模块综合检测
(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．由数字0，1，4，5，7组成的没有重复数字的三位奇数的个数为________．
2．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实验6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．
3．使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．
4．数列a1，a2，…，a7中，恰好有5个a，2个b(a≠b)，则不相同的数列共有________个．
5．一个袋子里装有4个白球，5个黑球和6个黄球，从中任取4个球，则含有3个黑球的概率为________．
6．(天津高考)的二项展开式中的常数项为________．
7．掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________．
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y ∧＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
9. 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率是________．
10．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是________．
11．俗语中常说，三个臭皮匠胜过诸葛亮，若三个臭皮匠能解决某问题的概率分别为60%、50%、45%.诸葛亮解决问题的概率为85%.若三个臭皮匠中有一人能解决问题即为解决，则三个臭皮匠解决此问题的概率为________．
12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼－15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是________．
13．从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．
14．(山东高考)若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知二项式的展开式中，
(1)求展开式中含x4项的系数；
(2)如果第3k项和第k＋2项的二项式系数相等，试求k的值．
16．(本小题满分14分)已知男人中有5%患色盲，女人中有 0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．
(1)求此人患色盲的概率；
(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．
17．(本小题满分14分)在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x，y，z分别表示甲、乙、丙3个盒中的球数．
(1)求x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率；
(2)记X＝x＋y，求随机变量X的概率分布和均值．
18.(本小题满分16分)(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
19．(本小题满分16分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．
(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；
(2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
50岁以上
合计
(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析．
20．(本小题满分16分)(全国大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的均值．
答案
1．解析：第一步排个位有C种排法；第二步排首位有C种排法；第三步排中间位置有C种排法，
共有排法C·C·C＝27种，所以有不同的三位奇数27个．
答案：27
2．解析：第一步，A程序有C种不同安排方法，第二步，将B和C看成一个程序与其他3个程序有A种不同安排方法，第三步，安排B和C的顺序，有A种不同的方法，根据分步计数原理，则不同的安排方法共有CAA＝96种．
答案：96
3．解析：由二项式定理得，Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rxn－r，令n－r＝0，当r＝2时，n＝5，此时n最小．
答案：5
4．解析：7个位置中选2个位置放入2个b，其余5个位置放入5个a，共有C＝21个数列．
答案：21
5．解析：由题意可得P(X＝3)＝＝.
答案：
6．解析：二项式展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cx6－r·＝C(－1)rx6－r，
当6－r＝0，即r＝4时是常数项，所以常数项是C(－1)4＝15.
答案：15
7．解析：事件A发生的前提下有以下基本事件：(4，6)，(5，5)，(6，4)，此时事件B发生只有(6，4)一种，
因此P(B|A)＝，事件B发生的前提下有以下基本事件：(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)共有15种基本事件，事件A发生只有(6，4)一种，因此P(A|B)＝.
答案：
8．解析：以x＋1代x，得y ∧＝0.254(x＋1)＋0.321，与y ∧＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
答案：0.254
9．解析：P＝1－[1－P(AB)]·P(C)P(D)·[1－P(EF)]＝1－＝.
答案：
10．解析：从2，4，6三个偶数中选一个数放在个位，有C种方法，将其余两个偶数全排列，有A种排法，当1，3不相邻且不与5相邻时有A种方法，当1，3相邻且不与5相邻时有A·A种方法，故满足题意的偶数个数有C·A(A＋A·A)＝108(个)．
答案：108
11．解析：记A＝“三个臭皮匠不能解决问题”，P(A)＝(1－60%)(1－50%)(1－45%)＝0.11.
∴三个臭皮匠能解决此问题的概率为1－P(A)＝1－0.11＝0.89＝89%.
答案：89%
12．解析：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有A种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有A种方法；考虑A与戊机的排法有A种方法．可知共有AAA＝24种不同的着舰方法．
答案：24
13．解析：根据条件，摸出2个黑球的概率为，摸出3个黑球的概率为，故P(X≥2)＝＋＝.
答案：
14．解析：Tr＋1＝C(ax2)6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，故Ca3b3＝20，
所以ab＝1，a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b＝1或a＝b＝－1时，等号成立．
答案：2
15．解：(1)设第r＋1项为Tr＋1＝Cx10－r(－)r＝(－2)rC·x10－r.令10－r＝4，解得r＝4，
所以展开式中含r4项的系数为(－2)4C＝3 360.
(2)∵第3k项的二项式系数为C，第k＋2项的二项式系数为C，
∴C＝C，故3k－1＝k＋1或3k－1＋k＋1＝10，解得k＝1，k＝2.5(不合题意舍去)．故k＝1.
16．解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.
(1)此人患色盲的概率P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.
(2)P(A|C)＝＝＝.
17．解：(1)x，y，z依次成公差大于0的等差数列的概率，即甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，
此时的概率P＝C××＝.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝C××＋C××＝＋＝；
P(X＝2)＝A×××＋C××＋C××＝；
P(X＝3)＝＋＋C××＋C××＝.
X
0
1
2
3
P
数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
18．解：(1)由所给数据计算得t＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
19．解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．
(2)列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
合计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
合计
20
10
30
(3)χ2＝＝10>6.635，有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关．
20．解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需使用设备，
C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．
(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，
所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)
＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.
(2)X的可能取值为0，1，2，3，4.
P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，
P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)
＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，
P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，
P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，
P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，
均值EX＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)
＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.
