2.1 随机变量及其概率分布
学习目标 1.理解随机变量的含义，了解随机变量与函数的区别与联系.2.理解随机变量x的概率分布，掌握两点分布.3.会求简单的分布．
知识点一 随机变量
思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？
思考2 在一块地里种10棵树苗，成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？
梳理 (1)随机变量的定义
一般地，如果____________的结果可以用一个________来表示，那么这样的变量叫做____________．
(2)随机变量的表示方法
①随机变量通常用大写拉丁字母____________(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
②随机变量取的可能值常用小写拉丁字母____________(加上适当下标)等表示．
知识点二 随机变量的概率分布
思考 掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？当X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
梳理 (1)随机变量X的概率分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝______，i＝1,2,3，…，n，①
则称①为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，也可以用下表表示．
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
通常将上表称为随机变量X的概率分布表，它和①都叫做随机变量X的概率分布．显然，这里的pi(i＝1,2，…，n)满足条件pi______0，p1＋p2＋…＋pn＝______.
(2)0－1分布(或两点分布)
随机变量X只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为____________分布或______________，此处“～”表示“________”．
类型一 随机变量的概念
例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
反思与感悟 随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果的可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
跟踪训练1 判断下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天广电局信息台接到咨询电话的个数；
(2)某运动员在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)在一次绘画作品评比中设有一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
类型二 随机变量的取值
引申探究
在本例(1)的条件下，若规定取出一个红球赢2元，而取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？例2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
反思与感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练2 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；
(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．
类型三 随机变量的分布列
例3 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P(
反思与感悟 利用概率分布及其性质解题时要注意以下两个问题
(1)X的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1，而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
跟踪训练3 (1)下面是某同学求得的离散型随机变量X的概率分布表．
X
－1
0
1
P
试说明该同学的计算结果是否正确．
(2)设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布如下表：
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
①求q的值；
②求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
引申探究
若将本例条件中5个球改为6个球，最小号码改为最大号码，其他条件不变，试写出随机变量X的概率分布．例4 一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出的3个球中的最小号码，写出随机变量X的概率分布．
反思与感悟 求随机变量的概率分布的步骤
(1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义．
(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率．
(3)按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证．
跟踪训练4 袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的概率分布．
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中是真命题的有________．(填序号)
2．设离散型随机变量X的概率分布如下：
X
1
2
3
4
P
p
p
则p的值为________．
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝5表示的随机试验的结果是________．
4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X的可能取值有________个．
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
1．随机变量的三个特征
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值．
2．求随机变量的分布列应注意的几个问题
(1)随机变量X的分布列实质上就是随机变量X与这一变量所对应的概率P的分布表，它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小，反映了随机变量取值的规律．
(2)在处理随机变量的概率分布时，先根据随机变量的实际意义，利用试验结果找出随机变量的取值，再求相应的概率是常用的方法．
(3)求出概率分布后注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
思考2 X＝0,1,2,3，…，10.
梳理 (1)随机试验 变量 随机变量 (2)①X，Y，Z ②x，y，z
知识点二
思考 (1)X＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
(2)X与P的对应关系如下.
X
1
2
3
4
5
6
P
梳理 (1)pi ≥ 1 (2)X～0－1
X～两点分布 服从
题型探究
例1 解 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．
跟踪训练1 解 (1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm，为定值，因此不是随机变量．
例2 解 (1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
引申探究
解 ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
跟踪训练2 解 (1)ξ可取0,1,2,3，
ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；
ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；
ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；
ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.
(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内的任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．
例3 解 (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)∵P(X＝)＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)当故P(跟踪训练3 解 (1)因为P(X＝－1)＋P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＋＝，不满足概率之和为1的性质，因而该同学的计算结果不正确．
(2)①由概率分布的性质，得1－2q≥0，
q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－.
②P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2＝－.
例4 解 随机变量X的可能取值为1,2,3.
当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个球中取，故有P(X＝1)＝＝＝；
当X＝2时，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中取，故有P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球，故有P(X＝3)＝＝.
因此，X的概率分布如下表：
X
1
2
3
P
引申探究
解 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C：事件“X＝3”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC，
从而有P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
3
4
5
6
P
跟踪训练4 解 X的可能取值为1,2,3,4,5，
则第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝，
所以X的概率分布如下表：
X
1
2
3
4
5
P
当堂训练
1．①②③④ 2.
3．一枚3点，一枚2点或一枚1点，一枚4点
4．17
5．解 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
2.2 超几何分布
学习目标 1.了解超几何分布的实际背景.2.理解超几何分布的特征.3.能用超几何分布这一概率模型解决相关问题．
知识点 超几何分布
思考 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)X的所有可能值是什么？
(2)X的概率分布是什么？
梳理 超几何分布
(1)概念：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．
(2)记法：X服从超几何分布，记为__________________，并将P(X＝r)＝____________记为H(r；n，M，N)．
(3)含义：在H(r；n，M，N)中，r，n，M，N的含义：
特别提醒：(1)超几何分布的模型特点
①超几何分布中的正品、次品也可以理解为黑、白，男、女等有明显差异的两部分．
②超几何分布中“X＝k”的含义是“取出的n件产品中恰好有k件次品”．
(2)超几何分布的特征
①超几何分布的抽取是不放回的．
②超几何分布本质上还是这一事件在该随机试验中发生的次数与总次数的比．
类型一 超几何分布求概率
例1 从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．
反思与感悟 解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解．
跟踪训练1 在元旦晚会上，数学老师设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出5个球，至少摸到3个红球中奖，求中奖的概率．(结果保留两位小数)
类型二 超几何分布求概率分布
引申探究
在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的概率分布．例2 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的概率分布．
反思与感悟 超几何分布的求解步骤
(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝r)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，r的含义．
(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．
跟踪训练2 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的概率分布及P(X<2)．
类型三 超几何分布的综合应用
例3 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件．求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的概率分布；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
反思与感悟 识别超几何分布的三大标准
(1)总数为N件的物品只分为两类：M(M≤N)件甲类(或次品)，N－M件乙类(或正品)．
(2)从N件物品中行取n(n≤N)件物品必须采用不放回抽样．
(3)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品，其中所含甲类物品(或次品)的件数．
跟踪训练3 袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．
2．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.
3．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．
4．从1,2,3,4,5中任取3个数，记最大的数为ξ，则P(ξ＝4)＝________.
5．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字2,3,4,5；另一个盒子里也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数字3,4,5,6.现从一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为x，再从另一个盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η＝x＋y，求η的概率分布．
1．超几何分布的判断
判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的分布列的求法
(1)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同r值时的概率P(X＝r)，从而列出X的概率分布．
(2)一旦掌握了X的概率分布，就可以算出相应试验的很多事件的概率，从而就完全掌握了该试验．
答案精析
问题导学
知识点
思考 (1)0,1,2.
(2)P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
∴X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P
梳理 (2)X～H(n，M，N)
题型探究
例1 解 设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5.由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为
P(X＝2)＝≈0.385，
即恰好得7分的概率约为0.385.
跟踪训练1 解 设摸出红球的个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5.于是中奖的概率为
P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)
＝＋＋
＝
＝
≈0.19.
例2 解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.
(2)由题意知，X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝
＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝
＝.
所以X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
引申探究
解 由题意可知η＝0,1，服从两点分布．
又P(η＝1)＝＝，所以η的概率分布如下表：
η
0
1
P
跟踪训练2 解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3.
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)
＝＋＝.
例3 解 (1)由于从10件产品中任取3件的基本事件总数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有m(0≤m≤3且m∈N)件一等品的基本事件个数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，
又因为P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝＋＋＝.
即取出的3件产品中一等品的件数多于二等品的件数的概率为.
