课下能力提升(一) 分类计数原理与分步计数原理
一、填空题
1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．
2．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种．
3．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有________种．
4．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)
5．从集合A＝{1，2，3，4}中任取2个数作为二次函数y＝x2＋bx＋c的系数b，c，且b≠c，则可构成________个不同的二次函数．
二、解答题
6．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列有多少个？
7．已知a∈{3，4，6}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
8．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．
(1)从中任取一本，有多少种不同的取法？
(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？
答案
1．解析：由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．
答案：8
2．解析：分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师选有3种选法；第三步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．
答案：9
3．解析：第1名学生有4种选报方法；第2、3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.
答案：64
4．解析：分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)，根据分类计数原理得：共有方案48＋48＝96(种)．
答案：96
5．解析：分成两个步骤完成：第一步选出b，有4种方法；第二步选出c，由于b≠c，则有3种方法．根据分步计数原理得：共有4×3＝12个不同的二次函数．
答案：12
6．解：当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个．
7．解：按a，b，r取值顺序分步考虑：
第一步：a从3，4，6中任取一个数，有3种取法；
第二步：b从1，2，7，8中任取一个数，有4种取法；
第三步：r从8、9中任取一个数，有2种取法；
由分步计数原理知，表示的不同圆有
N＝3×4×2＝24(个)．
8．解：(1)从书架上任取一本书，有两类方法：第一类方法是从上层取一本数学书，有6种方法；第二类方法是从下层取一本语文书，有5种方法．根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是6＋5＝11.
答：从书架上任取一本书，有11种不同的取法．
(2)从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种取法；第二步取一本语文书，有5种取法．根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是6×5＝30.
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的取法．
课下能力提升(七) 计数应用题
一、填空题
1．甲组有男同学5名，女同学3名，乙组有6名男同学，2名女同学，从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有________种．
2．某公司招聘了8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有________种．
3．从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有________种．
4．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有________种．
5．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________种．
二、解答题
6．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？
7．现有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，
(1)共有几种放法？
(2)若恰有1个空盒，有几种放法？
(3)若恰有2个盒子不放球，有几种放法？
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a、b、c是在集合{－3，－2，－1，0，1，2，3，4}中选取的3个不同的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？
答案
1．解析：第一类，选出的1名女生出自甲组，选法为CCC＝225(种)；第二类，1名女生出自乙组，选法为CCC＝120(种)．共有225＋120＝345(种)．
答案：345
2．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，由分步计数原理得共有2CAC＝36(种)分配方案．
答案：36
3．解析：分步完成：第一步，从甲、乙以外的8种种子中选1种放入1号瓶内；第二步，从剩下的9种种子中选5种放入余下的5个瓶子内；故不同的放法种数为CA＝120 960(种)．
答案：120 960
4．解析：先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步计数原理可知共有不同的安排方法CA＝120种．
答案：120
5．解析：根据题意，每级台阶最多站2人，所以，分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共有CA种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A种不同的站法．根据分类计数原理，得共有CA＋A＝336种不同的站法．
答案：336
6．解：因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C×2×2×2＝160(种)．
7．解：(1)44＝256(种)．
(2)先从4个小球中取2个放在一起，有C种不同的取法，再把取出的两个小球与另外2个小球看作三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A种不同的放法．根据分步计数原理，共有CA＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C种，再放到2个小盒中有A种放法，共有CA种放法；
第二类，2个盒子中各放2个小球有CC种放法．故恰有2个盒子不放球的放法共有CA＋CC＝84种．
8．解：由图形特征分析得知，若a>0，开口向上，坐标原点在抛物线内部?f(0)＝c<0，若a<0，开口向下，坐标原点在抛物线内部?f(0)＝c>0；所以对于抛物线y＝ax2＋bx＋c来讲，坐标原在其内部?af(0)＝ac<0.确定抛物线时，可先定一正一负的a和c，再确定b.故满足题设的抛物线共有CCAC＝144条．
课下能力提升(三) 排列与排列数公式
一、填空题
1．下列问题中：
①10本不同的书分给10名同学，每人一本；
②10位同学互通一次电话；
③10位同学互通一封信；
④10个没有任何三点共线的点构成的线段．
其中属于排列问题的是________．(将正确序号填上)
2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．(填序号)
①甲乙，乙甲，甲丙，丙甲；
②甲乙丙，乙丙甲；
③甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙；
④甲乙，甲丙，乙丙．
3．已知A＝132，则n＝________．
4．从5个人中选出3人站成一排，则不同的排法有________种．
5．记S＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S的个位数字是________．
二、解答题
6．计算：(1)2A－4A；
(2).
