课件38张PPT。第1课时 分类计数原理与分步计数原理第1章 1.1 两个基本计数原理学习目标
1.理解分类计数原理与分步计数原理.
2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 分类计数原理第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．思考1 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？答案答案 两类，即乘飞机、坐火车．思考2 这几类方案中各有几种方法？答案答案 第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案答案 共有7＋6＝13(种)不同的方法．(1)完成一件事有两类不同的方式，在第1类方式中有m种不同的方法，在第2类方式中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(2)完成一件事有n类不同的方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝ 种不同的方法．梳理m＋nm1＋m2＋…＋mn思考1 知识点二 分步计数原理该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？答案答案 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车．思考2 完成每一个步骤各有几种方法？答案答案 第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．思考3 该志愿者从上海到天津共有多少种不同的方法？答案答案 共有7×6＝42(种)不同的方法．梳理(1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(2)完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝ 种不同的方法．m×nm1×m2×…×mn题型探究例1 某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有29人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人，从中任选1人去献血，共有多少种不同的选法？解 从中选1人去献血的方法共有4类．
第一类：从O型血的人中选1人去献血，共有29种不同的方法；
第二类：从A型血的人中选1人去献血，共有7种不同的方法；
第三类：从B型血的人中选1人去献血，共有9种不同的方法；
第四类：从AB型血的人中选1人去献血，共有3种不同的方法．
利用分类计数原理，可得选1人去献血共有29＋7＋9＋3＝48(种)不同的选法．类型一 分类计数原理解答(1)应用分类计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．
(2)利用分类计数原理解题的一般思路反思与感悟解析 当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；
当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；
当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10(个)有序自然数对．跟踪训练1 若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对(x，y)共有___个．答案解析10例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？(各位上的数字允许重复)解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000(个)四位数的号码．类型二 分步计数原理解答引申探究
若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；
第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；
第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；
第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.
根据分步计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5 040(个)四位数的号码．解答(1)应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
(2)利用分步计数原理解题的一般思路
①分步：将完成这件事的过程分成若干步．
②计数：求出每一步中的方法数．
③结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．反思与感悟解析 由题意知，a不能为0，
故a的值有5种选法；
b的值也有5种选法；
c的值有4种选法．
由分步计数原理，得抛物线的条数为5×5×4＝100.跟踪训练2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为_____．答案解析100例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？类型三 两个原理的综合应用解答解 分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；
从油画中选，有2种不同的选法；
从水彩画中选，有7种不同的选法．
根据分类计数原理，共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？解答解 分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，
根据分步计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？解答解 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定．反思与感悟跟踪训练3 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解答解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3(种)选法，此时共有6×3＝18(种)选法；
第二类：从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步计数原理，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步计数原理，有1×6＝6(种)选法，
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．第二类：甲不入选，可分两步．
第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法；
第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．
由分步计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．当堂训练1.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有
___种.答案23451解析解析 分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，
故购买方法有3＋3＋1＝7(种).72.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为___.答案23451解析解析 要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；
第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法.故共有4×3＝12(种)不同的配法.123.把5本书全部借给3名学生，有_____种不同的借法.答案23451解析解析 依题意知，每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步计数原理，得共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法.2434.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员的选法有____种.(用数字作答)答案23451解析解析 分为两类：2名老队员、1名新队员时，有3种选法；
2名新队员、1名老队员时，有2×3＝6(种)选法，即共有9种不同选法.95.某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？解答解 分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；
第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；
第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法.由分类计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法.23451(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？解答解 分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，
第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法.
第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法.由分步计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法.23451(3)从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？解答解 分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；
第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；
第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法.因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法.23451规律与方法1.使用两个原理解题的本质2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法本课结束课件42张PPT。第2课时 分类计数原理与分步计数原理的应用第1章 1.1 两个基本计数原理学习目标
巩固分类计数原理和分步计数原理，并能灵活应用这两个计数原理解决实际问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一 两个计数原理的区别与联系知识点二 两个计数原理的综合应用解决较为复杂的计数问题，一般要将两个计数原理综合应用.使用时要做到目的明确，层次分明，先后有序，还需特别注意以下两点：
(1)合理分类，准确分步：处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.分类时需要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准.分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性.(2)特殊优先，一般在后：解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想.题型探究例1 用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？解 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种).解答类型一 排数问题(2)可以排成多少个三位数？解 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种).解答(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？解 被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法.
因而有12＋18＝30(种)排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.解答引申探究
由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？解 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；
第二步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有三个，可任取一个，有3种方法；
第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步计数原理知共有2×3×3×2＝36(个).解答对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.
(2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.反思与感悟解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个).跟踪训练1 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____个.(用数字作答)答案解析14例2 如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_____.类型二 抽取(分配)问题解析 从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，
所以从E点到G点的最短路径条数为6×3＝18.答案解析18解决抽取(分配)问题的方法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法.
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类计数原理或分步计数原理.一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.反思与感悟跟踪训练2 有四位同学参加三项不同的竞赛.
(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？解 学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，
所以每位学生均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步.
而每位学生均有3个不同选择，
所以用分步计数原理可得3×3×3×3＝34＝81(种)不同结果.解答(2)每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？解 竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4位不同学生中的一位.
要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，
因此需分三步，用分步计算原理可得4×4×4＝43＝64(种)不同结果.解答命题角度1 涂色问题
例3 将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？类型三 涂色与种植问题解答解 第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法.
(1)当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法.
(2)当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法.
由分类计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法.引申探究
若本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少种？解答解 依题意，可分两类情况：①④不同色；①④同色.
第一类：①④不同色，则①②③④所涂的颜色各不相同，我们可将这件事情分成4步来完成.
第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；
第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；
第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法.