跟踪训练3 解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意知，X所有可能的取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
当堂训练
1. 2. 3. 4.
5．解 依题意，η的可能取值是5,6,7,8,9,10,11.
则有P(η＝5)＝＝，
P(η＝6)＝＝，P(η＝7)＝，
P(η＝8)＝＝，P(η＝9)＝，
P(η＝10)＝＝，P(η＝11)＝.
所以η的概率分布为
η
5
6
7
8
9
10
11
P
2．3.1 条件概率
学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)．
思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．
梳理 (1)条件概率的概念
一般地，对于两个事件A和B，在已知________发生的条件下________发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为________．
(2)条件概率的计算公式
①一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝________.
②利用条件概率，有P(AB)＝________________.
知识点二 条件概率的性质
1．任何事件的条件概率都在______之间，即________________________________________________________________________．
2．如果B和C是两个互斥的事件，则
P(B∪C|A)＝____________________.
类型一 求条件概率
例1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表，
(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；
(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；
(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；
(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率．
反思与感悟 用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型．
(2)计算P(A)，P(AB)．
(3)代入公式求P(B|A)＝.
跟踪训练1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，记事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
引申探究
1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．
2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．例2 集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
跟踪训练2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
类型二 条件概率的综合应用
例3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
反思与感悟 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.
2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是________．
3．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为________．
4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．
5．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
1．P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．
2．若事件A，C互斥，则P[A∪C|B]＝P(A|B)＋P(C|B)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝.
思考2 事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
思考3 P(A|B)＝.
梳理 (1)事件B 事件A P(A|B) (2)① ②P(A|B)P(B)
知识点二
1．0和1 0≤P(B|A)≤1
2．P(B|A)＋P(C|A)
题型探究
例1 解 设A＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}．
(1)P(A)＝＝.
(2)P(B)＝＝.
(3)P(AB)＝＝.
(4)方法一 P(A|B)＝＝
＝.
方法二 P(A|B)＝＝.
跟踪训练1 解析 P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
例2 解 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
引申探究
1．解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
2．解 甲抽到的数大于4的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
跟踪训练2 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.根据分步计数原理得n(A)＝AA＝20，n(AB)＝A＝12.
所以P(B|A)＝＝＝.
例3 解 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，
P(W|A)＝，P(R|B)＝，
P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为AR∪BR，
又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得
P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)
＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)
＝×＋×＝0.59.
跟踪训练3 解 记事件A＝“最后从2号箱中取出的球是红球”，
事件B＝“从1号箱中取出的球是红球”，
则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
从而P(A)＝P(AB)＋P(A)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
当堂训练
1. 2.0.665 3. 4.
5．解 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，
事件A的基本事件数为6×2＝12，所以P(A)＝＝.
由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，
所以事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，
所以P(B)＝＝.
事件AB的基本事件数为6，
故P(AB)＝＝.
由条件概率公式，得
(1)P(B|A)＝＝＝.
(2)P(A|B)＝＝＝.
2.3.2 事件的独立性
学习目标 1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．
知识点一 事件的独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，事件B＝“从乙箱里摸出白球”．
思考1 事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
思考2 P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？
思考3 P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？
梳理 事件独立的定义
一般地，若事件A，B满足________________，则称事件A，B独立．
知识点二 事件独立的性质
思考1 若A，B独立，P(AB)与P(A)P(B)相等吗？
思考2 若A，B独立，那么A与，与B，与相互独立吗？
梳理 事件独立的性质及P(AB)的计算公式
性质
(1)若A，B独立，且P(A)＞0，则B，A也独立，即A与B____________.
(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是____________________
概率计算公式
(1)若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝__________________________
结论
如果事件A与B相互独立，那么______与______，______与______，______与______也都相互独立
类型一 事件独立性的判断
例1 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的有________．(填序号)
①A，B；②A，C；③B，C.
反思与感悟 三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪训练1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
类型二 求相互独立事件的概率
引申探究
1．在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
2．若一列火车正点到达计10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．例2 小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
反思与感悟 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件 .
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .
跟踪训练2 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率：
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率．
类型三 相互独立事件的综合应用
例3 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的概率分布．
反思与感悟 概率问题中的数学思想
(1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．
(3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
跟踪训练3 甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个一等品的概率．
1．甲、乙两水文站同时做水文预报，若甲站、乙站各自预报准确的概率分别为0.8和0.7，那么在一次预报中，甲、乙预报都准确的概率为________．
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是________________________________________________________________________．
3．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________________________________________________________________________．
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________________________________________________________________________．
5．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：
(1)两人都投中的概率；
(2)其中恰有一人投中的概率；
(3)至少有1人投中的概率．
1．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即AB＝?
概率公式
A与B相互独立等价于P(AB) ＝P(A)P(B)
若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立
2.相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 不影响．
思考2 P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
思考3 P(AB)＝P(A)P(B)．
梳理 P(A|B)＝P(A)
知识点二
思考1 相等．因为P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(A)P(B)．
思考2 独立．
梳理 相互独立 P(AB)＝P(A)P(B) P(A1)·P(A2)·…·P(An) A B
题型探究
例1 ①②③
解析 利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.
可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)．
所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，
事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
跟踪训练1 解 (1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为
Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，
从而事件A与B是相互独立的．
例2 解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1
＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P( )
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
引申探究
1．解 恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9
＝0.092.
2．解 事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
跟踪训练2 解 记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
例3 解 (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P(A)＝＝，P(B)＝＝.
因为事件A与B相互独立，
所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝.
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P(C)＝＝，
因为X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P( )＝××＝，
P(X＝1)＝P(A )＋P(B)＋P( C)
＝××＋××＋××＝＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××
＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
跟踪训练3 解 (1)设A，B，C分别为甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题意得
即
由①③得P(B)＝1－P(C)，
代入②得27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0，
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝代入②，得P(B)＝，
将P(B)＝代入①，得P(A)＝.
故甲，乙，丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个进行检验，其中至少有一个一等品的事件，
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，至少有一个一等品的概率为.
当堂训练
1．0.56 2. 3. 4.
5．解 (1)设A表示事件“甲投篮一次并且投中”，B表示事件“乙投篮一次并且投中”，则AB表示事件“两人各投篮一次并且都投中”．由题意可知，事件A与事件B相互独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.6＝0.36.
(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种情况：一种是甲投中，乙未投中(事件A发生)；另一种是甲未投中，乙投中(事件B发生)．根据题意得这两种情况不可能同时发生，即事件A与B互斥，并且事件A与，与B相互独立，故所求概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6
＝0.48.
(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件为“两人各投篮一次，均未投中”，它的概率是P( )＝P()P()＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.
∴至少有一人投中的概率为1－P( )＝1－0.16＝0.84.
2.4 二项分布
学习目标 1.理解n次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
知识点一 独立重复试验
思考1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验，试验的条件有什么要求？
思考2 试验结果有哪些？
思考3 各次试验的结果有无影响？
梳理 n次独立重复试验的特点
(1)由________次试验构成．
(2)每次试验____________完成，每次试验的结果仅有____________的状态，即________．
(3)每次试验中P(A)＝p＞0.
特别地，n次独立重复试验也称为伯努利试验．
知识点二 二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这个事件，用Bk表示仅投中k次这个事件．
思考1 用Ai如何表示B1，并求P(B1)．
思考2 试求P(B2)和P(B3)．
梳理 一般地，在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0＜p＜1)，即P(A)＝p，P()＝1－p＝q.