7．解方程A＝140A.
8．用1，2，3，4四个数字排成三位数，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)求这个数列共有多少项．
答案
1．解析：①和③中两个元素交换顺序，结果发生变化，所以①和③是排列问题．
答案：①③
2．解析：这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种站法，故③正确．
答案：③
3．解析：A＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，
又因为n∈N*，所以n＝12.
答案：12
4．解析：从5个人中选出3人站成一排，共有A＝5×4×3＝60种不同的排法．
答案：60
5．解析：1！＝1，2！＝2，3！＝6，4！＝24，5！＝120，而6！＝6×5！，
7！＝7×6×5！，…，99！＝99×98×…×6×5！，所以从5!
开始到99！，个位数字均为0，所以S的个位数字为3.
答案：3
6．解：(1)原式＝2×7×6×5×4－4×6×5×4×3×2
＝6×5×4(2×7－4×6)＝120(14－24)＝－1 200.
(2)原式＝＝4×14－12＝44.
7．解：由题意得∴x≥3.
根据排列数公式，原方程化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，x≥3，两边同除以4x(x－1)，
得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0.
解得x＝3或x＝5(因为x为整数，故应舍去)．
所以x＝3.
8．解：(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一位都有4种排法，则根据分步计数原理共有4×4×4＝64项．
课下能力提升(九) 二项式系数的性质及应用
一、填空题
1．已知的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．
2．若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．
3．若展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.
4．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．
5．若C＝C(n∈N*)且(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________．
二、解答题
6．二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和．
7．求(1－x)8的展开式中
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
8．求证：32n＋2－8n－9能被64整除．
答案
1．解析：由题设，得C＋×C＝2××C，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，
则的展开式的通项为
Tr＋1＝Cx8－r，
令r＋1＝4，得r＝3，
则第四项为T4＝Cx5＝7x5.
答案：7x5
2．解析：令x＝1，2n＝64?n＝6.
由Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－
＝(－1)rC36－rx3－r，令3－r＝0?r＝3.
所以常数项为－C33＝－20×27＝－540.
答案：－540
3．解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10.
答案：10
4．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：
Tr＋1＝C210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．
所以a8＝C22(－1)8＝180.
答案：180
5．解析：由C＝C，得3n＋1＝n＋6(无整数解，舍去)或3n＋1＝23－(n＋6)，解得n＝4，
问题即转化为求(3－x)4的展开式中各项系数和的问题，
只需在(3－x)4中令x＝－1，
即得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝[3－(－1)]4＝256.
答案：256
6．解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，①
令x＝1，y＝－1，
得a0－a1＋a2－…－a9＝59，②
将①②两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，此即为所有奇数项系数之和．
7．解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为
T5＝C(－x)4＝70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．
即第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.
8．证明：∵32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9
＝(1＋8)n＋1－8n－9
＝C＋C·8＋C·82＋C·83＋…＋C·8n＋
C·8n＋1－8n－9
＝1＋(n＋1)·8＋C·82＋C·83＋…＋C·8n＋8n＋1－8n－9
＝C·82＋C·83＋…＋C·8n＋8n＋1
＝82(C＋C·8＋…＋C8n－2＋8n－1)，
又∵C＋C·8＋…＋C8n－2＋8n－1是整数，
∴32n＋2－8n－9能被64整除．
课下能力提升(二) 分类计数原理与分步计数原理的应用
一、填空题
1．用1，2，3，4可组成________个三位数．
2．若在登录某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX(如2a8t)，第一位和第三位分别为0到9这10个数字中的一个，第二位和第四位分别为a到z这26个英文字母中的一个，则这样的验证码共有________个．
3．集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是________．
4．某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为________．
5. 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有________种．
二、解答题
6．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．
(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？
(3)若要选出不同年级的两人参加市里组织的活动，有多少种不同的选法？
7．用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
8.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在1，2号，B球必须放在与A球相邻(有公共边)的盒子中，求不同的放法有多少种．
答案
1．解析：组成三位数这件事可分为三步完成：第一步，确定百位，共有4种选择方法；第二步，确定十位，共有4种选择方法；第三步，确定个位，共有4种选择方法，由分步计数原理可知，可组成4×4×4＝64个三位数．
