第三章 圆
一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．在下列四个命题中：①直径是最长的弦；②每个三角形都有一个内切圆；③三角形的外心到三角形各边的距离都相等；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧也相等．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图3－Z－1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，若∠C＝40°，则∠ABD的度数是( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
图3－Z－1
3．如图3－Z－2，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠DAO＋∠DCO的大小为( )
图3－Z－2
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．如图3－Z－3，AB为⊙O的直径，弦DC⊥AB于点E，∠DCB＝30°，EB＝3，则弦AC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
图3－Z－3
5．如图3－Z－4，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于()
图3－Z－4
A．5 B．8 C．10 D．12
6．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图3－Z－5，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，则圆柱形油槽的直径MN为( )
A．6分米 B．8分米
C．10分米 D．12分米
图3－Z－5
7.如图3－Z－6，某厂生产横截面直径为7 cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳的视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为()
图3－Z－6
A. cm B. cm
C. cm D．7π cm
8．如图3－Z－7，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是( )
图3－Z－7
A.－ B.－
C．π－ D．π－
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
9．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的长度的取值范围是________．
10．如图3－Z－8，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是劣弧OB上一点，则∠ACB的度数为________．
图3－Z－8
11.如图3－Z－9，在⊙O中，弦DA∥BC，DA＝DC，∠AOC＝160°，则∠BCO＝________度．
图3－Z－9
12．如图3－Z－10，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为________．
图3－Z－10
13．如图3－Z－11，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(Q为切点)，则切线PQ长的最小值为________．
图3－Z－11
三、解答题(本大题共4小题，共48分)
14．(10分)如图3－Z－12，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若⊙O的半径为3，求的长．
图3－Z－12
15．(12分)如图3－Z－13，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，D为垂足，连接AE，EC.
(1)若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；
(2)若∠BEA＝∠B，BC＝6，求⊙O的半径．
图3－Z－13
16．(12分)如图3－Z－14，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
(1)连接AD，求证：AD平分∠BAC；
(2)求AC的长．
图3－Z－14
17．(14分)如图3－Z－15①，⊙O的直径AB＝12，P是弦BC上一动点(与点B，C不重合)，∠ABC＝30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D.
(1)如图②，当PD∥AB时，求PD的长．
(2)如图③，当＝时，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE.
①求证：DE是⊙O的切线；
②求PC的长．
图3－Z－15
详解详析
1．[答案] B
2．[解析] B ∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°.又∠C＝40°，∴∠AOC＝90°－40°＝50°，∴∠ABD＝∠AOC＝×50°＝25°.故选B.
3．[解析] C 连接OD，
∵OA＝OD，OD＝OC，
∴∠DAO＝∠ODA，∠DCO＝∠ODC，∴∠DAO＋∠DCO＝∠ADC.∵四边形ABCO是平行四边形，∴∠B＝∠AOC.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC＋∠B＝180°.
∵∠ADC＝∠AOC，∴∠ADC＝∠B，即3∠ADC＝180°，∴∠ADC＝60°，
即∠DAO＋∠DCO＝60°.故选C.
4．[解析] D 如图，连接OC，∵弦DC⊥AB于点E，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△BOC是等边三角形．∵EB＝3，∴OB＝6，∴AB＝12.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，AC＝12×＝6 .故选D.
5．[答案] C
6．[答案] C
7．[解析] B ∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得R＝ cm，则“蘑菇罐头”字样的长为＝(cm)．
8．[解析] B 如图，连接BD.∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AB＝BD，∠3＋∠5＝60°.∵AB＝2，∴△ABD的高为.∵扇形BEF的圆心角为60°，∴∠4＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4.设AD，BE相交于点G，BF，DC相交于点H，在△ABG和△DBH中，∠A＝∠2，AB＝BD，∠3＝∠4，∴△ABG≌△DBH(ASA)，∴S四边形GBHD＝S△ABD，∴S阴影＝S扇形EBF－S△ABD＝－×2×＝－.故选B.
9．[答案] OA＞5
[解析] ∵⊙O的半径为5，点A在⊙O外，∴线段OA的长度的取值范围是OA＞5.故答案为OA＞5.
10．[答案] 90°
[解析] ∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝90°.
11．[答案] 30
[解析] 连接AC，
∵∠B＝∠AOC＝80°，
∴∠D＝180°－∠B＝100°.
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠ACD＝40°，∠OCA＝∠OAC＝10°.
∵DA∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴∠BCO＝30°.
12．[答案] 2
[解析] 连接AC，OE，OF，过点O作OM⊥EF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝4 ，
∴OE＝OF＝2 .
∵OM⊥EF，∴EM＝MF.
∵△EFG是等边三角形，∴∠GEF＝60°.
在Rt△OME中，∵OE＝2 ，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝OM＝，∴EF＝2 .
13．[答案] 2
[解析] 如图，连接OP，OQ.∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ2＝OP2－OQ2，∴当OP⊥AB时，OP最短，则此时线段PQ最短．∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，∴AB＝OA＝6，
∴OP＝＝3，
∴PQ＝＝＝2 .
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°，
∴∠DCB＝∠DBC，∴BD＝CD.
(2)由(1)可知∠DBC＝∠DCB＝75°，
∴∠BDC＝30°.由圆周角定理得的度数为60°，故的长为＝π.
15．[解析] (1)根据垂径定理得到＝，根据圆周角定理解答；(2)根据圆周角定理的推论得到∠C＝90°，进而得到∠B＝30°，根据余弦的定义求出BE的长即可．
解：(1)∵OA⊥BC，∴＝，
∴∠BEA＝∠AEC＝28°，
由圆周角定理，得∠AOB＝2∠AEB＝56°.
(2)∵BE是⊙O的直径，∴∠C＝90°，
∴∠CEB＋∠B＝90°.
又∵∠BEA＝∠B，∠BEA＝∠AEC，
∴∠B＝30°，∴BE＝＝4 ，
∴⊙O的半径为2 .
16．解：(1)证明：连接OD.
∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.
又∵AC⊥BD，∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA.
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC.
(2)∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，
∴＝，即＝，
解得AC＝，即AC的长为.
17．解：(1)连接OD.∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB＝90°.
∵⊙O的直径AB＝12，∴OB＝OD＝6.
在Rt△POB中，∵∠ABC＝30°，∴OP＝OB·tan30°＝6×＝2 .
在Rt△POD中，PD＝＝＝2 .
(2)①证明：连接OD，交CB于点F，连接BD.
∵＝，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝60°.
又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，
∴∠DOB＝60°，
则∠OFB＝180°－60°－30°＝90°，
∴OD⊥FB，∴OF＝DF.
又∵BE＝AB，OB＝AB，
∴OB＝BE，∴BF∥DE，
∴∠ODE＝∠OFB＝90°，
∴DE是⊙O的切线．
②由①知OD⊥BC，∴CF＝BF＝OB·cos30°＝6×＝3 .
在Rt△POD中，∵OF＝DF，∴PF＝OD＝3，∴PC＝CF－PF＝3 －3.