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，
其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
类型一 求独立重复试验的概率
例1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响．(结果需用分数作答)
引申探究
若本例条件不变，求两人各射击2次，甲、乙各击中1次的概率．(1)求甲射击3次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练1 9粒种子分别种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，否则这个坑需要补种种子．
(1)求甲坑不需要补种的概率；
(2)记3个坑中恰好有1个坑不需要补种的概率为P1，另记有坑需要补种的概率为P2，求P1＋P2的值．
类型二 二项分布
例2 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的概率分布．
反思与感悟 (1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足独立重复试验时才能应用，否则不能应用该公式；
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪训练2 袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，求有放回时，取到黑球个数的概率分布．
类型三 二项分布的综合应用
例3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的概率分布；
(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的概率分布；
(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
跟踪训练3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p.若6p∈N，有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于，求p与n的值．
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是________．
2．某人进行射击训练，一次击中目标的概率为，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．
3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲队打完4局才胜的概率为____________．
4．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，在他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的概率分布．
1．独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件发生，事件不发生．
2．如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 条件相同．
思考2 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
思考3 无，即各次试验相互独立．
梳理 (1)n (2)相互独立 两种对立 A与
知识点二
思考1 B1＝(A12 3)∪(1A23)∪(1 2A3)，
因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A12 3、1A23、1 2A3两两互斥，
故P(B1)＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22＝0.096.
思考2 P(B2)＝3×0.2×0.82＝0.384，
P(B3)＝0.83＝0.512.
题型探究
例1 解 (1)记“甲射击3次，至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝.
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，
则P(A2)＝C×()2＝，
P(B2)＝C×()1×(1－)＝，
由于甲、乙射击相互独立，
故P(A2B2)＝×＝.
引申探究
解 记“甲击中1次”为事件A4，记“乙击中1次”为事件B4，
则P(A4)＝C××(1－)＝，
P(B4)＝C××(1－)＝.
所以甲、乙各击中1次的概率为
P(A4B4)＝×＝.
跟踪训练1 解 (1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为
3＝，
所以甲坑不需要补种的概率为
1－＝.
(2)3个坑恰有1个坑不需要补种的概率为
P1＝C××2＝.
由于3个坑都不需补种的概率为3，
则有坑需要补种的概率为
P2＝1－3＝.
所以P1＋P2＝＋＝.
例2 解 (1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，
则P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，
则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，
则P(X＝0)＝(1－)2＝，
P(X＝1)＝C××(1－)＝，
P(X＝2)＝()2＝.
所以X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P
跟踪训练2 解 取到黑球个数X的可能取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为，
所以P(X＝0)＝C0·3
＝，
P(X＝1)＝C·2＝，
P(X＝2)＝C2·＝，
P(X＝3)＝C3·0＝.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
例3 解 (1)由ξ～B，则
P(ξ＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.
故ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前k个是绿灯，第k＋1个是红灯)＝k·，k＝0,1,2,3,4；
P(η＝5)＝P(5个均为绿灯)＝5.
故η的概率分布如下表：
η
0
1
2
3
4
5
P
(3)所求概率为P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)
＝1－5＝.
跟踪训练3 解 由题设知，Cp2(1－p)2>.
∵p(1－p)>0，
∴不等式化为p(1－p)>，
解得又∵6p∈N，∴6p＝3，即p＝.
由＝，得n＝6.
当堂训练
1．[0.4,1] 2. 3. 4.①②
5．解 由题意知ξ～B(3，)，
则P(ξ＝0)＝C()0()3＝，
P(ξ＝1)＝C()1()2＝，
P(ξ＝2)＝C()2()1＝，
P(ξ＝3)＝C()3＝.
所以随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
P
2．5.1 离散型随机变量的均值
学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量的均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
知识点一 离散型随机变量的均值或数学期望
设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.
思考1 任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？
思考2 当X取上述值时，对应的概率分别是多少？
思考3 如何求每个西瓜的平均重量？
梳理 离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
(1)数学期望：E(X)＝μ＝________________________________________________________________________.
(2)性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)数学期望的含义：它反映了离散型随机变量取值的____________．
知识点二 两点分布、超几何分布、二项分布的均值
1．两点分布：若X～0－1分布，则E(X)＝________.
2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则E(X)＝________.
3．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝________.
类型一 离散型随机变量的均值
例1 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；
(2)求这名同学总得分不为负分(即X≥0)的概率．
反思与感悟 求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1 在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元，20个奖品是25元，5个奖品是100元．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
引申探究
在重复5次投篮时，命中次数为Y，随机变量η＝5Y＋2.求E(η)．例2 某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮，命中次数Y的均值．
反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
①两点分布E(X)＝p；
②二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．
(2)两点分布与二项分布辨析
①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
②不同点：
a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.
b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
跟踪训练2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．
例3 一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中有3个红球和(n－3)个白球．已知从口袋中随机取出一个球是红球的概率是.不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的均值E(ξ)．
反思与感悟 (1)超几何分布模型
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
(2)超几何分布均值的计算公式
若一个随机变量X的分布列服从超几何分布，则E(X)＝.
跟踪训练3 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回，若以X表示取出次品的个数，求均值E(X)．
类型二 均值的应用
例4 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的均值．
反思与感悟 解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
跟踪训练4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的概率分布和均值．
1．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，.随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为________．
2．若p为非负实数，随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
P
－p
p
则E(ξ)的最大值为________．
3．设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p＝________.
4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的概率分布、均值；
(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．
1．求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定离散型随机变量X的取值．
(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否．
(3)根据公式写出均值．
2．若X、Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 X＝5,6,7.
思考2 P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.
思考3 ＝5×＋6×＋7×＝.
梳理 (1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
(3)平均水平
知识点二
1．p 2. 3.np
题型探究
例1 解 (1)X的可能取值为－300，
－100,100,300.
P(X＝－300)＝0.23＝0.008，
P(X＝－100)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝100)＝C×0.82×0.21＝0.384，
P(X＝300)＝0.83＝0.512，
所以X的概率分布如下表：
X
－300
－100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
所以E(X)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180(分)．
(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X≥0)＝P(X＝100)＋P(X＝300)
＝0.384＋0.512＝0.896.
跟踪训练1 解 设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意X的概率分布如下表：
X
0
5
25
100
P
所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100×
＝0.2，所以一张彩票的合理价格是0.2元．
例2 解 (1)投篮1次，命中次数X的概率分布如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，
E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
引申探究
解 E(η)＝E(5Y＋2)＝5E(Y)＋2
＝5×3＋2＝17.
跟踪训练2 解 设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.
(1)设所求概率为P1，则
P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.
(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为
(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.
∴X～B(100,0.2)，
∴E(X)＝100×0.2＝20.
∴X的均值是20.
例3 解 ∵p＝，∴＝，∴n＝5，
∴5个球中有2个白球．
方法一 白球的个数ξ可取0,1,2.
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴E(ξ)＝×0＋×1＋×2＝.
方法二 取到白球的个数ξ服从参数为N＝5，M＝2，n＝3的超几何分布，
则E(ξ)＝＝＝.
跟踪训练3 解 方法一
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×
＝.
方法二 由题意可知，X服从N＝15，M＝2，n＝3的超几何分布，
∴E(X)＝＝＝.
例4 解 (1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1B2A3)
＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(1B3)＝P(1)P(B3)
＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)
＝1－－＝，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
跟踪训练4 解 (1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，
A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意，A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)
＝×＋×
＝.
故所求概率为
P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)
＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03
＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
故X的均值为E(X)＝3×＝.
当堂训练
1．1.18 2. 3.0.4
4．解 (1)ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
3
4
P
ξ的均值为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，
则a×＋4＝1，∴a＝－2.
