3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用________的直尺和________作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出________；
(2)________：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的________；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形________题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下________．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．[来源:Z*xx*k.Com]
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
一、选择题
1、（2016?宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、△EGH为等腰三角形 B、△EGF为等边三角形
C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形
2、（2016?曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（? ）
A、CD⊥l B、点A，B关于直线CD对称
C、点C，D关于直线l对称 D、CD平分∠ACB
3、（2016?漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
5、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ）
A、6 B、8 C、10 D、12
6、（2017?深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（?? ）
A、 B、 C、 D、
7．（2018·河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
8．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
9．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．3r B．（1+22）r C．（1+32）r D．2r
10．（2018?台州）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A．12 B．1 C．65 D．32
二、填空题
11、（2016?湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．
12、（2016?北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是________.
13、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
14、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
15、（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________.
16．（2018?成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为__________．
17．（2018?葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=__．
三、解答题
18、（2016?怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
19、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
20．（2018?福建b卷）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
一、选择题
1．（2017江苏校级期末）观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
2．（2017东台校级月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
3．（2017湖北宜昌校级模拟）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论，①△EGH为等腰三角形；②△EGF为等边三角形；③四边形EGFH为菱形；④△EHF为等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4．（2017石家庄校级模拟）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
5．（2018?曲靖二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
6．（2018?邵阳考前押题）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ??）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧????????????? B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧?????????? D．以点E为圆心，DM为半径的弧
7．（2018·洛阳模拟）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AC交BC于点E．若∠BCD=80°，则∠AEC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
8．（2018?北京二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
二、填空题
9．（2017内蒙古牙克石市模拟）如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____________．
10．（2017河南郑州二模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为__________．
11．（2017北京东城区一模）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.
已知：线段AB.
求作：以AB为直径的⊙O.
作法：如图，
（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径
作弧，两弧相交于点C，D；
（2）作直线CD交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径作圆.
则⊙O即为所求作的.
请回答：该作图的依据是_______________________________________________．
12．（2017浙江湖州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．
13．（2018?襄阳适应性考试）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相较于AC上的点E处；③连接DE，FE.若AB＝6，BC＝4，那么AD＝________．
14．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
15．（2018?北京期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
以上作图的依据是：__________________________________________________________．
16．（2018?无锡模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点．以B为圆心，BD为半径作弧，交BC于点E；以C为圆心，CD为半径作弧，交AC于点F．则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
17．（2017天津河东区模拟）如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1．
（1）平行四边形ABCD的面积为 ；
（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积．（尺规作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来．
18．（2017江苏盐城期中）如图，在△ABC中，
（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明过程）
（2）若∠BAC = 2∠C，在已作出的图形中，△ ∽△
（3）画出△ABC的高AE（使用三角板画出即可），若∠B=α，∠C=β，那么∠DAE= （请用含α、β的代数式表示）
19．（2018?鞍山模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC，
（1）请用尺规作图的方法找出线段BC的中点，
（2）若AB边长为6，∠B=30°，求△ABC的面积．
20．（2018?衡水模拟）如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）
（1）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；
（2）用尺规在x轴上找一点P，使PA=PB（保留作图痕迹）．
3.4 尺规作图
一、尺规作图
1、定义：在数学中，我们常限定用没有刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
2、尺规作图的基本步骤：
(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；
(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；
(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；
(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；
(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；
(6)结论：对所作图形下结论．
二、基本作图
1、作一条线段等于已知线段，以及线段的和与差；
2、作一个角等于已知角，以及角的和与差；
3、过一点作已知直线的垂线；
4、作角的平分线；
5、作线段的垂直平分线．
三、复杂作图
1、利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形；
(2)已知两边及其夹角作三角形；
(3)已知两角及其夹边作三角形；
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形．[来源:Z*xx*k.Com]
2、与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；
(2)作三角形的内切圆；
(3)作圆的内接正方形和正六边形．
考点一：与三角形相关的作图
根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是（ ）
A．用尺规作一条线段等于已知线段
B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角
D．不能确定
【答案】C
【解析】解：已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中，主要依据是：用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．
故选C．
【点评】构成三角形的基本元素有边和角，故作三角形要用到：尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角．
变式跟进1已知△ABC,求作△DEF，使△DEF≌△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。
作法：
【答案】作图见解析
【解析】作法：画线段EF=BC；
分别以E、F为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点D；
连结线段DE、DF。
∴△DEF就是所求作的三角形
【点评】作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形这三种情况，本题可三种方法均可运用.