答案：64
2．解析：要完成这件事可分四步：第一步，确定验证码的第一位，共有10种方法；第二步，确定验证码的第二位，共有26种方法；第三步，确定验证码的第三位，共有10种方法；第四步，确定验证码的第四位，共有26种方法．由分步计数原理可得，这样的验证码共有10×26×10×26＝67 600个．
答案：67 600
3．解析：当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7；当x≠2时，x＝y，点的个数为7×1＝7，则共有14个点．
答案：14
4．解析：每封电子邮件都有3种不同的发法，由分步计数原理可得，共有35＝243种不同的发送方法．
答案：243
5．解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，故不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．
答案：480
6．解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．
(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步计数原理，共有5×6×4＝120种选法．
(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．
7．解：由于0不可在最高位，因此应对它进行单独考虑．
(1)百位的数字有9种选择，十位和个位的数字都各有10种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×10×10＝900 个．
(2)由于数字不可重复，可知百位的数字有9种选择，十位的数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有9×9×8＝648个．
(3)百位只有4种选择，十位可有9种选择，个位数字有8种选择，由分步计数原理知，适合题意的三位数共有4×9×8＝288个．
8．解：根据A球所在位置分三类：
(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；
(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C，D，E，则根据分步计数原理得，有3×2×1＝6种不同的放法；
(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C，D，E，有6种不同的放法，根据分步计数原理得，有3×3×2×1＝18种不同的放法．
综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6＋6＋18＝30种．
课下能力提升(五) 组合与组合数公式
一、填空题
1．给出下面几个问题，其中是组合问题的是________．
(1)从1，2，3，4中选出2个构成的集合；
(2)由1，2，3组成两位数的不同方法；
(3)由1，2，3组成无重复数字的两位数．
2．已知C＝10，则n＝________．
3．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有________人．
4．若C＝C，则x＝________．
5．从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________．
二、解答题
6．列出从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合．
7．计算：A＋A＋A＋…＋A.
8．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女老师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
答案
1．解析：由题意知：(1)与顺序没有关系；(2)(3)与顺序有关，故是排列问题．
答案：(1)
2．解析：C＝＝10，解之得n＝5.
答案：5
3．解析：设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2人或3人．
答案：2或3
4．解析：∵C＝C，
∴x＝3x－8或x＋(3x－8)＝28，
即x＝4或x＝9.
答案：4或9
5．解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝.
答案：
6．解：从5个元素A，B，C，D，E中取出2个元素的所有组合有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个．
7．解：原式＝CA＋CA＋C·A＋…＋C·A
＝(C＋C＋C＋…＋C)·A
＝(C＋C＋C＋C＋…＋C－C)·A
＝(C＋C＋C＋…＋C－C)·A
＝(C＋C＋…＋C－C)·A
…
＝(C－C)·A
＝2C－2＝333 298.
8．解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有C＝＝45种选法．
(2)可把问题分两类情况：
第一类，选出的2名是男教师有C种方法；
第二类，选出的2名是女教师有C种方法．
根据分类计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同的选法．
(3)分步：首先从6名男教师中任选2名，有C种选法；再从4名女教师中任选2名，有C种选法；根据分步计数原理，所以共有C·C＝90种不同的选法．
课下能力提升(八) 二项式定理
一、填空题
1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．
2．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．
3．二项式的展开式中的常数项为________．
4．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．
5.的展开式中有理项共有________项．(用数作答)
二、解答题
6．求的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？
7．若展开式的常数项为60，则常数a的值．
8．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．
答案
1．解析：第3项的二项式系数为C＝＝45.
答案：45
2．解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C＝15.
答案：15
3．解析：∵Tr＋1＝C(－1)rx15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.
故展开式中的常数项为C(－1)3＝－10.
答案：－10
4．解析：a＝C，b＝C，又∵a∶b＝3∶1，
∴＝＝，即＝3，解得n＝11.
答案：11
5．解析：由Tr＋1＝C(x2)9－r＝Cx18－3r, 依题意需使18－3r为整数，故18－3r≥0，r≤6，即r＝0，1，2，3，4，5，6共7项．
答案：7
6．解：∵T4＝C(－2y3)3＝Cx2(－2)3y9＝－280x2y9，
∴第四项的二项式系数为C＝35，第四项的系数为－280.
7．解：二项式展开式的通项公式是
Tr＋1＝Cx6－rx－2r＝Cx6－3r.
当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知Ca＝60，解得a＝4.