2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差
学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质
甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的概率分布如下：
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
思考1 试求E(X)，E(Y)．
思考2 能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？
思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？
梳理 (1)离散型随机变量的方差和标准差
设离散型随机变量X的均值为μ，其概率分布表如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①方差：V(X)＝σ2＝____________________________________________，其中，pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.
变形公式：V(X)＝pi－μ2.
②标准差：σ＝________.
③意义：方差刻画了随机变量X与其均值μ的________程度．
(2)方差的性质：V(aX＋b)＝________.
知识点二 两点分布、超几何分布与二项分布的方差
1．两点分布：若X～0－1分布，则V(X)＝________________________________________________________________________.
2．超几何分布：若X～H(n，M，N)，则V(X)＝.
3．二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝__________.
类型一 求随机变量的方差
例1 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．
反思与感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的基本步骤
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的概率分布．
(4)由均值的定义求E(X)．
(5)由方差的定义求V(X)．
跟踪训练1 甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数X的均值和方差．
类型二 两点分布与二项分布的方差
例2 某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
反思与感悟 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．
跟踪训练2 (1)已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，V(X)＝20，则p＝________.
(2)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ck5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，则V(3ξ)＝________.
1．已知随机变量X的概率分布为
X
－1
0
1
P
则下列式子：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.其中正确式子的序号为________．
2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则V(ξ)＝________.
3．已知离散型随机变量X的概率分布如下表所示，若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
4.已知随机变量X～B(100,0.2)，那么V(4X＋3)的值为________．
5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和V(ξ)．
1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差V(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差V(X)或标准差越大，表明偏离的平均程度越大，说明X的取值越分散．
2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
(2)求X取每一个值的概率；
(3)写出随机变量X的概率分布；
(4)由均值、方差的定义求E(X)，V(X)．
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和V(X)．
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 E(X)＝0×＋1×＋2×
＝，
E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.
思考2 不能，因为E(X)＝E(Y)．
思考3 方差．
梳理 (1)①(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn ② ③平均偏离 (2)a2V(X)
知识点二
1．p(1－p) 3.np(1－p)
题型探究
例1 解 X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝4)＝×××＝，
P(X＝5)＝××××1＝.
∴X的概率分布为
X
1
2
3
4
5
P
由定义知，E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
V(X)＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
跟踪训练1 解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
∴P(A＋B)＝1－P( )＝1－(1－P1)·(1－P2)
＝P1＋P2－P1P2＝0.92，
∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(X＝0)＝P()·P()
＝0.4×0.2＝0.08，
P(X＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
∴X的概率分布为
X
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(X)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4，
V(X)＝(0－1.4)2·0.08＋(1－1.4)2·0.44＋(2－1.4)2·0.48
＝0.156 8＋0.070 4＋0.172 8＝0.4.
例2 解 (1)用ξ表示抽得的正品数，
则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，
P(ξ＝1)＝0.98，
所以V(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.
(2)用X表示抽得的正品数，
则X～B(10,0.98)，
所以V(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
跟踪训练2 (1) (2)10
解析 (1)由题意知，
解得p＝.
(2)由题意知，ξ～B，
则V(ξ)＝5××＝，
所以V(3ξ)＝9V(ξ)＝9×＝10.
当堂训练
1．①③ 2. 3. 4.256
5．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，
则P(ξ＝0)＝＝；
ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，
则P(ξ＝1)＝＝；
ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，
则P(ξ＝3)＝＝.
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1.
V(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1.
习题课 离散型随机变量的均值
学习目标 1.进一步熟练掌握均值公式及性质.2.能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题．
1．对均值的再认识
(1)含义：均值是离散型随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．
(2)来源：均值不是通过一次或多次试验就可以得到的，而是在大量的重复试验中表现出来的相对稳定的值．
(3)单位：随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
(4)与平均数的区别：均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．
2．均值的性质
X是随机变量，若随机变量η＝aX＋b(a，b∈R)，
则E(η)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
类型一 放回与不放回问题的均值
例1 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：
(1)不放回抽样时，抽取次品数ξ的均值；
(2)放回抽样时，抽取次品数η的均值．
反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布，放回抽样服从二项分布，求均值可利用公式代入计算．
跟踪训练1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P2的值；
(3)设P2＝，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的概率分布和均值．
类型二 与排列、组合有关的分布列的均值
例2 如图所示，从A1(1,0,0)，A2(2，0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1 (0，0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求均值E(V)．
反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件，然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率，利用均值的公式便可得到．
跟踪训练2 某地举办知识竞赛，组委会为每位选手都备有10道不同的题目，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完一道题后，再抽取下一道题进行回答．
(1)求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
(2)求某选手抽到体育类题目的次数X的均值．
类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值
例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰)，若该学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，假设每一次考核是否合格互不影响．
假设该生不放弃每一次考核的机会．用ξ表示其参加补考的次数，求随机变量ξ的均值．
反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时，可以利用分布列的性质求其概率．
跟踪训练3 甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，没有和棋，采用五局三胜制，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．
类型四 均值的实际应用
例4 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲
乙
首次出现故障时间x/年
01x>2
0x>2
轿车数量/辆
2
3
45
5
45
每辆利润/万元
1
2
3
1.8
2.9
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的概率分布；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，因此只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？请说明理由．
反思与感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
跟踪训练4 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布和均值．
1．某一供电网络有n个用电单位，每个单位在一天中用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是________．
2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝________.
3．已知随机变量ξ的概率分布为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________.
4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的均值E(ξ)＝________.
5.现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．
(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；
(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的概率分布及均值．
1．实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用，如体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的概率分布，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
答案精析
题型探究
例1 解 (1)方法一 P(ξ＝0)＝
＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.
∴随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
方法二 由题意知，P(ξ＝k)＝
(k＝0,1,2)，
∴随机变量ξ服从超几何分布，n＝3，M＝2，N＝10，
∴E(ξ)＝＝＝.
(2)由题意知1次取到次品的概率为
＝，
随机变量η服从二项分布η～B，
∴E(η)＝3×＝.
跟踪训练1 解 (1)设甲袋中红球的个数为x，
依题意得x＝10×＝4.
(2)由已知，得＝，
解得P2＝.
(3)ξ的所有可能值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋×2＝，
P(ξ＝3)＝×2＝.
所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
例2 解 (1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，
则P(V＝0)＝，P(V＝)＝＝，
P(V＝)＝＝，P(V＝)＝＝，
P(V＝)＝＝.
因此V的概率分布如下表：
V
0
P
E(V)＝0×＋×＋×＋×＋×
＝.
跟踪训练2 解 从10道不同的题目中不放回地随机抽取3次，每次只抽取1道题，抽取方法的总数为CCC.
(1)某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的方法数为CCC，
所以这位选手在3次抽取的题目中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率为＝.
(2)由题意可知X的取值可能为0,1,2.
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的概率分布如下表：
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
例3 解 ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次，第二次身体体能考核合格为事件A1，A2，第一次，第二次外语考核合格为事件B1，B2，
则P(ξ＝0)＝P(A1B1)＝×＝，
P(ξ＝2)＝P(1A21 B2)＋P(1A21 2)
＝×××＋×××
＝.
根据分布列的性质可知，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝.
所以其概率分布如下表：
ξ
0
1
2
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
跟踪训练3 解 由题意，X的所有可能值是3,4,5.
则P(X＝3)＝C×()3＋C×()3＝，
P(X＝4)＝C×()2××＋C×()2××＝，
P(X＝5)＝C×()2×()2×＋C×()2×()2×＝.
所以X的概率分布如下表：
X
3
4
5
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×
＝.
例4 解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)依题意得X1的概率分布如下表：
X1
1
2
3
P
X2的概率分布如下表：
X2
1.8
2.9
P
(3)由(2)得E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．
跟踪训练4 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P(A)＝××＝.