于是由分步计数原理可得，不同的涂法为5×4×3×2＝120(种).第二类：①④同色，则①②③不同色，我们可将涂色工作分成三步来完成.
第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法.
于是由分步计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种).
综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种).涂色问题的四个解答策略
涂色问题是考查计数方法的一种常见问题，由于这类问题常常涉及分类与分步，所以在高考题中经常出现，处理这类问题的关键是要找准分类标准，求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用的方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，并用分步计数原理计算.
(2)以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用分类计数原理计算.
(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.
(4)对于不相邻的区域，常分为同色和不同色两类，这是常用的分类标准.反思与感悟跟踪训练3 如图所示，将四棱锥S－ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解答解 由题意，四棱锥S－ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60(种)染色方法.
当S，A，B染色确定时，不妨设其颜色分别为1,2,3.
若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法.
由分类计数原理知，当S，A，B染法确定时，C，D有7种染法.
由分步计数原理得，不同的染色方法有60×7＝420(种).命题角度2 种植问题
例4 将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同的种植方法共有____种.答案解析42解析 分别用a、b、c代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设放入a，再安排第二块田，有2种方法b或c，不妨设放入b，第三块也有2种方法a或c.
(1)若第三块田放c：第四、五块田分别有2种方法，共有2×2＝4(种)方法.(2)若第三块田放a：第四块有b或c2种方法，
①若第四块放c：第五块有2种方法；②若第四块放b：第五块只能种作物c，共1种方法.
综上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(种)方法.按元素性质分类，按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法，区分“分类”与“分步”的关键，是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情，分类中的每一种方法都能完成这件事情，而分步中的每一种方法不能完成这件事情，只是向事情的完成迈进了一步.反思与感悟跟踪训练4 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法.解答解 方法一 (直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法.
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法.
故不同的种植方法共有6×3＝18(种).
方法二 (间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故不同的种植方法共有24－6＝18(种).当堂训练1.用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中奇数有___个.答案23451解析解析 个位数只能是1或3，所以有2种选择，首位不能为0，则有2种选择，剩下的2个数字，百位有2种选择，十位数字只有1种选择，由分步计数原理，奇数有2×2×2×1＝8(个).82.在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为____.答案23451解析解析 当分子为11时，分母可为2,3,5,7，所以可构成4个假分数；
当分子为7时，分母可为2,3,5，所以可构成3个假分数；
当分子为5时，分母可为2,3，所以可构成2个假分数；
当分子为3时，分母可为2，所以可构成1个假分数.
由分类计数原理可得，假分数的个数为4＋3＋2＋1＝10.103.有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天.已知同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的安排方案共有___种.答案23451解析解析 安排同学甲周三值日，其余4名同学的安排方案分四个步骤完成：第一步，安排第一位同学，有4种方法；
第二步，安排第二位同学，有3种方法；
第三步，安排第三位同学，有2种方法；
第四步，安排第四位同学，有1种方法.根据分步计数原理知，这5名同学值日顺序的安排方案共有4×3×2×1＝24(种).244.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通.今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有____种.答案23451解析13解析 按照焊点脱落的个数进行分类：
第一类：脱落一个焊点，只能是脱落1或4，有2种情况；
第二类：脱落两个焊点，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,4)，共6种情况；
第三类：脱落三个焊点，有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4种情况；
第四类：脱落四个焊点，只有(1,2,3,4)1种情况.
于是焊点脱落的情况共有2＋6＋4＋1＝13(种).234515.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_____种.23451答案解析解析 A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法.108规律与方法1.分类计数原理与分步计数原理是两个最基本、也是最重要的原理，是解答后面将要学习的排列、组合问题，尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.
2.应用分类计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成；应用分步计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.
3一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏.
4.若正面分类的种类比较多，而问题的反面种类比较少时，则使用间接法会简单一些.本课结束课件44张PPT。第1课时 排列与排列数公式第1章 1.2 排 列学习目标
1.理解并掌握排列的概念.
2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 排列的概念从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.思考1 让你安排这项活动需要分几步？答案答案 分两步.第1步确定上午的同学；
第2步确定下午的同学.思考2 甲丙和丙甲是相同的排法吗？答案答案 不是.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照 排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.梳理一定的顺序思考1 知识点二 排列数从1,2,3,4这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？答案答案 4×3＝12(个).思考2 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？答案答案 4×3×2＝24(个).思考3 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列，共有多少种不同排法？答案答案 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种.梳理排列数及排列数公式所有排列的个数全部取出题型探究例1 下列问题是排列问题的为_________.
①选2个小组分别去植树和种菜；
②选2个小组分别去种菜；
③某班40名同学在假期互发短信；
④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除；
⑤10个车站，站与站间的车票.类型一 排列的概念答案解析①③④⑤解析 ①植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；
②不存在顺序问题，不是排列问题；
③存在顺序问题，是排列问题；
④两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题；
⑤车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.判断一个具体问题是否为排列问题的思路反思与感悟解 2名学生开会没有顺序，不是排列问题.
解 两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题.跟踪训练1 下列哪些问题是排列问题.
(1)从10名学生中抽2名学生开会；
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘；解答解 弦的端点没有先后顺序，不是排列问题.
解 车票价格与起点和终点无关，故车票价格是无顺序的，不是排列问题.
解 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题.(3)以圆上的10个点为端点作弦；
(4)20个车站，站与站间的车票价格；
(5)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？解答命题角度1 由排列数公式进行化简与求值
例2 (1)计算： ＝____.类型二 排列数及其应用答案解析1(2)计算： ＝___.答案解析1(1)排列数公式的逆用：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数.