8．解：展开式的通项公式为
Tr＋1＝C·＝Cx.
由题意知，C，C，C成等差数列，
则C＝C＋C，即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
∴Tr＋1＝Cx4－r.令4－r＝1，得r＝3.
∴含x项的系数为C＝7，二项式系数为C＝56.
课下能力提升(六) 组合的应用
一、填空题
1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．
2．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．
3．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．
4. 如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．
5．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．
二、解答题
6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．
(1)共有多少种不同的取法？
(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？
7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．
(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？
答案
1．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：
第1步，选女工，有C种选法；第2步，选男工，有C种选法．
故有C·C＝3×21＝63种不同选法．
答案：63
2．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CC种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有CC＋C＝16(种)．
答案：16
3．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C＝＝4 845个．
答案：4 845
4．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C×C×C×C＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．
答案：12
5．解析：先在编号为2，3的盒内放入1，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C＝120种方法．
答案：120
6．解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C＝126(种)．
(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法．所以，共有C·C＝70种取法．
7．解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C＝816种．
(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C＝8 568(种)．
(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C·C种选法；甲、乙两人都参加，则有C种选法．
故共有C·C＋C＝6 936种选法．
8．解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有
C×C×C×C＝1 680(种)
课下能力提升(十一) 超几何分布
一、填空题
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．
2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________．
3．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋内各取出1个球，设取出的白球个数为X，则P(X＝1)＝________．
4．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则当X取________时，对应的概率为.
5．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．
二、解答题
6．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有3张A的概率．
7．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布．
答案
1．解析：设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得P(X＝1)＝＝＝.
答案：
2．解析：P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)
＝＋＋＝.
答案：
3．解析：P(X＝1)＝＝.
答案：
4．解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好生中选取了3名”．
答案：3
5．解析：用X表示中奖票数，
P(X≥1)＝＋>0.5.
解得n≥15.
答案：15
6．解：设抽出的5张牌中所包含的A牌的张数为X，则X服从超几何分布，其分布列为P(X＝r)＝，r＝0，1，2，3，4.所以随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
所以抽出的5张牌中至少有3张A的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋≈0.001 75.
7．解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有r件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有r件一等品的概率为P(X＝r)＝，r＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列是
X＝r
0
1
2
3
P(X＝r)
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而
P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
8．解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的概率分布为
X＝k
0
1
P(X＝k)
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的概率分布为
Y＝k
0
10
20
50
60
P(Y＝k)
课下能力提升(十七) 正态分布
一、填空题
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．
2．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．
3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．
4. 右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________．
5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．
二、解答题
6. 如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．
7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
8．若随机变量X～N(0，1)，查表求：
(1)P(0(3)P(|X|<0.5)．
答案
1．解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，
当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.
答案：0
2．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，
∴＝1.∴a＝1.
答案：1
3．解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，
∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.
∴P(X＜－2)＝0.023.
∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.
答案：0.954
4．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：① ② ③
5．解析：用X表示此中学数学高考成绩，
则X～N(100，102)，
∴P(X>120)＝1－P(X≤120)＝1－φ≈0.023，
∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.
答案：23
6．解：由图易知，该正态曲线关于x＝72对称，最大值为，所以μ＝72.再＝得σ＝10，
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.
7．解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60，100)．
则μ＝60，σ＝10.
(1)P(30∴P(X>90)＝[1－P(30∴学生总数为：＝10 000(人)．
(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.
设分数线为x.
则P(X≥x0)＝0.022 8.
∴P(120－x0又知P(60－2×10∴x＝60＋2×10＝80(分)．
即受奖学生的分数线是80分．
8．解：(1)P(0＝0.989 6－0.5＝0.489 6.
(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0＝P(X≤1.38)－P(X≤0)
＝0.916 2－0.5＝0.416 2.
(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5＝P(－0.5＝2P(0＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]
＝2(0.691 5－0.5)
＝2×0.191 5＝0.383 0.
课下能力提升(十三) 事件的独立性
一、填空题
1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．
2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．
5．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．
二、解答题
6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
(1)甲、乙两地都降雨的概率；
(2)甲、乙两地都不降雨的概率；
(3)其中至少一个地方降雨的概率．
7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？
(2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.
(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
答案
1．解析：由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件．
答案：相互独立
2．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．
据题意可知P(A)＝＝，P(B)＝＝，
故P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
答案：
3．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
答案：
4．解析：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.
