△COD，
∵tan∠DCO＝
∴CD＝tan30o
∴菱形ABCD的边长是 ；
（2）如图所示：
作出D在BC上的对应点，再作出直线a即可。
23．
试题分析：设大正方形的边长为1，那么圆的直径为1，根据“正方形的面积=边长×边长”求出大正方形的面积，从而得出的面积：1×（1÷2）÷2=0.25，即可得出正方形的面积：0.25×2=0.5，再根据相似得出边之比．
试题解析：如图，
设大正方形的边长为1，则HF=1，
则S正方形ABCD=1，
S正方形EFGH=2S△HGF=2×1×（1÷2）÷2=0.5，
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴AB：EF=．
24．
试题分析：根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．
试题解析：∵正六边形的半径等于边长，
∴正六边形的边长AB=OA=a；
正六边形的周长=6AB=6a；.
在Rt△OAM中 ∵OM=OA?sin60°=a，
正六边形的面积S=6××a×a=a2．
点睛：本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．
25．（1）图见解析；（2）⊙O的半径是
试题分析：（1）连接AE，分别作出AE，AB的垂直平分线，进而得到交点，即为圆心，求出答案；
（2）根据题意首先得出四边形AFE′D是矩形，进而利用勾股定理得出答案．
试题解析：（1）如图1所示：
⊙O即为所求．
（2）如图2，在（1）中设AB的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E′．
则AF=AB=1，∠AFE′=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FAD=∠D=90°，
∴四边形AFE′D是矩形，
∴E′F=AD=2，DE′=AF=1，
∴点E′与点E重合，
连接OA，设⊙O的半径为r，
可得OA=OE=r，
∴OF=EF﹣OE=2﹣r，
∴在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，
∴r2=12+（2﹣r）2，
∴解得：r=，
∴⊙O的半径为．