(2)利用排列数公式进行计算时可利用连乘形式也可利用阶乘形式.当 中m已知且较小时用连乘形式，当m较大或为参数时用阶乘形式.反思与感悟(3)应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程中要对排列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系，解题时要灵活地运用如下变式：
①n！＝n(n－1)！.③n·n！＝(n＋1)！－n！.解析 ∵55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，
且共有69－n－(55－n)＋1＝15(个)元素，
∴(55－n)(56－n)…(69－n)＝跟踪训练2 (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且n<55)＝______；答案解析72命题角度2 与排列数有关的方程、不等式的求解解答整理得4x2－35x＋69＝0(x≥3，x∈N*)，解答由排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)<140x·(x－1)(x－2)，因为x∈N*，所以x＝4或x＝5.
所以不等式的解集为{4,5}.利用排列数公式展开即得到关于x的方程(或不等式)，但由于x存在于排列数中，故应考虑排列数对x的制约，避免出现增根.反思与感悟跟踪训练3 不等式 的解集为_____.答案解析{8}化简得x2－19x＋84<0，
解得7
(1)A、B、C三名同学照相留念，成“一”字形排队，共有多少种不同的排列方法？类型三 排列的列举问题解答解 按三个位置依次安排，如图故所有排列为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？解答解 列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票种类有：
北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种.用树状图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树状图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏.反思与感悟跟踪训练4 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数.
(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；解答解 组成三位数分三个步骤.
第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；
第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；
第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法.
由分步计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数.
画出下列树状图.由树状图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数.解答解 直接画出树状图.由树状图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.当堂训练1.若将(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)，(x∈N*，x>13)表示为 的形式，则可表示为_____.答案23451解析解析 从(x－3)，(x－4)，…到(x－13)共(x－3)－(x－13)＋1＝11(个)数，
所以根据排列数公式知(x－3)(x－4)(x－5)…(x－12)(x－13)＝2.下列问题中属于排列问题的为_____.(填序号)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.答案23451解析解析 根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题.①④3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有___个.答案23451解析解析 符合题意的结果有 ＝4×3＝12(个).124.已知Ax＝30，则x＝___.答案23451解析解析 Ax＝x(x－1)＝30，解得x＝6或－5(舍去)，
∴x＝6.6225.写出下列问题的所有排列：
(1)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长；解答解 从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A5＝20(种)选法，形成的排列是
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.234512(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四.解答解 因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图.23451所以符合题意的所有排列是
BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA，共14种.规律与方法1.判断一个问题是否是排列的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与元素的排列顺序有关.这就是说，在判断一个问题是否是排列时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则是排列问题，否则不是排列问题.
2.关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点，从n起连续写出m个数的乘积即可.(2)排列数的第二个公式 用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“n、m∈N*，m≤n”的运用.本课结束课件47张PPT。第2课时 排列的应用第1章 1.2 排 列学习目标
1.进一步加深对排列概念的理解.
2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 排列及其应用1.排列数公式
＝ (n，m∈N*，m≤n)＝ .
＝ ＝ (叫做n的阶乘).另外，我们规定0！＝ .
2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n(n－1)(n－2)…2·1n！1题型探究例1 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解 从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A7＝7×6×5＝210(种)不同的送法.解答类型一 无限制条件的排列问题3(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.解答典型的排列问题，用排列数计算其排列方法数；若不是排列问题，需用计数原理求其方法种数.排列的概念很清楚，要从“n个不同的元素中取出m个元素”.即在排列问题中元素不能重复选取，而在用分步计数原理解决的问题中，元素可以重复选取.反思与感悟解 从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此不同的安排方法有A5＝5×4×3＝60(种).跟踪训练1 (1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？解答3解 由题意知3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题.
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事，所以由分步计数原理得共有5×5×5＝125(种)报名方法.(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？解答命题角度1 元素“相邻”与“不相邻”问题
例2 3名男生，4名女生，这7个人站成一排在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男、女各站在一起；解 相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有
种排法，
女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有 种排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有 种排法，
由分步计数原理知共有 ＝288(种)排法.类型二 排队问题解答(2)男生必须排在一起；解 (捆绑法)把所有男生看作一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，
故有 ＝720(种)不同的排法.解答(3)男生不能排在一起；解答(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.解答处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.反思与感悟解 先排歌唱节目有A5种，歌唱节目之间以及两端共有6个空位，从中选4个放入舞蹈节目，共有A6种方法，
所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A5·A6＝43 200(种)方法.跟踪训练2 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单.
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？解答5454解 先排舞蹈节目有A4种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入.
所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有A4·A5＝2 880(种)方法.(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解答445命题角度2 定序问题
例3 7人站成一排.
(1)甲必须在乙的左边(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？解 甲在乙前面的排法种数占全体全排列种数的一半，故有 ＝2 520(种)不同的排法.解答(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法？解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体全排列种数的
故有 ＝840(种)不同的排法.解答反思与感悟解 7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A4种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同的站法，
所以共有2· ＝420(种)不同的站法.跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人，若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？解答4命题角度3 特殊元素与特殊位置问题
例4 从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题：
(1)甲不在首位的排法有多少种？解答解 方法一 把同学作为研究对象.
第一类：不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中取出5名放在5个位置上，有 种.
第二类：含有甲，甲不在首位：先从4个位置中选出1个放甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在没有甲的位置上，有 种排法.根据分步计数原理，含有甲时共有4× 种排法.
由分类计数原理，共有 ＝2 160(种)排法.方法二 把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有 种方法.
第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有 种方法.
由分步计数原理，可得共有 ＝2 160(种)排法.
方法三 (间接法)即先不考虑限制条件，从7名同学中选出5名进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有 种；甲在首位的情况有 种，所以符合要求的排法有 ＝2 160(种).(2)甲既不在首位，又不在末位的排法有多少种？解 把位置作为研究对象，先满足特殊位置.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有 种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法.