答案：0.88
5．解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P(A)＝.设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．
P(B)＝1－P(B)＝1－＝.
所以连过前两关的概率为：P(A)P(B)＝.
答案：
6．解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为
P1＝0.2×0.3＝0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为
P2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56.
(3)至少一个地方降雨的概率为
P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.
7．解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C.由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A，B，C是相互独立事件．
(1)由已知得P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.
解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
(2)记A的对立事件为，B的对立事件为，C的对立事件为，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D，则P()＝0.8，P()＝0.75，P()＝0.5，
于是P(D)＝1－P()
＝1－P()P()P()＝0.7.
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
8．解：(1)设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件Bi表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1，2)．
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)
＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．
由事件的独立性得
P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
课下能力提升(十九) 回归分析
一、填空题
1．下列命题中正确的是________(填所有正确命题的序号)．
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的线性回归方程可能是没有意义的；
⑤两个变量的线性相关关系可以通过线性回归方程，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．
2．已知x，y的取值如下表：
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y ∧＝0.95x＋a ∧，则a ∧＝________．
3．从某大学随机选取8名女大学生，其身高x(cm)和体重y(kg)的线性回归方程为y ∧＝0.849x－85.712，则身高172 cm的女大学生，由线性回归方程可以估计其体重为________．
4．有下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
⑤学生与其学号之间的关系．
其中有相关关系的是____________．(填序号)
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得线性回归方程y＝b ∧x＋a ∧中的b ∧为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________万元．
二、解答题
6．下面是水稻产量与施肥量的一组观测数据：
施肥量
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量
320
330
360
410
460
470
480
(1)将上述数据制成散点图；
(2)你能从散点图中发现施肥量与水稻产量近似成什么关系吗？
7．在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为
1
2
3
4
5
价格x
1.4
1.6
1.8
2
2.2
需求量y
12
10
7
5
3
已知∑5,i＝1xiyi＝62，∑5,i＝1x＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)
8．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩：
数学(x)
88
83
117
92
108
100
112
物理(y)
94
91
108
96
104
101
106
(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；
(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．
答案
1．解析：显然①是错误的；而②中，圆的周长与圆的半径的关系为C＝2πR，是一种确定性的函数关系．
答案：③④⑤
2．解析：∵＝2，＝4.5.又回归直线恒过定点(，)，代入得a ∧＝2.6.
答案：2.6
3．解析：y ∧＝0.849×172－85.712＝60.316.
答案：60.316 kg
4．解析：由相关关系定义分析．
答案：①③④
解析：样本中心点是(3.5，42)，
答案：65.5
6．解：(1)散点图如下：
(2)从图中可以发现施肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施肥量和水稻产量近似成线性正相关关系．
7.解：(1)散点图如下图所示：
(2)因为x＝×9＝1.8，y＝×37＝7.4，
8．解：(1)∵＝100＋＝100；
＝100＋＝100；
∴σ＝＝142，σ＝，
从而σ>σ，∴物理成绩更稳定．
(2)由于x与y之间具有线性相关关系，因为
xiyi＝70 497，x＝70 994，
所以根据回归系数公式得到
当y＝115时，x＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．
建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.
课下能力提升(十二) 条件概率
一、填空题
1．已知P(AB)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝________．
2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
3．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．
4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“三个人去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．
5．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．
二、解答题
6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？
7．任意向x轴上(0，1)这一区间内投掷一个点，问
(1)该点落在区间内的概率是多少；
(2)在(1)的条件下，求该点落在内的概率．
8．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
答案
1．解析：P(A|B)＝＝＝.
答案：
2．解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
3．解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
4．解析：由题意知，P(B)＝＝，P(AB)＝＝.
∴P(A|B)＝＝＝.
答案：
5．解析：设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由AB＝B，
所以P(AB)＝P(B)．
所以P(B|A)＝＝＝＝0.5.
答案：0.5
6．解：设A＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，
P(A)＝＝，即这个代表恰好在第一小组里的概率是.
P(A|B)＝＝＝，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为.
7．解：由题意可知，任意向(0，1)这一区间内投掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的．
令A＝，由几何概型的计算公式可知．
(1)P(A)＝＝.
(2)令B＝，
则AB＝，
故在A的条件下B发生的概率为
P(B|A)＝＝＝.