考点二：利用角平分线、线段的垂直平分线作图
如图所示，甲车从A处沿公路a向右行驶，同时乙车从B处出发，乙车行驶的速度与甲车行驶的速度相同，乙车要在最短的时间在公路a的点C上截住甲车，请你用尺规作图找出点C（保留作图痕迹，不写作法），并说明乙车行驶的方向。
【答案】作图见解析
【解析】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，交直线a于点C，
根据线段垂直平分线的性质可知 CA=CB
乙两车行驶速度相同，行驶时间相同，因此行驶路程相同
所以乙车沿BC方向行驶在公路C处截住甲车。
【点评】利用基本作图——作线段的垂直平分线即可.
变式跟进2在图中作出点P，使得点P到C、D两点的距离相等，并且点P到OA、OB的距离也相等. （用尺规作图，保留作图痕迹,不写作法.）
【答案】作图见解析
【解析】解：点P到C、D两点的距离相等即作CD的垂直平分线；
点P到OA、OB的距离也相等，即作角平分线，
故两线的交点就是点P的位置．
【点评】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．
考点三：与圆相关的作图
下图是一个残破的圆片示意图。请找出该残片所在圆的圆心O的位置（保留画图痕迹，不必写作法）；
【答案】作图见解析
【解析】解：分别作出圆上任意两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．
所以，点O就是所求的圆心．
【点评】利用圆上任意两条弦，并作出这两条弦的垂直平分线，其交点即为圆心．
变式跟进3如图,已知在等腰△ABC中,∠A＝∠B＝30°.
尺规作图：（1）过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（2）过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；
求证：.
【答案】尺规作图见解析；证明见解析
【解析】尺规作图：解：（1）过点C作AB的垂直平分线，交AB于点D，
（2）作AC的垂直平分线，交AC于点O，
以点O为圆心，OA长为半径作圆.
证明：∵CD⊥AC,∴∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠B＝30°,∴∠ACB＝120°
∴∠DCB＝∠A＝30°,
又∵∠B公共角, ∴△CDB∽△ACB,
∴BC2＝BD·AB
【点评】（1）根据图形的特征即可作出图形；（2）先证得△CDB∽△ACB，再根据对应边成比例即可得到结果。
一、选择题
1、（2016?宜昌）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）
A、△EGH为等腰三角形 B、△EGF为等边三角形
C、四边形EGFH为菱形 D、△EHF为等腰三角形
【答案】 B
【解析】解：A、正确．∵EG=EH， ∴△EGH是等边三角形．
B、错误．∵EG=GF，
∴△EFG是等腰三角形，
若△EFG是等边三角形，则EF=EG，显然不可能．
C、正确．∵EG=EH=HF=FG，
∴四边形EHFG是菱形．
D、正确．∵EH=FH，
∴△EFH是等边三角形．
故选B．
【点评】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
2、（2016?曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（? ）
A、CD⊥l B、点A，B关于直线CD对称
C、点C，D关于直线l对称 D、CD平分∠ACB
【答案】 C
【解析】解：由作法得CD垂直平分AB，所以A、B选项正确；
因为CD垂直平分AB，
所以CA=CB，
所以CD平分∠ACB，所以D选项正确；
因为AD不一定等于AD，所以C选项错误．
故选C．
【点评】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
3、（2016?漳州）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（ ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 B
【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，
故选B．
【点评】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
4、（2017?随州）如图，用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（?? ）
A、以点F为圆心，OE长为半径画弧 B、以点F为圆心，EF长为半径画弧
C、以点E为圆心，OE长为半径画弧 D、以点E为圆心，EF长为半径画弧
【答案】D
【解析】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F， 第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．
故选D．
【点评】根据作一个角等于一直角的作法即可得出结论．
5、（2017?河池）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是（?? ）
A、6 B、8 C、10 D、12
【答案】B
【解析】解：连接EG， ∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD= DE=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA= AG．
在Rt△AOD中，OA= = =4，
∴AG=2AO=8．
故选B．
【点评】连接EG，由作图可知AD=AE，根据等腰三角形的性质可知AG是DE的垂直平分线，由平行四边形的性质可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，据此可知AD=DG，由等腰三角形的性质可知OA= AG，利用勾股定理求出OA的长即可．
6、（2017?深圳）如图，已知线段 ，分别以 为圆心，大于 为半径作弧，连接弧的交点得到直线 ，在直线 上取一点 ，使得 ，延长 至 ，求 的度数为（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】解：依题可得：l是AB的垂直平分线，
∴CA=CB,
∵∠CAB=25°,
∴∠CAB=∠CBA=25°
∴∠BCM=25°+25°=50°.
