阶段质量检测(一) 计 数 原 理
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．
2．(湖南高考改编)的展开式中x2y3的系数是________．
3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．
4．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．
5．(湖北高考改编)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝________．
6．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．
7．C＋C＋C＋C＋C＝________．
A
B
C
D
8.用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则
不同的涂色方法共有________种．
9．“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为________．
10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．
11．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是________．
12．(重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．
13.展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．
14.(x－1)5的展开式中x4的系数为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码．第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码．
(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？
(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？
16．(本小题满分14分)有0，1，2，3，4，5共六个数字．
(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．
17．(本小题满分14分)在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，
(1)求r的值；
(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．
18．(本小题满分16分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
19．(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问：
(1)空位不相邻的坐法有多少种？
(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？
(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？
20．(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：
(1)4只鞋子没有成双的；
(2)4只鞋子恰成两双；
(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．
答案
1．解析：由题意可得不同的选法为C＝7种．
答案：7
2．解析：由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C(－2y)3＝－20x2y3，
故x2y3的系数为－20.
答案：－20
3．解析：设男学生有x人，则女学生有(8－x)人，
则CCA＝90，即x(x－1)(8－x)＝30＝2×3×5，所以x＝3，8－x＝5.
答案：3，5
4．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，
故共有A×2＝12种排列方法．
答案：12
5．解析：Tr＋1＝C(2x)7－r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5，
即T5＋1＝C22a5x－3＝84x－3，解得a＝1.
答案：1
6．解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在C·C·C＝96种．
答案：96
7．解析：∵C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝26＝64，∴C＋C＋C＋C＋C＝64－2＝62.
答案：62
8．解析：分四步依次涂A，B，C，D.开始涂A有4种涂法；再涂B有3种涂法；然后涂C有2种涂法；最后涂D，由于D和A，B不相邻，所以D可以和A或B同色，也可以和A，B不同色，所以共有3种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2×3＝72(种)．
答案：72
9．解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2CCC＝18个．
答案：18
10．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有CA＋CA＝35×2＋21×2＝112种．
答案：112
11．解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个CC；
第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个CC；
第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个CC，
由分类计数原理得CC＋CC＋CC＝74.
答案：74
12．解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA＝24，
因此满足题意的排法种数为144－24＝120.
答案：120
13．解析：只有第六项的二项式系数最大，则n＝10，Tr＋1＝C·＝2rCx5－r，
令5－r＝0，得r＝2，T3＝4C＝180.
答案：180
14．解析：(x－1)5＝(x－1)5(x2＋4x＋6x＋4＋1)，x4的系数为C×(－1)3＋C×6＋C×(－1)＝45.
答案：45
15．解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋8＝43种取法．
(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法．由分步计数原理可知共有20×15×8＝2 400种取法．
16．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A个；第二类，2在个位时有AA个；第三类，4在个位时有AA个；
由分类计数原理知，共有四位偶数A＋AA＋AA＝156(个)．
(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A个；第二类，个位上的数字是5的五位数有AA个．
故满足条件的五位数有A＋AA＝216(个)．
17．解：(1)第4r项和第r＋2项的二项式系数分别是C和C，
C＝C?4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，
解得r＝4或r＝(舍去)．所以r＝4.
(2)T4r＝T16＝C·(－x2)15＝－15 504x30，
Tr＋2＝T6＝C(－x2)5＝－15 504x10.
18．解：(1)令x＝1，
得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.
(2)a6即为含x6项的系数，
Tr＋1＝C(2x)10－r(－1)r＝C(－1)r210－rx10－r，
所以当r＝4时，T5＝C(－1)426x6＝13 440x6，
即a6＝13 440.
19．解：6个人排有A种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．
(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C＝35种插法，
故空位不相邻的坐法有AC＝25 200种．
(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有AA＝30 240种．
(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：
①4个空位各不相邻有C种坐法；
②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有CC种坐法；
③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C种坐法．
综上所述，应有A(C＋CC＋C)＝115 920种坐法．
20．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C·24＝3 360(种)．
即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．
(2)从10双鞋子中选取2双有C种取法，
所以选取种数为N＝C＝45(种)
即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．
(3)先选取一双有C种选法，再从9双鞋中选取2双有C种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝CC·22＝1 440(种)．