8．解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，P(BA)＝＝，
P(B|A)＝＝，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
课下能力提升(十五) 离散型随机变量的均值
一、填空题
1．已知随机变量X的概率分布为
X
－2
－1
0
1
2
P
m
则E(X)＝________．
2．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝________．
3．考察一种耐高温材料的一个重要指标是看其是否能够承受600度的高温．现有一种这样的材料，已知其能够承受600度高温的概率是0.7，若令随机变量X＝则X的均值为________．
4．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
5. (湖北高考改编)如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝________．
二、解答题
6．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分，2分，3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分，2分，3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是哪一个？
7．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的均值．
8．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．
(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；
(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的均值．
答案
1．解析：由随机变量分布列的性质得，＋＋＋m＋＝1，解得m＝，
于是，X的概率分布为
X
－2
－1
0
1
2
P
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
答案：－
2．解析：∵X～B(n，0.6)，E(X)＝3，
∴0.6n＝3，即n＝5.
∴P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.
答案：0.076 8
3．解析：依题意X服从两点分布，其概率分布为
X
1
0
P
0.7
0.3
所以X的均值是E(X)＝0.7.
答案：0.7
4．解析：设取得次品数为X(X＝0，1，2)，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
答案：
5．解析：X的取值为0，1，2，3且P (X＝0)＝，
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
6．解：设这次射击比赛中战士甲得X分，战士乙得Y分，则它们的概率分布如下：
X
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
Y
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式，得
E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，
E(Y)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
∵E(Y)＞E(X)，
∴这次射击中战士乙得分的均值较大，即获胜的希望也较大．
7．解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(X＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×0.4×0.6＝0.3，
P(X＝2)＝C×0.52×0.62＋CC×0.52×0.4×0.6＋C×0.52×0.42＝0.37，
P(X＝3)＝C×0.52×0.4×0.6＋CC×0.52×0.42＝0.2，
P(X＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到X的概率分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以E(X)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
8．解：(1)记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意P(A)＝，
设在x m处击中目标的概率为P(x)，
则P(x)＝，且＝，
∴k＝5 000，即P(x)＝，
∴P(B)＝＝，
P(C)＝＝，
P(D)＝××＝.
由于各次射击都是相互独立的，
∴该射手在三次射击中击中目标的概率
P＝P(A)＋P(·B)＋P(··C)
＝P(A)＋P()·P(B)＋P()·P()·P(C)
＝＋·＋··＝.
(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X＝3)＝，
P(X＝2)＝×＝，P(X＝1)＝××＝，
P(X＝0)＝.
所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝＝.
课下能力提升(十八) 独立性检验
一、填空题
1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)
2．若两个研究对象X和Y的列联表为：
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则X与Y之间有关系的概率约为________．
3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)
①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．
②从独立性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病．
③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
④以上三种说法都不正确．
4．调查者询问了72名男女大学生在购买食品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：
看营养说明
不看营养说明
总计
男大学生
28
8
36
女大学生
16
20
36
总计
44
28
72
从表中数据分析大学生的性别与看不看营养说明之间的关系是________．(填“有关”或“无关”)
5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
合计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
合计
88
80
168
则由表可知大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．
二、解答题
6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：
成绩优秀
成绩较差
合计
兴趣浓厚的
64
30
94
兴趣不浓厚的
22
73
95
合计
86
103
189
学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？
7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.
种子灭菌
种子未灭菌
合计
有黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
合计
76
384
460
试按照原试验目的作统计推断．
8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．
答案
1．解析：由χ2值可判断有关．
答案：有关
2．解析：因为χ2＝≈18.8，查表知P(χ2≥10.828)≈0.001.
答案：99.9%
3．解析：由独立性检验的意义可知，③正确．
答案：③
4．解析：提出假设H0：大学生的性别与看不看营养说明无关，由题目中的数据可计算χ2＝≈8.42，因为当H0成立时，P(χ2≥7.879)≈0.005，这里的χ2≈8.42>7.879，所以我们有99.5%的把握认为大学生的性别与看不看营养说明有关．
答案：有关
5．解析：由公式得χ2＝≈11.377>10.828，所以我们有99.9%的把握说，多看电视与人变冷漠有关．
答案：99.9%
6．解析：提出假设H0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．
由公式得χ2的值为
χ2＝≈38.459.
∵当H0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，
而这里χ2≈38.459>10.828，
∴有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．
7．解：提出假设H0：种子是否灭菌与有无黑穗病无关．
由公式得，χ2＝≈4.804.
