阶段质量检测(三) 统 计 案 例
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列有关线性回归的说法
①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；
②在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；
③线性回归直线得到具有代表意义的线性回归方程；
④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．其中错误的是________．
解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程．
答案：④
2．下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的线性回归直线必过点________.
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
解析：∵x＝＝1.5，y＝＝4，∴样本点的中心为(1.5，4)，
而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5，4)．
答案：(1.5，4)
3．对两个变量y和x进行线性相关性检验，已知n是观察值组数，r是相关系数，且已知：①n＝7，r＝0.953 3；②n＝15，r＝0.301 2；③n＝17，r＝0.999 1；④n＝3，r＝0.995 0，则变量y和x具有线性相关关系的是________．(填序号)
解析：判断变量y与x是否具有线性相关关系时，观察值组数n不能太小．若y与x具有线性相关性，则相关系数|r|≥0.75，故②④错．
答案：①③
4．由线性回归直线方程y ∧＝4.75x＋157，当x＝28时，y ∧为________．
解析：将x的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290.
答案：290
5．一家保险公司调查其总公司营业部的加班情况，收集了10周中每周加班工作时间y(小时)与签发保险单数目x的数据如下表所示：
x
825
215
1 070
550
480
920
1 350
325
670
1 215
y
3.5
1.0
4.0
2.0
1.0
3.0
4.5
1.5
3.0
5.0
已知用最小二乘法估计求出的线性回归方程的斜率为0.003 585，则线性回归方程为________________________________________________________________________．
解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x＋a ∧过样本中心点(，)，故将，求出代入即可．
答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x
6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表，则喜不喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为________．
认为作业多
认为作业不多
合计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
合计
26
24
50
7.下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是________．(填序号)
①回归分析和独立性检验没有什么区别；
②回归分析是对两个变量准确关系的分析，而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系；
③回归分析研究两个变量之间的相关关系，独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验；
④独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系．
8. 如图，有5组数据对(x，y)，去掉哪组数据后剩下的4组数据的线性相关程度最大________．
9．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表，由表中数据得线性回归方程y ∧＝b ∧x＋a ∧，其中b ∧＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________．
用电量y(度)
24
34
38
64
气温x(℃)
18
13
10
－1
10.吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的2×2列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
合计
45
40
85
试回答吃零食与性别有关系吗？(“有”或“没有”)________．
11．变量x，y具有线性相关关系，当x的取值分别为8，12，14和16时，通过观测知y的值分别为5，8，9和11，若在实际问题中，y的预报值最大是10，则x的最大取值不能超过________．
12．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由某散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ∧＝－0.7x＋a ∧，则该厂6月份的用水量约为________．
13．为研究变量x和y的线性相关关系，甲、乙两人分别作了研究，利用线性回归方程得到回归直线l1和l2，两人计算知x相同，y也相同，则l1与l2的位置关系是________．
14．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则________．(填序号)
①r2＜r1＜0；②0＜r2＜r1；③r2＜0＜r1；④r2＝r1.
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：
气温x(℃)
26
18
13
10
4
－1
杯数y
20
24
34
38
50
64
画出散点图并判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．
16．(本小题满分14分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a，15－a均为大于5的整数，则a取何值时，有90%的把握认为x与y之间有关系？
17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持企业改革
不太赞成企业改革
合计
工作积极
54
40
94
工作一般
32
63
95
合计
86
103
189
对于人力资源部的研究项目进行分析，根据上述数据能得出什么结论？
18．(本小题满分16分)某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高约为多少？
19．(本小题满分16分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：
60分以下
61～70分
71～80分
81～90分
91～100分
甲班
(人数)
3
6
11
18
12
乙班
(人数)
4
8
13
15
10
现规定平均成绩在80分以上(不含80分)的为优秀．
(1)试分别估计两个班级的优秀率；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
20．(本小题满分16分)某运动员训练次数与运动成绩之间数据关系如下：
次数(x)
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩(y)
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)计算相关系数，并利用其检验两变量的相关关系的显著性；
(4)试预测该运动员训练47次和55次的成绩．
答案
1．解析：任何一组观测值并不都能得到具有代表意义的线性回归方程．
答案：④
2．解析：∵x＝＝1.5，y＝＝4，∴样本点的中心为(1.5，4)，
而回归直线必过样本点的中心，故必过(1.5，4)．
答案：(1.5，4)
3．解析：判断变量y与x是否具有线性相关关系时，观察值组数n不能太小．若y与x具有线性相关性，则相关系数|r|≥0.75，故②④错．
答案：①③
4．解析：将x的值代入回归直线方程得估计值y ∧＝4.75×28＋157＝290.