故答案为B.
【点评】依题可得l是AB的垂直平分线，再由垂直平分线上的点到两端点的距离相等，从而得到△CAB为等腰三角形，在根据三角形的外角即可得出答案.
7．（2018·河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D．
【点评】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
8．（2018?嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】由作图，可以证明A、B、D中四边形ABCD是菱形，C中ABCD是平行四边形，即可得到结论．
解：A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA，∴AB∥DC．
∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的判定与平行四边形的性质．解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的．
9．（2018?湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；
③连结OG．
问：OG的长是多少？
大臣给出的正确答案应是（ ）
A．3r B．（1+22）r C．（1+32）r D．2r
【答案】D
【解析】如图连接CD，AC，DG，AG．在直角三角形即可解决问题；
解：如图连接CD，AC，DG，AG．
∵AD是⊙O直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=2r，∠DAC=30°，
∴AC=3r，
∵DG=AG=CA，OD=OA，
∴OG⊥AD，
∴∠GOA=90°，
∴OG=AC2?OA2=(3r)2?r2=2r，
故选：D．
【点评】本题考查作图-复杂作图，正多边形与圆的关系，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．（2018?台州）如图，在?ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A．12 B．1 C．65 D．32
【答案】B
【解析】只要证明BE=BC即可解决问题；
解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选：B．
【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
二、填空题
11、（2016?湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是________．
【答案】 5
【解析】解：由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，
∴AB= = =10，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD= AB=5．
故答案为5．
【点评】本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．
12、（2016?北京）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是________.
【答案】 到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）
【解析】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），
理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，
∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴直线AB垂直平分线段PQ，
∴PQ⊥AB．
【点评】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．
13、（2017?河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
【答案】56
【解析】解：∵四边形ABCD的矩形， ∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°﹣34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．
【点评】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
14、（2017?济宁）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是________.
【答案】a+b=0
【解析】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上， ∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴b=﹣a，即a+b=0，
故答案为：a+b=0.
【点评】根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号，可得a与b的数量关系为互为相反数.
15、（2017?绍兴）以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB=60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________.
【答案】2
【解析】解：根据题中的语句作图可得下面的图，过点D作DE⊥AC于E，
由尺规作图的方法可得AD为∠BAC的角平分线，
因为∠ADB=60°，
所以∠B=90°，
由角平分线的性质可得BD=DE=2，
在Rt△ABD中，AB=BD·tan∠ADB=2 .
故答案为2 .
【点评】由尺规作图-角平分线的作法可得AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质可得BD=2，又已知∠ADB即可求出AB的值.
16．（2018?成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E.若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为__________．
【答案】30
【解析】连接AE，如图，利用基本作图得到MN垂直平分AC，则EA=EC=3，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC．
解：连接AE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴EA=EC=3，
在Rt△ADE中，AD=32?22=5，
在Rt△ADC中，AC=(5)2+52=30．
故答案为30．
【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
17．（2018?葫芦岛）如图，OP平分∠MON，A是边OM上一点，以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧，交ON于点B、C，再分别以点B、C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F．若∠MON=60°，EF=1，则OA=__．
【答案】23
【解析】由作法得AD⊥ON于F，再由OP平分∠MON，可得∠EOF=12∠MON=30°，在Rt△OEF中，求出OF=3EF=3，继而在Rt△AOF中，即可求出OA长.