由于4.804>3.841，即当H0成立时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的．
8．解：2×2列联表如下
合格品数
次品数
合计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场
493
17
510
合计
1 475
25
1 500
提出假设H0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．
根据χ2公式得
χ2＝≈13.097.
因为H0成立时，χ2>10.828的概率约为0.001，
而这里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．
课下能力提升(十六) 离散型随机变量的方差和标准差
一、填空题
1．已知X的概率分布为
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
则V(X)＝________．
2．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽的次品件数记为X，则V(X)的值为________．
3．已知X～B(n，p)，且E(X)＝7，V(X)＝6，则p＝________.
4．已知随机变量X的概率分布为
X
0
1
x
P
p
且E(X)＝1.1，则V(X)的值为________．
5．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．
二、解答题
6．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．
7．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为：
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
8．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．
答案
1．解析：∵a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
∴E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.
∴V(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81.
答案：0.81
2．解析：由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B，
故V(X)＝np·(1－p)＝4××＝.
答案：
3．解析：∵E(X)＝np＝7，V(X)＝np(1－p)＝6，
∴1－p＝，即p＝.
答案：
4．解析：由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.
又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1.1，解得x＝2，可得V(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：0.49
5．解析：设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即
X
0
1
P
0.3
0.7
所以V(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.
答案：0.21
6．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6，9，12.
X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，
则P(X＝6)＝＝.
X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，
则P(X＝9)＝＝.
X＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，
则P(X＝12)＝＝.
所以X的分布列如下表：
X
6
9
12
P
所以E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
V(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×
＝3.36.
7． 解：甲保护区违规次数X的均值和方差为
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，
V(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的均值和方差为
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，
V(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，V(X)＞V(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．相对而言，乙保护区的管理较好一些．
8．解：先求X的分布列．
X＝0，1，2，3.
X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，
所以P(X＝0)＝＝；
X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，
所以P(X＝1)＝＝；
X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；
X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，
所以P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布如下：
X
0
1
2
3
P
0
所以E(X)＝0×＋1×＋2×0＋3×
＝＋＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×0＋(3－1)2×＝1.
课下能力提升(十四) 二项分布
一、填空题
1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．
2．下列说法正确的是________．
①某同学投篮命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5红球5白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
3．若X～B，则P(X≥2)＝________．
4．已知一个射手每次击中目标的概率都是，他在4次射击中，击中两次目标的概率为________，刚好在第二、三这两次击中目标的概率为________．
5．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1，0)的概率是________．
二、解答题
6．某一中学生心理咨询中心的服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该咨询中心，且每人只拨打一次，
(1)求他们三人中恰有1人成功咨询的概率；
(2)求他们三人中成功咨询的人数X的概率分布．
7．某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；
(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
8．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是.
(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的概率分布；
(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．
答案
1．解析：P＝C＝.
答案：
2．解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
3．解析：P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝.
答案：
4．解析：刚好击中两次目标的概率为C＝.
在第二、三这两次击中目标的概率为·＝.
答案：
5．解析：依题意得，质点P移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，
因此所求的概率等于C＝.
答案：
6．解：每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是.
(1)三人中恰有1人成功咨询的概率为
P＝C××＝.
(2)由题意知，成功咨询的人数X是一随机变量，
且X～B.
则P(X＝k)＝C，k＝0，1，2，3.
因此X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
7．解：(1)由题设知，X的可能取值为10，5，2，－3，且
P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，
P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，
P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，
P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.
由此得X的概率分布为
X
－3
2
5
10
P
0.02
0.08
0.18
0.72
(2)设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4－n件．
由题设知4n－(4－n)≥10，解得n≥.
又n∈N，得n＝3，或n＝4.
所以P＝C×0.83×0.2＋C×0.84＝0.819 2.
故所求概率为0.819 2.
8．解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.
依条件可知，X～B，
P(X＝k)＝C(k＝0，1，2，3，4，5，6)．
X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则
P(A)＝C＋C＋＝.
故教师甲在一场比赛中获奖的概率为.
课下能力提升(十) 随机变量及其概率分布
一、填空题
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填写序号)
2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验结果是________．
3．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p
p
则p的值为________．
4．设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝________．
5．随机变量X的概率分布规律P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，其中c是常数)，则P的值为______．
二、解答题
6．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的概率分布；
(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的概率分布．
7．一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的2倍，三级品是二级品的，从这批产品中随机抽取一个检验质量，其级别为随机变量X，求X的概率分布及P(X>1)的值．
8．袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分．求所得分数X的概率分布列．
答案
1．解析：根据随机变量的概念可知，①②③④都正确．
答案：①②③④
2．解析：点数之和为5，一颗3点，一颗2点，或一颗1点，一颗4点．
答案：一颗3点，一颗2点或一颗1点，一颗4点
3．解析：∵p＋＋＋p＝1，∴p＝.
