阶段质量检测(二) 概 率
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
k
2k
3k
则E(X)＝________．
2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________．
3．某同学通过计算机测试的概率为，则他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为________．
4．已知随机变量X分布列为P(X＝k)＝a·(k＝1，2，3)，则a＝________．
5．已知甲投球命中的概率是，乙投球命中的概率是.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，则恰有1人投球命中的概率为________．
6．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)，若X在区间(0，1)内取值的概率为0.4，则X在区间(0，2)内取值的概率是________．
7．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数都不相同}，B＝{出现一个3点}，则P(B|A)＝________.
8．袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数X的数学期望E(X)＝________．
9．某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p，若此人未能通过的科目数X的均值是2，则p＝________．
10．若X～B(n，p)，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则n＝________，p＝________．
11．甲、乙两人投篮，投中的概率各为0.6，0.7，两人各投2次，两人投中次数相等的概率为________．
12．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的均值为________．
13. 荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是________．
14．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在抛物线中，记随机变量X＝“|a－b|的取值”，则X的均值E(X)＝________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
16．(本小题满分14分)袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
(1)若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布列及其均值；
(2)若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
17．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分，乙得零分，反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议．记所需抛币次数为X.
(1)求X＝6的概率；
(2)求X的概率分布和均值．
18．(本小题满分16分)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．求X的概率分布、均值和方差．
19．(本小题满分16分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布和均值．
20．(本小题满分16分)(北京高考)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；
(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；
(3)记x为表中10个命中次数的平均数．从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数．比较E(X)与x的大小．(只需写出结论)
答案
1．解析：∵k＋2k＋3k＝1，∴k＝，∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝＝.
答案：
2．解析：P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
答案：
3．解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝C＝3××＝.
答案：
4．解析：依题意得a＝1，解得a＝.
答案：
5．解析：记“甲投球1次命中”为事件A，“乙投球1次命中”为事件B.根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为
P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝×＋×＝.
答案：
6．解析：∵X～N(1，σ2)，∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
7．解析：若两个点都不相同，则有(1，2)，(1，3)，…，(1，6)，(2，1)，(2，3)，…，(2，6)，…，(6，1)，…，(6，5)．共计6×5＝30种结果．“出现一个3点”含有10种．∴P(B|A)＝＝.
答案：
8．解析：由题得X所取得的值为0或2，其中X＝0表示取得的球为两个黑球，X＝2表示取得的球为一黑一红，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝0×＋2×＝1.
答案：1
9．解析：因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1－p，易知X～B(6，1－p)，
所以E(X)＝6(1－p)＝2.解得p＝.
答案：
10．解析：∵E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，∴∴
答案：6 0.4
11．解析：所求概率为4×0.6×0.4×0.7×0.3＋0.62×0.72＋0.42×0.32＝0.392 4.
答案：0.392 4
12．解析：设甲在回家途中遇红灯次数为X，则X～B，所以E(X)＝3×＝.
答案：
13．解析：青蛙跳三次要回到A只有两条途径：
第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条，按A→C→B→A，P2＝××＝.
所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
答案：
14．解析：对称轴在y轴左侧(ab＞0)的抛物线有2CCC＝126条，X可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
15．解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件A∩B.
(1)P(A)＝＝＝.(2)P(A∩B)＝＝＝.
(3)P(B|A)＝＝＝.
16．解：(1)X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
故抽取次数X的概率分布为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)每次检验取到新球的概率均为，故X～B，所以E(X)＝5×＝3.
17．解：(1)P(X＝6)＝2×C×××＝.
(2)由题意知，X可能取值为4，5，6，7，P(X＝4)＝2×C×＝，
P(X＝5)＝2×C×××＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝2×C×××＝，
故X的概率分布为
X
4
5
6
7
P
所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.
18．解：由题意，得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝＝.
故X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
V(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
19．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝r)＝(r＝0，1，2，3)．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解：(1)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客观比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”．
则C＝AB∪AB，A，B独立．
根据投篮统计数据，P(A)＝，P(B)＝.P(C)＝(AB)＋P(AB)＝×＋×＝.
所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
(3)E(X)＝x.