根据分步计数原理，有 ＝1 800(种)方法.解答(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？解 把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有 种方法.
第二步，从未排上的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有 种方法.
根据分步计数原理，共有 ＝1 200(种)方法.解答(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？解 用间接法.
总的可能情况是 种，减去甲在首位的 种，再减去乙在末位的 种.
注意到甲在首位同时乙在末位的情况被减去了两次，
所以还需补回一次 种，所以共有 ＝1 860(种)排法.解答反思与感悟“在”与“不在”排列问题解题原则及方法
(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先.
(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置.
提醒：解题时，或从元素考虑，或从位置考虑，都要贯彻到底.不能一会考虑元素，一会考虑位置，造成分类、分步混乱，导致解题错误.跟踪训练4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法？解 6门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为体育排在第一节，有
种排法；
数学排在最后一节，有 种排法，但这两种方法，都包括体育排在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法.因此符合条件的排法有
＝504(种).解答例5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？
(1)六位奇数；类型三 数字排列问题解答(2)个位数字不是5的六位数；解答解 方法一 (直接法)
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类.
第一类，当个位排0时，有A5个；5方法二 (排除法)
0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.(3)不大于4 310的四位偶数.解答解 分三种情况，具体如下：形如4 3××的只有4 310和4 302这两个数.数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重注意从附加受限制条件入手分析，找出解题的思路.常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数.反思与感悟跟踪训练5 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)能被5整除的五位数；解答(2)能被3整除的五位数；解答(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项.解答即240 135是数列的第193项.当堂训练1.6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有_____种.答案23451解析4802.3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有_____种.答案23451解析1443.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_____.答案23451解析724.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有____种参赛方案.答案23451解析240解析 方法一 从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A5种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A5种方法，此时有2A5种参赛方案.
由分类计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 ＝240(种).23451433方法二 从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A5种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A4种方法.
由分步计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 ＝240(种).2345122方法三 (排除法)
不考虑甲的约束，6个人占4个位置，有A6种安排方法，剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A5种，
所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有 ＝240(种).435.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共_____个.23451答案解析240∴比20 000大的五位偶数共有96＋144＝240(个).规律与方法求解排列问题的主要方法本课结束课件39张PPT。第1课时 组合与组合数公式第1章 1.3 组 合学习目标
1.理解组合及组合数的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一 组合的概念思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除；
②从3,5,7,11中任取两个数相乘.
以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案答案 ①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数是无序的.一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.梳理并成一组思考1 知识点二 组合数可以得到多少个不同的商？答案答案 A4＝4×3＝12.从3,5,7,11中任取两个数相除，2思考2 如何用分步计数原理求商的个数？答案答案 第1步，从这四个数中任取两个数，有C4种方法；2思考3 你能得出C4的计算公式吗？答案2梳理组合数及组合数公式所有组合的个数＋1题型探究例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题.
(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？解 每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题.解答类型一 组合概念的理解(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？解 每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的.(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？解 是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数.解答(4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？解 是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.判断一个问题是否是组合问题的流程反思与感悟跟踪训练1 给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，______是组合问题，______是排列问题.答案解析(1)(3) (2)(4)解析 (1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.
(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题.例2 从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，列出所有的组合为_______________________________________.类型二 组合的列举问题答案解析ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de解析 要想列出所有组合，做到不重不漏，先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个地标示出来.如图所示.引申探究
若将本例中的a，b，c，d，e看作铁路线上的5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？解 因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，故是排列问题，有A5＝20(种).
但票价与顺序无关，“a站到b站”与“b站到a站”是同一种票价，
故是组合问题，因为“a站到b站”与“b站到a站”车票是不同的，
但票价一样，所以票价的种数是车票种数的一半，
故共有 ×20＝10(种)不同的票价.解答2借助“字典排序法”列出一个具体问题的组合，直观、简洁，而且避免了重复或遗漏，但需注意：若用“树状图法”，当前面的元素写完后，后面不能再出现该元素，这是与排列问题的一个不同之处.反思与感悟解 所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.跟踪训练2 写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合.解答命题角度1 有关组合数的计算与证明类型三 组合数公式及性质的应用解答＝210－210＝0.证明反思与感悟答案解析5 150答案解析命题角度2 含组合数的方程或不等式解答即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.
∵0≤m≤5，∴m＝2，解答又n∈N*，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}.(1)解答此类题目易出现忽略根的检验而产生增根的错误，并且常因忽略n∈N*而导致错误.
(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cn中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意.反思与感悟m解答＝5(x－4)(x－5)，
所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.
所以x＝11或x＝－2(舍去负根).
经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.当堂训练1.给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中组合问题的个数是___.答案23451解析解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题.22.集合M＝{x|x＝C4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则M∩Q＝_____.答案23451解析{1,4}n3.满足方程C16 ＝ 的x值为______.答案23451解析解析 依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，
解得x＝1或5；
x＝－7或x＝3.
经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意.1或3x2－x答案23451解析解析 由题意知，3≤n≤12，且n∈N*，{3,4,5,6,7}解得n<7.5，∴n＝3,4,5,6,7.5.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有_____种.(用数字作答)23451答案解析解析 安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C7种方法；
再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C4种方法.
故不同的安排方案共有 ＝5×7×4＝140(种).14033规律与方法1.排列与组合的联系与区别
(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素.
(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序.
2.关于组合数的计算本课结束课件39张PPT。第2课时 组合的应用第1章 1.3 组 合学习目标
1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.