(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的概率分布为
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
当堂训练
1．np 2.1.75 3.2 4.
5．解 (1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为()2＋()2＝.
(2)落入A槽的概率为()2＝，
落入B槽的概率为，
落入C槽的概率为()2＝.
X的所有可能取值为0,5,10，
P(X＝0)＝()3＝，
P(X＝5)＝＋×＋()2×＝.
P(X＝10)＝＋×＋()2×＝.
所以X的概率分布为
X
0
5
10
P
E(X)＝0×＋5×＋10×＝.
习题课 离散型随机变量的方差与标准差
学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的方差的概念.2.熟练应用公式及性质求随机变量的方差.3.体会均值和方差在决策中的应用．
1．方差、标准差的定义及方差的性质
(1)方差及标准差的定义：
设离散型随机变量X的概率分布为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①方差V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.(其中μ＝E(X))
②标准差为________________．
(2)方差的性质：V(aX＋b)＝________.
2．两个常见分布的方差
(1)两点分布：若X～0－1分布，则V(X)＝_________________________________；
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则V(X)＝________________________________.
类型一 二项分布的方差问题
例1 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30 s，求司机总共等待时间η的均值与方差．
反思与感悟 解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若它服从两点分布，则方差为p(1－p)；若它服从二项发布，则方差为np(1－p)．
跟踪训练1 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的均值与方差．
类型二 均值、方差在决策中的应用
例2 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
反思与感悟 离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．
跟踪训练2 已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.记甲射中的环数为ξ，乙射中的环数为η.
(1)求ξ，η的概率分布；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
1．设一随机试验的结果只有A和，且P(A)＝m，令随机变量ξ＝则ξ的方差V(ξ)＝________.
2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．
3．已知随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
x
P
p
若E(ξ)＝，则V(ξ)的值为________．
4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，V(X)>V(Y)，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)
1．已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数y＝aX＋b的均值和方差，可直接用X的均值，方差的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)．
2．若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的均值、方差公式计算．
3．作为统计量，均值和方差本身无优劣，用均值和方差进行决策，一定要结合实际问题，只有理解了实际问题的本质，才能作出正确的决策．
答案精析
知识梳理
1．(1)②σ＝ (2)a2V(X)
2．(1)p(1－p) (2)np(1－p)
题型探究
例1 解 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，
且ξ～B(6，)，故E(ξ)＝6×＝2，
V(ξ)＝6××(1－)＝.
(2)由已知η＝30ξ，
故E(η)＝30E(ξ)＝60，V(η)＝900V(ξ)
＝1 200.
跟踪训练1 解 用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10,0.8)，η＝3ξ＋2.
因为E(ξ)＝10×0.8＝8，V(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，
所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26，
V(η)＝V(3ξ＋2)＝32×V(ξ)＝9×1.6
＝14.4.
例2 解 若按项目一投资，设获利X1万元，
则X1的概率分布如下表：
X1
300
－150
P
∴E(X1)＝300×＋(－150)×
＝200.
V(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
若按项目二投资，设获利X2万元，
则X2的概率分布如下表：
X2
500
－300
0
P
∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
V(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000，
∴E(X1)＝E(X2)，V(X1)＜V(X2)，
这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
跟踪训练2 解 (1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ，η的概率分布分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的概率分布，可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
V(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
V(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵V(ξ)∴甲的射击技术好．
当堂训练
1．m(1－m) 2.2,2.4 3. 4.乙
第二章 概率
1 求离散型随机变量的概率分布的方法
对离散型随机变量概率分布的考查是概率考查的主要形式，那么准确写出概率分布显得至关重要．下面就谈一下如何准确求解离散型随机变量的概率分布．
1．弄清“随机变量的取值”
弄清“随机变量的取值”是第一步．确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能否取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．
例1 从4张标有1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的可能取值及指出此时ξ表示的意义．
分析 从标有1,2,3,4的四张卡片中取两张，ξ表示两张卡片之和，则首先弄清共有几种情况，再分别求和．
解 ξ的可能取值为3,4,5,6,7，其中ξ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．
2．弄清事件类型
计算概率前要确定事件的类型，同时正确运用排列与组合知识求出相应事件的概率．
例2 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．
甲组 乙组
9
9
0
9
8
9
1
1
1
0
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的概率分布．
分析 由茎叶图可知两组同学的植树棵数，则可得分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，两同学的植树总棵数的所有可能取值，由古典概型可求概率．
解 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝
＝.同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，
P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.
所以随机变量Y的概率分布为
Y
17
18
19
20
21
P
3.注意验证随机变量的概率之和是否为1
通过验证概率之和是否为1，可以检验所求概率是否正确，还可以检验随机变量的取值是否出现重复或遗漏．
例3 盒中装有大小相同的10个小球，编号分别为0,1,2，…，9，从中任取1个小球，规定一个随机变量X，用“X＝x1”表示小球的编号小于5；“X＝x2”表示小球的编号等于5；“X＝x3”表示小球的编号大于5，求X的概率分布．
解 随机变量X的可能取值为x1，x2，x3，且
P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，P(X＝x3)＝.
故X的概率分布如下.
X
x1
x2
x3
P
点评 随机变量的概率分布是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的概率分布是很重要的，为了保证它的准确性，我们可以利用i＝1进行检验.
2 独立事件与互斥事件辨析
相互独立事件与互斥事件是两个完全不同的概念，但同学们在学习过程中容易混淆这两个概念，而导致错误．下面结合例题加以分析帮助同学们正确区分这两个概念．
1．把握互斥事件中的“有一个发生”
求互斥事件有一个发生的概率，即互斥事件中的每一个事件发生都会使所求事件发生，应用的是互斥事件概率加法公式P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
例1 李老师正在写文章的时候，身边的电话突然响了起来．若电话响第1声时被接听的概率为0.1，响第2声时被接听的概率为0.15，响第3声时被接听的概率为0.5，响第4声时被接听的概率为0.22，那么在电话响前4声内被接听的概率是多少？
分析 在电话响前4声内李老师接电话的事件包括：打进的电话“响第1声时被接听”，“响第2声时被接听”，“响第3声时被接听”，“响第4声时被接听”这4个事件，而且只要有一个事件发生，其余的事件就不可能发生，从而求电话在响前4声内李老师接听的概率问题即为互斥事件有一个发生的概率问题．
解 李老师在电话响前4声内接听的概率P＝0.1＋0.15＋0.5＋0.22＝0.97.
2．把握相互独立事件中的“同时发生”
相互独立事件即是否发生相互之间没有影响的事件．求相互独立事件同时发生的概率，应用的是相互独立事件的概率乘法公式P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
例2 甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响．求：
(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；
(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．
解 记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，i＝1,2,3.
依题意得P(Ai)＝0.7，P(Bi)＝0.6，且Ai与Bi相互独立．
(1)“甲第三次试跳才成功”为事件12A3，
所以P(12A3)＝P(1)P(2)P(A3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.
所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.
(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.
P(C)＝1－P(11)＝1－P(1)P(1)＝1－0.3×0.4＝0.88.
所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.
点评 本题考查事件的独立性，以及互斥事件和对立事件等知识，关键在于理解事件的性质，然后正确运用相应的概率公式加以求解．
归纳总结
1．对于事件A、B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称这两个事件为相互独立事件．如甲袋中装有3个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲袋中摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记为事件B，显然A与B互相独立．
2．弄清事件间的“互斥”与“相互独立”的区别．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
3．理解并运用相互独立事件的性质．如果事件A与B相互独立，那么下列各对事件：A与，与B，与也都相互独立．
4．牢记公式的应用条件，准确、灵活地运用公式．
5．认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等.