解：由作法得AD⊥ON于F，∴∠AOF=90°，
∵OP平分∠MON，∴∠EOF=12∠MON=12×60°=30°，
在Rt△OEF中，OF=3EF=3，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，∴OA=2OF=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了尺规作图——垂线，解直角三角形的应用等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
三、解答题
18、（2016?怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）作图见解析；（2）BC与⊙P相切．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
过P作PD⊥BC，交BC于点P，∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，∴PD=PA，∵PA为⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．学科网
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
19、（2017?南京）“直角”在初中几何学习中无处不在． 如图，已知∠AOB，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．
【答案】答案见解析
【解析】解：⑴如图1
，
在OA，OB上分别，截取OC=4，OD=3，若CD的长为5，则∠AOB=90°
⑵如图2
，
在OA，OB上分别取点C，D，以CD为直径画圆，若点O在圆上，则∠AOB=90°
【点评】（1）根据勾股定理的逆定理，可得答案；（2）根据圆周角定理，可得答案．
20．（2018?福建b卷）求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．
要求：①根据给出的△ABC及线段A'B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′为一边，在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′，使得△A'B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；
②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程．
【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）作∠A'B'C=∠ABC，即可得到△A'B′C′；
（2）依据D是AB的中点，D'是A'B'的中点，即可得到A'D'AD=A'B'AB，根据△ABC∽△A'B'C'，即可得到A'B'AB=A'C'AC，∠A'=∠A，进而得出△A'C'D'∽△ACD，可得C'D'CD=A'C'AC=k．
解：（1）如图所示，△A'B′C′即为所求；
（2）已知，如图，△ABC∽△A'B'C'，A'B'AB=B'C'BC=A'C'AC=k，D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
求证：C'D'CD=k．
证明：∵D是AB的中点，D'是A'B'的中点，
∴AD=12AB，A'D'=12A'B'，
∴A'D'AD=12A'B'12AB=A'B'AB，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴A'B'AB=A'C'AC，∠A'=∠A，
∵A'D'AD=A'C'AC，∠A'=∠A，
∴△A'C'D'∽△ACD，
∴C'D'CD=A'C'AC=k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．
一、选择题
1．（2017江苏校级期末）观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC
【答案】D．
【解析】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确，∴AE∥BC，故C选项正确，∴∠EAC=∠C，故B选项正确，∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误，故选D．
【点评】本题主要考查尺规作图中的基本作图——作一个角等于已知角．
2．（2017东台校级月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一直角边和直角边所对的一锐角 D．已知斜边和一直角边
【答案】B．
【解析】A、已知两条直角边和直角，可根据“SAS”作出唯一直角三角形，所以A选项错误；B、已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形，所以B选项之前；C、已知一直角边和直角边所对的一锐角，可根据“AAS”或“ASA”作出唯一直角三角形，所以B选项错误；D、已知斜边和一直角边，可根据“HL”作出唯一直角三角形，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】能不能作出唯一直角三角形要看所给条件是否满足全等三角形的判定条件，然后利用三角形全等的判定方法对各选项进行判定．
3．（2017湖北宜昌校级模拟）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论，①△EGH为等腰三角形；②△EGF为等边三角形；③四边形EGFH为菱形；④△EHF为等腰三角形，其中正确的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B．
【解析】根据线段垂直平分线的性质可得EG=EH=FH=GF，由此可得①正确，②错误，③正确，④正确．故答案选B．
【点评】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．
4．（2017石家庄校级模拟）已知∠BOP与OP上点C，点A（在点C的右边），李玲现进行如下操作：①以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB于点D，连接CD；②以点A为圆心，OC长为半径画弧MN，交OA于点M；③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交弧MN于点E，连接ME，操作结果如图所示，下列结论不能由上述操作结果得出的是（ ）
A．CD∥ME B．OB∥AE C．∠ODC=∠AEM D．∠ACD=∠EAP
【答案】D．
【解析】解：在△OCD和△AME中，
，
∴△OCD≌△AME（SSS），
∴∠DCO=∠EMA，∠O=∠OAE，∠ODC=∠AEM．
∴CD∥ME，OB∥AE．
故A、B、C都可得到．
∵△OCD≌△AME，
∴∠DCO=∠AME，则∠ACD=∠EAP不一定得出．
故选D．
【点评】结合尺规作图，可利用“SSS”证△OCD和△AME全等，再利用全等三角形的性质、平行线的判定即可得出答案.