2.能解决有限制条件的组合问题．题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 组合的特点思考 组合的特征有哪些？答案答案 组合取出的元素是无序的．(1)组合的特点是只取不排
组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)组合的特性
元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．
(3)相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．梳理题型探究例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；解答类型一 有限制条件的组合问题(2)至少有1名女运动员；解 方法一 (直接法)
“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．解答(3)既要有队长，又要有女运动员．解答(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．
(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．反思与感悟解 从中任取5人是组合问题，共有C12＝792(种)不同的选法．跟踪训练1 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；解答5解 甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C9＝36(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加；2解 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C9＝126(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加；5(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加．解答例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.类型二 与几何有关的组合应用题解答(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解答(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．
(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．反思与感悟跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为_____．答案解析205命题角度1 不同元素分组、分配问题
例3 有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式？
(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；类型三 分组、分配问题解答(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；解答解 由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再分配问题．(3)分成三组，每组都是2本；解答但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，
若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，
则该种方法记为(AB，CD，EF)，(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．解答分组、分配问题的求解策略
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！.
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题．分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．反思与感悟跟踪训练3 某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则不同的安排方法有_____种．答案解析114解析 5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)．命题角度2 相同元素分配问题
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，
求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；解答解 先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C5＝10(种)．3(2)恰有一个空盒子；解答解 恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，(3)恰有两个空盒子．解答解 恰有两个空盒子，插板分两步进行．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有 种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．反思与感悟跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有___种．答案解析10解析 第一类：当剩余的一本是画册时，
相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，
只有1位朋友得到画册．
即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，
另一队分给集邮册，有C4种分法．1第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，
即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，
另一队分给集邮册，有C4种分法．
因此，满足题意的赠送方法共有 ＝4＋6＝10(种)．2当堂训练1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有____种.答案23451解析962.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有_____种.答案23451解析解析 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C10＝120(种).12033.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共有_____种.答案23451解析解析 由分类计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，2104.直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有_____个.答案23451解析解析 在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，
所以矩形总数为 ＝15×15＝225.2255.要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有_____种不同选法.23451答案解析75623451解析 方法一 可分三类：规律与方法1.无限制条件的组合应用题的解题步骤
(1)判断.(2)转化.(3)求值.(4)作答.
2.有限制条件的组合应用题的分类
(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”.若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法.解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准.(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决.
(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.本课结束课件41张PPT。1.4 计数应用题第1章 计数原理学习目标
1.进一步理解和掌握两个计数原理.
2.进一步深化理解排列与组合的概念.
3.能综合运用排列、组合解决计数问题.题型探究内容索引当堂训练题型探究命题角度1 “类中有步”的计数问题
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果.类型一 两个计数原理的应用答案解析28 800解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；
(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果.
因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果.用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：反思与感悟具体意义如下：
从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.
所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，
“类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.解析 如图所示，将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.
因为1,2,3之间不能同色，1与4可以同色，
因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.
故不同的着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有____种.答案解析48命题角度2 “步中有类”的计数问题
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有____种.(用数字作答)答案解析264解析 上午总测试方法有4×3×2×1＝24(种).我们以A、B、C、D、E依次代表五个测试项目.
若上午测试E的同学下午测试D，则上午测试A的同学下午只能测试B、C，确定上午测试A的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有2种；
若上午测试E的同学下午测试A、B、C之一，
则上午测试A、B、C中任何一个的同学下午都可以测试D，安排完这位同学后其余两位同学的测试方式就确定了，
故共有3×3＝9(种)测试方法，即下午的测试方法共有11种，
根据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝264(种).用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：反思与感悟从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类.
其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有____种.答案解析21解析 根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，如图所示，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，
对于开关1、2，共有2×2＝4(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有4－1＝3(种)情况，
对于开关3、4、5，共有2×2×2＝8(种)情况，其中全部断开的有1(种)情况，则其至少有1个接通的有8－1＝7(种)情况，则电路接通的情况有3×7＝21(种).例3 3个女生和5个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？解 (捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可先把她们看成一个整体，
这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有 种不同排法.
对于其中的每一种排法，3个女生之间又有 种不同的排法，
因此共有 ＝4 320(种)不同的排法.类型二 有限制条件的排列问题解答(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？解 (插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，
每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，
加上两边两个男生外侧的两个位置，共有6个位置，
再把3个女生插入这6个位置中，
只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.
由于5个男生排成一排有 种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述6个位置中选出3个来让3个女生插入有 种方法，
因此共有 ＝14 400(种)不同的排法.解答(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？解答解 方法一 (特殊位置优先法)因为两端不能排女生，
所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同排法，
对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，
所以共有 ＝14 400(种)不同的排法.方法二 (间接法)3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，
从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，
但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，
在扣除女生排在末位时又被扣去一次，
所以还需加一次，由于两端都是女生有 种不同的排法，
所以共有 14 400(种)不同的排法.方法三 (特殊元素优先法)从中间6个位置中挑选出3个让3个女生排入，
有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，
其余5个位置又都有 种不同的排法，
所以共有 ＝14 400(种)不同的排法.(4)如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？解 方法一 因为只要求两端不能都排女生，
所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，
这样可有 种不同的排法；
如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，
这样可有 种不同的排法.
因此共有 ＝36 000(种)不同的排法.
方法二 3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生的排法有 种，就能得到两端不都是女生的排法种数.
因此共有 ＝36 000(种)不同的排法.解答(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻)，有多少种不同的排法？解 (顺序固定问题)因为8人排队，其中两人顺序固定，解答(1)排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个位置，某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置，再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的排列数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，这种方法也称为“去杂法”，但必须注意要不重复，不遗漏(去尽).