答案：290
5．解析：线性回归直线y ∧＝b ∧x＋a ∧过样本中心点(，)，故将，求出代入即可．
答案：y ∧＝0.118 2＋0.003 585x
6．解析：假设H0：喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少没有关系，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈5.06，对照临界值表，当假设成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，所以我们有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系．
答案：97.5%
7．解析：由回归分析、独立性检验的意义知，回归分析与独立性检验都是研究两个变量之间的相关性，但方法与手段有所不同，研究角度不同．由其意义知，③正确．
答案：③
8．解析：由散点图可知，除D之外的其余各点近似地在某条直线附近，而D点则偏离这一直线．故应去掉D.
答案：D
9．解析：由题意可知x＝(18＋13＋10－1)＝10，y＝(24＋34＋38＋64)＝40，b ∧＝－2.
又回归方程y ∧＝－2x＋a ∧过点(10，40)，故a ∧＝60，所以当x＝－4时，y ∧＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
10．解析：χ2＝＝≈4.722>3.841.
故约有95%的把握认为“吃零食与性别”有关．
答案：有
11．解析：因为x＝16时，y＝11；当x＝14时，y＝9，所以当y的最大值为10时，x的最大值属于区间(14，16)．
答案：15
12．解析：∵x＝2.5，y＝3.5，b ∧＝－0.7，∴a ∧＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
∴当x＝6时，y ∧＝－0.7×6＋5.25＝1.05.
答案：1.05百吨
13．解析：每条回归直线都过样本的中心(x，y)．
答案：l1与l2有公共点(x，y)
14．解析：对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0答案：③
15.
解：由表中数据画出散点图，如图所示．
由散点图可知热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．
16．解：查表可知，要有90%的把握认为x与y之间有关系，则χ2≥2.706，而
χ2＝＝＝.
由χ2≥2.706，得a≥7.19或a≤2.04.又a＞5，且15－a＞5，a∈Z，即a＝8，9.
故a为8或9时，有90%的把握认为x与y之间有关系．
17．解：根据列联表中的数据，得到χ2＝＝10.76.
因为10.76>7.879，所以有99.5%的把握说：员工“工作积极”与“积极支持企业改革”是有关的，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．
18．解：由题意父亲身高x cm与儿子身高y cm对应关系如表：
x
173
170
176
y
170
176
182
则x－＝＝173，y－＝＝176， (xi－x)(yi－y)＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)＝18，
(xi－x)2＝(173－173)2＋(170－173)2＋(176－173)2＝18.
所以b ∧＝＝1.所以a ∧＝y－b ∧x＝176－173＝3.
所以线性回归方程y ∧＝b ∧x＋a ∧＝x＋3.所以可估计孙子身高为182＋3＝185(cm)．
19．解：(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人，优秀率为＝60%，
乙班优秀人数为25人，优秀率为＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%.
(2)列联表如下：
因为χ2＝＝≈1.010，
所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．
20．解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)计算得x＝39.25，y＝40.875，b ∧≈1.0415，a ∧≈－0.004，所求回归方程为y ∧＝1.0415 x－0.004.
(3)计算得x＝12 656，y＝13 731，
r＝
＝≈≈0.993，
查表得r0.05＝0.707，r>r0.05，由此可得出，训练次数与运动成绩有较强的线性相关关系．
(4)由上述分析可知，我们可用回归方程y＝1.041 5x－0.004作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.