3 概率题易错点剖析
概率内容的新概念较多，相近概念容易混淆，本文就学生易犯错误作如下总结：
1．“非等可能”与“等可能”混同
例1 掷两枚骰子，求所得的点数之和为6的概率．
错解 掷两枚骰子出现的点数之和有2,3,4，…，12共11种基本事件，所以概率为P＝.
错因剖析 以上11种基本事件不是等可能的，如点数之和为2只有(1,1)，而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种．事实上，掷两枚骰子共有36种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的概率为P＝.
2．“互斥”与“对立”混同
例2 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________．(填序号)
①对立事件； ②不可能事件；
③互斥但不对立事件； ④以上均不对．
错解 ①
错因剖析 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：
(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；
(2)互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；
(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表明它们有且仅有一个发生．
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个也不发生，可能两个都不发生，所以应填③.
正解 ③
3．“互斥”与“独立”混同
例3 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
错解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，则两人都恰好投中两次为事件A＋B，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝C×0.82×0.2＋C×0.72×0.3＝0.825.
错因剖析 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将“两人都恰好投中2次”理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．
正解 设“甲恰好投中两次”为事件A，“乙恰好投中两次”为事件B，且A，B相互独立，则两人都恰好投中两次为事件AB，于是P(AB)＝P(A)×P(B)＝C×0.82×0.2×C×0.72×0.3≈0.169.
点评 例3错误的原因在于把两事件互斥与两事件相互独立混同．互斥事件是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生与否没有影响．它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的．
4．“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(AB)”混同
例4 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄球的概率．
错解 记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，
所以P(C)＝P(B|A)＝＝.
错因剖析 本题错误在于P(AB)与P(B|A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．
正解 P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)
＝×＝.
5．混淆有放回与不放回致错
例5 某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：
(1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
(2)恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值．
错解 (1)P＝····＝.
(2)P5(3)＝C3·2＝0.132 3.
错因剖析 错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)．
正解 (1)P＝＝.
(2)P＝
＝(k－1)(k－2)(3≤k≤10，k∈Z)，
当k＝3时，[f(k)]min＝f(3)＝；
当k＝10时，[f(k)]max＝f(10)＝.
4 概率问题与其他知识的交汇
概率和其他知识整合的题目近年来频频出现在各类考试中，这类题目覆盖面广，交汇性强，用到的数学思想和方法比较多，对能力要求较高，我们要给予充分关注，并注意总结解题方法．
1．概率与函数
例1 在多项飞碟运动中，允许运动员射击两次．运动员每一次射击命中碟靶的概率p与运动员离碟靶的距离s(米)成反比，且距离s(米)与碟靶飞行时间t(秒)满足s＝15(t＋1)(0≤t≤4)．现有一碟靶抛出后，某运动员在碟靶飞出0.5秒时进行第一次射击命中的概率为0.8；如果他发现没有命中，则迅速调整，在第一次射击后再经过0.5秒进行第二次射击，求此运动员命中碟靶的概率．
解 设p＝ (k为常数)，则p＝ (0≤t≤4)，
依题意当t＝0.5时，p1＝0.8，则k＝18，
所以p＝，
当t＝1时，p2＝0.6.故此人命中碟靶的概率为
p＝p1＋(1－p1)p2＝0.8＋(1－0.8)×0.6＝0.92.
点评 此题为条件概率问题(要注意第二次射击的前提)，两次射击可以理解为(有条件的)互斥事件．
2．概率与不等式
例2 某商店采用“购物摸球中奖”的促销活动，球袋中装有10个球，号码为n(1≤n≤10，n∈N*)的球的重量为f(n)
＝n2－9n＋21，现有两种摸球方案：①摸球1个，若球的重量小于该球的号码数，则中奖；②一次摸出两个球，若两球的重量相等，则中奖．试比较两种摸奖方案的中奖概率的大小．
解 方案①，球的重量小于号码数，
即n2－9n＋21故n的取值为4,5,6，
中奖概率为p1＝0.3；
方案②，若第n号球与第m号球重量相等(n则有n2－9n＋21＝m2－9m＋21，
即(n－m)(m＋n－9)＝0，
故m＋n＝9 (n可取值1,2,3,4)，
中奖概率为p2＝＝.
显然p1>p2，即方案①的中奖概率大．
点评 解决此类问题需要先求不等式的整数解(实际问题的要求)，再计算中奖概率．
3．概率与递推数列
例3 A、B两人拿两个骰子做抛掷游戏，规定：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原抛掷者继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式．
解 第n次由A掷有两种情况：
①第n－1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为pn－1；②第n－1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为(1－pn－1)．
故有pn＝pn－1＋(1－pn－1)(n≥2)，
即pn＝－pn－1＋(n≥2)．
令pn＋x＝－(pn－1＋x)，
整理可得x＝－，
故pn－＝－(n≥2)，
又p1＝1，所以数列是以为首项，
－为公比的等比数列，
于是pn－＝n－1，
即pn＝＋n－1.
点评 弄清pn与pn－1的关系并建立递推关系式是问题获得解决的关键.
5 深析超几何分布与二项分布的关系
超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过几个例子说明一下两者的区别．
例1 从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的概率分布．
解 由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，
n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，
P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，
P(ξ＝3)＝＝＝，故ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
点评 这是一道超几何分布的题目，学生在做的时候容易把它看成是二项分布问题，把事件发生的概率看作是0.4.
例2 甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3，则甲赢，若出现6,7,8,9，则乙赢，若出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的概率分布．
解 由题意得X＝0,1,2,3，
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.62×0.4＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
点评 这是一道二项分布的题目，学生容易看成超几何分布，认为X服从N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
二项分布应满足独立重复试验：
①每一次试验中只有两种结果(要么发生，要么不发生)．
②任何一次试验中发生的概率都一样．
③每次试验间是相互独立的、互不影响的.
6 三法求均值
数学期望也称均值，是离散型随机变量的一个重要的数字特征，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，期望的求解策略也有多种，下面通过实例来阐述．
1．利用定义求均值
根据定义求离散型随机变量的均值，首先要求概率分布，然后利用公式E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
例1 一接待中心有A，B，C，D四部热线电话．已知某一时刻电话A，B占线的概率为0.5，电话C，D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的均值．
分析 先判断ξ的所有可能取值，再根据相应知识求概率．
解 由题意知ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ＝0)＝0.52×0.62＝0.09，
P(ξ＝1)＝C×0.52×0.62＋C×0.4×0.6×0.52＝0.3，
P(ξ＝2)＝C×0.52×0.62＋C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.42×0.52＝0.37，
P(ξ＝3)＝C×0.52×C×0.4×0.6＋C×0.52×C×0.42＝0.2，
P(ξ＝4)＝0.52×0.42＝0.04.
于是得到随机变量ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以E(ξ)＝0×0.09＋1×0.3＋2×0.37＋3×0.2＋4×0.04＝1.8.
点评 均值与概率分布联系密切，正确地求出随机变量的概率分布，是求均值的关键．解题时，确定随机变量ξ取哪些值及相应的概率，是利用定义求均值的重点．
2．利用公式求均值
有些离散型随机变量如果归结为两点分布、二项分布等常见分布类型时就常使用公式法求均值．
其中：(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p(p为X的成功概率)．
(2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.
(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝.
例2 一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的均值．
解 根据题目所含白球数X服从参数N＝10，M＝5，n＝4的超几何分布，则E(X)＝＝＝2.
所以从中任取4个球所含白球个数的均值为2.