(2)对于某些特殊问题，可采取相对固定的特殊方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列，再进行内部排列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其他元素，再将不相邻元素排入形成的空位中.反思与感悟跟踪训练3 用0到9这10个数字，
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？解答解 0到9这10个数字构成的三位数共有900个，分为三类：
第1类：三位数字全相同，如111,222，…，999，共9个；
第2类：三位数字全不同，共有9×9×8＝648(个)，
第3类：由间接法可求出，只含有2个相同数字的三位数，共有900－9－648＝243(个).(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数？解答命题角度1 不同元素的排列、组合问题
例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？类型三 排列与组合的综合应用解答解 分三类：(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.
(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题.
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法.反思与感悟跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？解答解 (1)五位数中不含数字0.(2)五位数中含有数字0.第2步，排顺序又可分为两小类：所以符合条件的偶数个数为命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题
例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有_____种不同的分配方案.解析 先拿3个优秀名额分配给二班1个，三班2个，这样原问题就转化为将7个优秀名额分配到3个班级中，每个班级中至少分配到1个.
利用“隔板法”可知，共有 ＝15(种)不同的分配方案.答案解析15凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用“隔板法”求解：
(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有N＝ 种，即将n个元素中间的n－1个空格中加入m－1个“隔板”.
(2)任意分组，可出现某些组含元素为0个的情况，其不同分组方式有N＝ 种，即将n个相同元素与m－1个相同“隔板”进行排序，在n＋m－1个位置中选m－1个安排“隔板”.反思与感悟跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为____.解析 用间接法：六个数字能构成的三位数共6×6×6＝216(个)，而无重复数字的三位数共有 ＝6×5×4＝120(个).
故所求的三位数的个数为216－120＝96.答案解析96当堂训练1.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有____种不同的选择方式.答案23451解析解析 由题意可得，李芳不同的选择方式为4×3＋2＝14.142.包括甲、乙在内的7个人站成一排，其中甲在乙的左侧(可以不相邻)，有_____种站法.答案23451解析解析 因为甲、乙定序了，所以有 ＝2 520(种).2 5203.从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是_____.答案23451解析48解析 第一类：从2,4中任取一个数，有 种取法，
同时从1,3,5中取两个数字，有 种取法，
再把三个数全排列，有 种排法.
故有 ＝36(种)取法.
第二类：从0,2,4中取出0，有 种取法，
从1,3,5三个数字中取出两个数字，有 种取法，
然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有 种排法，
剩下的两个数字全排列，有 种排法，共有 ＝12(种)方法.
共有36＋12＝48(种)排法.234514.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有_____种.答案23451解析解析 先安排后2个，再安排前3个，
由分步计数原理知，
共有 ＝36(种)不同的播放方式.36234515.已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为____.答案解析解析 根据题意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，
∴xi中有2个1和4个0，或3个1、1个－1和2个0，或4个1和2个－1，共有 ＝90(个)，
∴满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为90.90规律与方法1.解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理.
2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.
3.对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.本课结束课件34张PPT。1.5.1 二项式定理第1章 1.5 二项式定理学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理的特征及其展开式的通项公式.
3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 二项式定理思考1 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式.答案答案 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.思考2 上述两个等式的右侧有何特点？答案答案 (a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；
(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.思考3 能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？答案二项式定理及其概念
(1)二项式定理
(a＋b)n＝ (n∈N*)叫做二项式定理， 叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有 项.
(2)二项展开式的通项
叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝ .
(3)二项式系数
叫做第r＋1项的二项式系数.梳理右边的多项式n＋1题型探究解答类型一 二项式定理的正用、逆用解答引申探究
将本例(1)改为求(2x－ )5的展开式.解答(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢.反思与感悟跟踪训练1 化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解答命题角度1 二项式系数与项的系数类型二 二项展开式的通项解答(1)求展开式第4项的二项式系数；(2)求展开式第4项的系数；解答(3)求第4项.(1)二项式系数都是组合数 (r∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.反思与感悟跟踪训练2 已知 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；解答所以n2＝81，n＝9.(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数.解答命题角度2 展开式中的特定项解答3解 通项公式为∵第6项为常数项，∴当r＝5时，(2)求含x2的项的系数；解答(3)求展开式中所有的有理项.解答令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.(1)求二项展开式的特定项的常见题型
①求第r项，Tr＝ an－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项.
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.反思与感悟跟踪训练3 (1)若 的展开式中x3的系数是－84，则a＝__.答案解析1当9－2r＝3时，解得r＝3，代入得x3的系数，根据题意得 (－a)3＝－84，
解得a＝1.解析 由题意得n＝6，(2)已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则(x＋ )n的二项展开式的常数项是____.答案解析160当堂训练1.(x＋2)8的展开式中x6的系数是_____.答案23451解析解析 由T2＋1＝ x8－2·22＝112x6，
∴(x＋2)8的展开式中x6的系数是112.1122.二项式(x＋ )12的展开式中的常数项是第___项.答案23451解析9∴常数项为第9项.3.已知 的展开式中含 的项的系数为30，则a＝____.答案23451解析－64.化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝____.答案23451解析解析 原式＝[(x－1)＋1]5＝x5.x5解答23451规律与方法1.求二项展开式的特定项应注意的问题
通项公式的主要作用是求展开式中的特殊项，常见的题型有：①求第r项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误.
2.二项式系数与项的系数的区别
二项式系数Cn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负.r本课结束课件29张PPT。1.5.2 二项式系数的性质及应用(一)第1章 1.5 二项式定理学习目标
1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.
2.理解二项式系数的性质并灵活运用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点 二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案答案 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案答案 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案答案 当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大.(1)二项式系数表的特点
①在同一行中，每行两端都是 ，与这两个1等距离的项的系数 .