5．（2018?曲靖二模）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
【答案】B
【解析】由作法可得OC=0′C′,OD=O′D′,CD=C′D′,根据“SSS”可证明△OCD≌△O′C′D′，
从而可得∠A′O′B′=∠AOB.
解：由题意得，
OC=O′C′,
OD=O′D′,
CD=C′D′,
∴△OCD≌△O′C′D′，
∴∠A′O′B′=∠AOB.
故选B.
【点评】本题考查了尺规作图原理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
6．（2018?邵阳考前押题）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（ ??）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧????????????? B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧?????????? D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解析】根据作一个角等于已知角的作图步骤即可得到答案．
解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧，
观察可知D选项符合，
故选D.
【点评】本题考查了尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握作图方法是解题的关键.
7．（2018·洛阳模拟）如图，在?ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AC交BC于点E．若∠BCD=80°，则∠AEC的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．140°
【答案】D
【解析】由AE平分∠BAD，AD∥BC，可推出：∠AEB＝∠BAE＝12∠BAD，再求出∠AEC＝180°－∠AEB，得到答案.
解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝12∠BAD，而∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB＝12∠BAD＝40°，故∠AEC＝180°－∠AEB＝180°－40°＝140°，故答案选D.
【点评】本题主要考查了角平分线的基本性质以及平行线的基本性质，解此题的要点在于推出∠BAE＝∠AEB＝12∠BAD.
8．（2018?北京二模）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】C
【解析】根据角平分线的作图方法可判断图1，根据图2的作图痕迹可知D为BC中点，不是角平分线，图3中根据作图痕迹可通过判断三角形全等推导得出AD是角平分线.
解：图1中，根据作图痕迹可知AD是角平分线；
图2中，根据作图痕迹可知作的是BC的垂直平分线，则D为BC边的中点，因此AD不是角平分线；
图3：由作图方法可知AM=AE，AN=AF，∠BAC为公共角，∴△AMN≌△AEF，
∴∠3=∠4，
∵AM=AE，AN=AF，∴MF=EN，又∵∠MDF=∠EDN，∴△FDM≌△NDE，
∴DM=DE，
又∵AD是公共边，∴△ADM≌△ADE，
∴∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
故选C.
【点评】本题考查了尺规作图，三角形全等的判定与性质等，熟知角平分的尺规作图方法、全等三角形的判定与性质是解题的关键.
二、填空题
9．（2017内蒙古牙克石市模拟）如图，在□ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为_____________．
【答案】2
【解析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
10．（2017河南郑州二模）如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交CD于点E，交AB于点F．若AB=5，BC=3，则△ADE的周长为__________．
【答案】8
【解析】解：由做法可知MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=5，AD=BC=3.
∴AD+DE+AE=AD+DE+CE=AD+CD=5+3=8，
∴△ADE的周长为8.
【点评】利用垂直平分线的性质即可求解.
11．（2017北京东城区一模）下面是“以已知线段为直径作圆”的尺规作图过程.
已知：线段AB.
求作：以AB为直径的⊙O.
作法：如图，
（1）分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径
作弧，两弧相交于点C，D；
（2）作直线CD交AB于点O；
（3）以O为圆心，OA长为半径作圆.
则⊙O即为所求作的.
请回答：该作图的依据是_______________________________________________．
【答案】垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义
【解析】解：垂直平分线的判定；垂直平分线的定义和圆的定义
【点评】本题主要考查垂直平分线的判定、性质有圆的定义，解题的关键在于正确理解垂直平分线的作法.
12．（2017浙江湖州校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是 ．
【答案】2.5
【解析】解： 由题意EF是线段AB的垂直平分线，
∴AD=DB，
Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵AD=DB，∠ACB=90°，
∴CD=AB=2.5
【点评】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．
13．（2018?襄阳适应性考试）如图，在△ABC中，D是AB上的一点，进行如下操作：①以B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点F；②再分别以D，F为圆心，BD长为半径作弧，两弧恰好相较于AC上的点E处；③连接DE，FE.若AB＝6，BC＝4，那么AD＝________．
【答案】3.6
【解析】根据作图可知四边形BFED是菱形,然后根据△ADE∽△ABC即可求出.
解：∵根据作法可知：
BD=BF=EF=DE,
∴四边形AEDF是菱形，
∵DE∥AC，
∴ADAB=DEBC
设AD=x,则DE=6-x,
∵AB=6，BC=4,
∴ x6=6?x4，
∴AD=3.6.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例.