答案：
4．解析：∵随机变量X等可能取1，2，3，…，n，∴取到每个数的概率均为.
∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.
答案：10
5．解析：由P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝1，
得＋＋＋＝1.
∴c＝1，
∴c＝.
P＝P(X＝1)＋P(X＝2)
＝＋＝＋＝＝.
答案：
6．解：(1)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，故X的概率分布如下表：
X
0
1
P
7．解：依题意得P(X＝1)＝2P(X＝2)，P(X＝3)＝P(X＝2)．
由于概率分布的总和等于1，故
P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝P(X＝2)＝1.
所以P(X＝2)＝.随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
P
所以P(X>1)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
8．解：得分X的取值为－3，－2，－1，0，1，2，3.
X＝－3时表示取得3个球均为红球，
∴P(X＝－3)＝＝；
X＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，
∴P(X＝－2)＝＝；
X＝－1时表示取得2个红球和1个白球或1个红球和2个黑球，
∴P(X＝－1)＝＝；
X＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
∴P(X＝0)＝＝；
X＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，
∴P(X＝1)＝＝；
X＝2时表示取得2个白球和1个黑球，
∴P(X＝2)＝＝；
X＝3时表示取得3个白球，
∴P(X＝3)＝＝；
∴所求概率分布列为
X
－3
－2
－1
0
1
2
3
P
课下能力提升(四) 排列的应用
一、填空题
1．由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为________．(用数字作答)
2．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．(用数字作答)
3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有________种．
4．由数字1，2，3与符号“＋”和“－”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________．
5．将数字1，2，3，4，5，6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1，2，3)表示第i行中最大的数，则满足N1二、解答题
6．7名同学排队照相，
(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？
7．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：
(1)共能组成多少个不同的二次函数？
(2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多少个？
8．用0，1，2，3，4，5这六个数字，
(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
(2)能组成多少个比1 325大的四位数？
答案
1．解析：A＝8×7＝56个．
答案：56
2．解析：先排甲、乙之外的3人，有A种排法，然后将甲、乙两人插入形成的4个空中，有A种排法，故共有A·A＝72(种)排法．
答案：72
3．解析：根据题目的条件可知，A，B必须相邻且B在A的右边，所以先将A，B两人捆起来看成一个人参加排列，即是4个人在4个位置上作排列，故不同的排法有A＝4×3×2×1＝24(种)．
答案：24
4．解析：符号“＋”和“－”只能在两个数之间，这是间隔排列，排法共有AA＝12种．
答案：12
5．解析：由题意知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为AA＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为AA＝4，由分步计数原理知满足条件的排列个数是240.
答案：240
6．解：(1)分两步，先排前排，有A种排法，再排后排，有A种排法，符合要求的排法共有A·A＝5 040种；
(2)第一步安排甲，有A种排法；第二步安排乙，有A种排法，第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上，有A种排法．由分步计数原理得，符合要求的排法共有A·A·A＝1 440种．
7．解：(1)法一：(直接法——优先考虑特殊位置)
∵a≠0，
∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A种，
∴共有7A＝294个不同的二次函数．
法二：(直接法——优先考虑特殊元素)a，b，c中不含0时，有A个，a，b，c中含有0时，有2A个，故共有A＋2A＝294个不同的二次函数．
法三：(间接法)共可构成A个函数，其中a＝0时有A个均不符合要求，从而共有A－A＝294个不同的二次函数．
(2)(直接法)依题意b＝0，所以共有A＝42个符合条件的二次函数．
8．解：(1)五位数中为5的倍数的数可分两类：
第1类：个位上是0的五位数有A个；
第2类：个位上是5的五位数有AA个．
所以满足条件的五位数有A＋AA＝216(个)．
(2)比1 325大的四位数可分三类：
第1类：千位上是2，3，4，5时，共有AA个；
第2类：千位上是1，百位上是4，5时，共有AA个；
第3类：千位上是1，百位上是3，十位上是4，5时，共有AA个．
由分类计数原理得，比1 325大的四位数共有AA＋AA＋AA＝270(个)．