②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.梳理1相等(2)二项式系数的性质
一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数 有如下性质：
① ＝ ；
② ＝ ；
③当r＜ 时， ＜ ；
当r＞ 时， ＜ ；
④ ＝ .2n题型探究例1 如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值.解 由题意及杨辉三角的特点可得
S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)解答类型一 与二项式系数表有关的问题对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论.反思与感悟跟踪训练1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是_____.答案70例2 设(2－ x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值.
(1)a0；解 令x＝0，则展开式为a0＝2100.类型二 求展开式的系数和解答(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；解 令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－ )100， ①解答∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－ )100－2100.(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；解 令x＝－1，可得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋ )100. ②
与①联立相减，得(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；解 原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝[(2－ )(2＋ )]100＝1100＝1.解答(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解答∴a2k－1<0(k∈N*).二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，反思与感悟解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.跟踪训练2 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；解答解 各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(2)各项系数之和；解 令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，(3)所有奇数项系数之和.解答当堂训练1.在(2x＋ )4的展开式中，各项的二项式系数的和为____.答案23451解析解析 各项的二项式系数之和为24＝16.162.若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10的展开式的二项式系数之和，则n的值为___.答案23451解析解析 令x＝y＝1，得(x＋3y)n的展开式中所有项的系数和为4n，
(7a＋b)10的展开式中所有项的二项式系数之和为210，
故4n＝210，即n＝5.53.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是___.答案23451解析解析 由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，
所以4＋a＝10，得a＝6.64.设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为____.答案23451解析解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①－15∴当r＝0时，x4的系数a4＝16. ②
由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.234515.若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__.答案解析解析 令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，
∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，
∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.7规律与方法用赋值法求多项式系数和
求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.本课结束课件24张PPT。1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)第1章 1.5 二项式定理学习目标
1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.
2.能解决二项式系数的最大、最小问题.
3.会解决整除问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点 二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数 有如下性质：
(1) ＝ .
(2) ＝ .
(3)当r＜ 时， ＜ ；
当r＞ 时， ＜ .
(4) ＝ .2n特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以 最大；当n为奇数时，二项式系数中以 和 (两者相等)最大.题型探究例1 (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解答类型一 二项式系数或系数最大项问题∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得.反思与感悟跟踪训练1 在 的展开式中：
(1)系数的绝对值最大的项是第几项？解答解得5≤r≤6.
又∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝5或r＝6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)求二项式系数最大的项；解 二项式系数最大的项为中间项，即第5项，解答(3)求系数最大的项.解 由(1)知，展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，
而第6项的系数为负，第7项的系数为正，解答例2 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除.证明 原式＝4·6n＋5n－4
＝4·(5＋1)n＋5n－4类型二 利用二项式定理解决整除问题证明以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数.反思与感悟跟踪训练2 求证：5151－1能被7整除.证明 5151－1＝(49＋2)51－1证明显然能被7整除，所以5151－1能被7整除.当堂训练1.若(x3＋ )n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为_____.答案23451解析解析 由于展开式中只有第6项的系数最大，
且其系数等于其二项式系数，
所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C10＝210.21062.今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期____.答案23451解析解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数.一所以第810天相当于第1天，故为星期一.3.设a∈Z，且0≤a＜13，若512 012＋a能被13整除，则a＝____.答案23451解析解析 512 012＋a＝(52－1)2 012＋a
＝522 012＋ ×522 011×(－1)＋…＋ ×52×(－1)2 011＋(－1)2 012＋a能被13整除，
只需(－1)2 012＋a＝1＋a能被13整除即可.∵0≤a＜13，∴a＝12.124.已知 展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是第____项.答案23451解析9所以共17项，第9项系数最大.234515.已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝___.答案解析8解析 ∵(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，
∴二项展开式共有9项，
即n＋1＝9，
∴n＝8.规律与方法1.二项式系数的性质
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.3.余数及整除问题
(1)求余数问题
求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析.若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生.
(2)整除问题
整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路.本课结束课件30张PPT。习题课 二项式定理的应用第1章 计数原理学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.
2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.二项式定理及其相关概念2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性： ；
(2)性质： ＝ ＋ ；
(3)二项式系数的最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值，即 最
大；当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即 _____
最大；
(4)二项式系数之和 ，所用方法是
. 赋值法或题型探究命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_____.类型一 二项式定理的灵活应用解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)答案解析120解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝____.答案解析－1则10＋5a＝5，解得a＝－1.两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.反思与感悟跟踪训练1 (x＋ )(2x－ )5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为____.答案解析40解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，令5－2r＝1，得r＝2，令5－2r＝－1，得r＝3，命题角度2 三项展开式问题答案解析(r2＝0,1,2，…，5－r1).令5－r1－2r2＝0即r1＋2r2＝5.三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性.反思与感悟跟踪训练2 求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数.解答例3 已知( ＋2x)n.
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；类型二 二项式系数的综合应用解答即n2－21n＋98＝0，得n＝7或n＝14.
当n＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.解答得n＝－13(舍去)或n＝12.
设Tr＋1项的系数最大，解得9.4≤r≤10.4.
∵0≤r≤12，r∈N*，∴r＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项，解决此类问题，首先要分辨二次项系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题加以细心.反思与感悟跟踪训练3 已知 展开式中二项式系数之和比(2x＋xlg x)2n展开式中奇数项的二项式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x.解答解 依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项.化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，当堂训练1.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为____.答案23451解析解析 因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝ x(1＋x)6的展开式中含x3的项为 ＝15x3，
所以系数为15.152. 的展开式中常数项为____.答案23451解析20令6－2r＝0解得r＝3.3. 的展开式中x3y3的系数为____.答案23451解析64.已知 的展开式中含 的项的系数为30，则a＝_____.答案23451解析－6234515.若(x－m)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，其中a5＝56，则a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝_____.答案解析128规律与方法1.两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点.
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分.
(3)分别求解再相乘，求和即得.