点评 此题判断随机变量服从哪种分布是关键，再者要弄清公式中参数的含义．
3．利用性质求均值
对于aX＋b型的随机变量一般用性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b来求解．
例3 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有大小相同的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所摸2球的钱数之和．求摸奖人获利的均值．
解 设X为摸到的2球钱数之和，则X的可能取值为
X＝2(摸到2个1元)；X＝6(摸到1个1元，1个5元)；
X＝10(摸到2个5元)．
故由题意可得
P(X＝2)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
P(X＝10)＝＝.
所以E(X)＝2×＋6×＋10×＝.
又设Y为摸奖者获利的可能值，则Y＝X－5，
所以摸奖者获利的均值E(Y)＝E(X)－5＝－1.4.
点评 解决此类问题的关键是找出变量Y与X的内在联系，并正确套用性质.
7 用独立事件同时发生的概率讲“道理”
概率本身就来源于生活，又服务于生活．在日常生活中，我们经常会遇到有理说不清的情况，如果我们有时能准确合理的运用概率知识进行分析，通过严密的分析和详实准确的数据，往往不仅能把道理讲清，而且能把道理讲透，讲得让人“心服口服”．如果不信，下面我们就不妨用独立事件同时发生的概率来讲两个道理．
道理1：我国的大教育家孔子曰：“三人行，必有我师焉”．能用概率知识诠释孔子的这句名言吗？
诠释：俗话说：“三百六十行，行行出状元．”我们不妨把一个人的才能分成360个方面．因为孔子是大学问家，我们假设他在每一行的排名都处在前的可能性为99%，即任意一个人在任一方面的才能低于他的可能性为99%.另外两个人在任何一方面的才能不如孔子分别看作两个独立事件，则在任一行中，这两个人的才能均不超过孔子就成了概率中两个独立事件同时发生的模型，所以可能性是99%×99%＝98.01%.而在360行中，另外两人的才能均不超过孔子的可能性即为独立事件重复发生的概率，所以为(98.01%)360≈0.07%.反过来说，另外两人中有人的才能在某一方面超过孔子的可能性为1－(98.01%)360≈99.93%.也就是说，两人中有人可以在某一方面做孔子的老师的可能性约为99.93%.
从上面的分析可知，“三人行，必有我师”虽然是孔子自谦的话，但从实际情况来看，这句话是很有道理的．
道理2：小强和小明的家都在同一栋10层的小高层里，小强家在顶层，小强坚持认为由于小高层有从底层到顶层的电梯，所以自己从电梯上楼到家的速度应该是相当快的．可是小明并不这样认为，但是又无法说服小强，只是一味地强调如果考虑每层都有人要上电梯，那么也要耽误很多时间，所以乘电梯也不一定很快．我们如何来帮助小明通过准确的数据来说服小强呢？
我们不妨设计这样一个问题：十层电梯从底层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解 依题意，从底层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，…，停9次．这些情况都是互斥关系，电梯每一层停的概率为，每种具体的情况实际上是独立事件重复发生的概率问题．
∴从底层到顶层停不少于3次的概率
P＝C36＋C45＋C54＋…＋C9＝(C＋C＋C＋…＋C)9
＝[29－(C＋C＋C)] 9
＝(29－46)9＝.
设从底层到顶层停k次，则其概率为
Ck9－k＝C9，
∴当k＝4或k＝5时，C最大，即C9最大，
∴从底层到顶层停不少于3次的概率为，
停4次或5次的概率最大．
通过上面的详实分析和准确数据，我们发现由于电梯至少停三次的概率较大，而且停4次或5次的可能性最大，因为每次电梯停下来开门、关门等都要耽误一定的时间，累计起来耽误的时间却是不少，所以小明的观念还是有一定的道理的．
生活中像这样的现象很多，表面上看起来都与概率无关，但是对于“数学人”来说，生活中的概率无处不在，关键就在于要善于将这些现象转化为概率模型，通过数学知识来进行定性和定量分析，达到“以理服人”的效果.
8 生活中的概率问题
在日益发展的信息社会中，即使一般的劳动者，也必须具备基本的数学运算能力以及应用数学思想去观察和分析工作、生活乃至从事经济、政治活动的能力．在存款、利息、投资、保险、成本、利润、彩票等中，我们常遇见一些概率问题．下面就我们现实生活中常见的一些概率问题进行一些简单的分析：
1．谁先谁后的问题
单位有六台旧麻将机将处理给单位员工，定价300元一台．结果有12位希望买一台．于是单位领导就写了十二张小纸条，其中有六张写着“恭喜购买成功”，另六张写着“谢谢你的配合，你购买不成功！”．再把纸条折好．然后叫十二位员工按先后顺序来抓．请问：这十二位员工抽中的概率是一样的吗？也就是说这种方法公平吗？最后一位员工是不是最划不来？
显然，对于第一个抓纸条的人来说，他从12张纸条中选一张，抽到“恭喜购买成功”的概率为.对于第二个抓纸条的人来说，可以分两种情况考虑：①第一个人抽中，他抽中的概率，②第一个人没有抽中，他抽中的概率，这两种情况是等概率事件，所以不管第一个人抽中还是没抽中，不影响第二个人抽中的概率．同样对于第三个人来说，他抽中的概率可以分成四种情况考虑：①一中，二中，他抽中的概率，②一中，二不中，他抽中的概率，③一不中，二中，他抽中的概率，④一不中，二不中，他抽中的概率，这四种情况是等概率事件，所以也不影响第三个人抽中的概率．由此可以类推，第四个人，第五个人等，抽中的概率都不受影响，所以这种方法是公平的，哪个人先抽，哪个人后抽，对个人来说，没有影响．
2．性别问题
你隔壁刚刚搬来了新的邻居，透过墙壁，你可以清楚的听到有3个小孩的声音，但是，因为这3个小孩，年龄都很小，所以你不确定他们是男是女．
1．基于好奇心，你决定到隔壁敲门，看看他们是男是女，这个时候，一个男孩出来开门，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
2．当然，你还是没有足够的讯息，确定所有3个小孩的性别．所以，你决定再找个理由，到隔壁敲了第二次门，很幸运的是，这次来开门的是另外的一个男孩，请问，这3个小孩都是男孩的概率是多少？
3．如果，你第三次去敲了隔壁邻居的门，请问，你可以百分之百确定这3个性别的概率是多少？
对于这种问题，我们在平时的言谈中经常会遇到，一下子接触，感觉有点懵．其实这种问题认真分析的话也会感觉到其中的乐趣.1.一个男孩开门，那么就会有两个小孩不知道性别，有四种可能，所以全是男孩的概率为.2.第二次敲门，又有一个男孩开门，就只有一个小孩不知道性别，有两种可能，所以全是男孩的概率为.3.第三次敲门，三个小孩都有可能开门，所以全是男孩的概率为.这种问题其实和抛硬币，掷骰子的问题大致相同，只是情境不同．
3．玩扑克牌中的出牌问题
在玩扑克牌中，我们经常会懊悔出错了牌，一手好牌就此浪费了．比如斗地主中，炸弹(四个相同的点数或双王)，三带一，连子，出现的概率很低，对子，单的概率很高，所以合理的安排出牌，胜利的次数就比较多．如果一个玩牌者经过计算，认定出牌A比出牌B获胜的概率大，那么它会出牌A，尽管出牌A也有招致失败的风险．
可见，在生活中，我们会遇到很多难题，当我们从概率的角度进行判断，然后作出决策时，完全有可能犯错误，不可能有绝对的把握正确．只是，我们总希望犯错误的概率小一些，能够使自己获得最高的成功率．把握住事件出现的概率，我们就很容易的做出判断解决问题．
4．生日相同的问题
如果一个班级有50位学生，那么其中至少有两位学生生日相同的概率是多少？
要直接计算50人中有至少2人生日相同比较困难．我们就先算出全部不同的概率．然后用1减去它就是至少有2人相同的概率了．我们可以这样考虑：随意找一位学生甲，他的生日可以是365(不考虑闰年)天中的任意一天，所以有365种可能，对于学生乙同样有365种可能，所以50位学生生日的情况就有36550种生日不相同的情况，对于甲有365种可能，乙和甲不同就有364种，所以50位学生生日不同的情况有A种，所以生日不同的概率为，所以至少有两位学生生日相同的概率为1－.