14．（2018?益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线AE；④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC，则OC＝________.
【答案】2．
【解析】直接利用勾股定理的逆定理结合三角形内心的性质进而得出答案．
解：过点O作OD⊥BC，OG⊥AC，垂足分别为D，G，
由题意可得：O是△ACB的内心，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∴四边形OGCD是正方形，
∴DO=OG=3+4?52=1，
∴CO=2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了基本作图以及三角形的内心，正确得出OD的长是解题关键．
15．（2018?北京期末）下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．
以上作图的依据是：__________________________________________________________．
【答案】经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角为直角．
【解析】连接OC，OD后，可证∠OCP=∠ODP=90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PC，PD都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线． 故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
16．（2018?无锡模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，D为边AB中点．以B为圆心，BD为半径作弧，交BC于点E；以C为圆心，CD为半径作弧，交AC于点F．则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】16
【解析】连接CD,阴影部分的面积=S△ABC ?S扇形BDE?(S△ACD? S扇形CDF),即可求解.
解：连接CD,
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8， D为边AB中点，
∴∠B=∠A=45°，AB=82，
∴BD=AD=CD=42，
∴阴影部分的面积是：
12×8×8?45?π?422360?12×42×42?45?π?422360,
=16.
故答案为：16．
【点评】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键.
三、解答题
17．（2017天津河东区模拟）如图，已知平行四边形ABCD四个顶点在格点上，每个方格单位为1．
（1）平行四边形ABCD的面积为 ；
（2）在网格上请画出一个正方形，使正方形的面积等于平行四边形ABCD的面积．（尺规作图，保留作图痕迹）并把主要画图步骤写出来．
【答案】（1）6；（2）作图见解析.
【解析】解：（1）平行四边形ABCD的面积=3×2=6；
（2）①作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F；
②延长AD至G，使DG=DF；
③以AG为直径作半圆；
④延长FD交半圆于H，则DH即为所求的正方形边长；
⑤以DH为边长作正方形DHMN；如图所示
【点评】（1）用平行四边形面积公式求解；（2）用圆规作出正方形的边长即可，解题的关键在于用尺规构造一个斜边为2.5，一直角边为0.5的直角三角形.
18．（2017江苏盐城期中）如图，在△ABC中，
（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明过程）
（2）若∠BAC = 2∠C，在已作出的图形中，△ ∽△
（3）画出△ABC的高AE（使用三角板画出即可），若∠B=α，∠C=β，那么∠DAE= （请用含α、β的代数式表示）
【答案】（1）作图见解析；（2）ABC，DBA；（3）画高见解析，
【解析】解：（1）如图，
以A为圆心，任意长为半径化弧，分别交AB，AC于E，F，
然后分别以E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于P，
作射线AP，
AD即为所求．
（2）△ABD∽△CBA理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠BAC=2∠C，
∴∠BAD=∠BCA．
又∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA．
（3）画图如下：
∠DAE=
【点评】（1）考查了尺规作图能力；（2）在△ABD与△CBA中，易证∠BAD=∠BCA，又∠B公共，根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出△BAD∽△BCA．（3）使用三角板画出即可.
19．（2018?鞍山模拟）如图，已知△ABC中，AB=AC，
（1）请用尺规作图的方法找出线段BC的中点，
（2）若AB边长为6，∠B=30°，求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）93．
【解析】解：（1）如图所示：
；
（2）如图所示，作AD⊥BC于点D：
∵AB边长为6，∠B=30°，
∴AD=3，
∴BD=33，则BC=63，
∴△ABC的面积为：12×63×3=93．
【点评】熟记常用的三角函数可以提升解题的速度和正确率.
20．（2018?衡水模拟）如图，在直角坐标系中，先描出点A（1，3），点B（4，1）
（1）用尺规在x轴上找一点C，使AC+BC的值最小（保留作图痕迹）；
（2）用尺规在x轴上找一点P，使PA=PB（保留作图痕迹）．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.
【解析】（1）仿照“将军饮马”问题解决；
（2）作AB的中垂线，交x轴处即为点P.
解：（1）如图所示，点C即为所求；
（2）如图所示，点P即为所求.