2.三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性.
3.求二项展开式中各项系数的和差的方法是赋值代入.
4.确定二项展开式中的最大或最小项的方法是利用二项式系数的性质.本课结束课件46张PPT。章末复习课第1章 计数原理学习目标
1.归纳整理本章的知识要点.
2.能结合具体问题的特征，合理选择两个计数原理来分析和解决一些简单的实际问题.
3.理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数和组合数公式，掌握组合数的两个性质，并能用它们解决实际问题.
4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能应用它们解决与二项展开式有关的计算和证明问题．题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.分类计数原理
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
2.分步计数原理
完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝
种不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3.排列数与组合数公式及性质(n－m＋1)1 ； 4.二项式定理
(1)二项式定理的内容：
(a＋b)n＝ .
(2)通项公式：
(3)二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；题型探究命题角度1 分类讨论思想
例1 车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？解答类型一 数学思想方法在求解计数问题中的应用解 方法一 设A，B代表2位老师傅.所以共有75＋100＋10＝185(种).所以共有35＋120＋30＝185(种).解含有约束条件的排列、组合问题，应按元素的性质进行分类，分类时需要满足两个条件：(1)类与类之间要互斥(保证不重复).(2)总数要完备(保证不遗漏).反思与感悟解析 1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类.跟踪训练1 从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，这样不同的三位数共有____个.(用数字作答)答案解析60③同时有1和3时，把3排在1的前面，所以满足条件的三位数共有解析 若从正面考虑，需分当a3＝9时，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6类；当a3＝8时，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6类；…分类较多，而其对立面a3－a2>6包含的情况较少，
当a3＝9时，a2取2，a1取1一种情况，利用正难则反思想解决.
集合S的含有三个元素的子集的个数为 ＝84.在这些含有三个元素的子集中能满足a16的集合只有{1,2,9}，
故满足题意的集合A的个数为84－1＝83.命题角度2 “正难则反”思想
例2 设集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1(1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？解 第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有 ＝5 040(种)方法；
第二步再松绑，给4个节目排序，有 ＝24(种)方法.
根据分步计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序.类型二 排列与组合的综合应用解答(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？解 第一步将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有 ＝720(种)方法.
×□×□×□×□×□×□×
第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个演唱节目中间，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有 ＝840(种)方法.
根据分步计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序.解答(3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？解 若所有节目没有顺序要求，全部排列，
则有 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，
所以节目演出的方式有 ＝132(种)排列.解答排列与组合的综合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.反思与感悟跟踪训练3 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为_____.答案解析130解析 由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1,1}.命题角度1 二项展开式的特定项问题
例4 已知在 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56∶3.
(1)求展开式中的所有有理项；类型三 二项式定理及其应用解答33于是有理项为T1＝x5和T7＝13 440.(2)求展开式中系数绝对值最大的项；解答解 设第r＋1项系数的绝对值最大，则所以r＝7，当r＝7时，T8＝－15 360 ，
又因为当r＝0时，T1＝x5，
当r＝10时，
T11＝(－2)10 ＝1 024 ，
所以系数的绝对值最大的项为T8＝－15 360 .解答(1)确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可解得所要求的二项式中的有关元素.
(2)确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项.
(3)求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数.
(4)求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入.
(5)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质.反思与感悟跟踪训练4 已知二项式 展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.
(1)求n；解答解 令x＝1，得二项式 展开式中各项系数之和为(5－1)n＝4n，
各项二项式系数之和为2n，
由题意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.(2)求展开式中二项式系数最大的项；解答展开式中二项式系数最大的项是第3项(3)求展开式中所有x的有理项.解答命题角度2 二项展开式的“赋值”问题
例5 若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
(1)求a2；解答解 (x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，
a2是展开式中x2的系数，(2)求a1＋a2＋…＋a10；解答解 令x＝1，代入已知式，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，
而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.解答解 令x＝－1，可得
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，
再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，
把这两个等式相乘可得，
(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果.反思与感悟跟踪训练5 若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为___.解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，
令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.5答案解析当堂训练1.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有___种.答案23451解析解析 分两类：
第一类：有3名被录用，有 ＝24(种)，
第二类，4名都被录用，则有一家企业录用2名，
有 36(种).
根据分类计数原理得，共有24＋36＝60(种).602.已知关于x的二项式 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为____.答案23451解析解析 由条件知，2n＝32，即n＝5，2333.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有____种.答案23451解析解析 当甲在最左端时，有 ＝120(种)排法；
当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，
有 ＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法.2164.若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝_____.答案23451解析解析 对(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，
令x＝1得(a0＋a2＋…＋a10＋a12)＋(a1＋a3＋…＋a9＋a11)＝36. ①
令x＝－1得(a0＋a2＋…＋a10＋a12)－(a1＋a3＋…＋a9＋a11)＝1. ②364令x＝0得a0＝1，234515.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为_____.(用数字作答)答案解析解析 由于0号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5种选择.因为最后两项实验的顺序确定，所以共有 ＝300(种)不同的编排方法.300规律与方法1.排列与组合
(1)排列与组合的区别在于排列是有序的，而组合是无序的.
(2)排列问题通常分为无限制条件和有限制条件，对于有限制条件的排列问题，通常从以下两种途径考虑：
①元素分析法：先考虑特殊元素的要求，再考虑其他元素.
②位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)排列与组合综合应用是本章内容的重点与难点，一般方法是先分组，后分配.2.二项式定理
(1)与二项式定理有关，包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、近似计算、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式.
(2)与通项公式有关，主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第r＋1项的通项公式是Tr＋1＝ an－rbr(r＝0,1，…，n)，其中二项式系数是 这是一个极易错点.
(3)与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和等主要方法是赋值法.本课结束