该问题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象其实极为平凡，这也有助于我们破除迷信，树立唯物主义的世界观.
第二章 概率
学习目标 1.进一步理解随机变量及其概率分布的概念，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能够进行简单的应用.3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.4.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单的离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单的实际问题．
1．事件概率的求法
(1)条件概率的求法
①利用定义分别求出P(B)和P(AB)，解得P(A|B)＝.
②借助古典概型公式，先求事件B包含的基本事件数n，再在事件B发生的条件下求事件A包含的基本事件数m，得P(A|B)＝.
(2)相互独立事件的概率
若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)n次独立重复试验
在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为
Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0,1,2，…，n，q＝1－p.
2．随机变量的分布列
(1)求离散型随机变量的概率分布的步骤
①明确随机变量X取哪些值；
②计算随机变量X取每一个值时的概率；
③将结果用二维表格形式给出．计算概率时注意结合排列与组合知识．
(2)两种常见的分布列
①超几何分布
若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布．
②二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)．
3．离散型随机变量的均值与方差
(1)若离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，令μ＝E(X)，
则V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
(2)当X～H(n，M，N)时，
E(X)＝，V(X)＝.
(3)当X～B(n，p)时，E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
类型一 条件概率的求法
例1 口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，则：
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？
反思与感悟 条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清要求的条件概率是在什么条件下发生的概率．一般地，计算条件概率常有两种方法
(1)P(B|A)＝.(2)P(B|A)＝.
在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
跟踪训练1 掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率．
类型二 互斥、对立、独立事件的概率
例2 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的概率分布和均值．
反思与感悟 在求解此类问题中，主要运用对立事件、独立事件的概率公式
(1)P(A)＝1－P()．
(2)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若事件A，B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
跟踪训练2 红队队员甲，乙，丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
类型三 离散型随机变量的概率分布、均值和方差
例3 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)，
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的概率分布；
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，V(ξ)．
反思与感悟 求离散型随机变量的均值与方差的步骤
跟踪训练3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的概率分布及均值．
类型四 概率的实际应用
例4 某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两个问题正确的概率都是0.8，回答第三个问题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和均值；
(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．
反思与感悟 解需要分类讨论的问题的实质是：整体问题转化为部分问题来解决．转化成部分问题后增加了题设条件，易于解题，这也是解决需要分类讨论问题的总的指导思想．
跟踪训练4 某地有A，B，C，D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染，对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的概率分布．
1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为________．
2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．事件A为“取到的2道题中至少有一道理科题”，事件B为“取到的2道题中一题为理科题，另一题为文科题”，则P(B|A)＝________.
3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k()n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则V(ξ)的值为________．
4．设X为随机变量，X～B(n，)，若X的方差为V(X)＝，则P(X＝2)＝________.
5．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求取出白球的均值和方差．
1．条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．
其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
2．求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
3．求解实际问题的均值与方差的解题思路：先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布，同时要注意运用两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质．
答案精析
题型探究
例1 解 记事件A：第一次取出的球是红球；事件B：第二次取出的球是红球．
(1)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的球是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的事件有4×5个，
所以P(A)＝＝.
(2)从口袋中随机不放回地连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的球是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的事件有4×3个，所以P(AB)＝＝.
(3)利用条件概率的计算公式，
可得P(B|A)＝＝＝.
跟踪训练1 解 设“掷出点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.
方法一 P(A|B)＝＝＝.
方法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，∴n(B)＝6.
“掷出点数之和大于或等于10”且“第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n(AB)＝3.
∴P(A|B)＝＝＝.
例2 解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知
P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝ ，
于是P()＝P()P()＝×
＝，
故所求的概率为P(H)＝1－P()＝1－＝.
(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.
因为P(X＝0)＝P( )＝×
＝，
P(X＝100)＝P( F)＝×＝
＝，
P(X＝120)＝P(E )＝×＝，
P(X＝220)＝P(E F)＝×＝
＝，
故所求的概率分布如下表：
X
0
100
120
220
P
E(X)＝0×＋100×＋120×＋220×＝140.
跟踪训练2 解 (1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.由对立事件的概率公式知，P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝0.4×0.5×0.5
＝0.1，
P(ξ＝1)＝P( F)＋P(E)＋
P(D )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)
＝0.45.
例3 解 (1)由已知，随机变量η的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点数为η0，
P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，
P(η0＝3)＝，
所以P(η＝2)＝×＝，
P(η＝3)＝2××＝，
P(η＝4)＝2××＋×＝，
P(η＝5)＝2××＝，
P(η＝6)＝×＝.
故η的概率分布为
η
2
3
4
5
6
P
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设某次发生的概率为p，由(1)知，p＝.
因为随机变量ξ～B，
所以E(ξ)＝np＝10×＝，
V(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
跟踪训练3 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝()3＝，
P(A2)＝C()2(1－)×＝，
P(A3)＝C()2(1－)2×＝.
所以，甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率分别是，，.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意知各局比赛结果相互独立，
所以P(A4)＝C(1－)2()2×(1－)＝.
由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
根据事件的互斥性，得
P(X＝0)＝P(A1∪A2)
＝P(A1)＋P(A2)＝，
P(X＝1)＝P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(A4)＝，
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
故X的概率分布为
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
例4 解 (1)三个问题均答错，得0＋0＋(－10)＝－10(分)．
三个问题均答对，得10＋10＋20＝40(分)．
三个问题一对两错，包括两种情况：
①前两个问题一对一错，第三个问题错，
得10＋0＋(－10)＝0(分)；
②前两个问题错，第三个问题对，得0＋0＋20＝20(分)．
三个问题两对一错，也包括两种情况：
①前两个问题对，第三个问题错，
得10＋10＋(－10)＝10(分)；
②第三个问题对，前两个问题一对一错，
得20＋10＋0＝30(分)．
故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.
P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，
P(ξ＝0)＝C×0.2×0.8×0.4＝0.128，
P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，
P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，
P(ξ＝30)＝C×0.8×0.2×0.6
＝0.192，
P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384.
所以ξ的概率分布为
ξ
－10
0
10
20
30
40
P
0.016
0.128
0.256
0.024
0.192
0.384
所以E(ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24.
(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝1－P(ξ<0)＝1－0.016
＝0.984.
跟踪训练4 解 (1)A直接感染一个人有2种情况：分别是A－B－C－D和A－B－，概率是×＋×＝；
(2)A直接感染二个人有3种情况：分别是A－，A—，A—，概率是×＋×＋×＝；
(3)A直接感染三个人只有一种情况：ABDC，概率是×＝.
∴随机变量X的概率分布是
X
1
2
3
P
当堂训练
1. 2. 3.8 4.
5．解 取出的白球个数ξ可能取值为0,1,2.
ξ＝0时表示取出的两个球都为黑球，
即P(ξ＝0)＝＝.
ξ＝1表示取出的两个球中一个黑球，一个白球，
即P(ξ＝1)＝＝.
ξ＝2表示取出的两个球均为白球，
即P(ξ＝2)＝＝.
于是E(ξ)＝0×＋1×＋2×
＝1.2，
V(ξ)＝(0－1.2)2×＋(1－1.2)2×＋(2－1.2)2×＝0.36.
